Apunte Analisis Cuantitativo

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Análisis Cuantitativo II 
Unidad 8: Análisis estadístico. Medidas de dispersión 
 
INTRODUCCIÓN 
Las medidas de dispersión nos sirven para cuantificar la 
separación de los valores de una distribución. 
Llamaremos DISPERSIÓN O VARIABILIDAD, a la mayor o menor 
separación de los valores de la muestra, respecto de las medidas de 
centralización que hayamos calculado. 
Al calcular una medida de centralización como es la media 
aritmética, resulta necesario acompañarla de otra medida que 
indique el grado de dispersión, del resto de valores de la distribución, 
respecto de esta media. 
A estas cantidades o coeficientes, les llamamos: MEDIDAS DE DISPERSIÓN, pudiendo ser 
absolutas o relativas 
 
6.1 Medidas de dispersión 
Permiten determinar el grado de esparcimiento de los datos de un conjunto con respecto a la 
medida de tendencia central elegida, es decir, cuanto se desvían los datos del promedio. 
 
¿Por qué es importante medir la desviación? 
 
• A menudo una medida de posición de un conjunto de datos se vincula con la indicación de cuán 
típico o representativo es para la población y para ello es necesario contar con la información que 
proporcionan las medidas de dispersión. Solo el conocimiento de un estadístico de tendencia central 
no aclara o define toda la distribución, además que no existe un valor de tendencia central ideal, por 
lo que es significativo tener una idea de la dispersión de los valores y determinar si es mucha o poca 
alrededor de la media, pues si la variación es muy grande entonces esta medida de tendencia central 
no es buena selección como valor típico. 
• La medida de tendencia central no indica la relación de un dato con los otros, es necesario para ello 
las medidas de variabilidad o dispersión. 
 
• Al tratar problemas con datos dispersos se requiere conocer que problemas puede esto traer, hasta 
qué punto la dispersión tiene un riesgo aceptable o inaceptable en la toma de decisiones. 
 
6.1.1 RECORRIDO O RANGO (R) 
 
 Mide la dispersión de la totalidad de los datos. Es la más obvia de las medidas ya que es la distancia 
entre los valores máximo y mínimo. 
 
𝑅 = 𝑥𝑛 − 𝑥1 
 
Donde: 
𝑥𝑛: es el dato de mayor valor del conjunto 
𝑥1: es el dato de menor valor del conjunto 
 
 Cuando estamos trabajando con distribución de frecuencia, 𝑥𝑛 está dado por la marca de 
clase del último intervalo y 𝑥1 está determinado por la marca de clase del primer intervalo. 
 
Ejemplo: 
Datos crudos 
El siguiente conjunto de datos, nos indica la recaudación anual total de los impuestos de Mendoza, en 
millones de pesos, entre 1999-2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Año Recaudación 
(millones de pesos) 
1999 378,23 
2000 380,27 
2001 392,27 
2002 371,51 
2003 548,85 
2004 662,89 
2005 831,94 
2006 1083,27 
2007 1275,56 
 
¿Cuál es el Rango en la recaudación? 
R = 1275,56 – 371,51 = 904,05 
El rango es 904,05 
 
Arreglo de frecuencia 
Se observó la producción de una empresa de conservas durante 25 días, la cual se detalla a 
continuación: 
60 63 124 80 100 
85 60 160 85 124 
99 132 65 124 99 
100 124 71 75 100 
80 145 124 132 124 
 
 
 
 
 
¿Cuál es el Rango en la producción de la empresa? 
R = 160 – 60 = 100 
 
Distribución de frecuencias 
 La siguiente tabla muestra el número de turistas, clasificados según su edad, que se 
hospedaron en un hotel tres estrellas. 
 
Edad 
N.º de 
turistas 
[1 - 14) 127 
[14 - 27) 324 
[27 - 40) 455 
[40 - 53) 165 
[53 - 66) 75 
[66 - 79) 97 
 1243 
 
¿Cuál es el Rango en la edad de los turistas? 
La marca de clase del intervalo [1 - 14) es: (14 + 1) / 2 = 7,5 
La marca de clase del intervalo [66 - 79) es: (79 + 66) / 2 = 72,5 
Entonces el rango es: R = 72,5 – 7,5 = 65 
 
CARACTERÍSTICAS DE R 
1. Es la medida de dispersión más simple, ya determina las unidades comprendidas el menor y el 
mayor valor del conjunto 
2. Su valor está influido por datos extremos, por lo cual no es una medida adecuada para medir el 
grado de dispersión 
 
3. El rango o recorrido da alguna idea del grado de variación que ocurre en la población, pero con 
frecuencia los resultados pueden ser engañosos, pues este depende de los valores extremos e ignora 
la variación de las demás observaciones. Está afectado por ocurrencias raras o extraordinarias. 
 
6.1.2 DESVIACIÓN MEDIA (DM) 
 
 La desviación Media o Desviación absoluta promedio, es la media aritmética de las 
desviaciones absolutas de cada una de las observaciones con respecto a su valor central, la media 
aritmética, o la mediana 
Cuanto mayor es su valor, mayor es la dispersión de los datos 
 
CÁLCULO DE LA DM 
 
• Datos crudos: 
 
 Con respecto a la media ( �̅� ): 
 
 
 Con respecto a la mediana (Me): 
 
 
• Arreglo y distribución de frecuencias: 
 
 Con respecto a la media ( �̅� ): 
 
 
 
 Con respecto a la mediana (Me): 
 
 
 
CARACTERÍSTICAS DE LA DM 
1. Su valor depende del valor de cada observación. 
2. Se puede calcular alrededor de la media o de la mediana. 
3. La desviación promedio respecto a la mediana es un mínimo 
4. Mide la desviación de una observación sin notar si está por encima o por debajo del promedio. 
 
Ejemplos: 
Datos Crudos 
En el caso de la recaudación debemos tener en cuenta la media (658,31) y la mediana 
(548,85) calculadas: 
Año Recaudación (millones de pesos) Xxi − ei Mx − 
1999 378,23 280,08 170,62 
2000 380,27 278,04 168,58 
2001 392,27 266,04 156,58 
2002 371,51 286,8 177,34 
2003 548,85 109,46 0 
2004 662,89 4,58 114,04 
2005 831,94 173,63 283,09 
2006 1083,27 424,96 534,42 
2007 1275,56 617,25 726,71 
 5924,79 2440,84 2331,38 
 
 
 
 
 
 
Conclusión: Hay una dispersión de $271.200 respecto del promedio, y de $259.040 respecto de la 
Mediana. 
 
Arreglo y distribución de frecuencia: 
 
En la producción de la empresa de conservas, debemos tener en cuenta la media (102,24) y la 
mediana (100) calculadas: 
 
Arreglo de frecuencia: 
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 
Xxf ii −
 eii
Mxf −
 
60 2 120 84,48 80 
63 1 63 39,24 37 
65 1 65 37,24 35 
71 1 71 31,24 29 
75 1 75 27,24 25 
80 2 160 44,48 40 
85 2 170 34,48 30 
99 2 198 6,48 2 
100 3 300 6,72 0 
124 5 620 108,8 120 
132 2 264 59,52 64 
145 2 290 85,52 90 
160 1 160 57,76 60 
 25 2556 623,2 612 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusión: Hay una dispersión de 25 latas respecto del promedio, y de 25 latas respecto de la 
Mediana. 
 
Distribución de frecuencias: 
 
En el caso de la edad de los turistas, debemos tener en cuenta la media (35,81) y la mediana (33,75) 
calculadas: 
 
Edad Nº de turistas (𝒇𝒊) 𝒙𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 
Xxf ii −
 eii
Mxf −
 
1-14 127 7,5 952,5 3596,05149 3333,75 
15-28 324 21,5 6966 4638,1786 3969 
29-42 455 35,5 16152,5 143,491553 796,25 
43-56 165 49,5 8167,5 2257,9646 2598,75 
57-70 75 63,5 4762,5 2076,34755 2231,25 
71-84 97 77,5 7517,5 4043,40949 4243,75 
 1243 44518,5 16755,4433 17172,75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusión: Hay una dispersión de 13 años respecto de la edad promedio y de 14 años respecto de la 
Mediana