Logo Studenta

1 Ecuación diferencial ordinaria de 1 orden

¡Este material tiene más páginas!

Vista previa del material en texto

Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 1 
 
En muchos problemas las relaciones entre variables se establecen en función de razones de cambio. 
De hecho al inicio de esta asignatura se plantearon, verificaron y/o resolvieron algunas de éstas, tales 
como 
����������������	/� � 1 , 
��
�� � ��, ������ � ���� � 0 . En este capítulo se formalizará el concepto y se 
verán técnica para resolver alguna de las ecuaciones diferenciales más usadas en ingeniería. 
1. 1 Ecuación diferencial (ED). 
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene al menos una derivada o diferencial 
de una función incógnita. 
Ejemplos: ����� � 2 ���� ������ � 2����� � � 
�
� � �� � � ������ � �� � ���� � 0 
�
� � �� � � ������ ������ � � �� � 0 �	������ � �� ������ � 0 
Las ED pueden clasificarse según distintos puntos de vistas: 
a) Según la cantidad de variables independientes ! "#�$�%#$% &%#'$%( ) 
La ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que contiene funciones de una sola variable 
independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable. 
Ejemplos: ������ � 2����� � � ; � �� � ���� � 0 y ������ � ������ � ����� � � � 1 
La ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación que contiene una función de dos o más 
variables independiente y alguna de sus derivadas con respecto a esas variables. 
Ejemplo: 
������ � ���� � 0. 
b) Según el orden: El orden de una ED es el mayor orden de derivación que aparece en la ecuación. 
Ejemplos: ����� � 2 ���� es de primer orden mientras que �	������ � �� ������ � 0 es de orden 3. 
c) Por el tipo de operación a la que está afectada la función incógnita * ($��%( �" ($��%( ) 
Ejemplos: 
������ � ���� � 0 y 
�
� � �� � � ������ son lineales, mientras que 
�
� � �� � � ������ no 
lo es. 
Estas clasificaciones suelen determinar el método de solución, de allí que es importante reconocerlas. 
Sólo trataremos las EDO. 
Solución y tipos de soluciones 
Una solución de una ecuación diferencial es toda relación entre las variables que no contenga 
derivadas ni diferenciales y que al remplazarla en la ED, la verifique para un intervalo de las 
variables (la transforme en una identidad). 
No todas las ED tienen solución. El tratamiento de la existencia y unicidad de la solución reviste 
cierta complejidad, por lo que no abordaremos dicho problema en este curso. 
Como cualquier ecuación, las ED pueden o no tener solución, pero si las tiene, éstas no serán únicas. 
Por ejemplo, la EDO de primer orden no lineal �� � �++ � 0 admite la solución � � �,� ya la 
verifica. Notar que ���,��-./.0�� � �,�1��� � 0. El lector puede probar que � � 4 � �,� también lo es. 
Hay tres tipos de soluciones para las ED: 
Solución general: es de tipo genérico que contiene constantes arbitrarias (tantas como el orden de 
la ED). Así � � 3 � 4�,� es la solución general de la ecuación de 2º orden �� � �++ � 0 
Solución particular: cualquier solución que puede obtenerse asignando valores particulares a las 
constantes arbitrarias. En consecuencia � � 4 � �,� y � � �,� son dos soluciones particulares 
de �� � �++ � 0. En general estas soluciones se obtienen con datos adicionales sobre la función 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 2 
 
buscada, denominados condiciones de frontera o iniciales, tales como ���5� � �5 o ��0� � �5. 
Solución singular: solución de la ED que no puede ser obtenida particularizando la solución general. 
 
Ejemplo: � � 2��� � � ����� admite por solución general 
la familia de parábola �� � 2' � � '�. Notar que la solución 
general tiene 1 constante dado que la ecuación es de orden 1. 
Para verificar dicha solución se deriva m. a m. 2� �� � 2' 6 �� � ' �,� . Remplazando en la ED 
� �7¿? 2�'�,� � � �'�,���=2�'�,� � '��,� 6 
� �7¿? �2�' � '�� �,� 6 �� �7¿? 2�' � '� y sustituyendo ahora �� por 2' � � '� se verifica finalmente la solución 
propuesta porque se obtuvo 2�' � '� � 2�' � '� 
(identidad). 
Usando una condición de frontera, por ejemplo que el punto �1; �1� verifica la solución se puede determinar el valor de 
c: ��1�� � 2' �1� � '� 6 ' � 1, Así �� � 2 � � 1 es una solución particular (la curva 
solución que contiene al punto �1; �1��. Pero el lector puede verificar que esta ED también 
admite las � � � e � � �� , que son dos rectas, envolventes de la familia anterior, las que no 
pudieron ser obtenidas de la solución general �� � 2' � � '�, por lo que se las denomina 
soluciones singulares (las que no trataremos en el curso). 
Al igual que para resolver una ecuación, no existe método único para resolver una ED, pero si 
existen algunos métodos preceptivos para ciertas clases o familias de EDO. Es más, muchas ED que 
aparecen naturalmente en otras ciencias no han sido solucionadas (aún). 
Algunas se resuelven por “inspección” (ensayo y error), lo que consiste en “intuir” una solución, y 
luego confirmar si dicha solución imaginada verifica la ecuación. 
Ecuación de Abel 
El ensayo y error se puede utilizar para resolver la EDO denominada ecuación de Abel: �� � ; �. 
Esta ecuación, muy frecuente en muchas ramas de la ciencia, expresa que la razón de cambio de 
una función ( 
�
�� es proporcional al valor de dicha la función ���� para todo �. No es difícil 
imaginar una función cuya derivada sea proporcional a sí misma: la función que califica es la 
exponencial � � <�= � ya que �� � ; <�= � � ; ���� (la derivada es proporcional a la función) 
Si además se conoce el valor inicial <5 de la función buscada (esto es ��0� � <5) puede 
determinarse la única solución del problema. Así ��0� � <5 � <�= > � <. Luego � � <5�= �. 
Ejemplo: 
Por experimentación se sabe que la desintegración radiactiva se comporta de acuerdo con el 
principio: La tasa a la que una cantidad de un isótopo radiactivo se desintegra es proporcional 
a la cantidad de isótopo presente. La constante de proporcionalidad depende únicamente de la 
partícula radiactiva considerada. 
La vida media de un isótopo radiactivo es el tiempo que tarda una cantidad de material 
radiactivo en desintegrarse a la mitad de su cantidad original. Se sabe que la vida media del 
carbono 14 es 5730 años. Dicho dato es importante porque puede ser utilizado para determinar el 
tiempo transcurrido desde la muerte del material orgánico, dado que el isótopo C-14 constituye 
una porción constante del carbono total y una vez que la materia muere, el C-14 presente se 
desintegra. Entonces, al medir la cantidad de C-14 que aún permanece en la materia orgánica 
puede calcularse el “tiempo desde la muerte”. Utilizar los datos dados para determinar la 
cantidad de años de la que data un fósil que tiene un 10 % del C-14 original. 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 3 
 
Resolución: 
La EDO que modela la cantidad de carbono a través del tiempo será 
�
? � ; ����. Entonces ���� � <5�= ?. La constante ; puede determinarse usando el dato que la vida media es � @� �5730 años. Luego � A� @�B � 0,5<5 � <5�= DEF>. Luego �DEF> = � 0,5 G ; � HI �>,D�DEF> J�0.000120968 . Notar que ; es negativa dado que la cantidad de C-14 disminuye (la función 
solución es una exponencial decreciente, su razón de cambio negativa).La función que modela la cantidad de carbono presente luego de t años es ���� � <5�OP �Q,R�RS	Q ?. 
Para determinar los años del fósil se utiliza la ecuación anterior: ���T� � 0,1<5 � <5�OP �Q,R�RS	Q ?U. 
Así 0,10 � �OP �Q,R�RS	Q ?U G ln 0,10 � HI �>,D�DEF> �T G �T � 5730 HI �>,�>�HI�>,D� G �T J 19000 años. 
 
Se desarrollarán métodos que permiten resolver alguna de las más comunes EDO. Separaremos el 
estudio en dos partes: las EDO de primer orden y las EDO de orden superior (esto es, orden mayor 
o igual a 2). 
1.2 Algunos métodos para determinar la solución de una EDO de primer orden. 
Las EDO de 1º orden pueden escribirse genéricamente como Z��, �, ��� � 0 , mientras que la 
solución general es una familia de curvas cuya ecuación tendrá la forma [��, �, <� � 0, siendo C una 
constante arbitraria. 
Se tratarán métodos para solucionar las EDO de 1º orden 
\]̂
]_de variables separables homogéneas lineales exactas trasformables en exactas 
) 
1.2. a EDO de 1º orden de variables separables 
La ecuación Z��, �, ��� � 0 se denomina de variables separables si se puede reescribir de la forma ������ � [�����. 
Para resolver la ecuación se integra miembro a miembro: r ������ � r [�����. Si ambas 
integrales pueden ser resueltas, el problema estará solucionado. Notar que al resolver cada integral 
aparecen en ambos miembros una constante de integración las que se reunirán en una. 
Ejemplo: 
Resolver �� � HI ���� ��� �	 
Resolución: 
3
ln
'
x
y
xy xy
=
+ 3
ln
( )
dy x
dx x y y
⇒ =
+
 3
ln
( )
x
y y dy dx
x
⇒ + = 
r�� � �F��� � r HI �� �� s 
2 4 21 1 1ln
2 4 2
y y x C+ = + . 
Luego, expresada en forma implícita, la solución es �t � 2�� � ln� � � <. Si el lector piensa que el último 
sumando debió ser 2C note que el doble de una constante 
arbitraria es otra constante arbitraria. En el gráfico se 
aprecian alguna de las soluciones particulares. Note que 
dichas curvas no interceptan a los ejes, ya que en el 
dominio de la ecuación exige que � v 0 e � w 0. 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 4 
 
1.2. b EDO de 1º orden homogénea. 
La ecuación Z��, �, ��� � 0 se denomina homogénea si se puede reescribir de la forma �� � [ x��y 
Para resolverla se hará la sustitución z � �� , mostrando que dicha sustitución la transforma en una 
EDO de variables separables. z � �� G � � z� , derivando m.a m: �� � z�� � z. 
Reemplazando las anteriores en �� � [ x��y se tiene z�� � z � [�z�. Operando 
 
� � � [�z� � z G 
 {� �, � 
�� . Notar que esta ecuación tiene las variables separadas. Se resuelve como la 
desarrollada en el ítem anterior para finalmente reemplazar z � �� 
Ejemplo: 
Resolver �� �� � �� � �� 
Resolución: �� y� � x� � y� G y� � }��~� � � � }�� � � ~�� � � �� ��� = ��� � �� . Luego y� � ��� � �� � � � z 
Se reescribió entonces la ecuación �� � [ x��y. 
Entonces es homogénea y para resolverla se la 
transforma en una EDO de variables separadas 
haciendo el cambio z � �� G � � z �. Entonces: y� � z�� � z � � � z G z�� � � G z�z � 
�� . 
Integrando m. a m r z�z � r 
�� G 
 0,5 z� � (�|�| � < . Volviendo a la variable original: 
x~} y� � 2 (�|�| � < G y� � 2 ��(�|�| � < �� G 
 � � ��2 ��(�|�| � < �� 
La gráfica muestra alguna de las curvas integrantes de 
la familia solución. 
 
1.2. c EDO Lineal de primer orden. 
Es aquella que puede escribirse de la forma �� � ����� � ���� donde ���� y ���� son funciones 
continuas sobre un intervalo dado. Por ejemplo �� � �� � � �� ; � v 0 
Para resolverla se utilizará un recurso muy utilizado en la resolución de ecuaciones diferenciales que 
es el uso “de un factor integrante”. Pero para entender mejor la esencia del procedimiento se 
resolverá, a modo de ejemplo constructivo, la ecuación �� � �� � � �� ; � v 0. La clave para 
resolverla será multiplicar m. a .m por la función � (operación válida ya que � w 0�. �� � �� � � �� G x�� � �� �y � � ��� G ��� � � � �F . 
Si se observa con atención, los dos sumandos del primer término se puede expresar como la 
derivada del producto “��” ya que ��� � � � ����� . Así la ecuación se reescribe ����� � �F. 
Integrando m.a.m se tiene r������� � r �F�� . 
Usando propiedades de la integral indefinida: r������� � �� � r �F�� � ��t � <; �� � ��t � <. 
Explicitando la solución general; � � �	t � ��. 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 5 
 
Notar que la clave fue transformar el primer miembro, al multiplicar ambos miembros por el factor �, en la derivada de un producto, lo que permitió luego calcular su integral. A ese factor se lo 
denomina “factor integrante”. 
Se probará ahora que �� � ����� � ���� tiene un factor integrante una función ����, calculándolo. �� � ����� � ���� G multiplicando m. am. por ���� G ������ � �������� � � ��������. 
Al igual que en el ejemplo anterior se supone que el 1º miembro es la derivada de un producto ������ � �������� �-....../......0 ��������� ��������. (*) 
Entonces deberá cumplirse �������� � ������ � ������ = ������ � �������� �. 
Luego ���� debe ser tal que convierta en igualdad ������ � ������ � ������ � �������� � G 
������ � �������� � G ��������� � ���� G �����
����� � ������ G r 
����� ��� � r ������ G (� ���� � r ������ � < G Luego ���� � �r ����
���. 
El valor C indica que hay infinitos factores integrantes, pero para resolver la EDO se necesita sólo 
uno. Por ello se adoptará el más sencillo: C=0. Luego ���� � �r ����
�. Así reemplazando en (*) ��r ����
� ��� � �r ����
�����. 
Integrando m.a.m. r��r ����
� ��� �� � r �r ����
����� �� �r ����
� � � r �r ����
����� �� � < 
Explicitando la solución buscada � � ��r ������ �r �r ����
����� �� � <� 
Resumiendo 
Dada �� � ����� � ���� ; ���� y ���� funciones continuas sobre un intervalo G � � ��r ������ �r �r ����
����� �� � <�. 
Ejemplo: 
Resolver �� � �� � � �� ; siendo � v 0 
Resolución: 
La EDO �� � �� � � �� es lineal ya que tiene la forma �� � ����� � ����. En ella ���� ��� y ���� � �� , continuas en el intervalo dado � v 0 . La solución será � � ��r ������ �r �r ����
����� �� � <�= ��r@��� xr �r
@�
��� �� � <y. 
� � ����|�| �r ���|�|�� �� � <�= �|�| �r|�|�� �� � <�. Usando ���|�| � |�| , y que sólo 
se busca la solución si � v 0 , entonces ���|�| � |�| � � � � �� �r �F �� � <�=�� x��t � <y; � � x�	t � ��y. 
Se deja como ejercicio probar que al mismo resultado se llega si � � 0. 
1.2. d. EDO Exacta de primer orden. 
Es aquella que puede llevarse a la forma [���, ���� � [���, ���� � 0, siendo [��, �� una función 
con derivadas de segundo orden continuas. 
La solución de la ecuación puede sospecharse [��, �� � <, dado que si se diferencia miembro a 
miembro se obtendrá la EDO dada, luego la verifica. 
La pregunta obligada es ¿cómo advertir que ���, ���� � ���, ���� � 0 puede llevarse a [���, ���� � [���, ���� � 0?, es decir que es homogénea. Dicho de otra manera ¿existe la función [��, �� tal que [���, �� � ���, �� y [���, �� � ���, ��? 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 6 
 
Recordando que por el teorema de Clairut,el cual debe cumplirse ya que siendo [��, �� una función 
con derivadas de segundo orden continuas, [����, �� � [����, �� . 
Deberá entonces cumplir que [����, �� � ����, �� y [����, �� � ����, ��. 
Luego el criterio de exactitud puede expresarse como 
La EDO ���, ���� � ���, ���� � 0 ; ���, ��y ���, �� funciones con derivadas continuas, 
es exacta solo si ����, �� � ����, �� 
Si se da dicha condición se buscará entonces la función [��, �� resolviendo el sistema 
! [���, �� � ���, �� [���, �� � ���, ��) 
Ejemplo: 
Resolver 4�F� � � � ��t � � � '"� ���+ � 0 
Resolución: 
Par determinar si la EDO es exacta usamos el criterio. 
Aquí ���, �� � 4�F� � � ���, �� � �t � � � '"� � ���� � 4�F � 1 ; ���� � 4�F � 1 . Dado que ���� � ����, la ecuación es exacta. 
Luego la solución es [��, �� � < siendo [��, �� una función tal que: 
 [���, �� � ���, �� � 4�F� � � (1) [���, �� � ���, �� � �t � � � '"� � (2) 
Integrando la (1) [ � r [���, �� �� � r�4�F� � ���� � �t� � �� � ���� 
Derivando ahora la obtenida anteriormente con respecto a la variable � y utilizando la (2) [� � �t � � � �+��� � �t � � � cos �. Luego ����� � � cos �. Finalmente � � ������. 
Entonces la solución es �t� � �� � ������ � < 
1.2. e. EDO de primer orden transformables en exactas. 
Muchas ED se transforman en exactas usando un factor integrante. Se desarrollará ahora un método 
para concluir si una EDO de primer orden tiene o no un factor integrante del tipo ���� o ���� que la 
convierta en una EDO exacta, para la cual ya se desarrolló un método que la soluciona. 
• Condición de existencia del factor integrante ����: 
 ���, ���� � ���, ���� � 0 ; multiplicando m. a m por ���� G �������, ���� � �������, ���� � 0. 
Usando el criterio de exactitud 
���������,����� � ���������,����� G 
Desarrollando las derivadas: 
����� ����> �
��, �� � ���� ����,�� �� � ����� �� ���, �� � ���� ����,�� �� . 
Agrupando los términos que contienen ����: ������� � ��� � ��������, ��. 
Luego 
���,������,�� � ��������� . Notar que, si existe ese ���� buscado, el segundo miembro es una función 
que sólo depende de la variable �, luego el primer miembro también deberá serlo. En ese caso 
integrando m.a.mr ���,������,�� �� � r ��������� �� G ln ���� � r ����������,�� ��, luego ���� � �r����������,�� ��. 
• Condición de existencia del factor integrante ����: 
 ���, ���� � ���, ���� � 0 ; multiplicando m. a m por ���� G �������, ���� � �������, ���� � 0. 
Usando el criterio de exactitud 
���������,����� � ���������,����� G 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 7 
 
Desarrollando las derivadas: 
����� �� ���, �� � ���� ����,�� �� � ����� ����> ���, �� � ����
����,�� �� . 
Agrupando los términos que contienen ����: ��������, �� � �������,��� . 
Luego 
��������� � ����������,�� . Notar que, si existe ese ���� buscado, el segundo miembro es una 
función que sólo depende de la variable �, luego el primer miembro también deberá serlo. En ese 
caso integrando m.a.m r ����������,�� �� � r ��������� �� G ln ���� � r ����������,�� ��, luego ���� � �r����������,�� 
�. 
Finalmente puede resumirse 
 
Dada la EDO P�x, y�dx � Q�x, y�dy � 0 ; P�x, y� y Q�x, y� funciones con derivadas continuas, 
Si 
���,������,�� es función sólo de � G el factor integrante ���� � �r
����������,�� 
� la transforma en exacta 
Si 
����������,�� es función sólo de � G el factor integrante ���� � �r����������,�� �� la transforma en exacta 
 
Nota: Este teorema no asegura que todas las EDO de primer orden tengan factor integrante, ni 
tampoco permite encontrar todos los factores integrantes posibles de la misma. Sólo permite 
encontrar, suponiendo que los tenga, factores integrantes univariables. 
 
Ejemplo: 
Encontrar la solución particular de 2�� � 3��� � 3�� � ��� � 2���+ � 0 usando la condición 
de frontera ��1� � 2 
Resolución: 2�� � 3��� � 3��-...../.....0� � ��� � 2��-../..0� �+ � 0 . Explorando si existe factor ����: ���,������,�� � ����F������,��������� =F���������� � 3. Dado que el resultado no depende de la variable � 
puede concluirse que existe el factor integrante y será ���� � �r����������,�� 
� � �r F
� � �F�. 
Luego la nueva EDO �F��2�� � 3��� � 3���-......./.......0�� � �F���� � 2��-.../...0�� �+ � 0 será exacta. 
Se verificará este hecho previamente (lo que permitiría detectar algún error). Es exacta si se 
cumple ��� � ���; G ��	������F����F����� .�¿? ��	���������� �F��2� � 3�� � 6��.�¿? 3�F���� � 2�� � �F�2� �F��2� � 3�� � 6��.�  �F��3�� � 6� � 2��; 
Ahora, verificada que la nueva EDO es exacta, se resolverá usando el procedimiento descripto 
en el apartado anterior, esto es, buscar la función [ tal que ¢[� � �F��2�� � 3��� � 3���[� � �F���� � 2�� ) . 
Se comenzará integrando la segunda ecuación del sistema (por simplicidad) 
 [ � r [��� � r �F���� � 2����=r��F��� � 2��F����= �F���� � �F��� � ���� 
 [= �F���� � �F��� � ���� 
Derivando la anterior y usando la primera condición del sistema 
 [� � 3� �F��� � 2�� �F� � 3 �F��� � �+���=�F��2�� � 3��� � 3��� G 3� �F��� � 2�� �F� � 3 �F��� � �+���= �F�2�� � 3�F���� � 3�F��� G �+���= 0 G ����= £ (constante que se unifica con la proveniente de la solución [��, �� � <. 
Luego la solución general es �F���� � �F��� � < 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 8 
 
Para determinar la solución particular se determinará la constante C usando la condición de 
frontera ��1� � 2, esto es si x=1 G � � 2. 
Reemplazando en �F���� � �F��� � < se tiene �F.�1�2 � �F�2� � 6 �F � <. 
Por lo tanto la solución particular es �F���� � �F��� � 6 �F. 
 1.3. Aplicaciones 
Hasta aquí se han desarrollado alguno de los métodos más comunes que resuelven EDO de 1º orden. 
Se verán ahora algunas ejemplos de las mismas. 
 Ejemplo: trayectorias de flujos 
Las trayectorias de flujos de un campo vectorial son las trayectorias seguidas por una partícula 
cuyo campo de velocidad es el campo vectorial dado. Por consiguiente los vectores del campo 
vectorial son tangentes a las trayectorias de flujo. 
a) Graficar, usando un SAC, el campo estacionario z¤ � �� ������� , ��������. 
b) Esbozar la gráfica de la línea de flujo de una partícula que se suelta en el punto �1; 1� 
c) Determine la ecuación de la familia de líneas de flujo y describa geométricamente las 
líneas. 
d) Determinar la que contiene al punto ��5; �5�, particularizando luego con �1; 1� ¿Coincide 
con la imaginada? 
Resolución: 
a) y b) Ver gráfico 
c) Si la trayectoria es 
 #¤��� � �����; ����� G #¤���� � z¤ G x
�
? ; 
�
?y � �� ������� , �������� G ���¥���¥ �
, ���2��2���2��2 . Simplificando y 
separando variables: � 
�� � 
�� 
Resolviendo la ecuación r � 
�� � r 
�� G (�|�| � �(�|�| + C G 
 (�|�| � (�|�| = C G (�|��| � < G �� � < (notar que ��� es otra 
constante). 
La familia �� � < está integrada por 
hipérbolas � � �� y el par de rectas � � 0 e � � 0. �� Para determinar la solución 
particular que contiene al punto ��5; �5� sólo se debe calcular la constante G �5�5 � < G �5 �� � �5�5. Así la línea de flujo será �� � 1 , pero note que en realidad la partícula soltada 
en (1;1) recorrerá solo parte de ésta hipérbola �� � 1, tal como lo muestra el gráfico. 
 
Ejemplo: Familias ortogonales 
Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas � � [���, <� es otra curva que cruza a cada 
una de las curvas de la familia de manera ortogonal. La colecciónde trayectorias ortogonales de 
una familia forma lo que se denomina familia ortogonal � � [���, £�. Se dice son familias 
mutuamente ortogonales. Por cada punto ��, �� del plano pasan una integrante de cada una de 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 9 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
ellas. Las rectas tangentes a las mismas forman un ángulo recto. Luego sus pendientes ¦� � 
{@
� 
y ¦� � 
{�
� verifican la relación ¦�¦� � �1. Entonces 
{@
� . 
{�
� � �1. 
Esto permite concluir que conocida la ecuación � � [���, <� que representa una familia de 
curvas, su familia ortogonal estará representada por la ED 
{�
� � � ��§@�� . Usando esto: 
a) Determine la familia ortogonal de �� � �� � ; y grafique algunas curvas de ambas 
b) Determine la familia ortogonal de � � ; �F y grafique algunas curvas de ambas 
c) Muestre que las familias � � ; �,� e �� � 2� � < son ortogonales. Graficar. 
Resolución: 
a) Primeramente se calcula ¦�. En este caso, al ser una 
función implícita Z��, �� � £ puede usarse derivación 
implícita 

{@
� � �� � � �̈�̈ � � ��,�� � ��. Luego la 
familia ortogonal deberá verificar la EDO 
 �� � 
{�
� � � ��§@�� � � �
�� . Resumiendo, se debe 
resolver �� � � �� . Simplificando y separando 
variables: � 
�� � 
�� . Resolviendo la ecuación r � 
�� � r 
�� G (�|�| � �(�|�| + C G (�|��| � < G �� � C. 
La familia ortogonal de la familia de hipérbolas �� � �� � ; es otra familia de hipérbolas �� � < . 
b) � � ; �F ; G ¦� � �� � ; 3��. Aquí es necesario 
reemplazar ; � ��	. Luego ¦� � ��	 3�� � F�� . 
Entonces la familia ortogonal es tal que �� � 
{�
� �� ��§@�� � � �F� G 3��� � ����. 
Resolviendo la ecuación r 3��� � r ���� G 3 ��� � � }�� +C G 3�� � �� = C (notar 2C es una 
constante). Entonces, la familia de elipses 3�� � �� = C 
es ortogonal a la de parábolas cúbicas � � ; �F 
c) [�: � � ; �,� e [�: �� � 2� � < ¦� � �� � �;�,� � � ���� �,� � �� s ¦� � �� . 
Para calcular la pendiente en cada punto de la segunda 
familia se usará derivación implícita (�� � 2� � < ). 
Luego ¦� � � ,��� � �� G ¦� � �� . Finalmente para 
todo punto del plano ��, �� se verifica ¦�¦� ��� �� � �1. Por lo tanto las familias son ortogonales. 
También pudo probarse que son ortogonales 
determinando la ecuación diferencial que representa a 
una de ellas y resolviendo 

{�
� � � x
{@
� y,� 
 
Las familias ortogonales son muy utilizadas en ingeniería. Así por ejemplo en eléctrica, las líneas 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 10 
 
de fuerzas del campo eléctrico son ortogonales a las superficies equipotenciales, pero si se plantea el 
problema bidimensional las líneas de campos son ortogonales a las líneas equipotenciales. Idéntica 
situación se da en problemas de flujos bidimensionales (como el correspondiente a una presa 
hidráulica como se muestra en el corte): las líneas de flujo (trayectoria del agua) son perpendiculares 
a las líneas equipotenciales (líneas que unen los puntos con igual presión). 
 
 
Ejemplo: Circuitos eléctricos. 
En el gráfico se muestra un circuito eléctrico sencillo. En el mismo 
hay una batería que genera fuerza electromotriz capaz de mantener 
una diferencia de potencial ª��� y una corriente ����, la que se 
medirá en amperes 3 . El circuito tiene además una resistencia « y 
un inductor de inductancia ¬ 
Se desea conocer la corriente ���� que se generará en el circuito. 
a) Para cualquier ª���; « y ¬ 
b) ª���= 12 V; « � 2Ω; ¬ � 1 H. 
c) ª���= 12 sen(t); « � 2Ω; ¬ � 1 H. 
Nota: en el Sistema Internacional de Unidades: 
El voltio V se define como la diferencia de potencial a lo largo de un conductor cuando una corriente 
de 1 A utiliza 1 W (watt) de potencia: ® � ¯/3. 
Ampere A es la unidad de intensidad de corriente eléctrica. El Culombio C es la cantidad de 
carga desplazada por una corriente de 1 A en el tiempo de 1 segundo s. Así A � ±² . 
El Ohm Ω es la unidad de resistencia eléctrica equivalente a Ω � ³́. 
El Henrio µ es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza 
electromotriz de 1 V, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de 
1 3 por segundo. Equivale µ � Ω s 
Resolución: 
a) La ley de Ohm expresa que en cada resistencia R la caída de potencial es proporcional a la 
resistencia y a la corriente ( ∆®· � « �), mientras que la caída en el inductor es proporcional 
tanto a la inductancia como a la variación de corriente en él (∆®̧ � ¬ 
 �
 ? ). Una de las leyes de 
Kirchoff establece que el voltaje que proporciona la fuente ª�� � es equivalente a la suma de 
las caídas de potencial en el circuito (en éste debido a la resistencia y a la inductancia). ª��� � ∆®̧ � ∆®· � ¬ 
 ¹
 ? � $« s Note que la EDO resultante ¬ 
 ¹
 ? � $ « =ª��� es lineal, 
Reescribiéndola $���� � ·̧ $��� = º�?�¸ , siendo ���� � ·̧ y ���� � º�?�¸ G La solución es 
general $��� � ��r«¬�¥ xr �r
«¬
? ª���¬ �� � <y. 
Para calcular la solución particular debe usarse la condición inicial $�0� � 0. 
Advertir que si R está dada en que Ω y L en H, entonces 
·̧ � Ω» � ΩΩ ² � �,�, luego �r«¬
? es 
adimensional si t es el tiempo en segundos. 
Por otro lado ª���¬ � ®µ � ¯/3 Ω ² = ¼/½V/A s= ¼ s � ½¿. Luego r �rÀÁ
? º�?�¸ ��, estará en Ampere si E 
está en Voltio, L en Henries, R en Ohms y t en segundos. 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 11 
 
Así, teniendo cuidado de utilizar las unidades del sistema internacional es posible prescindir de 
ellas en la resolución de la ecuación. 
b) R=2 Ω; L =1 H y E(t)=12V; constante. 
 
·̧ � �� � 2 º�?�¸ � ��� � 12 i�t� � 1er � Âà AÄ er � ÂÃ12 dt � CB � i�t� � �Å� Æ x12 Å� Æ� � Cy=6 � ±Å� Æ 
Utilizando I�0� � 0 � 6 � ±ÅQ ; C � �6 . 
Luego: i�t� � 6�1 � e,�� , 
Notar que, en este caso particular, rápidamente la corriente se estabiliza en, prácticamente, 6 
Ampere 
 
c) R=2 Ω; L =1 H y ª��� � 12 sen�6 t� V 
 
·̧ � �� � 2 º�?�¸ � ��� � 12 ����6 �� i�t� � �År � ÈÆ �r er � ÂÃ12 ����6��dt � C� � �Å� Æ �12 r e�à ����6 ���� � C�. Siendo r e�à ����6���� � �2�20 É sin�6�� � 3 cos �6��Ê $��� � �Å� Æ x12 �2�20 É sin�6�� � 3 cos �6��Ê � Cy. Utilizando i�0� � 0 � �1,8 � C G < � 1,8 . $��� � 0,6 sin�6�� � 1,8 cos �6�� � 1,8 ��2� 
 
 
 
Tanto de la expresión analítica de $��� como de su gráfico se desprende que la corriente no es 
periódica, sin embargo, cuando � Ë ∞, el sumando 1,8 ��2� pierde su influencia sobre la 
corriente (lim�ËÍ 1,8 ��2� � 0 ), entonces $��� tiende a estabilizarse en un comportamiento 
periódico ($��� � 0,6 sin�6�� � 1,8 cos �6��), donde la corriente máxima será $TÎ� J 1.897. 
 
Se deja como ejercicio resolver el caso genérico, fuerza: ª��� � A sen�k t�; inductancia L y 
resistencia R; esto es la EDO a resolver es : ¬ $���� � « $��� =3 ����; �� . En este caso se deberá 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 12 
 
probar que la corriente estarádada por : $��� � 3 ¬ ; ¬2;2�«2 �� «¬ � � 3 ¬2;2�«2 �R sin�; �� � k L cos �; ���. 
 
Ejercicios propuestos Sección 1: 
Conceptos básicos; ecuaciones separables y homogéneas. 
1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 
1) ���´� � � 0 (Rta: � � <�� �Ò ) 
2) 

�
� � �√������� (Rta: �� � 1��� � �F ��� � 1�F �⁄ � <� 
2. Resuelva el problema con valor inicial: 
1) 

�
� � �� � 1 , ��1� � 0 (Rta: � � tan�� � 1�) 
2) 

�
? � �?�����,�� , Õ�0� � �1 (Rta: Õ � 1 � √�� � � � 4) 
3. Resuelva el problema con valor inicial �´ � � sen � , ��0� � 1. Investigue el concepto de 
campo direccional y grafíquelo junto a la solución usando un SAC. (Rta: � � ��,Öײ �). 
4. Dibuje el campo direccional de la ecuación diferencial. Después utilícelo para dibujar una 
curva solución que pase a través del punto dado. 
1) �´ � �� , �0,1� 
2) �´ � �� � �� , �0,0� 
5. Dada: �´ � �� 
a) Dibuje el campo direccional. 
b) Grafique algunas curvas solución, sin resolver la ecuación diferencial. 
c) Resuelva la ecuación diferencial. 
d) Dibuje las soluciones obtenidas en el inciso (c) y compárelas con las gráficas del (b). 
6. Diga si la ecuación es homogénea: 
1) �� � 1 � 2���´ � 0 (Rta: Ø" �"¦"�é��%) 
2) �´ � ln � � ln � (Rta: µ"¦"�é��%) 
7. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas: 
1) �´ � ��,��� (Rta: � � �� � �� ) 
2) 

�
� � ������� (Rta: � � ��√< � 2 ln �� ) 
3) ��´ � � � ��� �⁄ (Rta: � � �� ln�< � ln|�|�) 
8. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas. Dibuje a varios miembros de 
cada familia: 
1) � � ;�� (Rta: �� � 2�� � <) 
2) � � �� � ;�,� (Rta: �F � 3�� � <�) 
3) �� � 2�� � ; (Rta: � � < ��Ò ) 
9. Sean ���� y ®��� la altura y el volumen de agua que hay dentro de un tanque, en un tiempo t 
dado. Si el agua se derrama a través de un orificio que está en el fondo del tanque y cuya área 
es a, entonces la ley de Torricelli dice que: 

Ù
? � �% �2�� , donde g es la aceleración 
debida a la gravedad. 
a. Suponga que el tanque es cilíndrico y que tiene una altura de 6 pies y un radio de 2 pies y 
además que el orificio es circular y con un radio de 1 pulgada. Si tomamos � � 32 &$�� ��Ò , 
muestre que y satisface la ecuación diferencial: 

�
? � � �E� �� 
b) Resuelva esta ecuación para determinar la altura del agua en función del tiempo t, 
suponiendo que el tanque está lleno en el tiempo t = 0. 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 13 
 
c) ¿Cuánto tiempo pasará para que el tanque se vacíe por completo? 
(Rta: �Ú� ���� � x√6 � ��tt �y� �'�144√6 � � 5 min 53 � ) 
Ecuaciones lineales de primer orden. 
1. Determine si la ecuación diferencial es lineal: 
a) �´� ��� � �� (Rta: Ø" ($��%() 
2. xy´ � x � y (Rta: Lineal) 
3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 
a) �´� 3� � �� (Rta: � � <�F� � �� ��) 
b) �´� 2�� � � (Rta: � � <��� � ��) 
c) �´ cos � � � sen � � sen 2� , � Û 2Ò � � � Û 2Ò (Rta: � � �� sec � � cos � � < sec �) 
d) 

�
� � 2�� � �� (Rta: � � �� � � <�,�� � �� �,�� r ��� ��) 
e) 

�
Ü � � tan Ý � 1, � Û 2Ò � Ý � Û 2Ò (Rta: � � tan Ý � < sec Ý) 
4. Resuelva el problema con valor inicial: 
a) �´� � � � � �� , ��0� � 0 (Rta: � � � � 1 � �� ��� � �,�� � � � 1 � cosh �) 
b) �´� 2�� � 2���� , ��0� � 3 (Rta: � � ��� � 3����) 
c) �� 
�
� � 2�� � cos �, ��Û� � 0 (Rta: � � �sen �� ��Ò ) 
5. Resolver �´ � 1 � 3� � 2� , ��1� � 2. (Rta: 0,75 ��,�� � 1,5� � 0,25) 
6. La ecuación NO lineal �´ � ���� � � ������ se la denomina ECUACION DE 
BERNOULLI. 
a) Muestre que se transforma en una EDO lineal realizando el cambio de variable Þ � ��,�. 
b) Use el resultado anterior para resolver y verificar las ecuaciones 
b-1 �´ � �� � � ���� 
b-2 y´ � y � }�~� ; ����1� � 1 
7. En el circuito mostrado en la figura, una batería (ε) suministra una 
voltaje constante de 4 [V], la inductancia es de 2 [H], la resistencia es de 
10 [Ω], y además I(0) = 0. 
a) Encuentre I(t). 
b) Determine la corriente después de 0,1 [s] 
(Rta: �%� ���� � 4 � 4�,D?, �Ú�4 � 4�,� �Ò ß 1,57É3Ê) 
8. La figura muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz 
(fem), un capacitor con una capacitancia C farads [F], y un resistor con una resistencia de R 
ohms [Ω]. 
La caída de tensión a través del capacitor es � <Ò , donde Q es la carga 
(en Coulomb). La segunda ley de Kirchoff establece: «� � �� � à��� 
Pero, � � 
�
? , así que tenemos: « 
�
? � �� � � �� 
Suponga que la resistencia es de 5 [Ω], la capacitancia es de 0,05 [F], 
que una batería suministra un voltaje constante de 60 [V] y que la carga 
inicial Q (0) = 0 [C]. Determine la carga y la corriente en el tiempo t. 
(Rta: ���� � 3�1 � �,t?�, ���� � 12�,t?) 
9. Los psicólogos interesados en la teoría del aprendizaje estudian las curvas de aprendizaje. 
Una curva de aprendizaje es la gráfica de una función P(t), el desempeño de alguien que está 
apr|endiendo alguna habilidad, como una función del tiempo de capacitación t. La derivada 
Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 1: EDO de primer orden 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010/2011 Página 14 
 
�� ��Ò , representa la razón con la cual el desempeño mejora. Si M es el nivel máximo de 
desempeño que puede tener un aprendiz, resulta razonable suponer que �� ��Ò es 
proporcional a á � ����. (Al principio, el aprendizaje es rápido. Después, conforme el 
desempeño aumenta y se aproxima a su valor máximo, la razón de aprendizaje disminuye). 
En consecuencia: �� ��Ò � ;�á � ����� 
Donde k es una constante positiva. Resuelva esta ecuación diferencial lineal y dibuje la curva 
de aprendizaje. (Rta: ���� � á � <�,=?) 
10. Un objeto con una masa m se lanza desde su estado de reposo y suponemos que la resistencia 
del aire es proporcional a la velocidad del objeto. Si s(t) es la distancia recorrida después de t 
segundos, entonces la velocidad es z � �´��� y la aceleración es % � z´���. Si g es la 
aceleración debida a la gravedad, entonces la fuerza de atracción sobre un objeto es ¦� � 'z 
, donde c es una constante positiva; además, la ley de Newton establece que 
¦ �z�� � ¦� � 'z 
a) Resuelva esta ecuación diferencial para determinar la velocidad en el tiempo t. 
b) ¿Cuál es la velocidad límite? 
c) Determine la distancia del objeto que cae, después de t segundos. 
(Rta: �%� Tâã x1 � �,ã? TÒ y, �Ú� Tâã , �'� Tâã ä� � xTã �,ã? TÒ yå � T�âã� ) 
Ecuaciones exactas. 
1. Determine si cada ecuación diferencial es exacta: 
a) � sen � � �� cos ���´ � 0 
b) 2��F�� � 3������ � 0 
c) �� � �� � �� � �� 
�
� � 0 
 (Rta: �%� No exacta, �Ú� Exacta, �3� No exacta ) 
2. Determine si la ecuación diferencial es exacta. Si es así, resuélvala: 
a) 2� � � � �� � 2��� ′ � 0 (Rta: � � �� ��� � √4' � 3��� � 
b) 3�� � 2 � �3�� � ����′ � 0 (Rta: No exacta) 
c) sen � � �1 � � cos �� �′ � 0 (Rta: � sen � � � � <� 
d) �� � �� �� �Ò � x� � ��� y �� �Ò �′ � 0 (Rta: ���� �Ò � < � 
e) � ln � �� � �� � y ln ���� � 0 (Rta: No exacta) 
f) 
�� � ���	 � x ��� � ���y 
�
� (Rta: ��,� � ��,� � <� 
3. Resuelva el problema con valor inicial: 
a) 3�� � 2�� � 3�� � ��� � 6����′ � 0, ��1� � 2 (Rta: � � �,���√�æ>�,������� 
b) 1 � � cos �� � �� cos � ��� ′ � 0, ��1� � 0 (Rta: � � Îçã ¿����,��� 
4. Muestre que la ecuación dada no es exacta, pero que se convierte en exacta cuando se 
multiplica por el factor integrante especificado. Después, resuelva la ecuación. 
a) �� � �1 � ����� � 0, ���, �� � ��� (Rta: ���� � <� 
b) � � �F � �� � �F�� ′ � 0, ���,�� � ���� ������	 �⁄ (Rta: �� �1 � �� � ��è � <� 
5. Encuentre un factor integrante y después resuelva la ecuación: 
a) 3�� � 2�� � ��� � 2����′ � 0 (Rta: �F� � ���� � <� 
b) 2�� � 3��� � 3�� � ��� � 2���′ � 0 (Rta: �F����� � ��� � <� 
6. Pruebe que toda ecuación diferencial separable es exacta.

Continuar navegando