ÁLGEBRA ANUAL UNI 2014 PARTE 2 [PDF DRIVE]

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Preguntas Propuestas
. . .
2
Álgebra
Polinomios II
1. Si P(x) es un polinomio mónico de segundo 
grado que verifica P(x) – P(x – 1)=2x+2
 halle el coeficiente de su término lineal.
A) – 4 B) 2 C) 3
D) 1 E) – 2
2. Sea f(x)=n
2+1 un polinomio constante tal que 
 
3 2
5
12 1
0
f f
f
( ) ( )
( )
+
+
= . Calcule f(2009).
A) 1/2 B) 5/4 C) 1
D) – 1 E) 1/4
3. Dados los polinomios
 P(x)=(x –1)
3(x+3)2 y f(x)=P(x+2)
 indique el número de proposiciones correctas.
 I. º[P(x)]=5
 II.º[f(x)]=5
 III. º[P2(x)]=10
 IV. º[P(x) · f(x)]=10
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
4. Si el término independiente de 
 G(x+2)=x
2+(x+1)n +1 es el doble de la suma de 
sus coeficientes, calcule el menor valor de G(3).
A) 6 B) 14 C) 10
D) 4 E) 7
5. Dados los polinomios 
 P(x – 1)=x
3+ax2+bx+2 y Q(x+1)=x
3+4x2 – 5x – c
 si P(x) ≡ Q(x), calcule el valor de (a+b+c).
A) – 2 B) – 3 C) 1
D) – 4 E) 5
6. Si el polinomio completo
 P(x)=5x
a – 3+3xc+2 – 2xb – 5+4
 es ordenado, calcule el valor de (a+b+c).
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
7. Sea P(x)=(x+1)
2(x – 3)4 y
 Q(x)=P(x – 4)
 indique la alternativa correcta luego de deter-
minar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de 
las siguientes proposiciones.
 I. P(3)=0
 II. Q(3)=0
 III. Q(7)=0
A) FVV
B) VFF
C) VVV
D) VFV
E) VVF
8. Dado el polinomio P(x)=x
3+ax2+4+ax y sea 
a un número real tal que P(– a)=0, indique un 
valor de que verifica la igualdad anterior.
A) 3 B) 2 C) 4
D) 5 E) 1
División algebraica
9. Si la división algebraica
 
x x ax
x x
+( ) + − +
+
1 210 15
2 deja resto
 R(x)=2x+b, calcule el valor de (a+b).
A) 4 B) 5 C) 3
D) 2 E) 1
3
Álgebra
10. Luego de efectuar la división
 
3 9
3 2
5 4 3 2
3
x x ax x bx c
x x
− + + + +
− +
 se obtuvo
 un cociente cuya suma de coeficientes es 3 y 
un resto igual a (2x – 1).
 Calcule el producto abc.
A) 48
B) 36
C) 32
D) 16
E) 24
11. Si el residuo de la división 
 
9 6 3 9 3
3
4 3 2 2 2
2
x ax a b x a x ab
x ax b
+ + +( ) + −
+ −
; ab ≠ 0
 es R(x)=6ab+b
2, calcule el cociente a
b
.
A) 9 B) 4 C) 1/4
D) 1/9 E) 6
12. En la división exacta
 mx x x
nx x
3 2
2
13 9 2
3 1
+ + +
+ +
, indique el valor de (m+n).
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
13. En la división algebraica
 x n x n
x
n− − +( ) + +
−
1 2 1
1
 el término
 independiente del cociente es – 10.
 ¿Cuál es el grado del dividendo?
A) 10 B) 8 C) 9
D) 6 E) 12
14. Dada la división algebraica
 
n x nx n x nx x n
nx
2 6 3 2 4 24 4 2 3
2
− + −( ) − − +
−
 si la suma de coeficientes del cociente es igual 
al residuo, calcule el residuo.
A) 21
B) 20
C) 16
D) 13
E) 8
15. Sea P(x)=x
3+ax2+bx+c, tal que (x+4) y (x – 3) 
son factores de P, además P(4)=48, indique la 
alternativa correcta.
A) P(0)=24
B) P(1)=– 30
C) P(0)+P(1)=– 6
D) P(1)=30
E) P(4)=– 48
16. Dado el polinomio
 P(x)=x
4+ax3+bx2+cx+120
 tal que P(x) es divisible separadamente por los 
polinomios (x+2), (x+3) y (x+5), indique el 
valor numérico de a+b+c.
A) 300 B) 400 C) 279
D) 239 E) 379
Cocientes notables
17. Si el resto de la división
 
2 3
1
15 10 2
2
x x ax x b
x
− + + −
− es
 R(x)=bx+1, calcule el valor de a+b.
A) 9 B) 10 C) 11
D) 3 E) – 5
. . .
4
Álgebra
18. Si f(x)=2x
3+x2+mx+n es un polinomio tal que 
f(x) ÷ (x+1) deja resto p. Además, f(x) ÷ (x
2+1) 
deja resto 2x+1. Calcule el valor de (m+n+p).
A) 3 B) 9 C) 2
D) 1 E) 0
19. Calcule el resto de la siguiente división.
 
x x x
x x
−( ) +( ) +( )
− +
1 1 1
1
2 4
2
A) R(x)=x
2 – 1
B) R(x)=x+1
C) R(x)=x – 1
D) R(x)=x – 2
E) R(x)=2x+1
20. Si la división algebraica
 
x y
x y
m n m n2 2 13 4 6+ + +−
−
, m y n ∈ N
 genera un CN, calcule el producto mn.
A) 8 B) 12 C) 5
D) 4 E) 6
21. Calcule el término central del CN generado 
por 
x y
x y
n
n
+ −
−
64 34
2 .
A) x8y8
B) x4y16
C) x16y16
D) x32y16
E) x24y16
22. Si el quinto término del CN generado por 
 
x x
x
n n+( ) −
+








2
2 2
 toma VN de 1024 cuando x=2, 
calcule el valor de n23 .
A) 32 B) 16 C) 8
D) 4 E) 2
23. Simplifique la fracción
 
x x x x
x x x
14 12 10 2
6 4 2
1
1
+ + + + +
+ + +
...
A) x10+1
B) x16 – 1
C) x4 – 1
D) x8+1
E) x4+1
24. Reducir la siguiente
 
M
n n n
n n=
( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) +
( ) − ( ) +
− − −
− −
4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 5
6 5 6 5
1 2 3 2
2 3
...
66 5 6 5 6 5 54 2( ) − − ( ) + ( ) −−n ...
 si se sabe que n es impar.
A) 5 B) 6 C) 10
D) 9 E) 25
Factorización sobre Z
25. Si f(x)=ax+2 es un factor algebraico del polino-
mio P(x)=(ax)
2+(ab)x – 2b, evalúe f b
a




.
A) 1
B) 3
C) 0
D) 1/2
E) – 1/2
26. Si P(x)=3(x – 2)(x
2+mx+1)(xn – 2)
 está factorizado sobre Z, calcule el menor va-
lor positivo de (m+n).
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5
Álgebra
27. Dado el polinomio 
 P(x; y)=x
3+yx2+x+y+x2+1
 si f(x; y) es un factor primo lineal de P, evalúe 
f(1; – 1).
A) 0 B) 3 C) 2
D) – 1 E) 1
28. ¿Cuántos factores primos lineales tiene el 
polinomio S(x; y)=x
7 – x3y4+x4y3 – y7?
A) 3 B) 2 C) 1
D) 4 E) 0
29. El polinomio cuadrático
 P(x)=Ax
2+Bx+A es factorizable sobre Z, en la 
forma P(x)=(2x – m)(x – n).
 Calcule el mayor valor de B. 
A) 3 B) 6 C) 4
D) 5 E) 2
30. Factorice el polinomio 
 Q(x)=(x
2 – 50)2+26x2 – 1275
 e indique la suma de sus factores primos.
A) 0 B) 2x – 1 C) 4x+10
D) 4x – 10 E) 4x
31. Dado el polinomio sobre Z
 R(x)=2x
4 – ax3 – (a2 – 1)x2+2ax – 1; a > 0
 si f(x) es un factor primo cuadrático y mónico, 
calcule el valor de f(a).
A) 0 B) 1 C) – 1
D) 2 E) – 2
32. Calcule el valor de m ∈ Q0
+ que hace que el 
polinomio f(x)=x
4+mx3+3x2+mx+1 sea un 
cuadrado perfecto.
 A) 2 B) – 2 C) 0
 D) 1/2 E) 4
Factorización sobre Q
33. Si el polinomio P(x)=x
3+2x2 – mx+1 admite 
una raíz entera, calcule el menor valor de m.
A) – 2 B) – 1 C) 1
D) 2 E) 4
34. Factorice el polinomio sobre Q
 f(x)=6x
3+11x2+6x+1, e indique el factor primo 
con mayor valor numérico.
A) x+2 B) x+3 C) x+1
D) 2x+1 E) 3x+1
35. Si S(x) representa la suma de los factores 
primos del polinomio sobre Z
 P(x)=3x
5 – 5x4+8x3 – 7x2+5x – 2, evalúe S 3
2




.
A) 3 B) 12 C) 17/2
D) 8 E) 15/2
36. Factorice el polinomio sobre Q
 P(x)=2x
4+x3 – 4x2+1
 e indique el factor primo cuadrático.
A) 2x2+x – 1
B) x2+x – 1
C) x2 – x+1
D) x2– x – 1
E) x2+2x – 1
37. Calcule la suma de coeficientes de un factor 
primo del polinomio
 R(x)=2x
4 – (x+1)2 definido sobre Q.
A) – 2 B) – 1/2 C) 1/2
D) – 1 E) 0
. . .
6
Álgebra
38. Dado el polinomio homogéneo 
 S(a; b)=2a
3+3a2b – b3 sobre Z
 ¿cuántos factores primos tiene S ?
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
39. Si f(x) es el factor primo común de los polino-
mios P(x)=x
5+x+1 y Q(x)=x
4+x3 – x2 – 2x – 2, 
evalúe f(1).
A) – 1 B) 0 C) 3
D) 1 E) 2
40. Respecto al polinomio sobre Q.
 P(x)=x
5+x4+1
 indique lo correcto.
A) Tiene 3 factores primos.
B) Un factor primo es (x2 – x+1).
C) Tiene dos factores primos cuadráticos.
D) Un factor primo es (x3 – x+1).
E) La suma de coeficientes de un factor primo 
es 2.
Claves
01 - C 
02 - B 
03 - E 
04 - D 
05 - E 
06 - C 
07 - C 
08 - B
09 - B 
10 - E 
11 - D 
12 - C 
13 - B 
14 - D 
15 - B 
16 - D
17 - B 
18 - A 
19 - C 
20 - E 
21 - D 
22 - D 
23 - D 
24 - A
25 - C 
26 - B 
27 - E 
28 - B 
29 - D 
30 - E 
31 - B 
32 - A
33 - A 
34 - E 
35 - E 
36 - B 
37 - E 
38 - A 
39 - C 
40 - D