Matemática 5to- Ecuación y función cuadrática

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INSTITUTO SANTA MARÍA D- 8 
Matemática 5to Humanidades 
Prof. Guido Facundo Sosa 
 
 
 Ecuaciones de segundo grado 
Las ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, son aquellas en que la variable 
aparece elevada al cuadrado. 
 
Por ejemplo: 
Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, ya que la variable está elevada al 
cuadrado, este exponente indica la cantidad de soluciones. 
 
Existe una expresión capaz de resolver estos tipos de ecuaciones, que nos facilita 
mucho el trabajo, se llama resolvente o ecuación de Bhaskara, en nombre al 
matemático hindú que la dedujo: 
 
 
 
 
Con esta expresión podemos encontrar las dos soluciones de las ecuaciones cuadráticas. Veamos 
un ejemplo: 
Sacamos en limpio los coeficientes: a=1 b=3 c=-4 
Ahora reemplazamos en la ecuación de Bhaskara: 
Bienvenidos a una nueva clase de 
matemática. En esta oportunidad vamos 
a ver de qué se tratan las ecuaciones de 
segundo grado y las funciones 
cuadráticas. 
¿Cómo resolvemos las ecuaciones cuadráticas? 
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Discriminante: Este parámetro nos indica si las ecuaciones cuadráticas tienen dos 
soluciones distintas, una solución o ninguna solución. 
 La ecuación tiene 2 soluciones Reales distintas. 
 La ecuación tiene una solución Real. 
 La ecuación NO tiene soluciones Reales. 
 
 
 
Resolvemos lo que está dentro de la raíz 
Calculamos la raíz cuadrada 
Ahora vamos a trabajar por un lado 
con la suma y por otro con la resta 
Estas son las dos soluciones 
de la ecuación cuadrática. 
Las ecuaciones cuadráticas, no 
siempre tienen soluciones. Pero 
¿cómo sabemos si una ecuación 
cuadrática tiene soluciones? 
El DISCRIMINANTE es la expresión que se 
encuentra dentro de la raíz en la expresión de 
Bhaskara: 
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Utilizando el discriminante, determinar si las siguientes ecuaciones tienen soluciones 
o no: 
1) 
 
 
 
 
Calcular las soluciones de las ecuaciones cuadráticas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función cuadrática 
 
Veamos el siguiente problema… 
“Marcelo es repartidor de diarios en la ciudad de Paraná y excelente ciclista. 
Para mantener su estado físico y poder competir, debe entrenarse 
continuamente, por lo que ha decidido efectuar el reparto en bicicleta. 
Todas las mañanas va arrojando los diarios uno a uno en las puertas de sus 
clientes sin detenerse y, así, se entrena mientras trabaja. 
La distancia al puesto de diarios (en kilómetros) a la que se encuentra en 
cada momento durante su jornada de trabajo está expresada en función del 
tiempo (en horas) mediante la siguiente fórmula: 
Desafío 1 
Desafío 2 
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Una forma de calcular los km que se recorren en t horas, 
es reemplazar cada valor de t en la fórmula dada, como 
lo hacíamos en los años anteriores con Función lineal. 
 
 
 
 
Observando el gráfico responde: 
I) ¿Cuántas horas dura el recorrido? 
II) ¿Cuántos kilómetros hace diariamente para completar el reparto? 
 
Si miramos la fórmula que estuvimos trabajando recientemente: 
Vemos que la variable t está elevada al cuadrado, eso quiere decir que estamos 
trabajando con una función cuadrática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desafío 3 
DEFINICIÒN: 
“Se denomina función cuadrática a toda función de la forma: 
 
Donde los coeficientes y son números reales, siendo . 
 
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Elementos de la gráfica de una 
función cuadrática son: 
 Raíces 
 Vértice 
 Eje de simetría 
 Ordenada al origen 
 
 
¿Cómo graficamos la parábola a partir de los elementos? 
 
1ª 
Raíces 
 
 
 
 se marcan sobre el 
eje “x” 
2ª 
Vértice 
 
 
 
 
 
 
Se marca el punto ( 
3ª Eje de 
simetría 
 
 
 
 
Se marca la recta vertical 
 
4ª Ordenada al 
origen 
(0;C) Se marca sobre el eje “y” 
 
 
 
 
 
Todos estos elementos se calculan con los coeficientes 
de la función cuadrática y se ubican en un sistema de 
ejes coordenados, tal como se muestra en la imagen. 
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 Completar el cuadro calculando los elementos de las parábolas y graficar: 
 
Raíces 
Vértice 
Eje de 
simetría 
 
Ordenada al 
origen 
 
 
 
Observar atentamente las parábolas e indicar sus elementos (raíces, vértice, eje de 
simetría, ordenada al origen): 
 
 
 
Antes de resolver los problemas repasamos: 
 
 
 
 
En este video también pueden ver el 
cálculo de los elementos: 
https://youtu.be/-8LCil4aMmQ 
 
Desafío 5 
Desafío 4 
https://youtu.be/-8LCil4aMmQ
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1) “Festival de 5to año 
Para la realización de un festival musical para recaudar fondos para 5to. 2da., 
se determinó que los costos iniciales eran de . A partir de los datos que 
se conocen de festivales anteriores se construyó una función que relaciona el 
precio de la entrada con las ganancias , en pesos, de modo de poder 
realizar estimaciones: 
 . 
a) Grafica, sin tabular, la función de la situación problemática.” 
b) Responde: 
I) ¿Cuáles serán los precios que se puede cobrar la entrada de forma tal que no se 
pierda dinero? 
II) Si la entrada tiene un costo de , ¿cuál es la ganancia? 
III) ¿Cuál es la máxima ganancia que se puede obtener en el festival? 
IV) ¿Para qué valores de la entrada, la ganancia crece? ¿Y para qué valores 
decrece? 
2) Un agente secreto debe rescatar a su amada de las manos de un malvado truhán que la tiene 
prisionera en una gruta en la montaña. Para ello se lanza con un ala delta desde la cima. Su 
altura (en metros) medida durante 15 minutos está dada por la siguiente función: 
 
Nuestro héroe sabe que a los 8 minutos de partir encontrará a su bella amada. 
a) ¿Desde qué altura partió? 
b) ¿A qué altura se encuentra prisionera la dama? 
c) ¿Cuánto tiempo le lleva alcanzar la altura mínima? ¿cuál es dicha altura? 
 
Desafío 6 
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3) Natalia es una médica que trabaja en un importante sanatorio. En este invierno se 
desencadenó una epidemia de gripe. La siguiente función determina la cantidad de pacientes 
(p) que ingresan al sanatorio después de t días a partir del 1 de julio, día en que comienza la 
epidemia: 
a) ¿cuál fue el día que ingresaron más pacientes? 
b) ¿Cuál fue la cantidad máxima de pacientes que ingresaron durante la epidemia? 
c) ¿cuánto duró la epidemia? 
d) ¿qué día ingresaron 3960 pacientes? 
e) ¿Cuántos pacientes ingresaron el 7 de agosto? 
 
4) Un grupo de científicos estudia la composición del aire entre las hojas del follaje en un campo. 
Se observó que la concentración de anhídrido carbónico varía según las horas del día. Se han 
tomado datos durante las 24 horas de un día y se ha llegado que la concentración c, medida 
en volumen por millón, está dada por la expresión:a) ¿Cuándo es menor la concentración? 
b) ¿cuándo decrece y cuándo aumenta la concentración? 
 
5) En una isla deshabitada se introduce una cierta cantidad de insectos el 23 de enero de 2008. 
La siguiente función permite calcular la cantidad de insectos que hay en la isla después de x 
días: 
a) ¿cuánto insectos se introdujeron en la isla? 
b) ¿qué día fue mayor la población de insectos? 
c) ¿cuál es la mayor cantidad de insectos que llegó a haber en la isla? 
d) ¿cuántos insectos había en la isla el 12 de abril de 2008? 
e) ¿cuándo se extinguieron los insectos? 
 
6) En la película Atlantis una nave acuática se sumerge en el océano, alcanzando profundidades 
increíbles. Esta profundidad viene dada por la función: 
a) ¿qué profundidad alcanza a las 5 horas? ¿Y a las 6horas? 
b) ¿En qué momento alcanza 660m de profundidad? 
c) ¿A partir de cuántas horas alcanza la mayor profundidad? ¿cuál es esa mayor 
profundidad?