Apunte Analisis Cuantitativo

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ANALISIS CUANTITATIVO 
UNIDAD 2: ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES 
 
 
Sistema de ecuaciones lineales 
 
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m 
ecuaciones con n incógnitas de la forma: 
 
 
 
Donde: 
𝑎 𝑚𝑛: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝑥 𝑛: 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 
𝑏 𝑚: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales 
El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la 
forma: 
 
 
 
De modo simplificado suele escribirse 𝑨 𝒎𝒏 ∗ 𝑿 𝒏𝟏 = 𝑩 𝒎𝟏 donde: 
𝐴 𝑚𝑛 ∶ 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝑋 ∶ 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
𝐵 ∶ 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
 
 
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Representación vectorial de un sistema de ecuaciones lineales 
Sea: 
𝑨 𝟏 ∗ 𝒙 𝟏 + 𝑨 𝟐 ∗ 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝑨 𝒏 ∗ 𝒙 𝒏 = 𝑩 
 
donde 𝑨 𝒏 son las columnas de 𝑨 
 
Sistema de ecuaciones lineales como una aplicación lineal 
 
Sabiendo que toda matriz de dimensión m x n define una aplicación lineal, podemos entender un 
sistema de m ecuaciones y n incógnitas, como una aplicación lineal de 
coeficientes de las distintas incógnitas 
 
Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, se 
expresa como: 
 
 
 donde: 
𝒂, 𝒃, 𝒂 ′, 𝒃 ′ 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 
 𝒄, 𝒄 ′ 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
 incógnitas 
 términos independientes 
 
 X + Y = 
 
 coeficientes 
 
 
Llamamos solución del sistema, a un par de valores, uno para x y otro para y que verifican o 
satisfacen las dos ecuaciones del sistema. 
 
a
b
b 
.
. 
 
b
b
b 
.
. 
 
c
b
b 
.
. 
 
 
 
3 
Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes si ambos tienen la misma solución 
 
Según el número de soluciones un sistema puede: 
 
 
 
 
La interpretación de esto resulta bastante evidente pues la representación de cada ecuación lineal 
se corresponde con una recta, de manera que: 
1) Cuando el sistema sea INCOMPATIBLE (no tenga solución), entonces las dos rectas serán paralelas 
(no tienen ningún punto en común). 
2) Cuando el sistema sea COMPATIBLE DETERMINADO (tenga una única solución), entonces las rectas 
serán secantes (se cortan en un sólo punto). 
3) Cuando el sistema sea COMPATIBLE INDETERMINADO (tenga infinitas soluciones), entonces las rectas 
serán coincidentes (se cortan en infinitos puntos). 
RANGO DE UNA MATRIZ 
El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es distinto de 
0. 
 
Con el siguiente ejemplo vamos a ver como se obtiene el rango de una matriz. 
 
 
 
 
 
Sistemas 
de 
Ecuaciones 
Incompatible: el sistema no tiene 
solución. 
Indeterminado: el sistema tiene infinitas 
soluciones 
Determinado: el sistema tiene 
una sola solución Compatible 
 
 
4 
Dada la matriz A: 
 
 
 
¿Cuál es el rango de la siguiente matriz cuadrada A? 
 
La mayor submatriz cuadrada que podemos elegir es la misma matriz, por lo que empezamos 
calculando su determinante: 
 
 
Que es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz A, es de rango 4, que coincide con su orden: 
 
 
 
Veamos un último ejemplo. 
 
Calcular el rango de la siguiente matriz: 
 
 
 
Empezamos calculando el determinante de la matriz, ya que es la mayor submatriz cuadrada: 
 
 
 
5 
 
 
Su determinante es igual a cero. Como no podemos elegir más submatrices de orden 4, el rango de B 
va a ser menor que 4: 
 
Buscaremos por tanto una submatriz cuadrada de orden 3, que esté contenida en B, cuyo 
determinante sea distinto de cero. Sólo con que encontremos una, el rango de B, ya será igual a 3. 
Elegimos la submatriz cuadrada de orden 3 formada por las columnas 1, 2 y 3 y las filas 1, 2 y 3. 
Calculamos su determinante: 
 
 
Su determinante es distinto de cero, luego ya no tenemos que seguir buscando y el rango de B es 3: 
 
 
 
Teorema de Rouché-Fröbenius 
Antes de proceder a resolver un sistema de ecuaciones lineales, tenemos que dar respuesta a 
las siguientes preguntas: ¿El sistema tiene solución, es decir, es compatible? En caso afirmativo: 
¿Tiene una solución o infinitas? Para responderlas, una de las herramientas que podemos utilizar es 
la que proporciona el Teorema de Rouché-Fröbenius, cuyo enunciado es el siguiente: 
Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la 
siguiente: 
a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 + ……..+ a1n . xn = b1 
a21 . x1 + a22 . x2 + a23 . x3 + ……..+ a2n . xn = b2 
……………………………………………………………………… 
am1 . x1 + am2 . x2 + am3 . x3 + ……..+ amn . xn = bm 
 
 
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Sean A la matriz del sistema y A* la matriz ampliada del sistema (con los términos independientes). 
 
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas 
sea compatible, es que el rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas ( A ) sea igual al 
rango de la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ). Es decir: rango (A) = rango (A*). 
Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A* y rangos 
respectivos r y r* se verifican: 
 
El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango (A) = rango(A*) 
En caso de compatibilidad existen dos posibilidades: 
 
Si r = r' = n (nº de incógnitas) Sistema compatible determinado (una única solución) 
Si r = r' < n (nº de incógnitas) Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones) 
Al valor n – r se le llama grado de libertad del sistema. 
Como vemos si el valor común de los rangos coincide con el número de incógnitas, el sistema es 
compatible determinado. Si, por el contrario, el valor de los rangos es menor que el número de 
incógnitas el sistema es compatible indeterminado. 
 
Resolución de un sistema de ecuación lineal 
 
Método de sustitución 
 
1er Paso: Se despeja la incógnita x de una de las 
ecuaciones dadas. 
2do Paso: Reemplazamos la incógnita x, en la otra ecuación dada; para obtener el valor de la 
incógnita y 
 
 
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3er Paso: Reemplazamos la incógnita y, en la 1ra expresión obtenida; para obtener el valor de la 
incógnita x 
 
Ejemplo 1: 
{
𝑥 + 2𝑦 = 9 (1)
3𝑥 − 𝑦 = 13 (2)
 
 
De (1) despejamos x 
𝑥 = 9 − 2𝑦 (3) 
Reemplazamos (3) en (2) y despejamos y: 
3 (9 − 2𝑦) − 𝑦 = 13 
27 − 6𝑦 − 𝑦 = 13 
27 − 7𝑦 = 13 
27 − 13 = 7𝑦 
14 = 7𝑦 
𝑦 =
14
7
= 2 (4) 
Reemplazamos (4) en (3) 
 
𝑥 = 9 − 2 . (2) = 9 − 4 = 5 (3) 
 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 (5; 2) 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂 
 
 
La solución puede graficarse. Debemos despejar “y” en ambas ecuaciones y asigno algunos 
valores de x para poder graficar las rectas (tal como lo vimos en la unidad 2). Como el 
sistema es compatible determinado la solución del sistema corresponde al punto (x; y) 
donde las rectas se cortan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Ejemplo 2: 
{
𝑥 + 2𝑦 = 2 (1)
5𝑥 + 2𝑦 = 2 (2)
 
 
De (1) despejamos x 
𝑥 = 2 − 2𝑦 (3) 
Reemplazamos (3) en (2) y despejamos y: 
5 (2 − 2𝑦) + 2𝑦 = 2 
10 − 10𝑦 + 2𝑦 = 2 
10 − 8𝑦 = 2 
−8𝑦 = 2 − 10 
−8𝑦 = −8 
𝑦 =
−8
−8
= 1 
Reemplazamos (4) en (3) 
 
𝑥 = 2 − 2 . (1) = 2 − 2 = 0 
 
 
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𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 (0; 1) 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂 
Como el sistema es compatible determinado, la solución grafica corresponde al punto 
donde se cortan ambas rectas como en el ejemplo anterior.