CALCULO (8)

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Escuela Preparatoria Uno 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN 
 
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Sean 𝒂 y 𝒄 números reales y 𝒏 un entero positivo, y 𝒇 y 𝒈 funciones cuyos límites 
existen. 
 
LÍMITES BÁSICOS 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎 lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 
 
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 
 
Múltiplo escalar lim
𝑥→𝑎
[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐 [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)] 
 
Suma o diferencia lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∓ 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∓ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
Producto lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
Cociente lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
 
 
Potencia lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
 
 
TÉCNICA DE SUSTITUCIÓN DIRECTA 
 
Esta técnica es válida para todas las funciones polinómicas y racionales cuyos 
denominadores no se anulen en el punto considerado. 
 
TEOREMA. Si 𝑝 es una función polinómica y 𝑐 es un número real, 
entonces lim
𝑥→𝑐
𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐). Si 𝑟 es una función racional dada por 
𝑟(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
 y 𝑐 es un número real tal que 𝑞(𝑐) ≠ 0 , entonces 
lim
𝑥→𝑐
𝑟(𝑥) = 𝑟(𝑐) =
𝑝(𝑐)
𝑞(𝑐)
. 
 
LÍMITES APARENTEMENTE INDETERMINADOS 
 
Si él lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) no se puede evaluar por sustitución directa por presentar una 
indeterminación del tipo 0/0 podríamos estar ante un límite aparentemente 
indeterminado, por tanto, trata de encontrar una función g que coincida con f para 
toda x distinta de 𝑥 = 𝑎 por medio de alguna de éstas dos técnicas: 1) 
Cancelación de factores comunes de una fracción y 2) Racionalización del 
numerador de una fracción, tal que lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) se pueda evaluar por medio de la 
sustitución directa.