S06 s1 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
PROBABILIDADES
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Al finalizar la sesión de clase el estudiante comprende el concepto de probabilidad y lo reconoce
en distintas situaciones.
1. Conceptos básicos
1. Experimento aleatorio: Es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado de una
observación, cuyo resultado no se puede predecir con exactitud.
2. Espacio muestral (Ω): Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento
aleatorio.
3. Evento: Es cualquier subconjunto del espacio muestral.
El evento imposible, ∅, que no tiene puntos muestrales, en consecuencia no ocurre nunca.
El evento seguro, Ω, el mismo espacio muestral.
Operaciones con eventos
a) Unión de eventos: A ∪B = {w ∈ Ω/w ∈ A ∨ w ∈ B}
b) Intersección de eventos: A ∩B = {w ∈ Ω/w ∈ A ∧ w ∈ B}
c) Complemento de un evento: Ac = {w ∈ Ω/w /∈ A}
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d) Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos (A ∩B = ∅)
Ejemplo 1: Para cada caso identifique su experimento aleatorio, espacio muestral y defina 2
eventos.
a) Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior.
b) Se lanza una moneda dos veces y se observa el resultado obtenido.
c) Se lanza un dado y una moneda a la vez y se observa el resultado obtenido.
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2. Probabilidad de un evento
Dado un evento A, asociado a un experimento aleatorio, entonces la probabilidad de que ocurra
A es:
P (A) =
n(A)
n(Ω)
Axiomas:
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1, para todo evento A
2. P (Ω) = 1
Ejemplo 2: Si se lanza una moneda 3 veces. Calcular la probabilidad de obtener:
a) Dos caras.
b) Menos de dos caras.
c) Más de una cara.
Ejemplo 3: En cierta bodega, una caja contiene cuatro focos de 40 W, cinco de 60 W y seis
de 75 W. Suponga que se selecciona un foco al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de 75 W?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de al menos 60 W?
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Propiedades de las probabilidades
P (∅) = 0
P (Ac) = 1− P (A)
Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces, P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
P (A ∪B) = P (A) + P (B) para todo evento A y B eventos disjuntos.
Ejemplo 4: De una baraja de 52 cartas, se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la
carta sea un AS o un corazón?
Ejemplo 5: Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 0,4 y la de
ganar el segundo premio es 0,375. Si la probabilidad de ganar el primer premio o el segundo premio
es 0,75.
a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar sólo uno de los dos premios?
b) ¿Cuál es la probabilidad de no ganar ninguno de los dos premios?
2.1. Eventos Independientes
Dos eventos A y B son independientes si y solo si:
P (A ∩B) = P (A)P (B)
P (Ac ∩Bc) = P (Ac)P (Bc)
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Ejemplo 6: El éxito de un proyecto de inversión depende del trabajo de un administrador y un
contador. Se sabe que la probabilidad de que el administrador falle es de 6 % y la probabilidad
de que el contador falle es de 8 %. Para que el proyecto sea exitoso, ninguno de los 2 debe fallar.
Asuma que las labores de los dos integrantes son independientes entre śı.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tenga éxito?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto no tenga éxito?
2.2. Probabilidad condicional
Sean dos eventos A y B, tal que P (B) > 0, la probabilidad condicional de que ocurra el evento
A, dado que ha ocurrido el evento B, se define por:
P (A/B) =
P (A ∩B)
P (B)
Ejemplo 7: En la facultad de Administración, el 40 % de los estudiantes aprobaron el curso de
Matemática Básica, el 60 % aprobaron el curso Estad́ıstica y el 25 % aprobaron las dos asignaturas.
Se selecciona un estudiante al azar:
a) Si aprobó Estad́ıstica, ¿cuál es la probabilidad de que aprobará Matemática Básica?
b) Si aprobó Matemática Básica, ¿cuál es la probabilidad de que aprobará Estad́ıstica?
Ejemplo 8: Cierta universidad en formación en su primer año de funcionamiento tiene tres
carreras. Ciencia, Administración e Ingenieŕıa. La clasificación de los estudiantes por su género, es
como sigue:
Ciencia Administración Ingenieŕıa Total
Hombres 250 350 200 800
Mujeres 100 50 50 200
Total 350 400 250 1000
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Se selecciona un estudiante al azar del grupo:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno estudie Administración?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno estudie Administración y sea hombre?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno esté en Ciencias o Ingenieŕıas?
d) Si el estudiante es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que esté en Administración?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante elegido esté en Ingenieŕıa dado que es hombre?
2.3. Partición del espacio muestral
Los eventos E1, E2,...,En son una partición del espacio muestral Ω , si satisfacen las siguientes
condiciones:
P (Ei) 6= 0, i = 1, 2, ..., n
Ei ∩ Ej = Φ, i 6= j
E1 ∪ ... ∪ En = Ω
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2.4. Teorema de la probabilidad total
Si los eventos E1, E2,...,En son una partición del espacio muestral Ω, entonces, la probabilidad
de que ocurra el evento A es:
P (A) =
n∑
i=1
P (Ei) ∗ P (A/Ei)
2.5. Teorema de Bayes
Si los eventos E1, E2,...,En son una partición del espacio muestral Ω y P (A) 6= 0, entonces,
P (Ek/A) =
P (Ek) ∗ P (A/Ek)
P (A)
Ejemplo 9: Una fábrica de computadoras recibe discos duros de tres proveedores A, B y C los
cuales producen 25 %, 55 % y 20 % respectivamente.Por información del área de control de calidad
se registra que los discos duros defectuosos 1 % son de A, 0.5 % son de B y 2 % son de C. Si se elige
al azar un disco duro:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el disco sea defectuoso?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el disco no sea defectuoso?
c) Si se sabe que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor B?
d) Si se sabe que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor C?
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EJERCICIOS ADICIONALES
1. Para un estudio sobre cultura general se encuestó a 500 estudiantes encontrándose que: 20
hab́ıan léıdo ”Ficciones”de Borges; 24 hab́ıan léıdo ”El libro de Arena”de Borges y 464 no
hab́ıan léıdo estas dos obras geniales. Si se selecciona un estudiante al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad que haya léıdo ambos libros?
b) ¿Cuál es la probabilidad que haya léıdo ”Ficciones”pero no ”El Libro de Arena”?
2. Los colaboradores de una empresa en el área de calidad se distribuyen aśı: son 17 chicas (M)
y 13 chicos (H) y también se sabe que hay 3 chicas y 4 chicos zurdos (Z).
a) Halle la probabilidad de que sea zurdo sabiendo que es chico.
b) Halle la probabilidad de que sea chico sabiendo que es zurdo
c) Halle la probabilidad de que sea chico o zurdo.
d) ¿Que sea Chico y sea Zurdo son eventos independientes?
3. Un grupo de 500 ejecutivos es clasificado de acuerdo a las caracteŕısticas del peso y a la
insidencia del peso en la hipertensión. Se da la siguiente tabla:
Sobrepeso (S) Peso Normal (N) Bajo peso (B) Total
Hipertenso (H) 50 40 10 100
No hipertenso (Hc) 75 225 110 400
Total 125 265 110 500
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hipertensa?
b) Una persona elegida al azar tiene sobrepeso. ¿Cuál es la probabilidad que también sea
hipertensa?
c) Una persona elegida al azar no es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga
peso normal?
4. El administrador del Hospital Almanzor Aguinaza Asenjo revisa la encuesta realizada a
sus miembros trabajadores, la cual registra género y edad. La siguiente tabla resume los
resultados:
Menores de 35 Entre 35 y 54 Mayor de 54 Total
Masculino 27 87 26 140
Femenino 14 25 3 42
Total 41 112 29 182
Si seleccionaal azar a un miembro:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su edad este entre 35 y 54 años?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón o su edad este entre 35 y 54 años?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y sea mayor de 54 años?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón, dado que son menores de 35 años?
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f ) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 54 años, dado que es de genero femenino?
g) Los eventos ”hombre” y ”mayor de 54 años”son independientes?
5. Un economista graduado de la UTP estudia la situación de empleo en dicha ciudad: Si la
población total es de 8000 personas, En un pueblo, existen 4000 mujeres y 4000 hombres. Se
saben que el 20 % de las mujeres y el 5 % de hombres están sin trabajo.
a) Halle la probabilidad de que sea hombre o empleado.
b) Si se elige al azar una persona hombre, ¿cuál es la probabilidad de que la persona
escogida sea desempleada?
6. La producción de una empresa depende de dos máquinas, la máquina A produce el 67 % de
art́ıculos y la máquina B produce el 33 % de art́ıculos. Se sabe que el 6 % de los art́ıculos que
produce la máquina A son defectuosos, mientras que el 3 % de los art́ıculos producidos por
la máquina B son defectuosos. Suponga que se junta la producción diaria de estas máquinas
y se toma un art́ıculo.
a) Calcular la probabilidad de que el art́ıculo sea defectuoso.
b) Si el art́ıculo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina A?
c) Si el art́ıculo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina B?
d) ¿De qué máquina es más probable que provenga el art́ıculo defectuoso?
7. El departamento de crédito de una tienda en California, informó que 30 % de las compras se
paga con efectivo; 30 % se paga con tarjeta de crédito y 40 %, con tarjeta de débito. Veinte
por ciento de las compras con efectivo, 90 % de las compras con tarjeta de crédito y 60 % de
las compras con tarjeta de débito son por más de $50. Si se elige al azar un cliente.
a) Calcule la probabilidad de que el cliente realice una compra por más de $50 y pague
con efectivo.
b) Si el cliente realizó una compra por más $50, calcule la probabilidad pague con tarjeta
de crédito.
8. En cierta empresa de servicios inmobiliarios el 25 % de las ventas correspondientes a casas,
el 68 % a departamentos y el resto a otro tipo de inmuebles (terrenos, oficinas, locales com-
erciales, etc.). Por experiencias anteriores se sabe que cuando la venta es una casa, la prob-
abilidad de que el cliente use financiamiento bancario es del 72 %. Esta probabilidad es del
84 % cuando se venden departamentos y de 67 % en otras ventas. Un auditor selecciona al
azar uno de los archivos que se arman por cada venta.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una venta se haya realizado con financiamiento bancario?
b) Si la venta se hizo con financiamiento bancario ¿de qué rubro es más probable que se
haya producido?
TAREA DOMICILIARIA
1. En una encuesta aplicada a los suscriptores de una revista se encontró que en los últimos
12 meses 45.8 % hab́ıan rentado un automóvil por razones de trabajo, 54 % por razones
personales y 30 % por razones de trabajo y personales.
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor haya rentado un automóvil en los últimos
12 meses por razones de trabajo o por razones personales?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no haya rentado un automóvil en los
últimos 12 meses ni por razones de trabajo ni por razones personales?
2. De 125 estudiantes de un centro de idiomas, 75 estudian inglés, 45 estudian francés y 10
estudian inglés y francés. Si se escoge un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que
el estudiante:
a) Estudie francés pero no inglés.
b) No estudie ni inglés, ni francés.
c) Estudie un solo idioma.
3. Una organización de investigación del consumidor ha estudiado los servicios dentro del
peŕıodo de garant́ıa que ofrecen los 50 distribuidores de automóviles nuevos en cierta ciudad
y sus hallazgos se resumen en la tabla que sigue:
Buen servicio Mal servicio
10 años o más en el negocio 16 4
Menos de 10 años en el negocio 10 20
a) ¿Cuál es probabilidad de que elegirá a uno que ofrezca un buen servicio de garant́ıa?
b) ¿Cuál es probabilidad de que elegirá a uno que ofrezca un buen servicio de garant́ıa y
tenga menos de 10 años en el negocio?
c) ¿Cuál es probabilidad de que elegirá a uno que ofrezca un mal servicio de garant́ıa o
tenga 10 años o más en el negocio?
4. El Sr. Sánchez gerente del departamento de crédito del BCP, sabe que la compañ́ıa utiliza
tres métodos para conminar a pagar a las personas con cuentas morosas. De los datos que se
tienen registrados, él sabe que 70 % de los deudores son visitados personalmente, 20 % se les
sugiere que paguen v́ıa telefónica y al restante 10 % se les env́ıa una carta. Las probabilidades
de recibir una cantidad de dinero debido a los pagos de una cuenta con éstos tres métodos
son 0.75, 0.60 y 0.65 respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta morosa haya sido notificado en persona y
pague?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta morosa no pague si sabemos que fue notifi-
cado v́ıa teléfono?
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