Ejercicios universitarios de Analisis real 114

Vista previa del material en texto

16. Sea 𝐴:ℝ2 → ℝ2 una transformación lineal dada por 𝐴(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦) determine todos los (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 tal 
que lim
𝑘→∞
𝐴𝑘(𝑥, 𝑦) = (0,0) 
La matriz asociada a 𝐴 seria 𝐵 = (
2 1
1 1
) 
Hallaremos lo autovalores 
|
2 − 𝑥 1
1 1 − 𝑥
| = (2 − 𝑥)(1 − 𝑥) − 1 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 − 1 = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 
→ 𝑥 =
3 ± √9 − (4)(1)(1)
2(1)
=
3 ± √5
2
 
Entonces los autovalores serian 
3+√5
2
,
3−√5
2
 
Hallaremos los auto vectores 
Asociado al autovalor 
3+√5
2
 
→
(
 
 2 −
3 + √5
2
1
1 1 −
3 + √5
2 )
 
 
(
𝑥
𝑦) = (
0
0
) 
→
{
 
 
 
 (2 −
3 + √5
2
)𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 + (1 −
3 + √5
2
)𝑦 = 0
→
{
 
 
 
 −(
1 − √5
2
)𝑥 = 𝑦
𝑥 + (
−1 − √5
2
)𝑦 = 0
 
→ 𝑥 + (
1 + √5
2
)(
1 − √5
2
)𝑥 = 𝑥 + (
1 − 5
4
)𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0 
Considerando: 
−(
1 − √5
2
)𝑥 = 𝑦 → 𝑣1 = (1,
√5 − 1
2
) 
 
Asociado al autovalor 
3−√5
2
 
→
(
 
 2 −
3 − √5
2
1
1 1 −
3 − √5
2 )
 
 
(
𝑥
𝑦) = (
0
0
) 
→
{
 
 
 
 (2 −
3 − √5
2
)𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 + (1 −
3 − √5
2
)𝑦 = 0
→
{
 
 
 
 −(
1 + √5
2
)𝑥 = 𝑦
𝑥 + (
−1 + √5
2
)𝑦 = 0
 
→ 𝑥 − (
1 + √5
2
)(
−1 + √5
2
)𝑥 = 𝑥 − (
−1 + 5
4
)𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0 
Considerando: 
−(
1 + √5
2
)𝑥 = 𝑦 → 𝑣2 = (1,
−√5 − 1
2
) 
 
→ 𝐵 = 𝑃𝐷𝑃−1, donde 𝐷 = (
3+√5
2
0
0
3−√5
2
) , 𝑃 = (
1 1
√5−1
2
−√5−1
2
)y la inversa de 𝑃−1 = (
1+√5
2√5
1
√5
√5−1
2√5
−
1
√5
) 
Ahora, 
→ 𝐵𝑘 = (𝑃𝐷𝑃−1)𝑘 = 𝑃𝐷𝑘𝑃−1 = (
1 1
√5 − 1
2
−√5 − 1
2
)
(
 
 
(
3 + √5
2
)
𝑘
0
0 (
3 − √5
2
)
𝑘
)
 
 
(
 
 
1 + √5
2√5
1
√5
√5 − 1
2√5
−
1
√5)
 
 
 
= (
1 1
√5 − 1
2
−√5 − 1
2
)
(
 
 
(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1 + √5
2√5
) (
3 + √5
2
)
𝑘
(
1
√5
)
(
3 − √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
) (
3 − √5
2
)
𝑘
(−
1
√5
)
)
 
 
 
=
(
 
 
(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1 + √5
2√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
) (
3 + √5
2
)
𝑘
(
1
√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(−
1
√5
)
(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1 + √5
2√5
)(
√5 − 1
2
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
)(
−√5 − 1
2
) (
3 + √5
2
)
𝑘
(
1
√5
) (
√5 − 1
2
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(−
1
√5
) (
−√5 − 1
2
)
)
 
 
 
=
(
 
 
(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1 + √5
2√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
) (
3 + √5
2
)
𝑘
(
1
√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(−
1
√5
)
(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1
√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
−1
√5
) (
3 + √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
√5 + 1
2√5
)
)
 
 
 
Hallaremos los (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ lim
𝑘→∞
𝐴𝑘(𝑥, 𝑦) = (0,0) ⇔ lim
𝑘→∞
𝐵𝑘 (
𝑥
𝑦) = (
0
0
) 
→ lim
𝑘→∞
(
 
 
(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1 + √5
2√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
) (
3 + √5
2
)
𝑘
(
1
√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(−
1
√5
)
(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1
√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
−1
√5
) (
3 + √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
√5 + 1
2√5
)
)
 
 
(
𝑥
𝑦) = (
0
0
) 
→
{
 
 
 
 
lim
𝑘→∞
[(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1 + √5
2√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
)] 𝑥 + [(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1
√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(−
1
√5
)] 𝑦 = 0… (1)
lim
𝑘→∞
[(
3 + √5
2
)
𝑘
(
1
√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
−1
√5
)] 𝑥 + [(
3 + √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
√5 + 1
2√5
)]𝑦 = 0…(2)
 
Restando (2) a (1) 
→ lim
𝑘→∞
[(
3 + √5
2
)
𝑘
(
√5 − 1
2√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
1 + √5
2√5
)] 𝑥 + [(
3 + √5
2
)
𝑘
(
3 − √5
2√5
) + (
3 − √5
2
)
𝑘
(
−3 − √5
2√5
)]𝑦 = 0 
→ lim
𝑘→∞
{(
3 − √5
2
)
𝑘
[(
1 + √5
2√5
)𝑥 + (
−3 − √5
2√5
)𝑦] + (
3 + √5
2
)
𝑘
[(
√5 − 1
2√5
)𝑥 + (
3 − √5
2√5
)𝑦]} = 0 
→ (
3 − √5
2
)
∞
[(
1 + √5
2√5
)𝑥 + (
−3 − √5
2√5
)𝑦] + (
3 + √5
2
)
∞
[(
√5 − 1
2√5
)𝑥 + (
3 − √5
2√5
)𝑦] = 0 
Como 0.38 ≈
3−√5
2
< 1 <
3+√5
2
 ≈ 2.61 
→ 0 [(
1 + √5
2√5
)𝑥 + (
−3 − √5
2√5
)𝑦] + ∞[(
√5 − 1
2√5
)𝑥 + (
3 − √5
2√5
)𝑦] = 0 
→ ∞[(
√5 − 1
2√5
)𝑥 + (
3 − √5
2√5
)𝑦] = 0 
→ (
√5 − 1
2√5
)𝑥 + (
3 − √5
2√5
)𝑦 = 0 
Multiplicamos por 2√5 
→ (√5 − 1)𝑥 + (3 − √5)𝑦 = 0 
→ (√5 − 1)𝑥 − (√5 − 3)𝑦 = 0 
Multiplicamos por (√5 + 3) 
→ (√5 − 1)(√5 + 3)𝑥 − (√5 − 3)(√5 + 3)𝑦 = 0 
→ (2 + 2√5)𝑥 − (−4)𝑦 = 0 
→ (1 + √5)𝑥 + 2𝑦 = 0 
→ 𝑦 = −
(1 + √5)
2
𝑥 
lim
𝑘→∞
𝐴𝑘(𝑥, 𝑦) = (0,0) para (x, y) ∈ 〈(1,−
(1 + √5)
2
)〉