Clase Teórica - Distribuciones de Probablidad Discretas

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CLASE 4 -
DISTRIBUCIONES 
DISCRETAS DE 
PROBABILIDAD
VARIABLE ALETAORIA
Una variable es aleatoria si toma distintos valores como resultado de un experimento 
aleatorio.
VARIABLE 
ALEATORIA
DISCRETA
Toma solo 
un numero 
ilimitado de 
valores.
CONTINUA
Toma 
cualquier 
valor dentro 
de un 
intervalo.
FUNCION DE DISTRIBUCION DE 
PROBABILIDADES DISCTRETAS
◦ La función de distribución de probabilidad debe cumplir con las 
siguientes condiciones:
La representación grafica corresponde al GRAFICO de bastones.
F(xi)
xi
FUNCION DE DISTRIBUCION 
ACUMULADA DE PROBABILIDAD
De la misma manera que calculamos las frecuencias acumuladas podemos acumular 
las probabilidades.
𝐹 𝑥 =෍
𝒊
𝒏
𝐹 𝑥𝒊
La representación grafica de dicha función, al igual como si se tratara 
de frecuencias acumuladas corresponde el GRAFICO de ESCALONES.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
En lugar de trabajar con la población los valores de la variable se calculan probabilidades 
asociadas a intervalos, se usa una función que mide concentración de probabilidades alrededor 
de un punto, que se denomina “ función de densidad de probabilidades” y se denota como
f(xi)
Una función de densidad de probabilidad debe cumplir las siguientes propiedades: 
1) f(x) ≥ o la función es no negativa para cualquier valor de X.
2) ∫f(x)dx=1 el área bajo la curva vale “1”
la representación grafica corresponde a un HISTOGRAMA.
DISTRIBUCION BINOMIAL
◦ Es una distribución de probabilidades mediante la cual se calcula la probabilidad de 
ocurrencia de eventos, siempre que se presenten bajo dos modalidades: éxito o fracaso. X 
es una variable discreta aleatoria.
Características
– Se consideran solamente dos opciones, mutuamente excluyentes: éxito o 
fracaso, como se explicó al comienzo.
– La probabilidad de éxito debe ser constante en cualquier observación que se 
haga.
– El resultado de cualquier evento es independiente de cualquier otro evento, de 
ahí que la probabilidad es constante
– La media de la distribución binomial es n.p
– La desviación estándar es:
Los parámetros que definan a esta distribución son: n y p
DISTRIBUCION MULTINOMIAL
◦ Este modelo se puede ver como una generalización del Binomial en el que, en lugar 
de tener dos posibles resultados, tenemos r resultados posibles.
◦ Supongamos que el resultado de una determinada experiencia puede ser r valores 
distintos: A1, A2, ..., Ar cada uno de ellos con probabilidad p1, p2, ..., pr, 
respectivamente.
http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo3/B0C3m1t2.htm
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
◦ Hasta ahora hemos analizado distribuciones que modelaban situaciones en las que se 
realizaban pruebas que entrañaban una dicotomía (proceso de Bernouilli) de manera 
que, en cada experiencia, la probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles 
resultados se mantenía constante.
Si el proceso consistía en una serie de extracciones o selecciones ello implicaba la 
reposición de cada extracción o selección, o bien la consideración de una población 
muy grande (cartas en un casino). Sin embargo, si la población es pequeña y las 
extracciones no se remplazan, las probabilidades no se mantendrán constantes. La 
distribución hipergeométrica viene a cubrir esta necesidad de modelar procesos de 
Bernouilli con probabilidades no constantes (sin reemplazamiento).
Los parámetros que definan a esta distribución son: N, k y n
EXTRACCION 
CON REEMPLAZO
LAS 
PROBABILIDADES 
DE EXTRACCION 
NO SON 
CONSTANTE
De acuerdo a la formula sus componentes son:
N: población.
k: probabilidad de éxitos de la población.
n: muestra.
DISTRIBUCION DE POISSON
◦ La distribución de Poisson es discreta (como la binomial) pues los valores que puede 
tomar la variable aleatoria son números naturales. Aunque en la distribución de 
Poisson los casos posibles en teoría son infinitos (numerable).
◦ La distribución de Poisson se caracteriza por un solo parámetro landa.
◦ Su media es landa y su varianza también es landa:
EN ESTA DISTRIBUCION LOS SUCESOS SON RAROS. POR EJ: NUMEROS DE 
ACCIDENTES DE AVIONES POR LO TANTO LAS PROBABILIDADES SERAN PEQUEÑAS..
El parámetro que define a esta distribución es: λ
http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/binomial.html
APROXIMACIONES A LA 
DISTRIBUCION BINOMIAL
1- Aproximación de la distribución hipergeometrica a la distribución binomial. 
CONDICIONES:
la binomial cuanto menor sea n en relación a N. En términos prácticos puede 
considerarse que esto sucede cuando 
𝒏
𝑵
< 0,05, es decir, cuando el tamaño de la 
muestra (o la cantidad de experimentos) es inferior al 5% de la población. Podemos 
decir que la distribución hipergeometrica se aproxima a la distribución binomial cuando 
el tamaño de la muestra es menor o igual a la población.
2- Aproximación de la distribución de poisson a la binomial.
CONDICION:
n≤ 0,05 N
n > 20 y p≤ 0,05 o n.p ≤ 5