S10 s1 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN
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Al finalizar la sesión el estudiante conoce y aplica la distribución muestral de la proporción.
Introducción
Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de una muestra, sino que
queremos investigar la proporción de personas con cierta preferencia en la muestra. La distribución
muestral de una proporción es adecuada para dar respuestas a estas situaciones.
Distribución muestral de la proporción
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de tamaño n escogida de una población Bernoulli
Ber(p), donde p es el porcentaje de éxitos en la población y sea la proporción de éxitos en la
muestra dado por:
p =
X1 +X2 + ...+Xn
n
=
X
n
siendo, X = X1 +X2 + ...+Xn una variable aleatoria B(n, p), entonces:
µp = E(p) = p
σ2p = V ar(p) =
p(1−p)
n
Para n suficientemente grande, entonces la variable aleatoria:
p ≈ N(µp, σ2p)
Donde, µp = p y σ
2
p =
p(1−p)
n
.
Entonces:
Z =
p− p√
p(1−p)
n
≈ N(0, 1)
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EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. El director de una empresa piensa que 30 % de los pedidos provienen de nuevos compradores.
Para ver la proporción de nuevos compradores se usará una muestra aleatoria simple de 100
pedidos.
a) ¿Cuál es la media y varianza de la proporción de nuevos compradores de la muestra?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de nuevos compradores de la muestra
esté entre 0.20 y 0.40?
2. Según registros que lleva cierta cadena de tintoreŕıas, 20 % de los clientes pagan con tarjeta
de crédito. Si se selecciona una muestra de 200 clientes.
a) ¿Cuál es la distribución de la proporción muestral?
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b) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra revele que el porcentaje de clientes que pagan
con tarjeta de crédito sea más de 24 %?
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Se estima que el 40 % de los votos de los electores de la ciudad favorecen al candidato Sr.
Dı́az. Si se selecciona una muestra aleatoria de 600 electores de la ciudad, ¿qué probabilidad
hay de que la proporción muestral de votos a favor del Sr. Dı́az esté entre 37 % y 45 %?
2. El análisis estad́ıstico de las llamadas telefónicas de larga distancia indica que 35 % de ellas
duran por lo menos 480 segundos. Si se toma una muestra aleatoria de 50 llamadas, calcule
la probabilidad:
a) De que el porcentaje de llamadas cuya duración sea de por lo menos 480 segundos este
entre 25 % y 50 %.
b) De que el porcentaje de llamadas cuya duración sea de por lo menos 480 segundos sea
a lo más 45 %.
3. El 70 % de las compras con tarjeta de crédito en tiendas Ripley son superiores a $200. Si se
seleccionan muestras aleatorias de 100 compras; Calcule la probabilidad de que las muestras
tengan entre 65 % y 80 % de compras mayores que $200?
4. Un proceso para llenar botellas de cerveza presenta una producción en la que el 10 % de las
botellas no están completamente llenas. Si mediante este proceso se selecciona al azar una
muestra aleatoria de 225 botellas de un lote envases llenos. ¿Cuál es la probabilidad de que
la proporción muestral de botellas parcialmente llenas se encuentre entre a lo más 10 %?
TAREA DOMICILIARIA
1. De una empresa se escoge una muestra aleatoria de 300 empleados para una encuesta sobre
condiciones laborales. Si se estima en 80 % del total de empleados el porcentaje a favor de
las condiciones laborales.
a) ¿Cuál es la distribución muestral, de la proporción de empleados a favor de las condi-
ciones laborales en la muestra?
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b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral a favor de las condiciones labo-
rales este comprendido entre 0.76 y 0.84?
2. Suponga que 5 % de las antenas de los nuevos teléfonos celulares Nokia tiene defectos. Si se
toma una muestra aleatoria de 50 antenas.
a) Determine la media y desviación estándar de la proporción muestral.
b) Calcule la probabilidad de que en la muestra el porcentaje de antenas defectuosas sea
a lo más 10 %.
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