TRIGONOMETRÍA ANUAL UNI 2014 PARTE 8 [PDF DRIVE]

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1
Trigonometría
8
Preguntas Propuestas
. . .
2
Trigonometría
Ecuaciones trigonométricas II
1. Si n ∈ Z, calcule la solución general de x, del 
sistema de ecuaciones
 senx+seny= – 1 (I)
 x y+ = π
3
 (II)
A) nπ π+ 7
6
 B) 2
5
6
nπ π+ C) 2 7
6
nπ π+
D) nπ π+ 2
3
 E) 
nπ π
2
4
3
+
2. Del sistema de ecuaciones
 2senx=1 – cosy (I)
 2cosx=1+cosy (II)
 Calcule la solución general de y, si n ∈Z.
A) np
B) 
nπ
2
 
C) (2n+1)p
D) ( )4 1
2
n + π 
E) 2np
3. Resuelva la inecuación
 3senx – cos2x – 1 > 0, x ∈ 〈0; 2p〉
A) 
π π
3
2
3
;
B) π π π π; ;7
6
11
6
2∪
C) 
π π
6
5
6
;
D) 
π π π π
2
2
3
4
3
3
2
; ;∪
E) π π π π
6 3
2
3
5
6
; ;∪
4. Resuelva la inecuación
 sen(px) – cos(px) > 0, x ∈ [0; 2]
A) 
1
2
3
2
; B) 
1
4
5
4
; C) 0
1
4
;
D) 
1
2
2; E) 〈1; 2〉
UNI 2009 - II
5. Resuelva la inecuación trigonométrica
 (cos )(cos ) senx x x− + −( ) ≤3 2 2 1 0, 
 x ∈ 〈0; 2p〉
A) 
π π
2
3
4
;



 B) 
π π
4
5
4
;



 C) 
π π
4
3
4
;



D) 
5
4
7
4
π π
;



 E) 
3
2
7
4
π π
;



6. Resuelva la inecuación
 
2 2 1
2
0 0
sen( )
cos
, ;
x
x
x
−
+
≥ ∈ π
A) 
5
12
π π;

 B) 
π π
12 2
;



 C) 
π π
3
2
3
;



D) 
π π
6
5
6
;



 E) 
π π
12
5
12
;



7. Si el conjunto solución de la inecuación
 
sen , ;2
3
2
0x x≤ ∈[ ]π
 es [a; b] ∪ [c; d].
 Calcule a d
b c
+
+
.
A) 1/4 
B) 2 
C) 4
D) 1/2 
E) 1
8. Para qué valores de x ∈ 〈0; 2p〉 se cumple
 senx+senxcosx < 1 + cosx+cos2x
A) 〈0; 2p〉
B) 0 2 2
; π π− 




C) 0
2
; π π− 




D) 〈p; 2p〉
E) 
3
2
2
π π;
UNI 2004 - II
. . .
3
Trigonometría
Secciones cónicas I
9. Si V es el vértice, F el foco y el eje Y la directriz 
de la parábola, calcule las coordenadas del pun-
to P, si el área de la región sombreada es 16 u2.
 
V F
X
PY
A) (1; 4) B) (3; 6) C) (2; 4)
D) (4; 8) E) (5; 10)
10. Calcule la ecuación de la parábola cuyo eje 
focal es horizontal, con vértice en el origen y 
pasa por el punto (1; – 3).
A) y2=9x B) y2=18x C) y2=3x
D) y x2
3
2
= E) y2=6x
11. El vértice de una parábola es (3; 2) y su directriz 
es y= – 1. Calcule la ecuación de la parábola.
A) (x – 3)2=32(y – 2)
B) (x – 3)2=16(y – 2)
C) (x – 3)2=20(y – 2)
D) (x – 3)2=12(y – 2)
E) (x – 3)2=8(y – 2)
12. Calcule la longitud del lado recto de la parábola
 y2+2x – 10y+27=0
A) 4 B) 6 C) 8
D) 12 E) 2
13. Calcule n ≠ 0 de manera que la longitud del lado 
recto de la parábola de ecuación x2+4x=2ny 
mida 4 u.
A) 2 B) 1 C) 3
D) 5 E) 4
14. Calcule la ecuación de la directriz de la parábola
 y2 – 4x – 12y+28=0
A) x= – 2
B) x= – 4
C) x=3
D) x= – 3
E) x=2
15. Calcule el valor de n ≠ 0 de manera que 
las coordenadas del vértice de la parábola 
y2+nx+2y – 3=0, sumen 3 u.
A) 1/2 B) 1 C) – 2
D) 2 E) – 1
16. Calcule n, de modo que el foco de la parábola 
4y=(x+1)2 – 2n, se encuentre sobre el eje x.
A) 3 
B) 1/2 
C) 1
D) 1/4 
E) 2
Secciones cónicas II
17. Si la distancia entre los focos F1 y F2 es 2 2 y 
la longitud del eje menor B1B2 es 2 2. Calcule 
el perímetro de la región sombreada.
 
F2
B2B1
F1
X
Y
A) 14 
B) 10 
C) 12
D) 8 
E) 6
. . .
4
Trigonometría
18. Calcule la ecuación de la elipse con centro en 
el origen de coordenadas, uno de sus vértices 
 está en el punto A(0; 7) y pasa por M 5
14
3
;



A) 
x y2 2
16 25
1+ = B) 
x y2 2
9 49
1+ = C) x y
2 2
4 49
1+ =
D) 
x y2 2
16 49
1+ = E) 
x y2 2
25 49
1+ =
19. Calcule la ecuación de la elipse que pasa por 
 el punto N
7
2
3;



, tiene su centro en el ori-
 gen de coordenadas, su eje menor coincide 
con eje X y la longitud de su eje mayor es el 
doble de la longitud de su eje menor.
A) x y
2 2
9 36
1+ =
B) x y
2 2
2 8
1+ =
C) x y
2 2
4 16
1+ =
D) x
y2
2
4
1+ =
E) x y
2 2
16 64
1+ =
20. Calcule la ecuación de una elipse con vértice 
en el origen de coordenadas y eje horizontal. 
Además de uno de los vértices dista 8 u de un 
foco y 18 u del otro foco.
A) x y
2 2
144 81
1+ =
B) x y
2 2
169 100
1+ =
C) x y
2 2
144 121
1+ =
D) x y
2 2
81 36
1+ =
E) x y
2 2
169 144
1+ =
21. Del gráfico mostrado, calcule el área de la 
región sombreada en términos de a y b.
 
+ =1x
2
a2
y2
b2
X
y=x
y=– x
Y
A) 2
2 2
2 2
a b
a b+
 B) 4
2 2
2 2
a b
a b+
 C) 
2 2 2
2 2
a b
a b+
D) 
4 2 2
2 2
a b
a b+
 E) 8
2 2
2 2
a b
a b+
22. Los vértices de una elipse son V1(– 2; – 3), 
V2(8; – 3) y la longitud de su lado recto es 32/5. 
Calcule la ecuación de la elipse.
A) ( ) ( )x y− + + =3
25
3
9
1
2 2
B) ( ) ( )x y− + + =3
25
3
4
1
2 2
C) ( ) ( )x y− + + =3
49
3
16
1
2 2
D) ( ) ( )x y− + + =3
36
3
25
1
2 2
E) ( ) ( )x y− + + =3
25
3
16
1
2 2
. . .
5
Trigonometría
23. Calcule el área del cuadrilátero que tiene dos 
vértices en los focos de la elipse 9x2+5y2=45 
y los otros dos vértices coinciden en los extre-
mos de su eje menor.
A) 
2
45
5 B) 
2
15
5 C) 4 5
D) 5
20
 E) 
4
45
5
24. Si F1 y F2 son los focos y C el centro de la elipse, 
calcule el área de la región sombreada.
 
+ =1(x – 2)
2
9
(y – 1)2
4
F1 F2C
X
Y
A) 10 B) 5 C) 2 5
D) 6 E) 3
2
Transformación de coordenadas
25. Calcule la ecuación en el que la función 
 ax+by+c=0 es transformada, si el origen es 
 trasladado al punto O bh ah
c
b
' ; − −



.
A) ax’ – by’=0
B) bx’+ay’=0
C) bx’ – ay’=0
D) ax’+by’+c=0
E) ax’+by’=0
26. Mediante una traslación de ejes, transforme la 
ecuación en otra que carezca de términos de 
primer grado 
 xy – 7x+3y – 22=0.
A) x’y’=2 B) x’y’=1/2 C) x’y’=4
D) x’y’=1 E) x’y’=1/4
27. Mediante una traslación de ejes, transforme 
la ecuación dada en otra que no contenga 
términos de segundo grado, ni término inde-
pendiente.
 y3+3y2+x+3y+6=0
A) (y’)3 – x’=0
B) (x’)3+y’=0
C) (x’)3 – y’=0
D) (y’)3+x’=0
E) (y’)3+2x’=0
28. Si los ejes coordenados son trasladados a un 
nuevo origen, calcule sus coordenadas de 
modo que las ecuaciones dadas carezcan de 
término independiente.
 x – 2y+3=0 (I)
 x2+2x – 4y – 3=0 (II)
A) (3; 3) ∨ (– 3; 0)
B) (3; 3) ∨ (3; 0)
C) (– 3; 3) ∨ (– 3; 0)
D) (3; – 3) ∨ (3; 0)
E) (– 3; 3) ∨ (– 2; 0)
29. Por una rotación de 45º de los ejes coor-
denados, cierta ecuación se transformó en 
4(x’)2 – 9(y’)2=36. Calcule la ecuación original.
A) 5x2 – 24xy+5y2+72=0
B) 5x2 – 20xy+y2+70=0
C) 5x2 – 26xy+5y2+72=0
D) 4x2+26xy+5y2+36=0
E) 9x2+23xy – 5y2 – 72=0
30. ¿Qué tipo de cónica generada o degenerada 
representa la ecuación 9x2 – 12xy+7y2+4=0?
A) dos rectas paralelas
B) parábola
C) un punto 
D) elipse
E) el vacío
. . .
6
Trigonometría
31. Elimine el término xy, en la ecuación x2 – xy=1.
A) 2 12 2x y' '+ =
B) ( ) ' ( ) '1 2 1 2 22 2− + + =x y
C) 2 3 12 2x y' '+ =
D) 1 3 1 3 22 2−( ) + +( ) =x y' '
E) x y' '2 22 3− =
32. Mediante una traslación y una rotación de ejes, 
reduzca la ecuación
 5x2+6xy+5y2 – 4x+4y – 4=0
A) (x”)2+4(y”)2=4
B) 2(x”)2+(y”)2=4
C) 4(x”)2+(y”)2=4
D) (x”)2+2(y”)2=4
E) 4(x”)2+3(y”)2=4
Claves
01 - C 
02 - A 
03 - C 
04 - B 
05 - C 
06 - E 
07 - B 
08 - B
09 - D 
10 - A 
11 - D 
12 - E 
13 - A 
14 - D 
15 - B 
16 - E
17 - D 
18 - B 
19 - C 
20 - E 
21 - B 
22 - E 
23 - C 
24 - B
25 - E 
26 - D 
27 - D 
28 - A 
29 - C 
30 - E
31 - B 
32 - C