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Marisa Angélica Digión 1 
 
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Capítulo III 
 
CALCULO DIFERENCIAL 
DE 
FUNCIONES REALES 
DE 
VARIABLE REAL 
 
 
 
 
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Función
Función Real de 
Variable Real
Pre-Cálculo
Límite Continuidad
CÁLCULO
DIFERENCIAL Integral 
Caso Particular: 
Sucesiones Infinitas 
de Números Reales
Series Infinitas 
de Números Reales
Función Real de Dos 
Variables Reales
Generalidades
Introducción al 
Cálculo Diferencial 
 
 
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CONTENIDO 
 
1. INTRODUCCION 
 1.1 Presentación del Tema 
 1.2 Objetivos 
 1.3 Conceptos Previos 
2. DERIVADA DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL 
 2.1 Incrementos 
2.1.1 De una variable 
2.1.2 De las variables independiente y dependiente de una función real de una variable real 
 2.2 Función Derivada 
 2.2.1 Definición 
 2.2.2 Notación 
 2.2.3 Terminología 
 2.3 Derivada de una función en un punto 
2.3.1 Valor numérico de la derivada en un punto 
2.3.2 Notación 
2.3.3 Terminología 
2.3.4 Derivadas laterales 
2.3.5 Teorema 
2.3.6 Teorema: Derivada-Continuidad 
2.3.7 Análisis de la derivabilidad de una función en un punto 
 2.4 Derivada de una función en un intervalo 
 2.5 Reglas de derivación 
 2.5.1 Introducción 
 2.5.2 Reglas de Derivación de las Funciones Elementales 
 2.5.3 Reglas Operativas en el Cálculo Diferencial 
 2.6 Interpretación geométrica de la derivada en un punto 
 2.6.1 Recta tangente 
 2.6.2 Interpretación geométrica de la Función Derivada en un punto: Pendiente de la recta tangente
 
 
 
 
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2.7 Derivada de la Función Compuesta 
 2.7.1 Teorema 
 2.7.2 Algoritmo para calcular la Derivada de la Función Compuesta 
 2.8 Derivada de la Función Implícita 
2.9 Derivación Logarítmica 
 2.9.1 Método de la derivada logarítmica 
 2.9.2 Aplicaciones: Derivada de la Función Exponencial 
2.10 Derivadas de Orden Superior 
3. LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION 
 3.1 Definición 
 3.2 Interpretación geométrica 
3.3 La diferencial y el incremento de la función 
3.4 Reglas de diferenciación 
3.4.1 Diferenciación 
3.4.2 Reglas de diferenciación 
4. APLICACIONES DEL CALCULO DIFERENCIAL 
4.1 Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función real de variable real en un punto de la misma 
 4.2 Regla de L'Hopital 
 4.3 Estudio de una función real de variable real 
 4.3.1 Intervalos de crecimiento y decrecimiento (Intervalos de Monotonía) 
 i) Introducción 
 ii) Teorema 
 iii) Puntos críticos 
 iv) Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento 
4.3.2 Extremos Relativos 
 i) Introducción 
 ii) Condición Necesaria para la existencia de extremos relativos: Teorema de Fermat-
generalizado- 
iii) Condición Suficiente para la existencia de extremos relativos: Criterio de la primera derivada 
4.3.3 Intervalos de concavidad 
 i) Introducción 
 ii) Teorema 
 
 
 
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4.3.4 Puntos de Inflexión 
i) Condición Necesaria para que la gráfica cartesiana de una función tenga un punto de inflexión 
ii) Condición Suficiente para que la gráfica cartesiana de una función tenga un punto de inflexión 
4.3.5 Esquema general del Estudio de Funciones 
4.4 Extremos Absolutos 
5. APLICACIONES 
 
 
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1.1 PRESENTACIÓN DEL TEMA 
Una de las definiciones del Cálculo explicita: El Cálculo, una de las tres ramas en la que se estructura la 
Matemática, es el estudio de las cantidades de cambio. 
¿Cuál es la interpretación de la afirmación que antecede? ¿De qué cambios estamos hablando? 
Recordemos que una función es una particular relación entre elementos de dos conjuntos diferentes o en un 
mismo conjunto. La relación funcional puede definirse de diferentes formas: por una gráfica (diagrama de Euler-
Venn, gráfica cartesiana), por un conjunto de pares de valores numéricos (tabla) o mediante una fórmula 
(expresión analítica). Así, si con x designamos a la variable independiente, con y a la variable dependiente y con 
“f” a la función, el nexo vinculante entre x e y mediante una expresión matemática, por ejemplo, queda 
establecido de la siguiente manera: 
y=f(x) 
Nos preguntamos: ¿qué ocurre cuando se presentan cambios en la variable independiente “x”? y ¿de qué 
manera se manifiestan estos cambios en la variable dependiente “y”? 
En numerosos problemas del contexto real que pueden modelizarse mediante una función, es común el interés 
por conocer que efectos se producen en la misma cuando aparecen variaciones en los factores que obran como 
independientes. En nuestro caso particular de funciones reales de una variable real, esto significaría analizar que 
sucede con la variable dependiente y (o función) en términos de lo que acontece con la variable independiente 
x. 
Como ejemplos podemos plantearnos los siguientes a manera de interrogantes: 
a) La variación que ha sufrido el precio de un determinado bien del rubro alimentos, ¿es idéntica en el período 
Enero- Marzo del 2019 que en el período Enero- Marzo del 2020? 
b) ¿En cuánto cambia el costo total de producción de una fábrica por cada unidad adicional producida? 
c) El ritmo de crecimiento de la población mundial, ¿ha sido el mismo en cada una de las dos últimas décadas?
 
Herramientas para analizar fenómenos como los descriptos las encontraremos en el desarrollo del presente 
Capítulo. En primer lugar lo haremos de forma puramente matemática y luego ahondaremos en sus aplicaciones 
concretas. 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
 
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1.2 OBJETIVOS 
✓ Definir la función derivada. 
✓ Analizar la derivabilidad de una función en un punto y un intervalo. 
✓ Enunciar y demostrar las distintas reglas de derivación. 
✓ Calcular la expresión analítica de la función derivada, por definición y aplicando las reglas de derivación. 
✓ Presentar la interpretación geométrica de la derivada en un punto y, su generalización, como función 
pendiente. 
✓ Aplicar la derivada a la resoluciónde problemas de optimización. 
✓ Construir la gráfica cartesiana de una FRVR a partir del conocimiento de las características de su Función 
Derivada, Primera y Segunda. 
 
1.3 CONCEPTOS PREVIOS 
Nuevamente utilizamos estas primeras líneas para recordarte que el aprender está presente durante toda la 
vida de una persona y en todas las circunstancias, personales o profesionales. En esta labor continua confluyen 
el pasado y el presente dando lugar a la integración de conocimientos. 
Es por ello que resaltamos, una vez más, la importancia y la necesidad que, como paso previo a la incorporación 
de nuevos conceptos, revises algunos ya asimilados. En este caso puntual nos referimos a los siguientes: 
❑ Análisis de las características de Función Real de una Variable Real. 
❑ Cálculo del límite de una Función Real de una Variable Real. 
❑ Aplicación de reglas operativas dentro del conjunto de los Números Reales. 
 
 
 
 
 
 
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2.1 INCREMENTOS 
2.1.1 De una variable 
Designemos con “z” a una variable numérica. El incremento de esta variable cuando pasa de un valor numérico 
inicial zi a otro valor numérico final zf es la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la misma: 
 zf - zi 
Asignamos la notación z (se lee: "delta de z") para identificar el incremento de la variable “z”. Luego podemos 
escribir: 
 z = zf - zi 
Este incremento será positivo, negativo o nulo de acuerdo a los valores inicial y final de la variable “z”. De la 
última igualdad deducimos que el valor final zf se obtiene sumando al valor inicial zi el incremento z, o sea: 
 zf = zi + z 
La definición dada es extensible a cualquier variable numérica, independiente de la letra que se utilice para 
designarla o de lo que esta represente. 
2.1.2 De las variables independiente y dependiente de una función real de variable real 
Consideremos la función real de una variable real “f” definida por: 
 f: A  R → R 
 x → y=f(x) 
cuya representación cartesiana es la siguiente: 
 y y=f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
O x 
 
Investiguemos como varía la variable dependiente, o función, en términos de una variación en la variable 
independiente. 
 
2. DERIVADA DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL 
 
 
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Para ello consideremos un valor inicial fijo x de la variable independiente que pertenezca al dominio A de la 
función, al cual corresponderá un valor de la variable dependiente f(x). Incrementemos x en una cantidad no 
nula x de tal forma de obtener un segundo valor de la variable independiente, también perteneciente al 
dominio A de la función. Indicamos a al nuevo valor obtenido como x + x y a su imagen f(x + x), o sea: 
Valor inicial de la variable independiente: x  Su imagen es: f(x) 
Valor final de la variable independiente: x + x  Su imagen es: f(x + x) 
En la gráfica: 
 y 
 y=f(x) 
 
 f(x + x) 
 
 
 
 
 f(x) 
 
O x x+ x 
 x 
 
Observación: en el gráfico consideramos x > 0. 
Ante el cambio experimentado por la variable independiente, observamos que la variable dependiente ha 
pasado de un valor inicial f(x) a un valor final f(x + x). Así, el incremento que experimenta la variable 
dependiente (o función), al que designamos con f(x) =y es igual a: 
 f(x) =y = f(x + x) - f(x) 
En la gráfica cartesiana, tal incremento se refleja de la siguiente manera: 
 y y=f(x) 
 
 
 f(x + x) 
 
 
f(x) =y 
 
 f(x) 
 
O x x + x 
 
 x 
 
 
 
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En consecuencia, el incremento (no nulo) experimentado por la variable independiente x ha producido un 
incremento en la función o variable dependiente f(x) =y . 
Nos preguntamos ahora, ¿qué signo puede tener el incremento f(x) =y? 
Para responder a esta pregunta consideremos las gráficas cartesianas de tres funciones distintas, todas 
identificadas con la letra “f”: 
 
Caso 1 Caso 2 
 
 y=f(x) y=f(x) 
 f(x + x) f(x) 
 
y y 
 
 f(x) f(x + x) 
 
 
 
 
 O x x + x O x x + x 
 
x x 
 
 
 Caso 3 
 
 
 y=f(x) 
 
 f(x)= f(x + x) 
 
 
 
 
 
 
 O x x + x 
 
 x 
 
 
Observación: en todas las gráficas consideramos x > 0. 
 
De acuerdo a la definición dada para el incremento de la función o de la variable dependiente: 
 
y = f(x + x) - f(x) 
 
 
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apreciamos, en las gráficas cartesianas de las distintas funciones, que se verifica lo siguiente: 
 
❑ En el Caso 1, el incremento y = f(x + x) - f(x) > 0 pues f(x + x) > f(x) 
 
❑ En el Caso 2, el incremento y = f(x + x) - f(x) < 0 pues f(x + x) < f(x) 
 
❑ En el Caso 3, el incremento y = f(x + x) - f(x) = 0 pues f(x + x) = f(x) 
 
De esta forma, y contestando a la pregunta formulada, podemos decir que el incremento de la variable 
dependiente o función y puede ser positivo, negativo o nulo. 
Observación: A idénticas conclusiones hubiéramos llegado si considerábamos un incremento de la variable 
independiente x < 0. 
Notas 
1. El incremento de la variable independiente x puede ser positivo o negativo. Su valor numérico puede ser 
grande o pequeño. Sin embargo en los temas que estudiaremos a continuación deberemos pensar en un 
incremento x muy pequeño. Así entenderemos que un incremento pequeño en x es una expresión 
equivalente a un pequeño cambio en la variable independiente x. 
2. Los incrementos de las variables independiente x y de la variable dependiente y, reciben el nombre de 
incrementos absolutos de dichas variables. 
3. El cociente entre el incremento de la variable dependiente y la variable independiente: 
 y 
 x 
recibe el nombre de cociente incremental o cociente de incrementos en el intervalo (x, x+x). Su definición 
reviste máxima importancia dentro del Cálculo Diferencial. 
 
2.2 FUNCIÓN DERIVADA 
2.2.1 Definición 
Sea “f” la función real de una variable real definida por: 
f: A  R → R 
 x → y=f(x) 
Si existe una función f ', tal que: 
 
 
 
 
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f ': A' A → R 
 x → y' = f '(x) = lim 
𝐲
𝐱 = 
 x → 0 
 
 = lim f(x + x) - f(x) 
 x → 0 x 
 
esta función es, por definición, la función derivada de “f” respecto de x, o simplemente la derivada de “f” 
respecto de x, siendo:A' = x  A /  f '(x) = lim y  A 
 x → 0 x 
 
 
2.2.2 Notación 
La derivada de la función de expresión analítica y=f(x), además de indicarse con la notación establecida en la 
definición, o sea con: 
 y' = f '(x) 
también puede notarse de alguna de las siguientes formas: 
 dy , df , Dxy, Dxf 
 dx dx 
Observación 
¿Cómo se interpreta, en el marco de las notaciones de derivada indicadas, las siguientes expresiones? 
 a) dT , b) DtM, 
 dx 
Recordemos que NO IMPORTA el nombre de la o las variables que intervienen en la notación, pero SI IMPORTA 
lo que cada una representa. Entonces: 
 a) dT indica la derivada de T respecto de x, si T es una función de la variable independiente x. 
 dx 
 
 b) DtM indica la derivada de M respecto de t, si M es una función de la variable independiente t. 
 
 
 
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2.2.3 Terminología 
El proceso mediante el cual dada una función “f” se determina la función derivada “f' ” se denomina 
DERIVACIÓN. 
EJEMPLOS 
 
Aplicando la definición determinar, de manera completa, la función derivada de las dadas. Luego representar 
gráficamente a “f” y “f ' ”. 
 
a) f: R →R 
 x →y= f(x) = 4x - 2 
Por definición, la derivada de cualquier función “f” es: 
f ': A' A → R 
 x → y'=f'(x) = lim y = lim f(x + x) - f(x) 
 x → 0 x x → 0 x 
Deberemos entonces, particularizar esta última para la función “f” dada. Para ello establezcamos en forma 
sistemática los pasos algebraicos necesarios. 
i) Para determinar la Expresión Analítica y'=f'(x) 
Sea el incremento de la variable independiente x (positivo o negativo). 
Luego, el incremento de la variable dependiente será: 
y = f(x - x) - f(x) 
Como: 
f(x) = 4x-2 
entonces es: 
 f(x + x) = 4 (x + x) - 2 = 4x + 4 x - 2 
Así, el incremento de la variable dependiente y es: 
y = f(x - x) - f(x) = (4x + 4 x - 2) - (4x-2) = 4x + 4 x - 2 - 4x + 2 = 4 x 
y el cociente incremental es: 
 y = 4 x = 4 
 x x 
 
 
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y el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a 0 ( o sea la 
fórmula de la expresión analítica de la función derivada) es: 
 y'=f'(x) = lim y = lim 4 = 4 
 x → 0 x x → 0 
Finalmente la expresión analítica de la derivada es: 
 y'=f'(x) = 4 
 
ii) Para determinar el Dominio A' 
Observemos, ¿para qué valores de x existe la expresión analítica de la función derivada: 
 y'=f '(x) = 4? 
 
Luego, como ella existe para todo número real x , entonces concluimos que su dominio es el conjunto de los 
números reales, o sea: 
 A' = R 
[en este caso el dominio de “f” (A=R) es idéntico al dominio de “f ' ” (A'=R) ]. 
 
 
 
iii) Definimos, de manera completa, la función derivada “f ’ ”, utilizando los datos ya obtenidos: 
 
 f ': R → R 
 x → y'=f'(x) = 4 
 
Representaciones gráficas 
 
 
 y y= f(x)=4x-2 y 
 6 
 
 4 y'= f '(x)=4 
 
 
 
 2 
 
 
 
 O x O x 
 2 
 
 
 
 
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b) f: R →R 
 x →y= f(x) = x2 + 1 
La derivada de cualquier función “f” es: 
f ': A' A → R 
 x → y'=f'(x) = lim y = lim f(x + x) - f(x) 
 x → 0 x x → 0 x 
 
Veamos, en este caso, cuál es la expresión resultante particular para la misma. 
i) Determinamos la expresión analítica 
Sea x (positivo o negativo) el incremento de la variable independiente x. 
Como: 
f(x) = x2 + 1 
entonces es: 
f(x + x) = (x + x)2 + 1 = (x2 + 2 x x +x2 ) + 1 = x2 + 2 x x + x2 + 1 
y el incremento de la variable dependiente y es: 
y = f(x - x) - f(x) = (x2 + 2x x + x2 + 1) - (x2 + 1)= 
 
 = x2 + 2 x x +x2 + 1 - x2 - 1 = 
 
 = 2x x + x2 
siendo el cociente incremental: 
 y = 2x x +x2 = x ( 2 x+ x) = 2 x + x 
 x x x 
y el limite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a 0 (o sea la 
fórmula de la expresión analítica de la función derivada) es: 
 y'=f '(x)= lim y = lim ( 2 x+ x) = 2 x 
 x → 0 x x → 0 
Finalmente la expresión analítica de la derivada es: 
 y'=f'(x) = 2x 
 
 
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ii) Determinamos el dominio A' 
Observando para que valores de x existe la expresión analítica de la función derivada: 
 y'=f '(x) = x 
tenemos que lo hace para todo número real x. Luego: 
 A' = R 
[en este caso el dominio de f (A=R) es idéntico al dominio de f ' (A'=R) ] 
iii) Definimos, de manera completa, la función derivada “f ’ ”, utilizando los datos ya obtenidos: 
 f': R → R 
 x → y'=f'(x) = 2x 
Representaciones gráficas 
 
 
 y y= f(x)= x2 + 1 y 
 
 
 y'= f '(x)= 2x 
 
 2 2 
 
 
 
 
 O 1 x O 1 x 
 
 
 
 
2.3 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 
 
2.3.1 Valor numérico de la derivada en un punto 
La expresión analítica de la derivada de una función “f” en un punto xo , o también denominado valor numérico 
de la derivada “f ’ ”en el punto xo , se determina al reemplazar x por xo en la expresión analítica de dicha función 
derivada . Así obtenemos: 
 
 f ' (xo) = lim f(xo + x) - f(xo ) (1era. Versión) 
 x → 0 x 
 
 
 
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El resultado del cálculo de este último límite es UN NÚMERO, cuya interpretación daremos más adelante. 
Nota: En la historia del Cálculo, la interpretación geométrica de este número fue uno de los "motores" que 
impulsó su desarrollo. 
Hagamos ahora el siguiente cambio de variable. Llamemos: 
 x = xo + x  x = x - xo 
Así cuando: 
 x → 0  x → xo 
Reemplazando la precedentes en la última expresión, obtendremos una nueva forma de indicar la expresión 
analítica de la derivada de una función “f” en un punto xo (o valor numérico de la función derivada “f ’ ”derivada 
en el punto xo): 
 
f ' (xo) = lim f(x) - f(xo)(2da. Versión) 
 x → xo x - xo 
 
2.3.2 Notación 
En correspondencia a las notaciones dadas para la función derivada “f ’ ”, las siguientes identifican al valor 
numérico de la función derivada “f ’ ”en el punto xo: 
 
 y' (xo), f '( xo), dy , df , Dxy , Dxf 
 dx x=xo dx x=xo x=xo x=xo 
 
2.3.3 Terminología 
Si existe el valor numérico de la función derivada “f ’ ”en un punto xo , o sea si existe f'(xo), entonces decimos 
que f ES DERIVABLE en xo. 
 
2.3.4 Derivadas laterales 
Al abordar el tema de límite de una función real de variable real se explicó la necesidad de definir los límites 
laterales. Ya que la expresión analítica de la función derivada calculada en un punto [f´(xo)] involucra a un límite, 
es razonable pensar en los conceptos de derivadas laterales de la función calculadas en un punto . A éstas se 
las designa y define de la siguiente forma: 
 
 
 
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Definiciones 
i) Derivada lateral izquierda de “f” en xo: 
 f'- (xo) = lim f(xo + x) - f(xo) 
 x → 0 - x 
ii) Derivada lateral derecha de “f” en xo: 
 f'+ (xo) = lim f(xo + x) - f(xo) 
 x → 0+ x 
 
 
2.3.5 Teorema 
Si existe f´(xo) entonces existen f’+(xo) y f’-(xo) y se cumple que f´(xo) = f’+(xo) = f’- (xo) y recíprocamente. 
 
Notas 
✓ Si existen las derivadas laterales finitas en un punto xo y sus valores son iguales, entonces el punto recibe el 
nombre de punto ordinario. 
✓ Existen las derivadas laterales finitas en un punto xo y sus valores son diferentes, entonces el punto recibe 
el nombre de punto anguloso. 
 
EJEMPLO 
Determinar si existe la derivada de la función “f” definida por: 
 
 
 f: R → R x2 si x  0 
 x → y=f(x) = en xo=0 
 5x si x > 0 
 
Solución 
Calculamos f '(xo=0). Para ello requerimos determinar el valor de las derivadas laterales en xo=0; esto en virtud 
que la definición de la función “f” tiene una rama de la expresión analítica válida para los valores del dominio 
menores que xo=0 y otra rama de la expresión analítica para los valores del dominio mayores que xo=0: 
 
 
 
 
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Derivada lateral derecha de la función f en xo=0: 
 
f'+ (0) = lim f(0 + x) - f(0) = lim [5(0+ x)] - 5.0 = 
 x → 0 + x x → 0 + x 
 = lim (5.0 + 5. x) - 5.0 = 
 x → 0 + x 
 = lim 5 (x) = 
 x → 0 + x 
 = lim 5 = 5 
 x → 0 + 
Así: 
 f'+ (0) = 5 
 
Derivada lateral izquierda de f en xo=0: 
 
f'- (0) = lim f(0 + x) - f(0) = lim (0+ x)2 - 02 = 
 x → 0 - x x → 0 - x 
 = lim [02 + 2.0. x + (x)2] - 02 = 
 x → 0 - x 
 = lim (x)2 = 
 x → 0 - x 
 = lim x = 0 
 x → 0 - 
Así: 
 f'- (0) = 0 
Finalmente: ambas derivadas laterales existen en xo=0 pero sus valores son diferentes [f'+ (0)  f'- (0)]. Luego 
no existe la derivada en xo= 0 [ f´(xo=0)]. Luego, la función f tiene en 0 un punto anguloso. 
 
2.3.6 Teorema: Derivada- Continuidad 
 
Si una función “f” es derivable en el punto xo entonces dicha función “f” es continua en ese punto xo. 
 
O sea: 
 
 
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  f '(xo) = lim f(x) - f(xo)  lim f(x) = f(xo) 
 x → xo x - xo x → xo 
 
 
 
 Definición alternativa Definición alternativa 
 de derivada en un punto de continuidad en un punto 
 
Demostración 
 
Partamos de la expresión siguiente: 
 
lim [f(x) - f(xo)] 
x → xo 
 
y operemos sobre ella: 
 
 
lim [f(x) - f(xo)] = lim [f(x) - f(xo)] (x - xo) = 
x → xo x → xo (x - xo) 
  
 
 = lim f(x) - f(xo) . lim (x - xo) = 
 x → xo (x - xo) x → xo 
  
 
 = f'(xo) . 0 = 0 
  
 
 Multiplicamos numerador y denominador por (x - xo) 
 Aplicamos el límite a un producto de funciones 
 Por hipótesis existe el primer límite y es precisamente f'(xo). El segundo límite es igual a 0 
De esta forma obtenemos que: 
lim [f(x) - f(xo)] = 0 
x → xo 
Apliquemos, al primer miembro esta última igualdad, las propiedades de los límites (límite de una diferencia y 
el límite de una constante) y realicemos algunos pasos algebraicos, de la siguiente manera: 
lim f(x) - lim f(xo) = 0 
x → xo x → xo 
lim f(x) = lim f(xo) 
x → xo x → xo 
 
 
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lim f(x) = f(xo) 
x → xo 
Esta última igualdad no es otra cosa que la definición de una función “f” continua en un punto xo. Luego podemos 
afirmar que: 
“f” es continua en xo 
Con lo que queda demostrado el Teorema Derivada-Continuidad. 
 
Nota: ¿Es el recíproco de este teorema verdadero? O sea, ¿podemos afirmar que si una función es continua en 
xo también es derivable en dicho punto? 
La respuesta a ambas preguntas es NO. No toda función continua en un punto es derivable en dicho punto. 
Lo que sí podemos garantizar, es la veracidad del Contra-reciproco del Teorema dado, cuyo enunciado es,: 
Si una función “f” no es continua en un punto xo, entonces dicha función “f” no es derivable en ese punto xo. 
 
EJEMPLO 
Demostrar que la función definida por: 
 
 
f: R → R x si x < 1 
 x → y=f(x) = 
 2x si x  1 
 
no admite derivada en el punto xo = 1. 
Solución 
Para probar que  f '( 1), bastará probar que “f” no es continua en xo = 1. Esto último lo podemos hacer gráfica 
o analíticamente. Optamos por la primera alternativa, la gráfica. 
La representación cartesiana de la función “f” es la siguiente: 
 
 
 
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 y y=f(x) 
 
 
 2 
 
 1 
 
 
 0 1 x 
 
 
 
 
Observamos que en xo = 1 existe un "salto" en la gráfica de la función. Luego f no es continua en xo = 1. 
Finalmente, f no es derivable en xo = 1, o sea  f'( 1). 
 
2.3.7 Análisis de la derivabilidad de una función en un punto 
A continuación, y tomando como base todas las herramientas ya expuestas hasta ahora, vamos a determinar EN 
QUE CASOS NO EXISTE LADERIVADA EN UN PUNTO xo. 
Puede ser que NO EXISTA f ' (xo) pues …: 
1.… la función “f” no es continua en xo . 
Esto surge como consecuencia del Teorema Contra-recíproco al Teorema Derivada-Continuidad. 
Un ejemplo de este caso, es cuando la gráfica cartesiana de la función “f” tiene en xo una discontinuidad; en el 
caso del siguiente gráfico es una discontinuidad evitable: 
 
 
 y 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 
 O xo x 
  f'(xo) 
 
 
 
 
 
 
___________________________________________________________________________________________________ 
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2…. las derivadas laterales en xo tienen valores finitos pero diferentes. 
Esto surge del Teorema que menciona que la derivada en un punto existe si y solo si las derivadas laterales 
derecha e izquierda existen en dicho punto y son iguales. 
En este caso la gráfica de la función tiene un punto anguloso (esquina o pico): 
 
 y 
 
 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 O xo 
 
 
 
  f'(xo) 
 
 
3.- … por lo menos alguna de las derivadas laterales en el punto xo es un valor no finito. 
Ya que establecimos que cualquier límite existe si y solo si su cálculo arroja como resultado un valor finito y la 
derivada no es otra cosa que el producto de aplicar el límite al cociente incremental. 
 
2.4 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO 
 
Definiciones 
Sea la función “f” definida de la siguiente forma: 
 f: A  R → R 
 x → y=f(x) 
Entonces: 
i) Si A es un intervalo abierto de alguno de los siguientes tipos: (a,b), (a,+), (-, b) , (-,+) y existe la 
derivada en cada punto del mismo, entonces decimos que “f es derivable sobre dicho intervalo”. 
ii) Si A es un intervalo semi-cerrado a izquierda de la forma [a,b), existe la derivada en cada punto del intervalo 
abierto (a,b) y existe la derivada lateral derecha en a: f'+(a), entonces decimos que “f es derivable sobre 
intervalo semi-cerrado a izquierda [a,b)”. 
 
 
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iii) Si A es un intervalo semi-cerrado a derecha de la forma (a,b], existe la derivada en cada punto del intervalo 
abierto (a,b) y existe la derivada lateral izquierda en b: f'-(b), entonces decimos que “f es derivable sobre 
intervalo semi-cerrado a derecha (a,b]”. 
iv) Si A es un intervalo cerrado de la forma [a,b], existe la derivada en cada punto del intervalo abierto (a,b) 
y existen las derivadas laterales derecha en a: f'+(a) e izquierda en b: f'-(b), entonces decimos que “f es 
derivable sobre intervalo cerrado [a,b]”. 
 
 
2.5 REGLAS DE DERIVACIÓN 
 
2.5.1 Introducción 
Aunque solo hemos desarrollado unos pocos ejercicios en los cuales aparece el cálculo de la expresión analítica 
de la función derivada, creemos que son suficientes para percibir la laboriosidad, y en algunos casos la 
complejidad, que implica el procedimiento: 
• Construir el incremento absoluto de la variable dependiente y para un incremento dado de la variable 
independiente x. 
• Formar el cociente incremental y/x. 
• Calcular el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a 0. 
Sin embargo es posible facilitar esta tarea si conocemos de antemano: 
a) Las expresiones analíticas de las derivadas de las funciones elementales. 
b) De qué manera afectan, al proceso de derivación, las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación 
y división. 
A continuación, se enuncian y se demuestran cuáles son las fórmulas de las derivadas de algunas funciones 
elementales, utilizando para ello la definición misma de derivada. 
2.5.2 Reglas de Derivación de las Funciones Elementales 
Regla 1: Derivada de la función constante 
Si “f” es la función constante, o sea: 
 f(x) = c c  R 
entonces su derivada es: 
 f'(x) = (c)' = 0 
(La derivada de una constante es cero) 
 
 
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Demostración 
Aplicamos a “f” la definición de derivada: 
 
f'(x) = lim f(x +x) - f(x) = lim c - c = lim 0 = 0 
 x → 0 x x → 0 x x → 0 x 
     
 
Aplicamos la definición de derivada 
La función es: f(x) = c, luego: f(x+x) = c 
Realizamos la operación algebraica indicada el numerador 
 Aplicamos el límite 
Finalmente: 
 f'(x)=(c)'=0 
 
 
Regla 2: Derivada de la función identidad 
Si “f” es la función identidad, o sea: 
 f(x) = x 
entonces su derivada es: 
 f'(x) = (x)' = 1 
(La derivada de la variable independiente es uno) 
 
Demostración 
Aplicamos a f la definición de derivada: 
 
f'(x) = lim f(x +x) - f(x) = lim (x +x) - (x) = lim x = lim 1 = 1 
 x → 0 x x → 0 x x → 0 x x → 0 
      
 
Aplicamos la definición de derivada 
La función es: f(x) = x; luego: f(x+x) = x+x 
Realizamos la operación algebraica indicada el numerador 
Simplificamos 
Aplicamos el límite 
Finalmente: 
 f'(x)=(x)'=1 
 
 
 
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Regla 3: Derivada de la función múltiplo constante (producto de una constante por una función) 
Sea “f” una función derivable y c es una constante. Si la función múltiplo constante es: y=c f(x) entonces su 
derivada es: 
 y’= [ c f(x) ] ' = c f'(x) c  R 
(La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función) 
 
 
Demostración 
Consideramos la función auxiliar “h”: 
 h(x) = c f(x) 
Deseamos calcular: 
 
 h' (x) = [c f(x) ] ' = ? 
 
Aplicamos a “h” la definición de derivada: 
 
h'(x) = lim h(x +x) - h(x) = lim [c f (x +x)] - [c f (x)] = 
 x → 0 x x → 0 x 
   
 
= lim c [f (x +x) - f (x)] = 
 x → 0 x 
  
 
 = c lim f (x +x) - f (x) = 
 x → 0 x 
  
 
= c f'(x) 
 
  
 
Aplicamos la definición de derivada 
 La función es: h(x) = c f(x); luego: h(x+x) = c f(x+x) 
 Realizamos la operación algebraica indicada el numerador (factor común c) 
Aplicamos la propiedad del límite 
El límite entre corchetes es la derivada de f, o sea f' 
Finalmente: 
 
 [ c. f(x) ] ' = c. f'(x) 
 
 
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Regla 4: Derivada de la función potencia 
Si “f” es la función potencia, o sea: 
 f(x) = xn con n  R - 0 
entonces su derivada es: 
 f'(x) = (xn )' = n xn - 1 
 
 
Demostración 
Vamos a realizar la demostración de esta igualdad solo para el caso en que el exponente n es un entero positivo(n  Z +). 
Aplicamos a “f” la definición de derivada: 
 
f'(x) = lim f(x +x) - f(x) = lim (x +x)n - xn = 
 x → 0 x x → 0 x 
  
 
= lim xn + n xn-1 x + [n(n-1)/2] xn-2 x2 + ...+ xn - xn 
x → 0 x 
 
  
 
= lim xn + n xn-1 x + [n(n-1)/2] xn-2 x2 + ...+ xn - xn 
x → 0 x 
 
  
= lim n xn-1 x + [n(n-1)/2] xn-2 x2 + ...+ xn 
 x → 0 x 
 
  
 
= lim x n xn-1 + [n(n-1)/2] xn-2 x + ...+ xn-1 
x → 0 x 
 
  
 
= lim n xn-1 + [n(n-1)/2] xn-2 x + ...+ xn-1 
 x → 0 
 
 
= n xn-1 
 
 
 
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 Aplicamos la definición de derivada 
 La función es: f(x) = xn; luego: f(x+x) = (x+x)n 
 Realizamos la operación algebraica indicada el numerador, desarrollando el Binomio de Newton 
 Cancelamos los términos semejantes 
 Observamos que el paso al límite produce una indeterminación del tipo 0/0 
 Factoreamos numerador y denominador y simplificamos 
 Aplicamos el límite 
 
Finalmente: 
 
 f'(x)=(xn )'= n xn - 1 con n Z + 
 
Nota 
La demostración de la veracidad de la fórmula cuando: 
i) El exponente es un entero negativo, será posible de realizarla como una aplicación de la regla que, a posteriori, 
mencionaremos respecto a la forma de derivar un cociente entre funciones. 
ii) El exponente es un número real, tendrás la oportunidad de aplicar un procedimiento de derivación “indirecto” 
denominado derivación logarítmica, que estudiaremos unas páginas más adelante. 
 
Regla 5: Derivada de la función raíz cuadrada 
Si “f” es la función raíz cuadrada, o sea: 
 f(x) =  x 
entonces su derivada es: 
 f'(x) = ( x )' = 1/ (2  x ) 
 
 
Demostración 
Aplicamos la Regla 4 de la siguiente forma: 
 f'(x) = ( x )' = ( x 1/2 )' = (1/2) x (1/2) - 1 = (1/2) x - 1/2 = 1/ (2 x1/2) = 1/ (2  x ) 
con lo cual queda demostrada la igualdad propuesta. 
 
 
 
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Regla 6: Derivada de la función logarítmica 
a) Si “f” es la función logaritmo natural, o sea: 
 f(x) = ln x 
entonces su derivada es: 
 f'(x) = ( ln x )' = 1/x 
b) Si “f” es la función logaritmo en base a, o sea: 
 f(x) = loga x 
entonces su derivada es: 
 f'(x) = ( loga x )' = 1/(x ln a) 
 
Demostración de a) 
Aplicamos a f la definición de derivada: 
f'(x) = lim f(x +x) - f(x) = lim ln (x +x) -ln x = 
 x → 0 x x → 0 x 
  
 
= lim 1 ln x + x = 
 x → 0 x x 
 
  
 
= lim 1 ln 1 + x = 
 x → 0 x x 
 
  
 
= lim x ln 1 + x 1 = 
 x → 0 x x x 
 
  
 
= 1 lim ln 1 + x x/x = 
 x x → 0 x 
 
  
 
= 1 ln lim 1 + x x/x = 
 x x → 0 x 
 
  
 
 
 
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= 1 ln e = 
 x 
  
 
 = 1 
 x 
  
 
Aplicamos la definición de derivada 
La función es: f(x) = ln x; luego: f(x+x) = ln (x+x) 
Aplicamos propiedad del logaritmo 
Operamos dentro del argumento del logaritmo 
Multiplicamos y dividimos por x 
Aplicamos propiedad del logaritmo y propiedad del límite 
Aplicamos propiedad del límite sobre el logaritmo 
Lo que está dentro de las llaves es el 2do. Límite Fundamental de valor e 
  ln e = 1 
 
Finalmente: 
 f'(x)=(ln x )'= 1/x 
 
Demostración de b) 
Para demostrar el resultado establecido en este apartado partimos de la definición misma de la función 
logaritmo de un número x en base a: 
 f(x) = log a x  a f(x) = x 
 
 ln [a f(x) ] = ln x 
 
 f(x) ln a = ln x 
 
 f(x) = ln x / ln a 
 
De esta forma hemos expresado a la función logaritmo en base a en términos de la función logaritmo natural. 
Esta última expresión es la que utilizaremos para derivar aplicando lo establecido en el apartado a): 
f(x) = log a x = ln x/ lna 
 
 f'(x) = (log a x)' = (ln x/ ln a)' = [1/lna] . (ln x)' = [1/lna] . (1/x) = 1/ (x lna) 
 
     
 
 Escribimos de otra forma la función logaritmo en base a 
 
 
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 Como 1/ln a es una constante, aplicamos el Resultado 3 
Reemplazamos (ln x)' por su derivada 1/x 
Operamos en el denominador 
 
2.5.3 Reglas Operativas en el Cálculo Diferencial 
Vamos a continuación a ver de qué manera incide el procedimiento de derivación cuando existen operaciones 
algebraicas (suma, resta, multiplicación y división) vinculando a las funciones. Para demostrar la validez de las 
reglas que enunciaremos, utilizaremos la definición de la derivada. A cada regla la identificaremos con un 
nombre, estableceremos su enunciado, la demostraremos y finalmente la aplicaremos en un ejercicio. 
 
Regla 1: Derivada de la suma de dos funciones 
Sean “f” y “g” dos funciones derivables en un intervalo común. Entonces, la derivada de la suma de estas 
funciones es igual a la suma de sus correspondientes derivadas. O sea: 
 [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) 
 
Demostración 
Consideremos una función auxiliar “h” definida por: 
 h(x) = f(x) + g(x) 
Deseamos determinar, aplicando la definición de derivada: 
h'(x) = [f(x) + g(x)]' = ? 
Entonces: 
h'(x) = lim h(x +x) - h(x) = lim [f(x +x)+ g(x + x)] - [f(x) + g(x) ] = 
 x →0 x x →0 x 
  
 = lim [f(x +x) - f(x)] + [g(x + x) - g(x)] = 
 x →0 x 
  
 = lim f(x +x) - f(x) + g(x + x) - g(x) = 
 x →0 x x 
  
 = lim [f(x +x) - f(x)] + lim [g(x + x) - g(x) ] = 
 x →0 x x →0 x 
  
 
 
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 = f ' (x) + g'(x) 
  
 
Por definición de a función h, es: h(x) = f(x) + g(x); luego: h(x + x) = f(x + x) + g(x + x) 
 Asociamos los términos en “f” y “g” 
Distribuimos el numerador respecto del denominador 
 Aplicamos límite de la suma 
Los límites dados existen y son iguales a las derivadas de las funciones f y g, en ese orden 
Así: 
h' (x) = f' (x) + g'(x) 
o bien,según la definición de h como suma de las funciones f y g obtendremos: 
[f(x) + g(x)]' = f' (x) + g'(x) 
 
EJEMPLO 
Sean las funciones “f” y g definidas por sus expresiones analíticas: 
 f(x)= 4x+2 g(x)= x2 + 1 
¿Cuál es la derivada de la función: 
f(x) + g(x) = (4x +2) + (x2 + 1) ? 
O sea, ¿cuál es la expresión que define a : 
[f(x) + g(x)]' = [(4x +2) + (x2 + 1)] '= ? 
Respecto a estas dos funciones, le aplicamos a cada una de ellas, la regla de derivada de la suma de dos 
funciones: 
✓ La derivada de la función “f”: 
y= f(x)= 4x+2 es y' = f'(x) = (4x+2)´= (4x)´+(2)´= 4. 1 + 0 = 4 
✓ La derivada de la función “g”: 
y= g(x)= x2 + 1 es y' = g'(x) = (x2 + 1)´= (x2)´ + (1)´= 2 x 
Nuevamente, si aplicamos la Regla 1, de la derivada de la suma de dos funciones, tendremos: 
[f(x) + g(x)]' = [(4x +2) + (x2 + 1)]' = (4x +2)' + (x2 + 1)' = 4 + 2x 
 
 
 
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Nota: La Regla 1, de la derivada de la suma de dos funciones, es extensible a una suma con un número finito 
de sumandos, o sea: 
[ f1(x) + f2(x) + ... + fn(x)] ' = f1' (x) + f2 '(x) + ... + fn' (x) 
supuestamente existentes las derivadas de las funciones presentes. 
 
 
 
Regla 2: Derivada de la diferencia de dos funciones 
Sean “f” y “g” dos funciones derivables en un intervalo común. Entonces, la derivada de la diferencia de estas 
funciones es igual a la diferencia de sus correspondientes derivadas. O sea: 
 [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) 
 
Demostración 
Consideremos una función auxiliar “h” definida por: 
 h(x) = f(x) - g(x) 
Deseamos determinar, aplicando la definición de derivada: 
h'(x) = [f(x) - g(x)]' = ? 
Entonces: 
h'(x) = lim h(x +x) - h(x) = lim [f(x +x)- g(x + x)] - [f(x) - g(x) ] = 
 x →0 x x →0 x 
  
 = lim [f(x +x) - f(x)] - [g(x + x) - g(x) ] = 
 x →0 x 
  
 = lim f(x +x) - f(x) _ g(x + x) - g(x) = 
 x →0 x x 
  
 = lim [f(x +x) - f(x)] _ lim [g(x + x) - g(x) ] = 
 x →0 x x →0 x 
  
 
 
___________________________________________________________________________________________________ 
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 = f' (x) - g'(x) 
  
 
Por definición de a función “h”, es: h(x) = f(x) - g(x); luego: h(x + x) = f(x + x) - g(x + x) 
 Asociamos los términos en “f” y “g” 
Distribuimos el numerador respecto del denominador 
 Aplicamos límite de la diferencia 
Los límites dados existen y son iguales a las derivadas de las funciones “f” y “g”, en ese orden 
Así: 
h' (x) = f' (x) - g'(x) 
o bien, según la definición de h como diferencia de las funciones f y g obtendremos: 
 
[f(x) - g(x)]' = f' (x) - g'(x) 
EJEMPLO 
Retomemos las funciones “f” y “g” definidas en el ejemplo anterior por sus expresiones analíticas: 
 f(x)= 4x+2 g(x)= x2 + 1 
¿Cuál es la derivada de la función: 
f(x) - g(x) = (4x +2) - (x2 + 1) ? 
O sea, ¿cuál es la expresión que define a : 
[f(x) - g(x)]' = [ (4x +2) - (x2 + 1) ] '= ? 
Recordemos que para las derivadas de “f” y “g” obtuvimos anteriormente: 
✓ La derivada de la función: y= f(x)= 4x+2 es y' = f'(x) = 4 
✓ La derivada de la función: y= g(x)= x2 + 1 es y' = g'(x) = 2x 
Luego, si aplicamos la Regla 2, para la diferencia de dos funciones, tendremos: 
[f(x) - g(x)]' = [(4x +2) - (x2 + 1) ]'= (4x +2)' - (x2 + 1)’ = 4 – 2x 
 
Nota: La combinación de las Regla 1 y la Regla 2 nos permiten indicar que la derivada de una suma algebraica 
de un número finito de funciones es la suma algebraica de sus respectivas derivadas, supuestamente 
existentes. 
 
 
 
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Regla 3: Derivada del producto de dos funciones 
Sean “f” y “g” dos funciones derivables en un intervalo común. Entonces, la derivada del producto de estas 
funciones es igual a la suma de los productos entre la derivada de la primera función por la segunda sin derivar 
y la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función. O sea: 
 [f(x) . g(x)] ' = f'(x). g(x) + f(x) g'(x) 
 
Demostración 
Consideremos una función auxiliar “h” definida por: 
 h(x) = f(x) . g(x) 
Deseamos determinar, aplicando la definición de derivada: 
h'(x) = [f(x) . g(x)]' = ? 
 
Entonces: 
 
h'(x) = lim h(x +x) - h(x) = lim [f(x +x). g(x + x)] - [f(x) . g(x) ] = 
 x →0 x x →0 x 
  
= lim f(x +x). g(x + x) - f(x) . g(x) + f(x + x).g(x) - f(x + x).g(x) = 
 x →0 x 
  
 
= lim g(x) [ f(x + x) - f(x)] + f(x +x) [ g(x + x) - g(x)] = 
 x →0 x 
 
 
= lim g(x) f(x + x) - f(x) + f(x +x) g(x + x) - g(x) = 
 x →0 x x 
 
= lim g(x) f(x + x) - f(x ) + lim f(x +x) g(x + x) - g(x) = 
 x →0 x x →0 x 
 
 
 
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= lim g(x) . lim f(x + x) - f(x ) + lim f(x +x). lim g(x + x) - g(x) = 
 x →0x →0 x x →0 x →0 x 
 
= g(x) f' (x) + f(x) g'(x) = 
 
= f' (x) g(x) + f(x) g'(x) 
 
 Por definición de a función h, es: h(x) = f(x) . g(x); luego: h(x + x) = f(x + x) . g(x + x) 
Sumanos y restamos en el numerador el término f(x+x).g(x) 
Sacamos, en el numerador, factor común: g(x) y f(x+x) 
Distribuimos el numerador respecto del denominador 
Aplicamos límite de la suma 
Aplicamos límite del producto en cada término de la suma 
Todos los límites existen: por hipótesis (las funciones f y g son derivables y existen f ' y g'), por 
la continuidad de la función f (consecuencia de su derivabilidad) 
Aplicamos la propiedad conmutativa del producto en el primer término de la suma 
Así: 
h' (x) = f' (x) . g(x) + f(x) . g'(x) 
o bien, según la definición de h como producto de las funciones f y g obtendremos: 
[f(x) . g(x)] ' = f' (x) . g(x) + f(x) .g'(x) 
EJEMPLO 
Una vez más, sean las funciones “f” y “g” definidas por sus fórmulas analíticas: 
 f(x)= 4x+2 g(x)= x2 + 1 
¿Cuál es la derivada de la función: 
f(x) . g(x) = (4x +2) . ( x2+ 1) ? 
O sea, ¿cuál es la expresión que define a : 
[f(x) . g(x)] '= [(4x +2). (x2 + 1) ] '= ? 
Como: 
✓ La derivada de la función: y= f(x)= 4x+2 es y' = f'(x) = 4 
✓ La derivada de la función: y= g(x)= x2 + 1 es y' = g'(x) = 2x 
 
 
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entonces al aplicar la Regla 3, de la derivada del producto de dos funciones, tendremos: 
[f(x) . g(x)] ' = [(4x +2). (x2 + 1) ]'= 
= (4x+2)’ (x2 + 1)+ (4x +2) (x2 + 1)’ = 
= (4) (x2 + 1) + (4x +2) (2x)' = 
 = 4 x2 + 4 + 8 x2 + 4x = 
 = 12 x2 + 4x + 4 
 
Nota: La Regla 3, de la derivada del producto de dos funciones, es extensible al producto de número finito de 
factores. En este caso, cada uno de los términos de la derivada será el producto de la derivada de uno de los 
factores por los restantes factores sin derivar, o sea: 
[ f1(x) . f2(x) . ... . fn(x)] ' = f1' (x) . f2(x) . ... . fn(x) + f1(x) . f2 ' (x) ... . fn(x) + ... + f1(x) . f2(x) . ... fn' (x) 
supuestamente existentes las derivadas de las funciones presentes. 
 
 
Regla 4: Derivada del cociente de dos funciones 
Sean “f” y “g” dos funciones derivables en un intervalo común y tal que la derivada de “g” sea no nula [g' (x) 
0] en dicho intervalo común. Entonces, la derivada del cociente f/g de estas funciones es igual a la diferencia 
de los productos entre la derivada de la función que aparece en el numerador “f” por la función que aparece 
en el denominador “g” sin derivar y la función que aparece en el numerador “f” sin derivar por la derivada de 
la función “g” que aparece en el denominador, todo ello sobre la función que aparece en el denominador “g” 
elevada al cuadrado. O sea: 
 [f(x) / g(x)] ' = [ f'(x). g(x) - f(x) g'(x)] / [g(x)]2 
 
Demostración 
Para probar la igualdad propuesta es posible proceder como lo hicimos en las demostraciones de las reglas 
anteriores, o sea considerando una función auxiliar “h” definida por: 
 h(x) = f(x) / g(x) 
y determinando su derivada: 
h'(x) = [f(x) . g(x)]' = ? 
por definición. 
 
 
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Esta forma de demostración la proponemos para familiarizarte con el procedimiento. 
No obstante, y ya en este punto contamos con cierta variedad de herramientas que nos habilitan a utilizarlas 
como alternativas, mostraremos otra forma de hacerlo. 
Sea la función auxiliar “h” definida por: 
h(x) = f(x) / g(x) 
Deseamos determinar: 
h'(x) = [ f(x) / g(x) ]' 
Entonces, de: 
h(x) = f(x) / g(x) 
se desprende que: 
f(x) = h(x) . g(x) 
Derivamos ambos miembros de la igualdad aplicando la Regla 3: 
f '(x) = h'(x) . g(x) + h(x) . g'(x) 
Realizamos operaciones algebraicas para determinar h'(x) y entre ellas reemplazamos h(x) por su equivalente 
f(x)/g(x): 
 h'(x) . g(x) = f'(x) - h(x) . g' (x) 
 
 h'(x) . g(x) = f '(x) - f(x) . g' (x) 
 g(x) 
h'(x) . g(x) = f '(x) g(x) - f(x) . g' (x) 
 g(x) 
h'(x) = [f '(x) g(x)- f(x) . g' (x)] / g(x) 
 g(x) 
h'(x) = [f'(x) g(x)- f(x) . g' (x)] 
 [ g(x) ]2 
EJEMPLOS 
1. Por última vez, sean las funciones “f” y “g” definidas por sus fórmulas analíticas: 
 f(x)= 4x+2 g(x)= x2 + 1 
¿Cuál es la derivada de la función: 
f(x) / g(x) = (4x +2) / (x2 + 1) ? 
 
 
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O sea, ¿cuál es la expresión que define a: 
[f(x) / g(x)] ' = [ (4x +2)/ (x2 + 1) ] '= ? 
Como: 
✓ La derivada de la función: y= f(x)= 4x+2 es y' = f'(x) = 4 
✓ La derivada de la función: y= g(x)= x2 + 1 es y' = g'(x) = 2x 
entonces al aplicar la Regla 4, de la derivada del cociente de dos funciones, tendremos: 
[f(x) / g(x)] ' = [(4x +2)/ (x2 + 1) ]'= 
= [(4x+2)’ (x2 + 1) - (4x +2) (x2 + 1)’ ] / (x2 + 1) 2 = 
= [(4) (x2 + 1) - (4x +2) (2x) ] / (x2 + 1) 2 = 
 = (4 x2 + 4 - 8 x2 - 4x) / (x4 + 2x2+ 1) = 
= ( -8x2 -4 x + 4)/ (x4 + 2x2+ 1) 
2. Retomemos la demostración de la regla de la función potencia cuando el exponente es negativo. Para ello 
consideramos: 
f(x)= x - n con n Z + 
Podemos escribir a esta expresión de la siguiente forma: 
 f(x)= x - n = 1/ x n 
y aplicar la regla de derivación del cociente: 
f'(x)= (x -n )' = ( 1/ x n ) = [ (1)' . x n - 1 . (x n)' ] / ( x n )2 = ( 0 . x n - n x n -1 )/ x2n = - n x n -1 / x2n = -n x - n -1 
con lo cual queda probada la igualdad propuesta para el caso de exponentes que son números enteros 
negativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A manera de resumen 
 
Regla 1: Derivada de la suma 
[ f(x) + g(x) ] ' = f '(x) + g ' (x) 
 
Regla 2: Derivada de la diferencia 
[ f(x) - g(x) ] ' = f '(x) - g ' (x) 
 
Regla 3: Derivada del producto 
[ f(x) . g(x) ] ' = f '(x) . g(x) + f(x). g '(x) 
 
Regla 4: Derivada del cociente 
[ f(x) / g(x) ] ' = [ f '(x) g(x) - f(x) . g '(x) ] / [g(x)]2 
 
 
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EJEMPLOS 
Calcular expresión analítica de la derivada de cada una de las siguientes funciones. Utilizar las Reglas de 
derivación y las Reglas de Derivación de las derivadas de las Funciones Elementales. 
1. f(x) = x9 - 5 x8 + x - 1/7 
 
 f'(x) = (x9 - 5 x8 + x - 1/7)' = (x9 )' - (5 x8 )'+ (x)' - (1/7)' = 
 
= (x9 )' - 5 (x8 )'+ (x)' - (1/7)' = 
 
= 9 x8 - 5. 8 x7 + 1 - 0 = 
 
= 9 x8 - 40 x7 + 1 
 
2. f(x) =  x . ( ln x + x - 1) 
 
 f'(x) = [ x . ( ln x + x - 1)]' = ( x )'. ( ln x + x - 1) +  x . ( ln x + x - 1)' = 
 
 = ( x )'. ( ln x + x - 1) +  x . [(ln x)' + (x)' - (1)'] = 
 
 = [1/(2 x )]. ( ln x + x - 1) +  x . (1/ x + 1 - 0) = 
 
 = [1/(2 x )]. ( ln x + x - 1) +  x . (1/ x + 1) = 
 
 = ( ln x + x + 1 + 2  x ) / ( 2 x ) 
 
3. f(x) = (2x + 6)/ (3x - 9) 
 
 f'(x) = [(2x + 6)/ (3x - 9)]' = [(2x + 6)' (3x - 9)- (2x + 6) (3x - 9)'] / (3x - 9)2 = 
 
= [(2.1 + 0) (3x - 9)- (2x + 6) (3.1 - 0)] / (3x - 9)2 = 
 
= [2 (3x - 9)- (2x + 6) 3] / (3x - 9)2 = 
 
= - 36 / (3x - 9)2 
 
 
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2.6 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA EN UN PUNTO 
En muchos libros de Cálculo, la “función derivada” aparece asociada con la expresión “función pendiente”. Tal 
vínculo tiene que ver con el hecho que la derivada “nace” ante la necesidad matemática de determinar el valor 
de la pendiente de la recta tangente trazada en cualquier punto de una curva. 
Veamos de qué manera se llega a establecer tal relación. 
2.6.1 Recta Tangente 
Sea la curva C y en ella dos puntos P (punto fijo) y Q (punto móvil): 
 
 y 
 Q 
 C 
 
 
 
 
 P 
 
 
 
O x 
 
 
Tracemos por P y Q la recta secante a la curva C y a la cual indicamos con secPQ: 
 
 y secPQ 
 Q 
 C 
 
 
 
 
 P 
 
 
 
O x 
 
Supongamos que Q se mueve hacia P, siempre sobre la curva C, adoptando las posiciones Q’, Q’’,... . La recta 
secante adoptará entonces diferentes posiciones: 
 
 
 
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 y secPQ 
 Q’’ Q’ Q 
 C 
 
 
 
 
 P 
 
 
 
O xEstas rectas secantes van aproximándose a una posición límite que es la de la recta tangente a la curva en el 
punto P, designada por tgP: 
 
 y tgP 
 
 C 
 
 
 
 
 P 
 
 
 
O x 
 
 
Definición 
 
La recta tangente en P es la posición límite de las rectas secantes por P y Q cuando Q tiende a P sobre la curva. 
 
2.6.2 Interpretación geométrica de la Función Derivada en un punto: Pendiente de la Recta Tangente 
Supongamos que la curva C considerada precedentemente es la gráfica cartesiana de una función “f” definida 
en un cierto dominio A y que P y Q son dos puntos de la misma de coordenadas P(xo, f(xo)) y Q (xo + x, f(xo+ 
x)): 
 
 
 
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 tgP 
 y secPQ 
 Q 
 f(xo+ x) y=f(x) 
 
 
 
 P  
 f(xo) R 
 
 
 
O xo xo+ x x 
 
 A 
 
Tracemos por P y Q la recta secante. ¿Cuál es la pendiente de esta recta secante (m secPQ)? 
En el triángulo rectángulo de vértices P, R y Q observamos que la tangente trigonométrica del ángulo  está 
dado por: 
 tg  = RQ / PR = f(xo+ x) – f(xo) 
 x 
Pero esta tangente trigonométrica no es otra cosa que la pendiente de la recta secante por P y Q; esto nos lleva 
a escribir: 
 m secPQ = f(xo+ x) – f(xo) 
x 
Establecida la pendiente de la recta secante por P y Q, nos preguntamos, ¿cuál es la pendiente de la recta 
tangente en P (m tgP )? 
Si la recta tangente en P es la posición límite de la recta secante por P y Q cuando Q tiende a P, o sea, cuando 
x tiende a cero, entonces la pendiente de la recta tangente en P (m tgP) se obtiene como el límite de la 
pendiente de la recta secante por P y Q (m secPQ) cuando x tiende a cero. Luego: 
m tgP = lim m secPQ = lim f (xo+ x) – f(xo) 
 x→0 x→0 x 
Pero, el límite que acabamos de obtener no es otra cosa que la expresión que identifica a la función derivada de 
“f” particularizada en el punto xo . Luego: 
 
 
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m tgP = lim m secPQ = lim f(xo+ x) – f(xo) = f ’(xo) 
 x→0 x→0 x 
Finalmente: 
La pendiente de la recta tangente trazada a la gráfica cartesiana de “f” en el punto P de abscisa xo es 
numéricamente igual al valor de la derivada de “f” calculada en xo, o sea: 
 m tgP = f ’(xo) 
 
La citada es “LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA FUNCIÓN DERIVADA EN UN PUNTO xO”. 
Nota: Si podemos pensar que este último resultado vale para cada punto P(x, f(x)) de la gráfica cartesiana de 
una función “f”, entonces cada valor f ’(x) indicará cada una de las pendientes de las rectas tangentes trazadas 
a dicha gráfica cartesiana. Así, la función derivada f’ indicará a todas y cada una de estas pendientes. He aquí el 
motivo por el cual se asocian los términos “función derivada” y “función pendiente”. 
 
2.7 DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA 
Observa las expresiones analíticas asociadas a las funciones “f” y “g” e indica cuál de ellas es una función 
elemental y cuál es una función compuesta: 
y= f(x) = ln x y=g(x)= ln (x2 -5x +3) 
Seguramente que has podido determinar, a simple vista, que la función “f” es una función elemental y la función 
“g” es una función compuesta. 
Determinemos, a continuación, la derivada de ambas funciones. Entonces: 
 Para la función “f”: 
y = f(x) = ln x  y' = f'(x) = 1/x 
 Para la función “g”: 
y=g(x)= ln (x2 -5x +3)  ¿¿¿y' = g'(x) = [ln (x2 -5x +3)]' = ??? 
 
¿Existe la derivada de esta función compuesta? ¿De qué manera la obtenemos? 
 
El siguiente resultado, expresado como un teorema, nos proporciona la respuesta a ambas preguntas. 
 
 
 
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2.7.1 Teorema 
Sean “g” y “f” dos funciones reales de variable real definidas por sus expresiones analíticas: 
 u = g(x)  y = f (u) 
respectivamente, de tal forma que exista la función compuesta “fog”, de expresión analítica: 
 (fog)(x) = f[g(x)] 
Si la función “g” es derivable respecto de x [o sea si existe u'=g'(x) ] y la función “f” es derivable respecto de 
u=g(x) [ o sea existe y'=f '(u)], entonces la función compuesta fog es derivable respecto de x, y dicha derivada 
se calcula de la siguiente forma: 
 [(fog)(x)]' = f '(u). g'(x)= f '[g(x)]. g'(x) 
 
Demostración 
Para realizar la demostración de la igualdad planteada en la tesis del teorema consideremos, en primer lugar, 
un incremento en x (x) al cual asociamos incrementos en u e y, a los que indicamos por u y y 
respectivamente. Imponemos como condición adicional que u0. 
A continuación, consideremos la siguiente identidad como punto de partida: 
 y = y 
 x x Multiplicamos ambos miembros por u 
 
 y = y . u 
 x u x 
 Tomamos límites en ambos miembros de 
 lim y = lim y . lim u la igualdad 
 x→0 x u→0 u x→0 x 
 Los límites del segundo miembro son, 
 por definición, las derivadas de “f” 
respecto de u y de “g” respecto de x 
 [ (fog) (x) ]' = f'(u) . g'(x) 
 
Notas 
1. En la demostración dada hemos supuesto que u0. Sin embargo existen funciones para la cuales esta 
condición no se cumple. En estos casos esta forma de demostración del teorema no tiene validez. Para superar 
 
 
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la mencionada situación existe una demostración alternativa que no utiliza como base esta suposición de u0 
y que mantiene el resultado dado. No explicitaremos dicha demostración en estas líneas. 
2. La fórmula dada para derivar funciones compuestas, es conocida más familiarmente con el nombre de Regla 
de la Cadena. 
3. Si en la función compuesta intervienen más de dos funciones, la regla de la cadena se aplica de la misma 
forma. En tal caso, la derivada de la función compuesta es el producto de las derivadas de las funciones que 
intervienen en el proceso. 
 
EJEMPLOS 
Utilizando el resultado del Teorema, obtener la derivada de las siguientes funciones compuestas: 
a) y = (2x - 1) 4 
b) y = ln (x3 -2x +7) 
 
a) Solución 
Identificamos en primer lugar las funciones “g” y “f” que le dieron origen a la función compuesta. Ellas son: 
 u = g(x) = 2x -1 y =f(u) = u4 
ya que: 
 (fog)(x) = f[g(x)] = f (2x-1) = (2x-1)4 
que es la función compuesta dada. 
Sus correspondientes derivadas son: 
 u = g(x) = 2x -1  u' = g'(x) = 2 
 y =f(u) = u4  y' =f '(u) = 4 u3 
Luego, al aplicar la regla de la cadena obtenemos: 
[(fog)(x)]' = f '(u). g'(x)= (4 u3). (2) = 8 u3 = 8 (2x - 1)3 
Como la función compuesta depende de x, reemplazamos u en términosde x, o sea: u = 2x -1 
b) Solución 
Como primer paso identificamos las funciones g y f que dieron origen a la función compuesta: 
y = ln (x3 -2x +7) 
Ellas son: 
 u = g(x) = x3 -2x +7 y =f(u) = ln u 
ya que: 
 
 
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 (fog)(x) = f[g(x)] = f (x3 -2x +7) = ln (x3 -2x +7) 
que es la función compuesta dada. 
Sus correspondientes derivadas son: 
 u = g(x) = x3 -2x +7  u' = g'(x) = 3 x2 -2 
 y =f(u) = ln u  y' =f '(u) = 1 / u 
Al aplicar la regla de la cadena obtenemos: 
[(fog)(x)]' = f '(u). g'(x)= (1/ u). (3x2 -2) = (3x2 -2)/ u = (3x2 -2) / (x3 -2x +7) 
Como la función compuesta depende de x, reemplazamos u en términos de x, o sea: u = x3 -2x +7 
 
2.7.2 Algoritmo para calcular la Derivada de la Función Compuesta 
Ahora bien, según el Teorema que enuncia la Regla de la Cadena, la obtención de la derivada de la función 
compuesta depende básicamente de: 
1.- La identificación precisa de las funciones que en ellas intervienen ( f, g, ...) 
2.- El cálculo de las derivadas de estas funciones ( f ’, g’, ...) 
Sin embargo, conocido el fundamento teórico que este Teorema proporciona, es posible establecer un 
procedimiento sistemático que permite obtener la derivada de la función compuesta sin necesidad del 
reconocimiento previo de las funciones integrantes. Lo explicamos con un ejemplo. 
EJEMPLO 
Supongamos que deseamos determinar la derivada de la función compuesta: 
 y= f(x) = ln3 (5x -4) 
¿Cuál es el orden de las operaciones con las cuales calcularíamos “el valor de la función para un determinado 
valor de x dado”? Seguramente lo haríamos respetando la siguiente secuencia: 
1. 5 . x (lo multiplicamos por 5) 
 
2. 5 x - 4 (le restamos 4) 
 
3. ln (5x -4) (le aplicamos la función logaritmo neperiano) 
 
4. ln 3 (5x -4) (elevamos al cubo el resultado) 
 
 
 
 
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Ahora bien, para DERIVAR LA FUNCIÓN DADA COMO FUNCIÓN COMPUESTA PROCEDEMOS EXACTAMENTE EN 
EL ORDEN INVERSO: 
1. Derivamos la función potencia cubica: 3 ln2 (5x-4) 
 
2. Derivamos la función logaritmo natural: 1/(5x-4) 
 
3.- Derivamos la función polinómica: (5.1 - 0) = (5 ) 
 
Finalmente la derivada de la función: 
 y= f(x) = ln3 (5x -4) 
es el producto de los factores obtenidos en los pasos 1., 2. y 3., o sea: 
 y'= f'(x) = [3 ln2 (5x-4)]. [1/(5x-4)]. (5) 
 
 y'= f'(x) = 15 ln2 (5x-4) / (5x-4) 
 
2.8 DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA 
Al estudiar las funciones reales de variable real establecimos que, cuando la expresión analítica está indicada 
como y=f(x), decimos que la función está escrita en su forma explícita y cuando está expresada como: F(x,y)=0, 
lo hace en la forma implícita. 
Hasta ahora hemos determinado reglas para obtener la derivada de una función para la cual la relación entre 
x e y está expresada explícitamente. El objetivo de este punto es analizar de qué manera obtenemos la derivada 
de una función para la cual el nexo entre las variables independiente x y dependiente y está dado por una 
expresión analítica escrita en la forma implícita. Procedemos según el siguiente análisis. 
Sea la función definida por su expresión analítica F(x,y) = 0 
¿Es posible escribir y como función explícita de x?, o sea, ¿es posible establecer la fórmula y= f(x)? 
Nuestra respuesta puede ser SI o bien NO. Estudiemos que ocurre en cada una de las situaciones que originan 
las mismas. 
Caso 1 
Si la respuesta es SI, significa que hemos podido, a partir de F(x,y)=0, escribir y=f(x). 
En este caso para encontrar la derivada de la función respecto de la variable x se procede según lo ya estudiado 
aplicando las reglas de derivación conocidas. 
 
 
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Marisa Angélica Digión 50 
 
Universidad Nacional de Jujuy 
Facultad de Ciencias Económicas 
Análisis Matemático/Matemática II 
EJEMPLO 
Determinar la derivada de la siguiente función respecto de x: 
 3 x - y + 8 = 0 
Solución 
Observamos que la relación entre las variables está dada por una expresión en la forma implícita. Sin embargo 
podemos, a partir de ella, determinar y en función de x de la siguiente forma: 
3 x - y + 8 = 0  y = 3 x + 8 
Así, la forma explícita de la función es: 
 y = f(x) = 3 x + 8 
Derivemos la misma: 
 y' = f '(x) = 3 . 1 + 0  y' = f'(x) = 3 
con lo cual cumplimos nuestro propósito. 
Caso 2 
Si la respuesta es NO, significa que no hemos podido, a partir de F(x,y)=0, escribir y=f(x). 
En este caso para encontrar la derivada de la función implícita F(x,y)=0 respecto de la variable x se procede 
de acuerdo al método denominado Derivación Implícita, el cual consiste en: 
1. Derivar la función F(x,y) = 0 término a término (aplicamos las reglas conocidas de derivación), … 
2. …considerando a y como una función desconocida de x [y=f(x)] (aplicamos la regla de la derivada de la 
función compuesta) … 
3.- … y despejando luego, de la expresión resultante, la derivada de y respecto de x, o sea y'. 
 
EJEMPLO 
Determinar la derivada de la siguiente función respecto de x: 
 x2 - 2 y + x y2 + 4 = 0 
Derivamos término a término: 
 (x2 ) ' - (2 y)' + (x y2 )'+ (4)' = 0 Como y es función 
 de x, la derivamos 
 2 x - 2 . 1. y' + [ 1 . y2 + x ( 2 . y . 1. y' ) ] + 0 = 0 como función com- 
 puesta 
 2 x - 2 y' + y2 + 2 x y y' = 0 
 
 
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Marisa Angélica Digión 51 
 
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Análisis Matemático/Matemática II 
 
Para determinar y', previamente lo sacamos como factor común de los términos que lo contienen, y operamos 
algebraicamente: 
 y' ( -2 + 2 x y ) = -2 x - y2 
 
 y' = (-2 x - y2)/ ( -2 + 2 x y ) 
o bien: 
 y' = ( 2x + y2)/ ( 2 - 2 x y ) 
Nota: En el procedimiento explicado hemos determinado y', suponiendo que en la relación implícita F(x,y)=0 
derivamos y respecto de x, siendo x la variable independiente e y la variable dependiente. Sin embargo dada la 
relación entre las variables x e y por la fórmula F(x,y) = 0, también es posible considerar a y como variable 
independiente y a x como variable dependiente. En este caso la derivada a determinar es x', o sea, derivamos x 
con respecto de y. 
 
2.9 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 
Vamos a iniciar este tema con la formulación de un par de ejemplos. 
EJEMPLOS 
Determinar la expresión analítica de la función derivada de las siguientes funciones expresadas en forma 
explícita: 
a) y = f(x) = [ (2x -1)1/2 (x +4) 2/3 (7x- 14) 5/8 (x-3)] / (5x + 10)2 b) y = f(x) = ( 3 x – 1) (x - 1/2) 
Observemos la expresión analítica del apartado a). Ella es una combinación de varios productos y un cociente 
de funciones que dependen de x. Para determinar la función derivada deberemos, en primer lugar, aplicar la 
regla para derivar un cociente; luego, en el numerador haremos lo propio pero para derivar un producto de 
¡cuatro factores! (el resultado tendrá ocho términos); a posteriori tendremos que derivar potencias; finalmente 
se tendrán que realizar algunos cálculos algebraicos para poner "presentable" la expresión obtenida. Si bien este 
trabajo resultará laborioso, no es imposible. ¿Existe alguna forma de simplificarlo? 
Analicemos