REEMBOLSO DE PRESTAMOS

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CALCULO FINANCIERO
REEMBOLSO DE PRESTAMOS
Unidad V: Teoría del Reembolso de Préstamos 
1. Sistemas de amortización en pagos seriados. Concepto financiero y 
contable.
2. Sistema Francés. Análisis y cálculo de las variables. Construcción de un 
cuadro de marcha. Gráfica del comportamiento de las variables. 
Usufructo y nuda propiedad.
3. Sistema Alemán. Características. Cálculo de sus variables. Vinculación 
con rentas variables. 
4. Sistema Americano o de fondo amortizante. Características y cálculo de 
sus variables. 
5. Método con Interés Cargado. Características y cálculo de sus variables. 
Determinación de la tasa resultante. 
6. Similitudes y diferencias entre los sistemas. 
7. Variantes usuales en los sistemas. IVA sobre los intereses. Corrección 
monetaria por Inflación. Tasa variable. Período de gracia. Pagos 
adicionales. Moneda extranjera. Costo Financiero Total. 
Sistemas 
con pagos 
periódicos 
• Sistema de amortización 
progresiva o “Francés”
• Sistema de amortización real 
constante o “Alemán”
• Sistema Americano o “Sinking 
Fund”
• Método con interés cargado 
(impuro) o “Argentino”
Todos los Sistemas – Simbología General
• V = V0 = Deuda Original
• cp = Cuota Total
• tp = Amortización de capital cuota p
• Ip-1,p = Intereses contenidos en cuota p
• Tp =Amortización Acumulada periodo p
• Vp = Valor deuda luego periodo p
• I0,p = Intereses entre origen y p 
Sistema Francés 
Cada cuota se compone de una porción de interés y 
otra destinada a amortizar capital (denominada 
“amortización real”).
La amortización real de la primera cuota recibe el 
nombre de “Fondo amortizante”  t
Esta amortización en PROGRESIVA
Los Intereses se liquidan sobre Saldo de Deuda. 
La cuota es CONSTANTE 
SISTEMA FRANCES – FORMULA FUNDAMENTAL
V1 = V (1+I) – c
V2 = V1 (1+i) – c = V (1+I) – c) (1+i) – c = V (1+i)
2 – c (1+i) – c
V3 = V2 (1+i) – c = (V (1+i)2 – c (1+i) – c (1+i)- c = V (1+i)
3 – c (1+i)2 – c (1+i) – c
Vn = V (1+i)
n – c (1+i)n-1 – c (1+i)n-2 - …. – c (1-i) – c
Vn = V (1+i)
n – c (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + … + 1
 n términos = Sn
Vn = V (1+i)
n – c Sn
Vn = 0
0 = V (1+i)n – c Sn
V (1+i)n = c (1+i)n – 1
 i
V = c (1+i)n – 1
 (1+i)n i
 
c = V (1+i)n i 
 (1+i)n – 1
V =
 1 - (1+i)-n 
_____________
 i
C
Sistema Francés 
Sistema Francés 
Características Particulares
1. Amortización Periódica
2. Saldo Deudor Decreciente
3. Amortización Creciente P.G.
4. Interés sobre Saldos (sistema puro) 
5. Cuota constante
Sistema Francés
• c = V . a-1(1,n,i)
• t1 = c – V . i = V . s-1(1,n,i)
• tp = t1 . (1+i)p-1
• Ip-1,p = Vp-1 . i = c – tp
• Tp = t1 . s(1,p,i) 
• Vp = V – Tp
• I0,p = p . c – Tp
• I0,n = n . c - V
Sistema Francés
Sistema Francés
Deuda $ 12.000 Plazo 6 años Tasa 24 % Anual Cuota 
Única $ 3.973
$ 0
$ 500
$ 1.000
$ 1.500
$ 2.000
$ 2.500
$ 3.000
$ 3.500
$ 4.000
$ 4.500
1 2 3 4 5 6
Costo Financiero Total (CFT)
0 $ -9.516,00 
1 $ 1.026,23 
2 $ 1.021,75 
3 $ 1.017,18 
4 $ 1.012,49 
5 $ 1.007,69 
6 $ 1.002,78 
7 $ 997,75 
8 $ 992,62 
9 $ 987,36 
10 $ 981,97 
11 $ 976,46 
12 $ 970,83 
C.F.T.
3,7931%
57,29%
Costo Financiero Total (CFT)
El CFT está compuesto por la tasa de interés nominal 
anual (TNA) y por todos aquellos cargos asociados a 
la operación que no implican la retribución de un 
servicio efectivamente prestado o un genuino 
reintegro de gastos.
Estos cargos pueden ser: 
• periódicos, 
• por única vez, 
• un monto fijo, o 
• una tasa calculada sobre el monto del 
préstamo, el capital adeudado o la cuota.
Sistema Alemán
• En la Amortización por el Sistema Alemán los 
intereses se calculan sobre saldo y pago del 
capital constante (igual desde la primera hasta 
la ultima cuota), por lo tanto las cuotas varían 
en forma decreciente.
Sistema Alemán 
Características principales
1. Amortización Periódica
2. Saldo Deudor Decreciente 
3. Amortización constante
4. Interés sobre saldos (sistema puro)
5. Cuota decreciente P.A. 
Sistema Alemán: cálculo de la cuota
Fórmula general 
Cp = V + V. i . [n – (p-1)] 
 n n 
Sistema Alemán
• cp = V/n + V(p-1) . i
• cp = V/n + V . i (1 – (p-1)/n)
• tp = V/n
• Ip-1,p = V/n . (n-p+1) . i
• Tp = V/n . p
• Vp = V – V/n . p
• I0,p = V/n . i . (p + 1) . p/2
• I0,n = V/n . i . (n+1) . n/2
Sistema Alemán
Sistema Alemán
Sistema Alemán
Sistema Alemán
Deuda $ 12.000 Plazo 6 años Tasa 24 % Anual 
Primera Cuota $ 4.880
$ -
$ 1.000
$ 2.000
$ 3.000
$ 4.000
$ 5.000
$ 6.000
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Sistema Alemán: cálculo del saldo 
Momento Saldo
Inicial V
Pagada la cuota 1 V - V/n = V . (1 - 1/n) = V . [ (n-1)/n]
Pagada la cuota 2 V - 2.V/n = V . (1 - 2/n) = V . [ (n-2)/n]
,,,,,,,,,,,,,,,
Pagada la cuota n-2 V - (n-2). V/n = V .[ 1 - (n-2)/n ] = V . [ 2/n]
Pagada la cuota n-1 V - (n-1). V/n = V .[ 1 - (n-1)/n ] = V . [ 1/n]
Sistema Alemán: cálculo de la cuota 
Cuota Capital + Interés
1 V/n + V.i
2 V/n + V . [ (n-1)/n] . i
3 V/n + V . [ (n-2)/n] . i
,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,
n-1 V/n + V . [ 2/n] . i
n-1 V/n + V . [ 1/n] . i
Sistema Alemán
Comprobación de la variación entre cuotas 
Restamos 2 cuotas consecutivas. 
Cuota 2 : V/n + V.i [(n-1)/n] (1)
Cuota 3 : V/n + V.i [(n-2)/n] (2)
Si a (1) le restamos (2) queda: 
V . i
 n
Comparación entre los sistemas
FRANCES
• Amortización Periódica
• Saldo Deudor 
Decreciente
• Amortización Creciente
• Interes sobre Saldo
• Cuota Constante
ALEMAN
• Amortización Periódica
• Saldo Deudor 
Decreciente
• Amortización Constante 
• Interes sobre Saldo
• Cuota Decrecidente
Sistema Americano
 Es una adaptación del sistema de pago único 
de capital y pago periódico de interés, al 
combinarlo con una operación de 
“reconstrucción” del capital.
 Surge para solucionar el problema de 
reinversión afrontado por el prestamista y el 
problema de la dificultad financiera del pago 
íntegro del capital para el deudor.
Sistema Americano
 Por un lado el deudor paga periódicamente los 
intereses sobre el total de su deuda, a una tasa 
activa ia.
 Por otro lado deposita periódicamente una suma 
constante en una cuenta que generará un valor 
final V que permita cancelar el crédito al 
momento n, a una tasa pasiva ip
Sistema Americano
Características principales
1. Amortización Unica
2. Saldo Deudor Constante 
3. Fondo Amortizante Voluntario a Tasa Pasiva
4. Interés a Tasa Activa s/Deuda Original (sistema 
puro)
5. Cuota Obligatoria + Voluntaria Constante. 
Sistema Americano
La cuota total a pagar será:
C = V . ia + V . s-1(1,n,ip)
Sistema Americano
• cp = V . i p ≠ n
• cn = V + V . i
• tp = 0 p ≠ n
• tn = V
• Ip-1,p = V . i
• Tp = 0 p ≠ n
• Tn = V
• Vp = V p ≠ n
• Vn = 0
• I0,p = V . i .* p
• I0, n = V . i . n
• Ip, p + k = V . i . k
Sistema Americano
Sistema Americano Puro
Sistema Americano Puro
Sistema Americano Puro
Sistema Americano
Sistema Americano
Sistema Americano
Deuda $ 12.000 Plazo 6 años Tasa Activa 24 % Anual Tasa 
Pasiva 20 % Anual Cuota Total $ 4.088,47
$ -
$ 500
$ 1.000
$ 1.500
$ 2.000
$ 2.500
$ 3.000
$ 3.500
$ 4.000
$ 4.500
1 2 3 4 5 6
Sistema Americano
  Fondo Periodo Interes  Fondo Acumulado
1  $        1.208,47   $            -     $          1.208,47 
2  $        1.208,47   $     241,69   $          2.658,63 
3  $        1.208,47   $     531,73   $          4.398,83 
4  $        1.208,47   $     879,77   $          6.487,06 
5  $        1.208,47   $  1.297,41   $          8.992,94 
6  $        1.208,47   $  1.798,59   $         12.000,00 
$ -
$ 2.000
$ 4.000
$ 6.000
$ 8.000
$ 10.000
$ 12.000
$ 14.000
$ 16.000
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Métodos Directos
• Son sistemas “impuros” porque no calculan intereses 
sobre saldos.
• Realizan el cálculo del interés total de la operación al 
inicio de lamisma, de manera “directa” sobre el total 
del préstamo y luego lo distribuyen a lo largo del 
plazo de amortización.
• El efecto económico que provocan es un costo 
efectivo superior al enunciado (TASA CARGADA).
Interés Cargado – Tasa Directa
Características principales
1. Amortización Periódica
2. Saldo Deudor Decreciente
3. Amortización Constante.
4. Interés sobre Deuda Original (sistema impuro) 
5. Cuota constante
Interés Cargado – Tasa Directa
V = Préstamo
C = Cuota
r = tasa directa de interés acumulado
n = cantidad de cuotas
 Procedimiento:
a) Se calcula el interés total aplicando la tasa “r” sobre el total 
del préstamo “V”, y se lo multiplica por la cantidad de cuotas 
“n”.
b) El importe de cada cuota surge de la suma del préstamo 
más el interés, dividido por la cantidad de cuotas.
Interés Cargado – Tasa Directa
I = V.r.n
 V + V.r.n
C = ---------------------
 n
 
 V V.r.n 1
C = ----- + -------- => C = V [ ----- + r ]
 n n n
Método de Interés Cargado
• cp = V/n + V . r
• tp = V/n
• Ip-1,p = V . r
• Tp = V/n . p
• Vp = V/n . (n – p)
• I0, p = V . r . p
• I0, n = V . r . n
• V = c . a(1,n,i) se despeja i y se obtiene la tasa sobre saldos 
(por interpolación lineal o por fórmula de Baily)
Método Interés Cargado
Método Interés Cargado
Método de Interés Cargado
Deuda $ 12.000 Plazo 6 años Tasa Activa 24 % Anual 
Cuota Única $ 4.880,00 
$ -
$ 1.000
$ 2.000
$ 3.000
$ 4.000
$ 5.000
$ 6.000
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Relaciones con el sistema francés 
A partir de la igualación de cuotas es posible establecer 
equivalencias entre “r” e “i”
C = C
 1 i (1+i)n
 V [ ----- + r ] = V --------------
 n (1+i)n – 1
Siendo V = V
 i (1+i)n 1
 r = -------------- - -------
 (1+i)n – 1 n
Relaciones con el sistema francés
Cálculo de “i” en función de “r”
No resulta posible despejar “i” por pasaje de términos.
Al encontrarnos con una renta constante es posible 
determinar la tasa mediante los métodos desarrollados en el 
“Sistema Francés” (Bayli, Aproximaciones sucesivas”).
Interés Cargado – Tasa Directa
Interés Cargado – Tasa Directa
Interés Cargado – Tasa Directa
Comparación entre los sistemas
AMERICANO
• Constitución de un 
Fondo Amortizante
• Saldo Deudor Constante
• Amortización unica al 
finalizar el plazo.
• Interes sobre Deuda 
Original 
• Cuota Constante
ARGENTINO
• Amortización Periódica
• Saldo Deudor 
Decreciente
• Amortización Constante
• Interes sobre Deuda 
Original
• Cuota Constante
Usufructo – Nuda Propiedad
• Según el Código Civil se entiende por:
• usufructo: derecho real de usar y gozar una cosa cuya 
propiedad pertenece a otra persona
• nuda propiedad: dominio de una cosa dada en usufructo
• propiedad plena de una cosa: cuando se tiene la nuda 
propiedad y se goza del usufructo
• Al negociar la deuda el acreedor puede transferir los derechos 
en su totalidad o segregados, esto es por un lado los 
intereses de la deuda (usufructo del financiamiento) y por 
otro lado el capital adeudado (nuda propiedad del 
financiamiento). 
Usufructo – Nuda Propiedad
• Se considera usufructo del financiamiento al valor actual de los 
intereses, que denominaremos en adelante como usufructo
• Se considera nuda propiedad del financiamiento al valor actual de las 
amortizaciones que denominaremos en adelante como nuda propiedad.
• El acreedor al transferir la deuda lo hace a una tasa de valuación la que 
puede coincidir o no con la tasa de interés pactada originariamente.
• Usufructo  Valor actual de los intereses
 
• Nuda Propiedad  Valor actual de las amortizaciones
 
• Propiedad plena  Saldo adeudado
 
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	Unidad V: Teoría del Reembolso de Préstamos
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	Todos los Sistemas – Simbología General
	Slide 5
	SISTEMA FRANCES – FORMULA FUNDAMENTAL
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	Slide 8
	Sistema Francés
	Sistema Francés
	Slide 11
	Sistema Francés
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	Slide 14
	Slide 15
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	Costo Financiero Total (CFT)
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	Costo Financiero Total (CFT)
	Sistema Alemán
	Slide 21
	Slide 22
	Sistema Alemán
	Sistema Alemán
	Sistema Alemán
	Sistema Alemán
	Slide 27
	Sistema Alemán
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Comparación entre los sistemas
	Sistema Americano
	Sistema Americano
	Sistema Americano
	Sistema Americano
	Sistema Americano
	Sistema Americano
	Sistema Americano Puro
	Sistema Americano Puro
	Sistema Americano Puro
	Sistema Americano
	Sistema Americano
	Sistema Americano
	Sistema Americano
	Métodos Directos
	Interés Cargado – Tasa Directa
	Interés Cargado – Tasa Directa
	Interés Cargado – Tasa Directa
	Método de Interés Cargado
	Método Interés Cargado
	Método Interés Cargado
	Método de Interés Cargado
	Relaciones con el sistema francés
	Relaciones con el sistema francés
	Interés Cargado – Tasa Directa
	Interés Cargado – Tasa Directa
	Interés Cargado – Tasa Directa
	Comparación entre los sistemas
	Usufructo – Nuda Propiedad
	Usufructo – Nuda Propiedad