ÁLGEBRA ANUAL UNI 2014 PARTE 7 [PDF DRIVE]

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1
Álgebra
7
Preguntas Propuestas
. . .
2
Álgebra
Matrices
1. Se define la matriz A=(aij)3×2 tal que 
 
a
i i j
j i jij
=
− ≥
+ <



2 1
1
;
;
 Determine la suma de los elementos de la se-
gunda columna.
 A) 8 B) 11 C) 9
 D) 10 E) 13
2. Si las matrices siguientes son iguales
 
A a a
i j i j
i jij ij
= ( ) = + ≠=


×2 4 1
;
;
 
B
x x
y
=
+







1 1 5
3 5 6
2
2 
 determine el mínimo valor de x+y.
 A) 2 B) 3 C) 1
 D) 0 E) – 1
3. Si A
a b
a a
b b
=
+ +
+










2 3 1
1 2
1
 
 
 es el opuesto de 
la matriz triangular superior B; además, 
C
x x y
y y x
z x z
=
+









2
+1
 
es el opuesto de la matriz 
diagonal D, determine la matriz B – D.
 A) 
0 3 1
0 0 1
0 0 1
−
−










 B) 
0 3 1
0 0
0 0 1
− −
−
−










2
 C) 
0 1 2
0 0 0
0 0 0
−









 D) 
0 3 1
0 0 2
0 0 1
−
−
−










 E) 
0 3 1
0 0 2
0 0 1
−
−
−










4. Dada las matrices
 
A B M
a
c
b
d
=




=
−
−



=




2
7
1
4
4
7
1
2
; ;
 tal que A+BM=I,
 indique traz(M)
A) 28 
B) – 14 
C) – 19
D) – 28 
E) 19
5. Luego de multiplicar las matrices
 A =
−






2 1
3 2
 y B
x x
x
=
−






0
2 0
 se obtuvo la matriz C
x
x
=
−
− −






4 2
2 3
.
 Calcule la traza de la matriz BCT.
 A) 10 B) 4 C) 6
 D) 8 E) 12
6. Si A es una matriz cuadrada tal que
 (A+2I)2+(A – I)2=3I
 donde I es la matriz identidad, halle el equiva-
lente de A6.
 A) A 
 B) A+I 
 C) – A
 D) I 
 E) 2I
7. Si tenemos que 
 
A =
− −
−
− −










2 2 4
1 3 4
1 2 3
 entonces, determine el valor de λ ∈ R para 
que se cumpla la siguiente igualdad.
 
A An
n=
∑ =
1
5
2λ
 A) 25 B) 125 C) 1
 D) 5 E) 10
. . .
3
Álgebra
8. Se define 
 
cos
! ! ! !
.....x
x x x x= − + − + +1
2 4 6 8
2 4 6 8
 entonces, determine 2 · cosA tal que
 
A =
− − −










1 1 3
5 2 6
2 1 3
 A) – A2 – 2I 
 B) – A2 – I 
 C) – A2+2I
 D) 2A2 – I 
 E) A2 – 2I
9. Dada la matriz M =
−



2
1
1
3
 y el polinomio
 
 P(x)=x
2+3x+4, indique P(M).
A) 
−



13
8
8
21 B) 
13
8
8
21



 C) 
13
8
8
21−




D) 
13
8
8
21
−



 E) 
21
8
13
8−




10. Sea A a aij ij i j= ( ) ≠ ∀ ∀×3 3 0 ;
 Determine la secuencia correcta luego de de-
terminar el valor de verdad (V) o falsedad (F), 
de las siguientes proposiciones.
 I. ∃ A/A+AT=0
 II. ∃ A/A=AT
 III. ∃ A/A= – AT
A) VVV B) FFF C) FVV
D) FFV E) FVF
Determinantes y matriz inversa
11. Si tenemos que
 
x = + + +
1 2
0
1
2
1
2
3
0
1
3
1
3
4
0
1
4
9
...
 sumandos
� ������ ������
 determine el valor del det 
2 3
40 50
x x




.
 A) –14 B) 90 C) 180
 D) 12 E) –18
12. A es una matriz de orden 3 y se realiza las 
siguientes operaciones.
	 •	 Se	intercambia	la	segunda	y	tercera	colum-
na, luego
	 •	 A	 la	primera	columna	se	multiplica	por	36	 
y a la segunda fila por 
1
6
.
 Se obtiene la matriz B de tal forma que 
 det(B)=–30, halle el det(A).
 A) 6 B) 4 C) 5
 D) 10 E) 3
13. Determine el número de factores primos que 
presenta el polinomio siguiente.
 
P x y z
yz xz xy
x y z( ; ; ) =
1 1 1
 A) 5 B) 4 C) 3
 D) 2 E) 1
14. Si a y b son constantes positivas y
 
1
1
1
0
0
x
b
x
a =0, determine x – 1.
A) 
a b
ab
+
 
B) ab
a b+
 
C) a
b
D) b
a
 
E) ab
a b−
. . .
4
Álgebra
15. Si tenemos que
 
λ =












det
1 0 0 0
0 1 2 4
0 1 3 9
0 1 4 16
 halle la suma de cifras de λ5.
 A) 13 B) 2 C) 12
 D) 5 E) 7
16. Dada la matriz
 
A
a
b
c
a
b
c
a
b
c
=










3
3
3
2
2
2
 determine |A|.
A) (c – b)(c – a)(b – a)
B) abc(c+b)(c+a)(b+a)
C) abc(c – b)(c – a)(b – a)
D) ( )( )( )c b c a b a
abc
− − −
E) abc
17. Si A es una matriz tal que A A=
−





1 1
2 1
, halle 
la matriz inversa de A.
 A) A− =
−






1 1 1
2 1
 
 B) A− =
−










1
1
3
1
3
2
3
1
3
 C) A− =
−






1 3 3
6 3
 D) A− =
−





1 1 1
2 1
 
 E) A− =










1
1
3
1
3
2
3
1
3
18. Considere la matriz
 
P
k k
k
=












9
4
2 1 4
0 2
 Determine el conjunto de valores de k de tal 
manera que P sea invertible.
A) R
B) R – { – 1}
C) R – { – 1; – 9}
D) R – { – 9}
E) R – { – 1; 9}
19. Sea A una matriz de orden n, se define el poli-
nomio característico de A de la siguiente ma-
nera P(x)=|xIn – A| donde In: matriz identidad 
de orden n. Determine el polinomio caracterís-
tico de la matriz.
 
A =
−
−
−








1
1
1
0
0
0
0
0
1
A) P(x)=x
3 – 1
B) P(x)=x
2+1
C) P(x)=x
3 – x
D) P(x)=x
2 – 1
E) P(x)=x
3+x
20. Si A =
−
−
−








1
1
1
0
0
0
0
0
1
 indique la matriz
 A42+A55.
A) 
0
0
0
0
0
0
0
0
0







 B) 
0
0
1
0
0
0
0
0
2−







 C) 
0
0
0
0
0
0
1
0
2
−







D) 
1
1
0
0
0
0
0
0
1








 E) 
0
1
0
2
0
0
0
0
2








. . .
5
Álgebra
Sistema de ecuaciones lineales
21. Dada la ecuación matricial
 
3 2
1 1
1
1
−
−








=




x
y
 calcule el valor de xy.
 A) 0 B) 2 C) – 2
 D) 1 E) –1
22. La solución de un sistema no homogéneo es 
(x0; y0) tal que, según la regla de Cramer se 
cumple que
 x
m
n
d
y
m
n
d0 0
1
2
4
5
=
−
=; ;
 con m y n coprimos. Si x0=y0 , calcule el valor 
de (m+n+d).
 A) 13 B) 10 C) 18
 D) 21 E) 23
23. Si (x0; y0; z0) es solución del sistema
 
x y z
x y z
y z
+ + =
− + =
− + =




3 5
2 2 11
3
 calcule el valor de (x0+y0+z0).
 (Sug.: utilice el método de Gauss)
 A) 1 B) 
8
7
 C) 19
7
 D) 2 E) 16
7
24. Resuelva el sistema lineal aplicando la regla de 
Cramer.
 
x y z
x y z
y z
+ + =
− + =
− + =




4 3 10
2 4 7
1
 A) CS={(0; – 1; 3)}
 B) CS={(0; 1; 2)}
 C) CS={(– 1; 1; 1)}
 D) CS={(1; 0; 2)}
 E) CS={(0; – 1; – 2)}
25. Determine el valor de b2+a si se sabe que el 
sistema mostrado es indeterminado.
 
7 6 2 46
3 4 46
x y a
a x a y b
+ = +
− + + =


( ) ( )
 A) 3 B) 49 C) 46
 D) – 3 E) – 46
26. Determine el valor de λ si se sabe que el siste-
ma es incompatible.
 
( )
( )
2 1 5 7
2 4 8
λ
λ
+ + =
+ + =



x y
x y
 A) 1/2 B) – 1 C) – 2
 D) 1 E) 2
27. Si el sistema lineal
 
2 1x my
x y m m
+ = −
− = ∈




−; Z
 tiene CS={(x0; y0) / 0 >0}, calcule el valor de 
(x0+y0).
 A) – 2
 B) – 1
 C) 0
 D) 1
 E) 2
28. Dado el sistema de ecuaciones de variables x e y.
 
4 2 32
1 12
x y
n x m y
+ =
+ − =



 ( )
 Si (a; b) es solución del sistema de modo que 
a+b=13, entonces se debe verificar que.
A) 3n2+10m=11
B) n2 – 10m=16
C) 10n2+3m=18
D) m n+ = 7
2
E) m n2
4
3
1+ =
. . .
6
Álgebra
29. Si el par ordenado (3; 5) es solución del siste-
ma de incógnitas x e y.
 
( )
( )
a x y
a x aby
− − =
− + =



3 2 11
1 77
 determine el valor de a2+b2.
 
A) 200 B) 136 C) 49
D) 125 E) 101
30. Luego de resolver el sistema
 
xy x y
xz x z
yz y z
+ + =
+ + =
+ + =




23
41
27
 determine un valor de z.
A) – 8 B) – 7 C) – 5
D) 3 E) 5
Programación lineal
31. Con respecto al gráfico obtenido por las res-
tricciones
 
3y – x ≥ – 3
y – 2 ≤ – 4x
 indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
 I. Es una región acotada.
 II. Es una región convexa.
 III. 9
3
2
;

 pertenece a dicha región.
 A) VVF 
 B) FVV 
 C) VVV
 D) FVF 
 E) FFV
32. Esboce la región formada por el siguiente sis-
tema de inecuaciones.
 
5y+2x ≤ 10
10y+20x ≤ 60
x ≥ 0
y ≥ 0
 
A) B)
C)
2
2
2
3
3
Y
X
6
2
Y
X
Y
X
1;
5
2



 5
2
;1


 
D) E)
2
3
Y
X
2
3
Y
X
3
2
;
1
2




5
2
;1


33. Resuelva el siguiente problema
 mín. f(x; y)=x+2y – 1
 sujeto a3y+2x ≤ 60
3y – x ≥ 15
x ≥ 3
y ≥ 0
 A) 38 
 B) 34 
 C) 14
 D) 12 
 E) 3
34. Resuelva la siguiente inecuación en el campo 
de los enteros.
 
5 3 2
2 11
3
x y
x y
y
− >
+ <
>




 y dé como respuesta el valor de x2+y2.
A) 18 
B) 25 
C) 13
D) 20 
E) 34
. . .
7
Álgebra
35. Sea g(x; y)=x+3y – 1
 sujeto el conjunto que está representado por la 
región sombreada siguiente.
 
X
Y
L3: y=5
L4: 9x+7y=63L1: x+y=3
L2: x=1
 determine el mínimo valor de g(x; y).
A) 6 
B) 1 
C) 2
D) 15 
E) 17
36. La región sombreada representa a M ∩ N ∩ P.
 
X
Y
(3; 5)
(2; 0)
(0; 4)
 tal que
 M={(x; y) ∈R2: y ≥ 5x+a}
 N={(x; y) ∈R2: y ≥ b – 2x}
 P={(x; y) ∈R2: 3y ≤ x+c}
 determine el valor de a+b+c.
A) 8 
B) 6 
C) 2
D) – 2 
E) 10
37. Una empresa de automóviles decide poner en 
el mercado dos tipos de autos económicos A y 
B, para ello solo dispone de S/.1 800 000, siendo 
el costo de cada auto de S/.30 mil y S/.20 mil, 
respectivamente. Por exigencia del gerente, el 
número total de autos no debe ser superior a 
80. Si el beneficio por la venta del tipo A es de 
S/.4000 y del tipo B de S/.3000, ¿cuántos autos 
se deben fabricar de cada tipo para obtener el 
máximo beneficio?
 A) 20 y 60 B) 20 y 50 C) 30 y 50
 D) 50 y 40 E) 40 y 45
38. Una fábrica quiere producir bicicletas de pa-
seo y de montaña. La fábrica dispone de 80 kg 
de acero y 120 kg de aluminio. Para construir 
una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de 
acero y 3 kg de aluminio, y para construir una 
bicicleta de montaña se necesitan 2 kg de ace-
ro y 2 kg de aluminio. Si vende las bicicletas 
de paseo a 200 soles y las de montañas a 150 
soles. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo se debe 
construir para que el beneficio sea máximo?
A) 10; 20 B) 10; 40 C) 30; 20
D) 20; 10 E) 20; 30
39. Un estudiante dedica parte de su tiempo al re-
parto de propaganda publicitaria. La empresa 
A le paga 5 soles por cada impreso repartido y 
la empresa B, con folletos más grandes, le paga 
7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bol-
sas: una para los impresos A, en la que caben 
120, y otra para los impresos B, en la que caben 
100. Ha calculado que cada día es capaz de 
repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos 
impresos habrá que repartir de cada clase para 
que el beneficio diario sea máximo?
A) 50 impresos de A y 100 impresos de B
B) 0 impresos de A y 100 impresos de B
C) 120 impresos de A y 30 impresos de B
D) 120 impresos de A y 0 impresos de B
E) 50 impresos de A y 120 impresos de B
. . .
8
Álgebra
40. Una compañía manufactura dos productos Q y 
P, en un edificio pequeño que tiene capacidad 
limitada. Los precios de venta, los datos de costo 
y el tiempo de producción se dan a continuación.
 
Producto 
Q
Producto 
P
Precio de venta S/.20 S/.17
Precio de costo S/.12 S/.13
Horas para produ-
cir una unidad
3 1
 Si la compañía trabaja 300 horas mensuales. 
¿Calcule la cantidad de artículos que se debe 
fabricar de cada producto para que la ganancia 
se máxima?
A) 0; 300
B) 150; 150
C) 200; 100
D) 100; 0
E) 100; 200
Claves
01 - B 
02 - C 
03 - B 
04 - B 
05 - A 
06 - D 
07 - D 
08 - C
09 - D 
10 - E 
11 - E 
12 - C 
13 - C 
14 - A 
15 - D 
16 - C
17 - A 
18 - E 
19 - C 
20 - B 
21 - B 
22 - E 
23 - C 
24 - B
25 - A 
26 - E 
27 - D 
28 - A 
29 - E 
30 - A 
31 - D 
32 - E
33 - C 
34 - B 
35 - C 
36 - B 
37 - A 
38 - E 
39 - A 
40 - A