Método-de-Horner-para-Primero-de-Secundaria

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DIVISIÓN ALGEBRAICA II
	
Observa que:
39 > 8 y 7 < 8
Luego siempre se cumple que:
D d y r < d
Compruébalo con otros ejemplos.
comparemos
	Ejemplo:
39 8	(D)	Dividendo = 25
32 4	(d)	Divisor = 7
 7	(q)	Cociente = 3
	(r)	Resto = 4
	Luego se cumple:Al igual que con los números naturales, con los polinomios debe cumplirse:
D d y r < d
Pero respecto al grado así:
		39 = 3 . 4 + 7
		 D = d q r
	
	Ejemplo:
	De la división de polinomios:Grado del Divisor
Grado del Dividendo
	x2 + 5x + 7	x + 2	D(x) = x2 + 5x + 7
			x + 3	d(x) = x + 2<
Grado del Divisor
Grado del
Resto
		1		q(x) = x + 3
				r(x) = 1
	Puedes comprobar mediante multiplicación que:
x2 + 5x + 7 = (x + 2)(x + 3) + 1En el ejemplo anterior ¿cómo se halló el cociente y el resto? Resolvamos esta inquietud
1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
MÉTODO DE HORNER
	Para poder aplicar este método los polinomios dividendo y divisor deben ser completos y ordenados descendentemente y si faltase algún término se completará con ceros.
Ejemplo:
	Dividir: 8x + 3x2 + 11 entre 2 + x
Sabías que
Horner invento su método en 1819
	Ordenemos los polinomios dividendo y divisor
		D(x) = 3x2 + 8x + 11		d(x) = 3x + 2
	Luego:	Coeficientes del Dividendo: 3, 8, 11
		Coeficientes del Divisor: 3, 2
	Ubicamos estos coeficientes en el siguiente esquema:
Coeficientes del Dividendo
Coeficientes
Del divisor
Con signo cambiado
+

+
Coeficientes del
Cociente
Coeficientes del Resto
observa
Las operaciones que se realizan se repiten primero se divide luego se multiplica después sumamos para nuevamente dividir y así sucesivamente.
	De esta manera:
3
3
8
11
-2
Con signo cambiado
Número de espacios igual al Grado del Divisor
	Y procedemos del siguiente modo:
3
3
8
11
-2
1
=
Dividimos:
3
3
8
11
-2
1
Sumamos:
6
+
3
3
8
11
-2
1
x
Multiplicamos:
-2
=
3
3
8
11
-2
1
Sumamos:
2
+
-2
-4
7
3
3
8
11
-2
1
x
Multiplicamos:
-2
=
-4
2
3
3
8
11
-2
1
Dividimos:
=
2
recuerda
 
	Luego el esquema resulta:
Luego la línea punteada solo se suma.
Además el cociente y resto que se obtienen están completos y ordenados decrecientemente.
3
3
8
11
-2
1
2
-4
7
-2
Coef. del
Cociente
Coef. del
Resto
			q(x) = 1 . x + 2 = x + 2
			R(x) = 7
· Dividir: 4x3 + 4x2 + 1 – 3x entre x + 2x2 - 3
Ordenemos:
	D(x) = 4x3 + 4x2 – 3x + 1	Ubicamos los coeficientes2
4
4
-3
-1
signo cambiado
2 espacios porque el grado del divisor es 2.
1
3
	d(x) = 2x2 + x – 3		en el esquema:
Procedemos:
Sumamos:
Multiplicamos:
Dividimos:
2
4
4
-3
-1
1
3
2
x
2
4
4
-3
-1
1
3
2
-2
6
+
2
2
4
4
-3
-1
1
3
2
x
x
-2
6
Multiplicamos:
2
4
4
-3
-1
1
3
2
-2
6
1
-1
3
=
=
x
x
Sumamos:
2
4
4
-3
-1
1
3
2
-2
6
+
1
-1
3
+
2
4
Dividimos:
2
4
4
-3
-1
1
3
2
-2
6
1
=
Si el resto de una división no es nulo (R(x) 0) entonces la división se llama inexacta.
Resumiendo:
2
4
4
-3
-1
1
3
2
-2
6
+
1
-1
3
+
2
4
+
x
		Q(x) = 2x + 1
		R(x) = 2x + 4
1
14
-3
-3
3
4
-4
1
3
+
0
0
+
0
0
+
x
5
-4
1
+
0
3
-4
· 
Dividir: 				Si el resto de una división es nulo (R(x) 0) entonces la división se llama exacta.
									Q(x) = 1 . x2 + 0x + 1	; R(x) 0
									Q(x) = x2 + 1
		
¡Ahora tu!
5
10
11
1
4
3
+
2
7
+
x
· 
Dividir: 
	Q(x) =
	R(x) = 
3
6
-8
0
8
2
+
-2
+
x
· 
Dividir: 		
	Q(x) =
	R(x) =
· 
Dividir: 	3
15
-3
0
0
5
-2
0
-10
0
2
x
	Q(x) =
	R(x) =
· 
Dividir: 
	Q(x) =
	R(x) =
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
www.RecursosDidacticos.org
I.	Hallar el cociente en las siguientes divisiones:
1. 
a) x + 5		b) x + 1		c) x
d) x – 2		e) x + 3
2. 
a) x – 1		b) x + 3		c) x + 7
d) x – 7		e) x - 3
3. 
a) x2 + 2x – 3	b) x2 - 2x – 3	c) x2 + 2x + 3
d) x2 - 2x – 8	e) -x2 + 2x + 3
II.	Hallar el residuo en las siguientes divisiones:
4. 
a) -1		b) 5		c) 3
d) 6		e) 2
5. 
a) 8		b) 1		c) -2
d) 4		e) -8
6. 
a) 1		b) 2		c) 3
d) -8		e) 9
7. 
a) 7x		b) 3		c) 7x + 7
d) 7		e) 2x - 1
8. 
a) 5		b) 2x + 4	c) 3x - 1
d) x – 1		e) 2x - 2
9. 
a) 4x2 + 3		b) 1		c) 3x - 1
d) 7x + 1		e) 7x
10. 
a) 3x – 1		b) 2x2 + 1	c) 4
d) x2 + 3		e) 3x2 - 8
11. Indicar el término independiente del resto en la siguiente división:
a) 1		b) 3		c) 4
d) 7		e) 2
12. Indicar si la siguiente división es exacta o inexacta.
Si es inexacta indicar el resto.
a) Es exacta	b) 1		c) 2x
d) 3		e) 4x - 2
13. En la siguiente división:
Calcular la suma de coeficientes del cociente.
a) -1		b) 2		c) 0
d) 3		e) 1
14. Dada la siguiente división exacta:
Hallar el mayor coeficiente del cociente.
a) 3		b) 2		c) -1
d) 1		e) -2
15. Hallar “b” si la siguiente división: 
es exacta:
a) 13		b) 12		c) 14
d) 15		e) 2
TAREA DOMICILIARIA Nº 2
I.	En las siguientes divisiones hallar el cociente:
1. 
a) x – 2		b) x + 3		c) x + 4
d) x + 1		e) x
2. 
a) 4x + 1		b) 2		c) x + 7
d) x + 5		e) x – 7	
3. 
a) 2		b) 1		c) 0
d) 3		e) 5
II.	Hallar el residuo en las siguientes divisiones:
4. 
a) 3		b) 5		c) -3
d) -5		e) 1
5. 
a) 3		b) 7		c) 0
d) 1		e) -1
6. 
a) 5x		b) 4		c) 2x
d) –x		e) 0
7. 
a) 0		b) 1		c) 2x
d) x + 1		e) 7
8. 
a) x + 1		b) 0		c) x - 1
d) x 		e) 2x + 1
9. 
a) 2x2 – 1		b) x2 – 2	c) 3x2 + 1
d) 3x2 – 1		e) 0
10. 
a) x – 1		b) x + 2		c) x - 3
d) x – 4		e) 0
11. En la siguiente división:
Indicar el término independiente del resto.
a) 0		b) 7		c) 1
d) 2		e) -1
12. Indicar si la siguiente división:
Es exacta o inexacta. Si es inexacta indicar el residuo.
a) Es exacta	b) 5		c) 2
d) -1		e) 1
13. En la siguiente división:
Indicar la suma de coeficientes del cociente.
a) -1		b) 0		c) 2
d) 1		e) 3
14. En la siguiente división:
Señalar el mayor coeficiente del cociente.
a) 1		b) 3		c) 2
d) -1		e) -3
15. Hallar “b” en la siguiente división exacta:
a) 15		b) 3		c) 7
d) 12		e) -7
Glosario
· GRADO	:	Característica que solo poseen los polinomios y esto dado por los exponentes de las variables. Cuando el polinomio posee una sola variable el grado es el mayor exponente que presenta.
Ejemplo:
P(x) = 3x + 5x2 – 2 + x4 + 3x3	Polinomio de Grado 4
· POLINOMIO COMPLETO	:	Es aquel polinomio que posee todos los exponentes desde cero hasta un máximo.
· POLINOMIO ORDENADO	:	Es aquel polinomio cuyos exponentes están ordenados en forma creciente o decreciente.
· COEFICIENTE	:	La parte constante de un monomio. También se considera a un término independiente.
4
x
3
x
4
x
3
x
5
x
3
x
2
3
2
4
+
-
+
-
+
-
2
x
5
1
x
11
x
10
2
-
+
+
2
x
3
0
x
8
x
6
2
x
3
x
8
x
6
2
2
+
+
-
=
+
-
2
x
0
x
3
5
x
0
x
3
x
15
2
x
3
x
3
5
x
15
2
2
3
2
2
3
+
+
+
+
-
=
+
-
+
x
1
x
2
1
x
5
x
6
x
8
2
2
3
-
+
-
+
-
3
x
18
x
8
x
2
+
+
+
2
x
7
x
5
x
2
-
-
+
1
x
7
x
5
x
3
x
2
3
+
+
+
+
1
x
3
4
x
x
6
2
-
+
+
2
x
5
22
x
9
x
33
x
10
2
3
+
-
+
-
x
2
x
3
x
12
9
x
27
2
3
+
-
+
3
2
2
4
x
4
x
5
7
x
25
x
7
x
16
+
-
+
-
+
5
x
3
14
x
3
x
21
x
44
2
4
2
+
+
+
+
4
x
3
x
2
x
18
13
x
32
x
2
x
16
3
3
2
5
-
+
+
+
-
-
2
x
5
x
16
7
x
15
x
35
3
2
3
5
+
+
+
+
1
x
3
x
2
6
x
2
x
x
6
2
2
3
-
+
-
+
+
-
3
x
6
x
9
x
2
x
3
2
2
3
+
+
+
+
4
x
5
x
4
x
2
x
3
2
3
5
+
-
+
-
1
x
2
x
2
x
x
x
2
2
3
4
+
-
-
+
3
x
b
x
8
x
2
+
+
+
4
x
10
x
7
x
2
+
+
+
5
x
42
x
12
x
2
-
+
-
2
x
2
x
3
x
3
x
2
3
+
+
+
+
2
x
3
3
x
3
x
9
2
-
+
-
3
x
4
3
x
10
x
x
8
2
3
+
-
+
-
2
2
3
x
5
x
3
x
27
x
11
x
20
+
+
+
x
5
x
4
x
25
x
15
7
x
12
x
20
2
3
2
4
+
+
-
+
-
2
4
2
x
5
2
x
15
x
26
x
9
+
-
+
-
+
3
x
2
7
x
4
x
27
x
16
3
3
2
5
+
-
-
+
3
3
2
5
x
2
5
8
x
2
x
x
35
x
14
-
-
+
+
+
-
1
x
3
x
6
x
2
x
x
6
2
2
3
+
+
+
+
-
3
x
6
x
x
2
2
4
+
-
+
1
x
5
x
x
2
x
4
4
5
+
+
+
-
1
x
2
6
x
2
x
3
x
6
3
3
4
-
+
+
-
3
x
b
x
7
x
2
+
+
+