S07 s2 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y POISSON
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Al finalizar la sesión de clase el estudiante conoce las distribuciones Binomial y Poisson; además
aplica las distribuciones en la solución de problemas.
1. Distribución Binomial
La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad que tiene muchas
aplicaciones. Está relacionada con un experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento
binomial.
1.1. Experimento Binomial
Un experimento de Binomial cumple las siguientes propiedades:
1. El experimento consiste en una serie de n ensayos idénticos.
2. En cada ensayo hay solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.
3. La probabilidad de éxito, que se denota p, no cambia de un ensayo a otro. Por ende, la
probabilidad de fracaso, que se denota 1 − p, tampoco cambia de un ensayo a otro.
4. Los ensayos son independientes.
Ejemplo 1: Considere el experimento que consiste en lanzar una moneda 4 veces y observar el
resultado. Suponga que se desea contar el número de caras que aparecen en los cuatro lanzamientos.
¿Presenta este experimento las propiedades de un experimento binomial? ¿Cuál es la variable
aleatoria que interesa?
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1.2. Distribución Binomial
Se dice que la variable aleatoria X tiene una distribución Binomial con parámetros n y p,
denotado por X ∼ B(n, p), si su función de probabilidad es:
P (X = x) = Cnxp
x(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, ..., n
Donde:
n : número de ensayos
p : la probabilidad de un éxito en cualquiera de los ensayos.
1 − p : la probabilidad de un fracaso en cualquiera de los ensayos.
Propiedades: Si X ∼ B(n, p) entonces:
Media: E(X) = np
Varianza: V (X) = np(1 − p)
Ejemplo 2: Un estudiante de la Facultad de Contabilidad tiene certeza de aprobar una asig-
natura con probabilidad 0.7, si lleva seis asignaturas:
a) Defina la variable aleatoria y su función de probabilidad.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe 3 asignaturas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga mal en todas las asignaturas?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe más de cuatro signaturas?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo apruebe dos asignaturas?
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Ejemplo 3: Debido a las elevadas tasas de interés, una empresa reporta que el 30 % de sus
cuentas por cobrar de otras empresas están vencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria
de 5 cuentas.
a) Defina la variable aleatoria y su función de probabilidad.
c) Determine la probabilidad de que solo una cuenta esté vencida.
d) Determine la probabilidad de que al menos 4 cuentas estén vencidas.
e) Determine el número esperado de cuentas vencidas.
f) Determine la varianza del número de cuentas vencidas.
1.3. Distribución Poisson
Se utiliza para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en
un intervalo de tiempo o de espacio.
Se dice que la variable aleatoria X tiene una distribución Poisson con parámetro λ, denotado por
X ∼ P (λ), si su función de probabilidad es:
P (X = x) =
e−λλx
x!
, x = 0, 1, 2, ...
Propiedades: Si X ∼ P (λ) entonces:
Media: E(X) = λ
Varianza: V (X) = λ
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Ejemplo 4: Suponga que llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a una central
telefónica con un promedio de tres llamadas por minuto:
a) Calcular la probabilidad de que en un minuto ocurran exactamente 4 llamadas.
b) Calcular la probabilidad de que en un minuto ocurran al menos 3 llamadas.
c) Calcular la probabilidad de que en medio minuto ocurran menos de 2 llamadas.
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30 % de inversionistas particu-
lares hab́ıa utilizado un agente de descuentos. En una muestra aleatoria de nueve personas,
calcule la probabilidad de que:
a) Ninguna persona haya utilizado un agente de descuentos.
b) Menos de 3 personas hayan utilizado un agente de descuentos.
c) Más de 2 personas hayan utilizado un agente de descuentos.
2. Un agente de telemarketing hace seis llamadas por hora y es capaz de hacer una venta con
30 % de estos contactos. Para la siguiente hora:
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a) ¿Cuál es la probabilidad de realizar exactamente cuatro ventas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de realizar a lo sumo dos ventas?
c) Calcule la media de la cantidad de ventas.
d) Calcule la varianza de la cantidad de ventas.
3. Durante el periodo en que una universidad recibe inscripciones por teléfono, llegan llamadas
a una velocidad de una cada dos minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres llamadas en cinco minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de cinco minutos?
c) ¿Cuál es el número esperado de llamadas en una hora?
4. En el control de calidad de tejidos, se sabe que se produce defectos en forma aleatoria, con
un promedio de un defecto cada 100 metros cuadrados.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de 100 metros cuadrados tenga 2 defectos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de 50 por 10 metros no tenga defectos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de 50 por 10 metros de que tenga un defecto
como máximo?
TAREA DOMICILIARIA
1. En una prueba del tipo verdadero-falso, con 10 preguntas. Si un estudiante responde al azar
las preguntas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte en 8 de ellas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que acierta en menos de la mitad?
2. Los pasajeros de las aeroĺıneas llegan en forma aleatoria e independiente al mostrador de
revisión de pasajeros. La tasa media de llegada es 10 pasajeros por minuto.
a) Calcule la probabilidad de que lleguen dos o menos pasajeros en un lapso de un minuto.
b) Calcule la probabilidad de que llegue por lo menos un pasajero en un lapso de 15
segundos.
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