Practico 5 Funciones

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Matemática para Informática
Primer Cuatrimestre 2017
Trabajo Práctico N� 5
Relaciones. Función Lineal. Función cuadrática
Clasi�cación de funciones.
Objetivos
El estudiante debe ser capaz de:
� Identi�car y discriminar, analítica y grá�camente, relación de función.
� Identi�car elementos de una función lineal y representarla grá�camente y recíprocamente a partir
de la grá�ca de una función lineal identi�car sus elementos.
� Identi�car una función cuadrática y a partir de sus elementos representarla grá�camente y viceversa.
� Plantear y resolver problemas concretos modelizados a través de funciones lineales y cuadráticas.
� Clasi�car funciones.
Duración: Nueve (9) horas.
1. En cada caso representa el producto cartesiano que se indica y realiza la grá�ca correspondiente:
(a) A�B y B �A donde A = f0; 3; 7g; B = f�1; 5g:¿Se cumple que A�B = B �A ?.
(b) Dado S = f0; 1; 2g: Realice S � S:
(c) I � J donde I = fx 2 R j �3 � x < 3g, J = fy 2 R j �2 � y � 3g:¿ Se cumple que
I � J = J � I ?
2. Sea R una relación de A en B. En cada caso representa grá�camente, indica su dominio, imagen y
encuentra la relación inversa de la misma.
(a) A = fa; b; cg; B = fs; t; u; vg y R = f(c; s); (c; t); (a; u); (a; v); (b; s); (b; t)g
(b) A = f2; 3; 4; 5g; B = f3; 6; 7; 10g y R de�nida por: (x; y) 2 R si y sólo si y es divisible por x.
(c) R = f(m;n) 2 Z� Z j n = m+ 2g
(d) R = f(x; y) 2 R� R j x2 + y2 = 4g
3. Si A = f2; 3; 7g y B = f1; 4; 5; 9g, determinar las siguientes tres relaciones de�nidas de A en B.
(a) R1 = f(2; 1); (3; 1); (7; 1)g
(b) R2 = f(2; 4); (2; 5); (3; 4); (3; 5); (7; 9)g
(c) R3 = f(2; 4); (3; 5); (7; 9)g
4. Sean A = f1; 2; 3g; B = f2; 4; 6; 8g; C = fs; t; ug y las relaciones: R : A! B dada por:
R = f(1; 2); (1; 6); (2; 4); (3; 4); (3; 6) ; (3; 8)g y S : B ! C dada por S = f(2; u); (4; s); (4; t); (6; t) ; (8; u)g
Encuentra si es posible: (a) S � R, (b) R � S, (c) R�1 � S�1 (d) (S � R)�1
5. Dadas las siguientes relaciones sobre A decide si es una relación de equivalencia o de orden. Justi�ca.
(a) R = f(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 4); (4; 3); (3; 3); (4; 4)g con A = f1; 2; 3; 4g
(b) T = f(a; b); (a; a); (b; c); (b; b); (c; c); (c; b); (d; d); (b; a)g con A = fa; b; c; dg
(c) La relación de inclusión de conjuntos ¿es una relación de orden o de equivalencia?
6. En R se de�ne la siguiente relación aRb ! a2 � b2 = a � b: Demostrar que R es una relación de
equivalencia.
1
7. Dada las siguientes relaciones decide si son relaciones funcionales, funciones o ninguna. Justi�ca.
(a) V = f(�2; 4); (�1; 0); (1; 0); (0; 1); (2; 3)g
Donde V : A! B , donde A = f�2;�1; 0; 1; 2g y B = fx j x 2 Z ^ jxj � 4g
(b) R = f(x; y) 2 R+0 � R j y2 = xg
(c) (d)
8. Indica el dominio para que cada ley de�na una función.
(a) f(x) = 2x� 3 (b) g(x) =
p
x2 � 4 (c) h(x) = x+2x�1
(d) r(x) =
x+ 1
x2 � 1 (e) s(x) =
x+ 3
x2 + x� 6 (c)t(x) =
3x2 � 2
2
p
1� x
9. Representa grá�camente cada una de las funciones de�nidas:
(a) f : f�2;�1; 0; 1; 2g ! f�8; 0;�1; 1; 8g
x 7! f(x) = 3
p
x
(b) f : R ! R
x 7! f(x) = x+ 1
(c) f : Z ! Z
x 7! f(x) = x2 � 1
(d) f : R ! R
x 7! f(x) =
8<: x+ 2 si x � �11� x si �1 < x < 2
1 si x � 2
10. Escribe la ecuación de la recta que satisface la condición dada en cada caso:
(a) pendiente
�3
2
(b) pasa por los puntos
y pasa por el punto (1; 1) (�3; 1) y (3;�2)
(c) pasa por el punto (3; 1) y es (d) pasa por el punto (1;�5) y es
perpendicular a la recta y = 2x+ 1 paralela a la recta y = � 32x+ 2
11. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas
(a) f (x) = 12x
2 (b) g (x) = �x2 + x+ 2 (c) h (x) = (x+ 2)2 � 1
(d) t (x) = x2 � 2x (e) s (x) = (x� 3) (x+ 1) (f) r (x) = x2 + x+ 1
Determina: (a) concavidad; (b) indica la naturalezade sus raíces (sin hallarlas); (c) intersecciones
con los ejes; (d) eje de simetría y las coordenadas del vértice, explica si dicho vértice es el valor
máximo o mínimo de la función; (e) dominio e imagen; (f) exprésala en forma factorizada y su
forma canónica; (g) represéntala grá�camente.
12. De acuerdo a los datos proporcionados expresa algebraicamente las funciones cuadráticas:
2
(a) V = (3;�2) y la ordenada (b) El vértice es V = (�2; 3)
al origen es 7 y pasa por el punto (3;�1)
(c) Uno de sus ceros es x = �1 (d) pasa por los puntos
y el vértice del grá�co es (2; 2) (�1; 1) ; (�1;�1) y (�5; 0)
(e) (f)
13. Dados los conjuntos M = f0; 1; 2; 3g y N = fa; b; c; dg, clasi�ca las funciones f :M ! N
(a) f = f(2; b); (1; d); (3; c); (0; d)g (b) f = f(0; c); (1; a); (3; b); (2; b)g
14. De�ne grá�camente una función f : A! B tal que sea:
(a) inyectiva pero no sobreyectiva.
(b) sobreyectiva pero no inyectiva.
(c) biyectiva.
(a) Demuestra que la función lineal f : R! R dada por f (x) = 3x+ 2 es biyectiva.
(b) Muestra que la función f : R! R dada por f (x) = x2 � 1 no es biyectiva.
(c) Muestra que la función f : [�1; 1]! R dada por f (x) =
p
1� x2 no es biyectiva.
15. Establece dominio y codominio para que las siguientes funciones sean biyectivas.
(a) f (x) = x2 + x+ 1 (b) f (x) =
2x
x+ 3
16. Un auto comprado hoy en $200:000 disminuye su valor linealmente a lo largo del tiempo transcurrido
a partir de su compra. Sabiendo que al cabo de 3 años de uso su precio será de $170:000:
(a) Halla la fórmula que expresa el precio p en función del tiempo t. En la fórmula encontrada
indica el signi�cado tanto de la pendiente como de la ordenada al origen teniendo en cuenta
la situación que se modeliza.
(b) ¿A cuánto podrá venderse el auto luego de 10 años de uso?
17. La función N(t) = 0:0054t2 � 1:46t + 95:11 puede usarse para calcular en promedio el número de
años de esperanza de vida restante para una persona de t años de edad, en donde 30 � t � 100.
(a) Calcule la esperanza de vida restante para una persona de 50 años de edad.
(b) Si una persona tiene una esperanza de vida restante de 14:3 años, calcule su edad actual.
Bibliograf�{a
1. Swokowsky & Cole (2008). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Novena Edición.
Mexico: International Thomson
2. Zill. D. & Dewar, J.(1995). Algebra y Trigonometría. Segunda Edición revisada. Mexico: Mc Graw
Hill.
3. Stewart, J.. & Redlin, L. & Watson, S. (2007). Precálculo. Quinta Edición Thomson.Mexico: Mc
Graw Hill.
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