FINAL MAYO 2022

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Análisis Matemático I Final mayo 2022 
Para aprobar deberá resolver correctamente, como mínimo 3 ejercicios de teoría y 
2 de práctica. 
Parte teórica 
1- a) Definir la continuidad de una función en un intervalo cerrado. b) Dar 
ejemplos gráficos de: b1) una función discontinua en un punto. b2) discontinua en 
un punto. Explique el porqué de la discontinuidad en cada caso. 
2- a) Escribir la expresión de una función que tenga una asíntota horizontal en 
𝑦 =
3
2
 y una asíntota vertical en 𝑥 = 2. b) Graficar y justificar analíticamente lo 
propuesto en a). 
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
 → 𝑓(𝑥) =
𝑎
𝑥 − ℎ
+ 𝑘 ℎ: 𝑒𝑠 𝐴𝑉 𝑦 𝑘 𝑒𝑠 𝐴𝐻 
 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 − 2
+
3
2
 
𝑓(𝑥) =
2 + 3. (𝑥 − 2)
2(𝑥 − 2)
 
 
𝑓(𝑥) =
3𝑥 − 4
2(𝑥 − 2)
 
lim
𝑥→2
3𝑥 − 4
2(𝑥 − 2)
=
2
0
= ∞ ∴ 𝑥 = 2 𝑒𝑠 𝐴𝑉 
 
lim
𝑥→−∞
3𝑥 − 4
2(𝑥 − 2)
=
−∞
−∞
 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 
lim
𝑥→−∞
3𝑥 − 4
2(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→−∞
𝑥. (3 −
4
𝑥
)
2. 𝑥. (1 −
2
𝑥
)
= lim
𝑥→−∞
3 −
4
𝑥
2. (1 −
2
𝑥
)
=
3
2
 ∴ 𝑦 =
3
2
 𝑒𝑠 𝐴𝐻 
 
 
 
lim
𝑥→∞
3𝑥 − 4
2(𝑥 − 2)
=
∞
∞
 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 
lim
𝑥→∞
3𝑥 − 4
2(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→∞
𝑥. (3 −
4
𝑥
)
2. 𝑥. (1 −
2
𝑥
)
= lim
𝑥→∞
3 −
4
𝑥
2. (1 −
2
𝑥
)
=
3
2
 ∴ 𝑦 =
3
2
 𝑒𝑠 𝐴𝐻 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 − 2
+
3
2
 
 
3- a) Definir la diferencial de una función. b) ¿Cuál es su interpretación 
geométrica? 
4- a) Teniendo en cuenta la definición de la función derivada, exprese la derivada 
de quinto orden. b) Enuncie el teorema de concavidad de una función. 
5- a) Definir la integral definida. b) Describa los casos del Método de integración 
por Sustitución Trigonométrica. ¿Cuándo se usa este método? 
Parte practica 
1- Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 ∈ [−3,3], 𝑎 >
1
2
. 
a) Si ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓−1(𝑥) =
5
2
𝑥 +
3
2
. Hallar a y b. 
b) Grafique la función f con los valores determinados de a y b. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑥 = 𝑎𝑦 + 𝑏 
𝑥 − 𝑏 = 𝑎𝑦 
𝑦 =
𝑥 − 𝑏
𝑎
 
 
 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥
𝑎
−
𝑏
𝑎
 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓−1(𝑥) 
ℎ(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +
𝑥
𝑎
−
𝑏
𝑎
 
ℎ(𝑥) = (𝑎 +
1
𝑎
) . 𝑥 + (𝑏 −
𝑏
𝑎
) 
5
2
𝑥 +
3
2
= (𝑎 +
1
𝑎
) . 𝑥 + (𝑏 −
𝑏
𝑎
) 
Por igualdad de funciones 
 
5
2
= 𝑎 +
1
𝑎
 
 
3
2
= 𝑏 −
𝑏
𝑎
 
 
5
2
=
𝑎2 + 1
𝑎
 → 5𝑎 = 2. (𝑎2 + 1) → 5𝑎 = 2𝑎2 + 2 → 2𝑎2 − 5𝑎 + 2 = 0 
𝑎1,2 =
5 ± 3
4
 → 𝒂𝟏 = 𝟐, 𝑎2 =
1
2
 
 
3
2
= 𝑏 −
𝑏
𝑎
 
3
2
= 𝑏 −
𝑏
2
 
3
2
=
𝑏
2
 
𝑏 = 3 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑥 ∈ [−3,3], 𝑎 >
1
2
 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥
2
−
3
2
 
 
 
 
2- Hallar los valores de a y b para que la función f(x) cumpla con las hipótesis del 
Teorema de Lagrange en el intervalo [0, 4] 
 𝑎𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 
𝑓(𝑥) = 
 𝑏. √𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 1 
Derivabilidad en 𝑥 = 1 
𝑖) 𝑓′
−
(𝑎) = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 
𝑓′
−
(1) = lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
𝑥 − 1
 
𝑓′
−
(1) = lim
𝑥→1−
(𝑎𝑥2 − 1) − (𝑎 − 1)
𝑥 − 1
 
𝑓′
−
(1) = lim
𝑥→1−
𝑎𝑥2 − 1 − 𝑎 + 1
𝑥 − 1
 
𝑓′
−
(1) = lim
𝑥→1−
𝑎𝑥2 − 𝑎
𝑥 − 1
=
0
0
 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 
𝑓′
−
(1) = lim
𝑥→1−
𝑎. (𝑥2 − 1)
𝑥 − 1
 
𝑓′
−
(1) = lim
𝑥→1−
𝑎. (𝑥 − 1). (𝑥 + 1)
𝑥 − 1
 
𝑓′
−
(1) = lim
𝑥→1−
𝑎. (𝑥 + 1) 
𝑓′
−
(1) = 2𝑎 
 
𝑓′
+
(𝑎) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 
𝑓′
+
(1) = lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
𝑥 − 1
 
𝑓′
+
(1) = lim
𝑥→1+
(𝑏. √𝑥 + 1) − (𝑏 + 1)
𝑥 − 1
 
 
 
𝑓′
+
(1) = lim
𝑥→1+
𝑏. √𝑥 + 1 − 𝑏 − 1
𝑥 − 1
 
𝑓′
+
(1) = lim
𝑥→1+
𝑏. √𝑥 − 𝑏
𝑥 − 1
=
0
0
 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 
 
𝑓′
+
(1) = lim
𝑥→1+
𝑏. (√𝑥 − 1)
𝑥 − 1
 
𝑓′
+
(1) = lim
𝑥→1+
𝑏. (√𝑥 − 1)
𝑥 − 1
.
(√𝑥 + 1)
(√𝑥 + 1)
 
𝑓′
+
(1) = lim
𝑥→1+
𝑏. (√𝑥
2
− 12)
(𝑥 − 1). (√𝑥 + 1)
 
𝑓′
+
(1) = lim
𝑥→1+
𝑏. (𝑥 − 1)
(𝑥 − 1). (√𝑥 + 1)
 
𝑓′
+
(1) = lim
𝑥→1+
𝑏
(√𝑥 + 1)
 
𝑓′
+
(1) =
𝑏
2
 
 
𝑓′
−
(𝑎) = 𝑓′
+
(𝑎) 
2𝑎 =
𝑏
2
 
𝟒𝒂 = 𝒃 
 
Continuidad en 𝑥 = 1 
𝑖) 𝑓(1) = 𝑎𝑥2 − 1 = 𝑎 − 1 
𝑖𝑖) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
lim
𝑥→1−
(𝑎𝑥2 − 1) = 𝑎 − 1 
lim
𝑥→1+
(𝑏. √𝑥 + 1) = 𝑏 + 1 
 
 
lim
𝑥→1−
(𝑎𝑥2 − 1) = lim
𝑥→1+
(𝑏. √𝑥 + 1) 
𝑎 − 1 = 𝑏 + 1 
𝒂 − 𝒃 = 𝟐 
 
 
 𝟒𝒂 = 𝒃 
 𝒂 − 𝒃 = 𝟐 → 𝒂 − 𝟒𝒂 = 𝟐 → −𝟑𝒂 = 𝟐 → 𝒂 = −
𝟑
𝟐
 
𝑏 = 4𝑎 
𝑏 = 4. (−
3
2
) 
𝑏 = −6 
 
3- Sabiendo que 𝑎 > 1 y que el área de la región plana encerrada por las gráficas 
de 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑎. 𝑥 y la primera bisectriz es 
4
3
. Se solicita: a) graficar la región 
plana. b) Calcular el valor de la a. Justifique. 
Puntos de intersección de ambas curvas 
 𝑦 = −𝑥2 + 𝑎. 𝑥 
 𝑦 = 𝑥 
𝑦 = 𝑦 
−𝑥2 + 𝑎. 𝑥 = 𝑥 
−𝑥2 + 𝑎. 𝑥 − 𝑥 = 0 
𝑥. (−𝑥 + 𝑎 − 1) = 0 
𝑥 = 0 
−𝑥 + 𝑎 − 1 = 0 → 𝑥 = 𝑎 − 1 
𝐴 = ∫ [−𝑥2 + 𝑎. 𝑥 − 𝑥]
𝑎−1
0
 𝑑𝑥 
 
 
𝐴 = − ∫ 𝑥2
𝑎−1
0
 𝑑𝑥 + 𝑎. ∫ 𝑥
𝑎−1
0
 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥
𝑎−1
0
 𝑑𝑥 
𝐴 = −
1
3
. 𝑥3|0
𝑎−1 + 𝑎.
1
2
. 𝑥2|0
𝑎−1 −
1
2
. 𝑥2|0
𝑎−1 
4
3
= −
1
3
. [(𝑎 − 1)3 − 03] +
1
2
. 𝑎. [(𝑎 − 1)2 − 02] −
1
2
. [(𝑎 − 1)2 − 02] 
4
3
= −
1
3
. (𝑎3 − 3𝑎2 + 3𝑎 − 1) +
1
2
. 𝑎. (𝑎2 − 2𝑎 + 1) −
1
2
. (𝑎2 − 2𝑎 + 1) 
4
3
= −
1
3
. 𝑎3 + 𝑎2 − 𝑎 +
1
3
+
1
2
. 𝑎3 − 𝑎2 +
1
2
𝑎 −
1
2
𝑎2 + 𝑎 −
1
2
 
4
3
=
1
6
. 𝑎3 −
1
2
𝑎2 +
1
2
𝑎 −
1
2
 
1
6
. 𝑎3 −
1
2
𝑎2 +
1
2
𝑎 −
1
2
−
4
3
= 0 
1
6
. 𝑎3 −
1
2
𝑎2 +
1
2
𝑎 −
11
6
= 0 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 (6) 
𝑎3 − 3𝑎2 + 3𝑎 − 11 = 0