Practico 6 Funciones

Vista previa del material en texto

Matemática para Informática
Primer Cuatrimestre 2017
Trabajo Práctico N� 6: Algebra de Funciones. Función Inversa
Función exponencial y logarítmica
Objetivos:
El estudiante deberá ser capaz de:
� Realizar operaciones con funciones analizando dominios previos y resultantes.
� Adquirir el concepto de función inversa entre conjuntos.
� Adquirir destreza en la composición de funciones.
� Decidir si una función es inversible aplicando las restricciones convenientes para que lo sea.
� Adquirir dominio en el manejo de propiedades de logaritmos.
� Resolver diferentes situaciones que puedan modelizarse mediante una función exponencial o una
función logarítmica.
Duración: Nueve (9) horas.
1. Para las siguientes funciones realiza las operaciones que se indican, y determina el dominio de las
mismas:
(a) h : R! R j h(x) = 2
p
x+ 2, g : R! R j g(x) = 2
p
1� x
(i) h+ g (ii) h� g (iii) h � g (iv) h
g
(b) f : [�5; 5]! R j f(x) = 2
p
25� x2, g : [�1;1)! R j g(x) = 2
p
x+ 1 h : R! R j g(x) = x2 � 4
(i) (f + g) (3) (ii) (g � h) (3) (iii)
�
g
f
�
(2) (iv)(f � g) (2)
(c) f : R! R j f(x) =
�
x+ 2 si x > 1
1� x si x � 1 , g : R! R j g(x) =
�
x2 + x si x > 1
1� x2 si x � 1
(i) f + g (ii)
g
f
(iii) f=g .
2. Realiza las composiciones de funciones f � g y g � f , y determina los respectivos dominios.
(a) f : R! R j f(x) = �1� x2 g : [1;1)! R j g(x) = 2
p
x� 1
(b) f : R! R j f(x) = x2 � x+ 5 g : R! R j g(x) = �x+ 4
(c) f : R�
�
1
2
	
! R j f(x) = 12x�1 g : R! R j g(x) = x
2 + 1
(d) f : R+0 ! R j f(x) = 2
p
x g : R! R j g(x) = x2 � 5
3. De�na función Inversa y veri�ca, en cada caso, si las funciones indicadas son inversas entre sí:
(a) f : R! R j f(x) = 5x� 7; g : R! R j g(x) = x
5
+
7
5
(b) f : R�f�1g ! R�f0g j f(x) = 2
x3 + 1
; g : R�f0g ! R� f�1g j g(x) = 3
r
2� x
x
(c) f :
�
1
2
;1
�
! R j f(x) = 3�
p
2x� 1 g : R!
�
1
2
;1
�
j g(x) = 1
2
(3� x)2 + 1
4. Encuentra, en caso de ser posible, la función inversa de la función indicada. En caso de no ser
posible restringe convenientemente para que si lo sea:
(a) f : R! R j f(x) = �2x+ 2 (b) g : R! R; g(x) = x2 + 3
(c) h : R�f2g ! R; h(x) = x+ 3
x� 2 (d) j : R�f�1g ! R; j(x) =
2
x3 + 1
.
5. De�na función exponencial e indique las característica de la función exponencial, luego diga justi-
�cando, si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
1
(a) El dominio de una función exponencial es el conjunto [0;1) :
(b) La imagen de la función exponencia es el conjunto de los reales positivos.
(c) El parámetro presente en la expresión de la función, sólo debe ser un número real mayor que
uno.
(d) La grá�ca de la función tiene por asíntota a la recta y = 1:
(e) La ordenada al origen de la función es 0:
(f) Si el parámetro es mayor que 1 entonces la función es decreciente
6. Representa grá�camente la función f (x) = 2x;
(a) Modi�ca la expresión de /f para obtener una nueva función, cuya grá�ca:
(i) se desplace 2 unidades hacia la derecha de la grá�ca de f:
(ii) se desplace 3 unidades hacia la izquierda de la grá�ca de f:
(iii) se desplace
5
2
de unidades hacia arriba de la grá�ca de f:
(iv) se desplace 3 unidades hacia abajo de la grá�ca de f:
i. sea símetrica la grá�ca de f; con respecto al eje x
(v) sea símetrica la grá�ca de f; con respecto al eje y.
(b) Representa grá�camente cada una de las funciones encontadas en el inciso anterior junto a la
grá�ca de f:
7. Dadas las siguientes funciones exponenciales:
(i) f (x) = 12 � 3
x (ii) f (x) = 52 � 3
x (iii) f (x) = �3x
(iv) f (x) = �3x � 3 (v) f (x) = 3x+2 + 2 (vi) f (x) = 1 + 3�x
(a) Determina, en cada caso dominio e imagen, intersección con los ejes, concavidad y asíntota.
Gra�ca.
(b) Dibuja el grá�co de otras funciones exponenciales similares a las dadas pero con base
1
2
; realiza
un estudio similar para esas funciones. ¿Qué cambios observas? Explica.
8. Determina, en cada caso, los valores de x para los cuales están de�nidas las siguientes expresiones:
(a) log(�x+ 2) (b) log(x2 � 4) (c) log
��1� x2��
(d) log
����x� 12� x
���� (e) ln� x1� x
�
(f) ln (�x)� ln (x+ 5)
9. Aplica propiedades de logarítmos para:
(a) Simpli�car las siguientes expresiones, teniendo en cuenta que A y B son números reales tales
que existen los siguientes logaritmos:
(i) ln
�
2p
A
A
�
+ ln
�
4
p
eA2
�
(ii) log2
�
2
p
B2 + 2 + 2
p
2
�
� 2 log2B + 2 logB
�
2
p
B2 + 2� 2
p
2
�
(iii) 13 log3 64�
1
2 log3 25 + 20 log3 1 (iv) 8
log8( 116 ) + e3 ln(
1
2 ) � 3
q
log 1
3
3
(b) Veri�car las siguientes igualdades, teniendo en cuenta que A y B son números reales tales que
existen los siguientes logaritmos:
(i) log
p
A2 �B2 + log
�
1
A�B
�
= 12 log (A+B)
(ii) logA
�
A2 � 2A+ 1
�
� logA (A� 1) = logA (A� 1)
(c) Resolver las siguientes ecuaciones identi�cando el dominio y conjunto solución:
(i) 22x�3 = 8x+1 (ii) log3 (x+ 1) = 3 (iii) e
x2�4 = 1
(iv) 2 � log10 (x) = 2
p
3� log x (v) 3j1�xj = 27 (vi) 2 log x� log (x+ 6) = 3 log 2
10. De�ne función logarítmica y explica como in�uye cada uno de los parámetros involucrados en la
grá�ca de dicha función.
11. Para cada una de las siguientes funciones logarítmicas determina: dominio e imagen, intersección
con los ejes, concavidad, asíntota y su grá�ca.
(a) y = log10 2x (b) y = log(x+
1
2 ) (c) y = 2 log3(1� x)
(d) y = log
�
4� x2
�
(e) f (x) = � ln (2x� 3) (f) y = 12 ln(x
2 � 2x+ 1)
2
12. Realice un análisis grá�co para determinar la expresión de cada una de ellas y regístrelas:
(a)
...= �
�
1
3
��x
...= 2 �
�
1
2
�x � 1 ....= (32 )x � 1
b)
...= 2 � log10 (x+ 2) ...= log 13 (x+ 2) ....= log 12 (x+ 2) ....= log 32 (x)
13. Para cada la función determine la inversa de la función indicada. En caso de no ser posible restringe
convenientemente para que si lo sea:
(a) f (x) = ln (x� 3) (b) f (x) = 3
�
1
2
�x
+ 2 (c) f(x) = log2 (5� x)� 2 (d) f(x) = � 12 (3)
x � 1
14. Resuelve los siguientes problemas:
(a) Los cientí�cos utilizan el elemento químico carbono 14 para calcular la edad de los fósiles y
cualesquiera otros objetos antiguos descubiertos por antropólogos. La fórmula que se emplea
es:
A(t) = A02
�t
5600
donde A0 representa la cantidad de carbono 14 presente cuando el fósil se formó y A(t) representa
la cantidad de carbono 14 presente t años después. Si al momento de la formación del fósil estaban
presentes 500 gramos de carbono 14 ¿Cuántos gramos estarán presentes actualmente?¿Cuántos años
deben transcurrir para que el carbono 14 presente sea de 10 gramos.
3
b. El templado es un proceso térmico que con�ere a los vidrios ordinarios una mayor resistencia a
la tracción , y se basa en un calentamiento del cristal a 650o-750o C (según las durezas requeri-
das) seguido de un rápido enfriamiento con chorro de aire comprimido helado.El fenómeno ,
para el caso de un vidrio blindado,es descrito muy adecuadamente por la sigueinte ecuación :
T (t) = 20 + 740:e�92t (Nota : T en oC y t en horas).
Si la temperatura a la que debe descender el vidrio caliente es 45oC ,¿durante cuánto tiempo debe
sometérselo al chorro de aire helado?
4