Practico 7 Funciones racionales y polinomicas

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Matemática para Informática
Primer Cuatrimestre 2017
Trabajo Práctico N� 7: Funciones Polinómicas y Racionales
Objetivos
El estudiante deberá ser capaz de:
� Identi�car funciones polinómicas.
� Representar grá�camente funciones polinómicas a partir de sus elementos.
� Identi�car funciones racionales.
� Representar grá�camente.funciones racionales a partir de sus elementos.
Duración: Seis (6) horas.
1. Indicar cuáles de las siguientes expresiones son polinomios.
i) P (x) =
p
5x2 � 1 ii) Q(x) =
p
x+ 4x+ 8 iii) T (x) = �1 iv) S(x) = x�1 � x2 + 5
2. Dada la grá�ca de p(x), contesta verdadero (V) o falso (F). Modi�ca las proposiciones falsas para
que resulten verdaderas.
(i ) p(0) = 0 (ii) p(�2) = 0 (iii) p(3) < 0 (iv) p(�1) = 4 (v) p(2) < 0 (vi) p(1) = �1
3. Dados las siguientes expresiones polinómicas:
(i ) P (x) = x3 + x2 (ii) Q(x) = 9 + 6x+ x2 (iii) R(x) = x2 � x� 6
(iv) S(y) = y4 � 2y2 � 3 (v) T (x) = 2x3 � 7x2 + 8x� 3 (vi) V (x) = x3 + 3x2 � 4x� 12
(a) Indica grado y coe�ciente principal.
(b) Factoriza y determina sus ceros o raíces e indica la multiplicidad de cada raíz real.
4. Gra�ca las siguientes funciones en un mismo sistema de ejes coordenados y analiza como, a par-
tir de la grá�ca de la primera, podemos obtener las siguientes por medio de movimientos en el plano.
a) f1(x) = x2 f2(x) = �x2 f3(x) = (x� 1)2 f4(x) = (x� 1)2 + 1 f4(x) = (x� 1)2 � 1
b) g1(x) = x3 g2(x) = �x3 g3(x) = (x+ 2)3 g4(x) = (x+ 2)3 + 1 g5(x) = (x+ 2)3 � 1
c) h1(x) = x4 h2(x) = �x4 h3(x) = (x� 2)4 h4(x) = (x� 2)4 + 1 h5(x) = (x� 2)4 � 1
5. Determina el grado mínimo, signo de coe�ciente principal y cantidad de raices reales correspondien-
tes a cada grá�ca.
1
i)
-4 -2 0 2 4
2
4
6
x
y
ii)
-3 -2 -1 1 2 3
-10
-5
5
10
x
y
iii)
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
iv)
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
6. Escriba la función polinómica que veri�ca las condiciones dadas en cada caso:
(a) Es impar, coe�ciente principal a0 = 2 y una raíz en x1 = 2.
(b) Es par, coe�ciente principal a0 = �1 y una raíz en x1 = 2 de multiplicidad 2.
(c) Es de grado 4, tiene un cero de multiplicidad 3 en x = 0; f(2) = 0 y f(1) = 1.
(d) Es de grado 4, f(1) = f(�1) y f(0) = �1.
(e) Es de grado 3, tiene un cero de multiplicidad 3 en �2, es cóncava hacia arriba en el intervalo
(�1;�2], cóncava hacia abajo en el intervalo [�2;1) y f(0) = �16.
7. Determina las ecuaciones de las siguientes funciones polinomicas.
i) ii)
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
x
y
iii) iv)
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
x
y
-3 -2 -1 1
-1
1
2
x
y
2
8. A partir de la grá�ca de la función f dada por f(x) =
1
x
(Hipérbola Equilátera) , determina las
expresiones de las siguientes grá�cas:
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
9. Encuentra la ecuación de una función racional que satisfaga las condiciones dadas.
(a) Asíntota vertical de ecuación x = �2; asíntota horizontal de ecuación y = 1: ¿Los datos son
su�cientes para establecer una única función racional?
(b) Asíntotas verticales x = �1 y x = 1, asíntota horizontal en y = 0, f(�2) = f(2) = 1.
(c) Asíntota vertical la recta x = 0, asíntota horizontal la recta y = 0, f(2) = �1 y par.
(d) Asíntota vertical la recta x = 0, asíntota horizontal la recta y = 1, f(2) = �2 e impar, con un
hueco en la grá�ca en x = 1 y y = �3:
10. Encuentra los valores de los coe�cientes a y b, observando las grá�cas de las funciones racionales.
(i) f(x) =
x+ a
x� b (ii) g(x) =
ax
x� b
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
11. Determina si las siguientes proposiciones son Verdaderas o Falsas.
(a) Toda función racional de la forma f(x) = P (x)Q(x) , si Q(a) = 0; entonces tiene asíntota vertical
en x = a .
(b) Existen funciones racionales que no poseen ningún tipo de asíntotas.
(c) La grá�ca de una función racional puede cortar a la asíntota horizontal.
(d) Si una función racional corta a su asintota horizontal dos veces, es una función par.
12. Gra�ca la función racional f dada por las siguientes fórmulas, indicando: dominio, expresión fac-
torizada, intersección con los ejes, asíntotas horizontales y verticales, paridad y tabla de signos.
(a) f(x) =
1
x� 5 (b) g(x) =
x+ 2
x2 � 4 (c) h(x) =
x� 3
x2 � 3x+ 9
(d) j(x) =
x2 � x+ 14
x� 12
(e) k(x) =
x2 � 4
x2
(f) l(x) =
2x� 6
x2 � 9
(g) m(x) =
x2
x2 + x� 2 (h) n(x) =
x
x4 + 1
3