Practico 8 Funciones trigonometricas

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Matemática para Informática
Primer Cuatrimestre 2017
Trabajo Práctico N� 8: Funciones trigonométricas
Objetivos
El estudiante deberá ser capaz de:
� Identi�car la grá�ca de las funciones trigonométricas.
� Distinguir la expresión algebraica de funciones trigonométricas.
� Establecer relación entre la expresión algebraica y la grá�ca de las distintas funciones trigonométricas.
� Aplicar las relaciones que existen entre las distintas funciones trigonométricas.
� Reconocer los parámetros que intervienen en la expresión analítica de las funciones trigonométricas, para
realizar la representación grá�ca.
Duración: Seis (6) horas.
1. (a) Ubica en la circunferencia trigonométrica los siguientes arcos (haz una circunferencia para cada ítem)
(i) � =
4
3
� (ii) � = �5
4
� (iii) � = 3 (iv) � = 3 + �
(b) Para los arcos del punto anterior, calcula su seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.
2. Representa, sobre la circunferencia trigonométrica, si es posible, los arcos � que cumplen con la condición
dada (considera 0 � � < 2�)
(a) sen� = 12 (b) cos� = �2 (c) tan� = 1 (d) sen � =
p
2
2
3. ¿Hasta qué cuadrante se extiende �; si
(a) sen � y cot� son ambos negativos? (b) tan � es negativa y sec� es negativa?
(c) sen � y sec� son ambos positivos? (d) cosec� es positiva y tan� es negativa?
4. Utiliza sólo la circunferencia trigonométrica para completar con el signo < , > ó = (Puedes utilizar un
gra�cador)
(a) sen
�
4
3
�
�
:::sen
�
3
4
�
�
(b) cos
�
5
4
�
�
::: sen
�
3
4
�
�
(c) cos
�
5
6
�
�
:::sen
�
1
6
�
�
(d)
����tg�54�
����� ::: cos (2�) (e) jcos (3�)j ::: ����tan�54�
����� (f) sen�16�
�
::: cos
�
5
3
�
�
5. Si � es un ángulo del segundo cuadrante, indica el signo de:
(a) cos(��) (b) sen(��) (c) sen(�+ �2 ) (d) cos(�+ �) (e) cos(�) + sen(��)
6. Determina en cada caso, si existen, los valores de las funciones trigonométricas restantes.
(a) sen� = 0 (b) sec� = 2p
2
, � en el IV cuadrante
(c) sen � = �1
2
; � en el III cuadrante (d) tg � = �2
p
2; � en el IV cuadrante
7. Representa grá�camente dos períodos de las siguientes funciones, determinando amplitud, período y fase.
(a) f(x) = sen (x) (b) f(x) = sen (3x) (c) f(x) = sen (2x+ �)
(d) f(x) = sen
�
1
4x
�
+ �2 (e) f(x) = cos (
1
2x� �) (f) f(x) = 1 + cos
1
2 (x� �)
(g) f(x) = 2sen ( 12x)� 1 (h) f(x) = �3 cos (x�
�
2 ) (i) f(x) =
cos(2x) + 3
2
8. Observa el siguiente grá�co y responde:
(a) ¿Es una función periódica? En caso a�rmativo indicar el valor del período.
(b) Indica el dominio de la función.
(c) Indica los valores, para los cuales, la función no esta de�nida.
(d) Expresa el conjunto de ceros de la función por extensión y por comprensión.
(e) ¿Cuál de las siguientes expresiones es la fórmula que corresponde a la grá�ca?
(i) g(x) =
sen (x)
cos (2x)
(ii) g(x) = tg (x) (iii) g(x) = tg (2x) (iv) g(x) = cot g (2x)
1
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
9. Para cada una de las siguientes funciones encuentra:
(a) El conjunto de raíces.
(b) El conjunto de valores de x en los que alcanza su máximo.
(c) El conjunto de valores de x en los que alcanza su mínimo.
(d) El conjunto de valores para los que la función toma el valor 1,5.
(i) f(x) = 2 cos (x) (ii) g(x) = 1 +
���sen��x
2
����
(iii) h :
�
��4 ;
�
4
�
! R j h(x) = 1� sen
�
x� �
4
�
10. Veri�ca las siguientes identidades trigónométricas:
(a) 1 + cot2 x = cos ec2x (b) (c) sec2 x+ cos ec2x = sec2 x: cos ec2x
11. Teniendo en cuenta las identidades para el coseno de una suma y para el seno de una suma:
sen (�+ �) = sen� cos� + cos�sen� cos (�+ �) = cos� cos� + sen�sen�
Veri�ca:
a) sen(2x) = 2senx: cosx b) cos(2x) = cos2 x� sen2x
c) sen x = 2sen
�
1
2
x
�
cos
�
1
2
x
�
d) cos2 x =
1 + cos 2x
2
12. Utilizando funciones trigonométricas, determina un modelo que represente el comportamiento. Para ello:
(a) Gra�ca los puntos para visualizar grá�camente la forma de la curva de la función correspondiente e
identi�ca el periodo y la amplitud. (Puedes usar un software)
(b) Traza un plan para crear el modelo.
(c) De�ne una función base utilizando el periodo y la amplitud.
(d) Traslada la función para que se corresponda a los datos del problema.
i. Cuando dos especies interactúan en una relación depredador / presa, las poblaciones de ambas
especies tienden a variar en forma sinusoidal. Es un estudio en una localidad habitada por búhos
cuyo principal alimento son ratones de campo, se registró la población promedio anual de búhos
durante 17 años como se muestra en la siguiente tabla:
Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Población de búhos 50 61.5 71.2 77.7 80 77.7 71.2 61.5 50 38.5 28.8
Año 12 13 14 15 16 17
Población de búhos 22.3 20 22.3 28.8 38.5 50
ii. La siguiente tabla muestra la variación del nivel de agua en una bahía, en un período de 24 ho-
ras.Encontrar un modelo que describa la variación del nivel del agua en función del número de horas
transcurridas desde las 6:00 a.m.
2
Horas transcurridas desde las 6:00 a.m. 2 3 4 5 6 7 8 9
Nivel de agua en pies 9 8.2 6 3 0 -2.2 -3 -2.2
Horas transcurridas desde las 6:00 a.m. 10 11 12 13 14
Nivel de agua en pies 0 3 6 8.2 9
13. La corriente I en amperes, que �uye por un circuito de corriente alterna, en el tiempo t es:
I = 220sen
�
30�t+ �2
�
; t � 0
(a) Halla su período, frecuencia, amplitud, traslación de fase.
(b) ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de intensidad de corriente? Halla el primer valor de t en que se
alcanza cada uno.
(c) Gra�ca un período de I.
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