S09 s2 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
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Al finalizar la sesión el estudiante conoce y aplica la distribución muestral de la media.
Distribución muestral
La distribución muestral es la distribución de probabilidad de una estad́ıstica obtenida a par-
tir de todas las posibles muestras de tamaño n, elegidas al azar de una población determinada.
Las distribuciones muestrales adoptan diferentes formas según las estad́ısticas investigadas y las
caracteŕısticas de la población estudiada. Las aplicaciones de las distribuciones muestrales son
aplicaciones del teorema del ĺımite central.
Distribución muestral de la media
Consiste en tomar de una población todas las muestras posibles de tamaño n. Luego se cal-
cula las medias de cada muestra, obteniéndose aśı la distribución de todas las medias muestrales
posibles:
Si la varianza σ2 es conocida
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de tamaño n escogida de una población f(x) que tiene
una media µ y varianza σ2, entonces:
µX = E(X) = µ
σ2
X
= V ar(X) = σ
2
n
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Para n suficientemente grande (n ≥ 30): X ≈ N(µX , σ2X)
Entonces,
Z =
X − µX
σX
≈ N(0, 1)
Donde, µX = µ y σX =
σ√
n
Notas:
Si la población es normal N(µ, σ2), entonces X ∼ N(µX , σ2X) para n ≥ 2.
Si la población no es normal (población discreta o continua), entonces X ≈ N(µX , σ2X) para
n ≥ 30.
Si la varianza σ2 es desconocida
Si la muestra es grande (n ≥ 30)
SeaX1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de tamaño n escogida de una población f(x) (población
no normal) que tiene una media µ y varianza σ2, entonces: X ≈ N(µX , σ̂2X), donde, µX = µ y
σ̂2
X
= S
2
n
Por tanto,
Z =
X − µX
σ̂X
≈ N(0, 1)
Si la muestra es pequeña (n < 30)
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de tamaño n escogida de una población normal
N(µ, σ2) que tiene una media µ y varianza σ2, entonces:
T =
X − µ
S√
n
∼ t(n−1)
Distribución t de Student: Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución t de
Student con m grados de libertad y se escribe X ∼ t(m), si su función densidad de probabilidad es
dado por:
f(x) =
Γ(m+1
2
)
√
mπΓ(m
2
)
1
(1 + x
2
m
)
m+1
2
;− ∝< x <∝,m = 1, 2, 3...
La distribución t de Student es muy similar una distribución normal N(0, 1), ya que ambas
tienen como dominio todos los reales, son simétricas con respecto a su media cero. Las dos tienen
gráficas de su función densidad en forma de una campana.
A medida que m tome valores mayores a 30, la distribución t de Student se aproxima cada vez
más a la distribución normal estándar (N(0,1)).
Propiedad: Sean Z una variable aleatoria N(0, 1) y V una variable aleatoria χ2(n). Si Z y V
son independientes, entonces la distribución de la variable:
T =
Z√
V
m
∼ t(m)
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Figura 1: Gráfica de la distribución t de Student y la distribución normal estándar
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Una fábrica textil tiene 5 operarios, los años de servicio en la fábrica de estos operarios son:
5, 7, 8, 9, 10.
a) Calcula la media y la varianza de la población de años de servicios.
b) Determine la media y varianza de la media de las muestras de tamaño dos escogidas de
la población sin reposición.
c) Determine la media y varianza de la media de las muestras de tamaño dos escogidas de
la población con reposición.
d) Si se extraen muestras al azar de tamaño 36 con reposición, ¿cuál es la probabilidad de
que la media muestral esté entre los valores 7 y 8.5 años?
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2. Una compañ́ıa agroindustrial ha logrado establecer el siguiente modelo de probabilidad disc-
reta de los sueldos (X) en cientos de dólares de sus empleados:
x 1 2 3 4 5
p(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
Si de esta población de sueldos se toman 30 empleados al azar:
a) Determine la distribución de la media muestral.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sueldo medio de la muestra sea mayor a 260 dólares?
3. La edad promedio de los empleados de una empresa es de 38 años, con una desviación estándar
de 8.2 años. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 30 empleados.
a) Determine la distribución de la media muestral.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad promedio de la muestra de los empleados este
entre 36 y 39 años?
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EJERCICIOS ADICIONALES
1. Un golfista tiene una puntuación promedio de 95 y una desviación estándar de 14 golpes. Se
toma una muestra aleatoria de 40 golfistas.
a) Determine la distribución muestral de la media.
b) Calcule la probabilidad de que la media muestral sea mayor a 98 golpes.
2. El precio por galón de gasolina regular vendida en Estados Unidos tiene una media de 1.2
dólares y una desviación estándar de 0.1 dólares. Si selecciona una muestra aleatoria de 50
gasolineras.
a) Determine la distribución de la media muestral.
b) Calcule la probabilidad de que la media muestral sea al menos 1.18 dólares.
3. Las botellas de la bebida Rica Kola familiar tienen un contenido medio de 2.5 litros y una
desviación estándar de 0.1 litros. Si se toma una muestra aleatoria de 36 botellas
a) Determine el error estándar de la media muestral.
b) Calcule la probabilidad que las botellas tengan una media de llenado entre 2.48 y 2.52
litros.
4. La Agencia de Aduanas de Estados Unidos revisa a todos los pasajeros que llegan del ex-
tranjero cuando entran al páıs. La agencia informa que en promedio se encuentra que 42
personas diarias, con una desviación estándar de 11, llevan material de contrabando al en-
trar a Estados Unidos a través del aeropuerto John F. Kennedy de Nueva York. ¿Cuál es
la probabilidad de que en cinco d́ıas en el aeropuerto, el número promedio de pasajeros que
llevan contrabando excedan los 50?
TAREA DOMICILIARIA
1. Una empresa vende bloques de mármol cuyo peso se distribuye normalmente con media de
200 kilogramos y una desviación estándar de 196 kilogramos. Si se toma una muestra de 50
bloques.
a) Calcular la distribución muestral del peso medio de la muestra.
b) Calcular la probabilidad de que el peso medio de la muestra sea inferior a 202 Kg.
2. La demanda diaria de un producto es una variable aleatoria con función de probabilidad:
x 0 1 2 3 4
p(x) 0.30 0.20 0.15 0.10 0.25
a) Determine la distribución muestral de la demanda promedio de 36 d́ıas.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda promedio de 36 d́ıas esté entre 1 y 2?
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