Clase N 2 Límite

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Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
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DICTADO DE ANALISIS MATEMÁTICO II EN MODO VIRTUAL 
 
 
CLASE Nº 2: LÍMITE 
 
 
1. Conceptos Topológicos 
1.1. Distancia entre dos puntos en Rn. 
Sean X0 y X1 dos puntos en Rn, donde X0 = , X1 = , la distancia 
entre X0 y X1 está determinada por: 
 
1.2. Entorno de un punto en Rn. 
Definición 
Sea X0 un punto en Rn y r un número positivo, se llama entorno de centro X0 y radio r al conjunto 
de todos los puntos X de Rn tales que su distancia al punto X0 sea menor que r. 
Un entorno se indica escribiendo N(X0, r) o simplemente N(X0), si no es importante la mención 
de r. En símbolos: 
Casos Particulares: Con el fin de ilustrar esta definición, se muestra lo que ella significa en R, R2 y R3 
a) En R un entorno es un intervalo abierto cuyo centro está en X0. 
b) En R2 es un disco circular cuyo centro está en X0 y radio r que no incluye a la circunferencia 
que lo limita. 
c) En R3 es una esfera de centro X0 y radio r sin incluir la superficie esférica que la limita. 
Para espacios de n mayor que tres dimensiones no se puede representar geométricamente un 
entorno. 
1.3. Entorno reducido de un punto. 
Llamamos entorno reducido de un punto X0 y lo denotamos N*( X0, r) o simplemente N*( X0), 
a cualquier entorno de X0 del que se haya excluido X0. Es decir 
1.4. Punto frontera de un conjunto 
Un punto, que pertenece o no a un conjunto se dice que es frontera del mismo si en todo 
entorno suyo hay puntos que pertenecen al conjunto y puntos que no pertenecen al conjunto. El 
conjunto de todos los puntos fronteras de un conjunto se llama la frontera del mismo. 
1.5. Punto exterior de un conjunto. 
Un punto es exterior a un conjunto si hay algún entorno suyo que no contiene ningún punto 
del conjunto. 
1.6. Punto interior de un conjunto. 
Un punto X0 de un conjunto C de Rn, es punto interior de C si existe un entorno N(X0,r) que esté 
contenido totalmente en C. 
1.7. Conjunto abierto. 
Un conjunto de puntos C de Rn es abierto cuando para cada punto X de C, existe un N(X, r) 
cuyos puntos pertenecen todos a C. Aquí se observa que el entorno es un subconjunto de C, por eso 
se puede escribir .En un conjunto abierto ninguno de sus puntos fronteras pertenece al 
conjunto. 
( )0n0201 x,...,x,x ( )1n1211 x,...,x,x
( ) ( ) ( )20n1n202122011101 xx...xxxxXX -++-+-=-
( ) { }rXX/R∈Xr,XN 0n0 <-=
( ) ( ) { }000* Xr,XNr,XN -=
( ) Cr,XN ⊂
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1.8. Conjunto conexo. 
Un conjunto C de puntos de R2 es un conjunto conexo si cualquier par de puntos de C se pueden 
unir mediante una poligonal cuyos puntos en su totalidad pertenezcan a C. 
1.9. Región. 
Usamos la palabra región para significar la unión de un conjunto abierto conexo con ninguno, 
algunos o todos sus puntos fronteras. Una región abierta es la que no contiene ninguno de sus puntos 
fronteras, y una región cerrada es aquella que contiene todos sus puntos fronteras. Los conceptos 
de conjunto conexo y región se pueden definir para el espacio R3 por extensiones obvias de las 
definiciones que se han particularizado para el espacio R2. 
2. LÍMITE EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. 
2.1. Primeros conceptos en un caso particular. 
Considere la función cuyo dominio es el disco cerrado 
, el cual se muestra en la Figura 1 y cuya gráfica es el hemisferio que se 
muestra en la figura 2. Si el punto (x, y) está cerca del origen, entonces x y y, están cercanas a 0, y por 
consiguiente f(x, y) está cercana a 3. De hecho, si (x, y) está en un pequeño disco abierto x2 + y2 < δ2, 
entonces 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por tanto, podemos hacer que los valores de f(x, y) se acerquen a 3 tanto como queramos, al 
tomar a (x, y) en un disco lo suficientemente pequeño, con centro en (0, 0). Describimos esta situación 
mediante el uso de la notación 
En general, si los valores de la función f(x,y) se aproximan a un número real L cuando (x,y) se 
aproxima a (x0,y0) se dice que L es el límite de la función f y se usa la notación: 
A continuación vamos a generalizar el concepto de límite a funciones de n variables y daremos 
la definición formal. 
2.2. Generalización del concepto de límite. 
Para una función de n variables, la ecuación , 
lleva implícita la idea de que cuando X se aproxima suficientemente al punto X0 los valores f(X) de la 
función f se aproximan a L tanto como se quiera. En esta ecuación f es una función de n variables, X 
( ) 22 yx9y,xf --=
( ){ }9yx/y,xD 22 £+=
222 9yx9)y,x(f d->--=
3=y-x-9lim 22
)0,0(→)y,x(
( ) ( )
( ) Ly,xflim
00 y,xy,x
=
®
L=)X(flim
0XX →
 
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y X0 son puntos n-dimensionales. Para precisar matemáticamente este concepto se da la definición 
ε-δ de límite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En esta definición el número δ, cuyo valor depende de ε y X0, mide la proximidad de X a X0, 
mientras que ε mide la proximidad de f(X) a L. 
La doble desigualdad, 
nos dice, por su lado derecho que, 
y por su lado izquierdo que, , 
 ambas cosas equivalen a decir que, . 
La desigualdad, , establece que, . 
El principio básico contenido en esta definición de límite es por lo tanto, que para todo N(L, 
ε) debe existir un N(X0, δ) y que para , la función 
 
Observación. 
La definición de límite también se aplica cuando X0 es un punto frontera del dominio de f, para 
los cual se considera un tipo especial de límite donde el punto X se aproxima a X0 considerando 
siempre que X esté en D. 
 
 
δ<-< 0XX0
( )δ,XNX 0Î
0XX¹
( )δ,XNX 0*Î
( ) ε<-LXf ( ) ( )ε,LNXf Î
( )δ,XNX 0*Î ( ) ( )ε,LNXf Î
2.3. Definición. 
 Sea f una función de n variables definida en un entorno del punto X0, excepto quizás en X0. 
Entonces, decimos que el límite de f(X), cuando X se aproxima a X0 es L y lo expresamos 
, 
si para cualquier número ε > 0, existe un número δ > 0 tal que siempre que se tenga 
 
 
L=)X(flim
XX 0→
e<-
d<-<
L)X(f
,tendrásetambién
,XX0 0
a) Definición. 
Sea f una función de dos variables definida en un entorno del punto (x0,y0), 
excepto quizás en (x0,y0). Entonces, decimos que el límite 
de f(x,y), cuando (x,y) se aproxima a (x0,y0) es L y lo expresamos, 
lim
(",$)→("!,$!)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 
si para cualquier número ε > 0 existe un número δ > 0 tal que siempre que se 
tenga 0 < .(𝑥 − 𝑥')( + (𝑦 − 𝑦')( < 𝛿 también se tendrá |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀 
 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Resaltar
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Resaltar
nahue
Resaltar
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2.4. Límite en funciones de dos variables. 
Para los límites bidimensionales se emplean indistintamente las notaciones, 
 ó 
Ambas expresiones se pueden abreviar escribiendo , 
siendo X0 = (x0,y0) un punto de R2 y X= (x,y) una variable bidimensional. 
 
La figura 3 ilustra la definición mediante un diagrama de flechas. Si se da cualquier intervalo 
pequeño (L- ε, L + ε) alrededor de L entonces se puede encontrar un entorno N(X0, δ), tal que f 
transforme todos los puntos del entorno N(X0, δ) (excepto posiblemente X0) en el intervalo 
 (L- ε, L + ε). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Otra forma de ilustrar la definición a) se da en la figura 4, donde (x0,y0)=(a,b) y la superficie S es la 
gráfica de f. Si se da ε > 0, podemos encontrar δ > 0, tal que si (x, y) se restringe a que esté en el 
entorno del punto (a,b) y (x, y) ≠ (a, b), entonces la parte correspondiente de S está entre 
los planos horizontales, z =L – ε y z = L + ε. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Conceptos básicos. 
Para el cálculo de límite es necesario tener en cuenta los siguientes conceptos básicos: 
i) Cuando el existe, su valor es único y finito. 
( ) L=y,xflim
)y,x()y,x( 00→
( ) L=y,xflim
yy
xx
0→
0→
L=)X(flim
XX 0→
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
Observe que: 
N((x0,y0), δ) = Dd 
z 
 
(x,y) 
y 
d 
(x0,y0) 
f 
N((x0,y0),δ) 
 
D 
 L-e L+e 0 L 
x 
Figura 3 
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ii) Lo anterior significa que la existencia del límite exige, que cualquiera sea la trayectoria de (x,y) al 
tender a (x0,y0) siempre se tendrá el mismo valor límite L para f(x,y). 
iii) Para que exista, se necesita que sea menor que ε para todos 
los puntos (x,y) distintos de (x0,y0) que pertenezcan al dominio de f(x,y) y al . 
iv) En la definición de límite, no es necesario que la función esté definida en (x0,y0), todavía más, si 
f(x,y) estuviera definida en (x0,y0) su valor f(x0,y0) no tiene por qué coincidir con el valor L. 
v) La definición (ε-δ) de límite sólo tiene en cuenta la distancia entre (x, y) y (x0,y0), no tiene en cuenta 
la dirección y la forma de aproximación de (x, y) al tender a (x0,y0). 
c) Diferencia entre el límite de funciones de una variable y el de más de una variable. 
La definición de límite para funciones de n variables es similar a la dada para funciones de una 
sola variable. Sin embargo hay algunos puntos que aclarar. Para funciones de una sola variable, 
cuando dejamos que x se aproxime a x0, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento, por la 
izquierda y por la derecha 
 
 
 y por la condición de existencia y unicidad del límite sabemos que: 
 
sí y solo sí y se verifica 
Para funciones de dos y más de dos variables, la situación no es tan sencilla, puesto que 
podemos dejar que X se aproxime a X0 desde un número infinito de direcciones y de cualquier forma. 
En la figura 5 se ilustra esta situación para una función de dos variables cuando (x,y) se aproxima a 
(x0,y0). Observamos que (x,y) se puede aproximar a (x0,y0) desde un número infinito de direcciones 
y de cualquier forma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cuándo se puede asegurar que L es el límite de f(x,y) cuando ? 
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
L)X(f -
( )d,XN 0*
L)x(flim
0x→x
=
ï
ï
ï
ï
î
ïï
ï
ï
í
ì
==
$
$
+-
+
-
L)x(flim)x(flim
)x(flim
)x(flim
0
x→x´0
x→x
0
x→x
´0
x→x
( ) ( )00 y,xy,x ®
x0 
y0 (x0,y0) 
Figura 5. 
y 
x 
x0 x 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Una condición necesaria (no suficiente) para que exista y sea L, es que si los límites 
 
 existen ( donde y = g1(x) e y = g2(x) son dos curvas que pasan por X0 = (x0,y0)), deben valer L. 
 
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
( )[ ] ( )[ ]xg,xflimxg,xflim 2
0xx
1
0xx ®®
Solo podemos hacerlo categóricamente cuando sea posible establecer, en forma totalmente 
independiente de cualquier camino. Por lo tanto la única forma de independizarnos de los infinitos 
caminos, es utilizar la definición ε-δ de límite. Pero esto suele ser extremadamente laborioso y difícil. 
3. Métodos Alternativos para el estudio de los límites en funciones de varias variables 
3.1. Límites usando caminos. 
Un procedimiento para probar que una función no tiene límite, es calcular los límites de la 
misma mediante la aproximación de los puntos (x,y) a (x0,y0) por diferentes caminos o trayectorias 
que pueden ser rectas o curvas que pasen por el punto en cuestión. Si estos límites son distintos, la 
función carece de límite. 
Por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
En resumen, si y = g1(x) e y = g2(x) son dos curvas que pasan por X0 = (x0,y0) y si se puede 
demostrar que: 
, 
entonces, 
 , no existe. 
Ejemplo. 
Analizar si existe el siguiente límite 
Considerando como trayectoria cualquier recta que pasan por el origen de coordenadas de ecuación 
y = mx, con m ≠ 0 y x ≠ 0 
 
Calculando el límite radial se tiene, 
 
Por consiguiente, f tiene el mismo valor límite a lo largo de cualquier recta que pase por el origen. 
Esto no demuestra que el límite existe y vale 0. 
Considerando otra trayectoria x = ay2, con a ≠0 e y ≠ 0, se tiene, 
 
 
( )[ ] ( )[ ]xg,xflimxg,xflim 2
0xx
1
0xx ®®
¹
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
( ) ( ) 42
2
0,0,
lim
yx
yx
yx +®
( ) ( )
24
2
442
22
1
,,
xm
xm
xmx
xmxmxxfyxf
+
=
+
==
( ) ( )
0
1
limlim
24042
2
0,0,
=
+
=
+ ®® xm
xm
yx
yx
xyx
( ) ( )
1
,,
2442
4
2
+
=
+
==
a
a
yya
ayyayfyxf
( ) ( ) 11
limlim
22042
2
0,0, +
=
+
=
+ ®® a
a
a
a
yx
yx
yyx
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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En vista de que distintas trayectorias dan distintos valores límites, el límite dado no existe 
Ejercicios: Demostrar que no existen los límites de las siguientes funciones, usando caminos o 
trayectorias convenientes. 
i) f: z = xy/ (x2 + y2) cuando (x, y) tiende a (0,0) 
ii) f: f(x, y) = x2y2/[x2y2 + (x2- y2)2] cuando (x, y) tiende a (0,0) 
iii) f: z = x2y / (x4+ y2) cuando (x, y) tiende a (0,0) 
iv) f: f(x,y) = (x+y)2 / (y2+ x2) cuando (x, y) tiende a (0, 0) 
v) f: f(x,y) = (2x3- x2 + y)/ (x3 – x2 + y) cuando (x, y) tiende a (0,0) 
vi) f: f(x,y) = [(x2 –y2) / (x2+y2)]2 cuando (x, y) tiende a (0,0) 
3.2. Limites sucesivos o reiterados. 
Otra alternativa para probar la no existencia del límite L de una función f(x,y) cuando 
 es mediante el cálculo de los llamados límites sucesivos o reiterados. 
Sea f : z= f (x,y), se define el límite sucesivo de la función f mediante un proceso, por el cual se 
hace tender una variable hacia su límite, manteniendo constante la otra, y una vez calculado este 
límite, se hace tender la otra variable hacia su límite. Evidentemente, para el caso de funciones de 
dos variables que nos ocupa, caben las dos posibilidades siguientes: 
 
 
Ambas expresiones corresponden a dos definiciones “distintas”. En consecuencia no debe causar 
ningún asombro que, en el caso de existir ambos límites, sean distintos. 
• Se dice que el número L1 es sí y sólo sí y
 donde indica una función de y. 
• Se dice que el número L2 es sí y sólo sí y
 donde indica una función de x. 
 Relación entre límite simultáneo L y los límites sucesivos L1 y L2. 
Tenemos, en este momento a nuestra disposición tres definiciones: 
 
 
 
que, en caso de tener sentido, nos definen tres números L , L1 y L2. Según cada uno de ellos existan 
o no, son posibles ocho combinaciones. 
De la simple observación de los posibles resultados de L1, L2 y L, podemos concluir que; si L1 ≠ 
L2 , entonces L no existe. 
 
Ejemplo. 
( ) ( )00 y,xy,x ®
( ) ( )y,xflimlimy,xflimlim
0xx0yy0xx0yy ®®®®
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
( ) ( )y,xflimlimy,xflimlim
0yy0xx0yy0xx ®®®®
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
( )÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
y,xflimlim
0xx0yy
( ) ( )yy,xflim
0xx
j=
®
( ) 1
0yy
Lylim =j
®
( )yj
( )÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
y,xflimlim
0yy0xx
( ) ( )xy,xflim
0yy
j=
®
( ) 2xx Lxlim0 =j® ( )xj
( )y,xflim
)0y,0x(→)y,x(
( )÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
y,xflimlim
0xx0yy
( )÷
ø
öç
è
æ
®®
y,xflimlim
00 yyxx
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Verificar que no existe usando límites sucesivos. 
 
 lim
"→'
4lim
$→'
"")$"
""*$"
5 = 	 lim
"→'
""
""
= 1 
Luego como los límites sucesivos son diferentes, entonces el no existe. 
Ejercicios:Usando límites sucesivos, mostrar que el limite cuando (x, y) tiende a (0, 0), de las 
siguientes funciones, no existe. 
i) f : f(x, y) = (x2 – y2)/(x2 + y2) 
ii) f: z = (-x2 + y2)/[x2y2 +(x – y)2] 
iii) f: z = (10x3 -2 y3)/[(x-1)3 +y3 +1] 
iv) f: z = 5y4/(x4+ 9 y4) 
4. Propiedades de los limites 
Al igual que para las funciones de una sola variable, el cálculo de los límites puede simplificarse 
en gran medida mediante el empleo de las propiedades de los límites y por el uso de la continuidad. 
Tema que abordaremos inmediatamente. 
Las propiedades de los límites para funciones de una sola variable pueden ampliarse a las 
funciones de dos variables y de n variables (con n>2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este teorema puede extenderse a un número finito de funciones definidas en un conjunto 
abierto D de Rn. 
4.2. Propiedad de sustitución directa. 
Recuerde que el cálculo de los límites de funciones continuas de una sola variable es sencillo. 
( ) ( ) 22
22
0,0,
lim
yx
yx
yx +
-
®
1limlimlim
2
2
022
22
00
-=
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
®®® y
y
yx
yx
yxy
( ) ( ) 22
22
0,0,
lim
yx
yx
yx +
-
®
4.1. Teorema: 
Sean f(X) y g(X) funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn y sea X0 un 
punto de D, ó un punto frontera de D. Suponga que, 
, 
donde L y M son números reales, entonces: 
a) 
b) 
d) donde K es un número real 
e) 
f) donde r y s son números enteros y 
( ) ( ) MXglimyLXflim
0X→X0X→X
==
( ) ( )[ ] MLXgXflim
0X→X
±=±
( ) ( )[ ] M.LXg.Xflim
0X→X
=
( )[ ] L.KXf.Klim
0X→X
=
( )
( ) 0M;M
L
Xg
Xflim
0X→X
¹=ú
û
ù
ê
ë
é
( )[ ] s
r
s
r
0X→X
LXflim = 0s ¹
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Resaltar
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nahue
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Puede llevarse a .cabo mediante la sustitución directa debido a que 1a definición de una función 
continua es . En breve se verá que también las funciones continuas de dos y más 
variables se definen mediante la propiedad de la sustitución directa. 
Se puede demostrar, aplicando la definición ε-δ de límite, que: 
 
a) ; 
b) 
c) 
Estos límites prueban que los límites de las funciones f(x,y) = x, g(x,y) = y y h(x,y) = c, pueden 
calcularse evaluando el valor que toman las correspondientes funciones en el punto (x0,y0). Puesto 
que los polinomios pueden formarse con multiplicaciones y sumas ó restas de las funciones sencillas, 
f, g y h, se sigue que los límites de las funciones polinomiales se pueden evaluar por sustitución 
directa, al igual que las funciones racionales en todo punto de su dominio. Esta conclusión es de 
enorme interés practico a la hora de evaluar límites de estos tipos de funciones 
Esta propiedad puede extenderse a funciones polinomiales de tres y más variables, al igual que 
a las funciones racionales en todo punto de su dominio. En general se extiende a todas las funciones 
continuas en su dominio, como analizaremos en la sección siguiente 
4.3. Esquema Operativo. 
Dada f: z = f(x,y) para estudiar sus límites cuando se debe proceder así: 
• Intente aplicar las propiedades de los límites. 
• Intente el uso de la propiedad de sustitución directa. 
En caso de no poder hacer uso de estas dos posibilidades, siga el siguiente procedimiento: 
• Calcúlese si es posible 
• Calcúlese si es posible 
De la comparación de estos dos valores surge que: 
i) Si , f no tiene límite para . 
ii) L1 = L2, se tienen los siguientes casos: 
• Sólo se puede afirmar que, en caso de existir L, debe coincidir con ese valor. 
• Si L1 = L2 y queremos saber si ese valor común es L sólo hay un método y es aplicando 
la definición ε-δ de límite. 
• Si existen y son iguales L1 y L2 y una serie de caminos que llevan a (x0,y0) dan para L 
ese valor común sólo puede afirmarse que, en caso de existir L, debe tener ese valor. 
Si un solo camino da un valor distinto, entonces L no existe en (x0,y0). 
iii) Si L1 no existe ó L2 no existe ó L1 y L2 no existen, probar con caminos para acercarse a (x0,y0) 
)a(f)x(flim
ax
=
®
0
)0y,0x(→)y,x(
xxlim =
0
)0y,0x(→)y,x(
yylim =
cclim
)0y,0x(→)y,x(
=
( ) ( )00 y,xy,x ®
( ) 1
0xx0yy
Ly,xflimlim =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
( ) 2Ly,xflimlim
0yy0xx
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
®®
21 LL ¹ ( ) ( )00 y,xy,x ®
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y calcular L según ellos. 
• Si para todos ellos L da el mismo valor sólo podrá afirmarse que, en caso de existir L, 
deberá tener dicho valor. 
• Para probar que el límite doble es L se debe aplicar la definición 
ε-δ de límite. 
• Si para uno de los caminos da un L distinto, es decir L depende del camino elegido, 
entonces el límite de f para no existe. 
Observación. 
Todos los procedimientos desarrollados para probar la no existencia del límite doble en 
funciones de dos variables pueden extenderse de manera natural a funciones de tres y más de tres 
variables independientes. 
Ejercicios: 
a) Calcular por sustitución directa los siguientes límites. 
i) z = x2/3 + y2/4 – 1/3, para (x,y)→(1,1) 
ii) z = xy – x3 + y3, para (x, y)→(-1, -1) 
iii) f(x, y) = (x3 – y2)/(x + y2), para (x,y)→(0, -1) 
iv) f(x, y, z) = xy + xz – yz, para (x, y, z)→( 1, -1/2, 1/2) 
v) u = xyz/(x + y + z), para (x, y, z)→( 1/2, 2, 1) 
b) Calcular los siguientes límites. 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
 
( ) ( )00 y,xy,x ®
893
152lim
22
2
)0,0(),( ++
-+
® yx
yx
yx
3 22
)3,1(),(
9lim yx
yx
--
--®
1
)1,1(),(
lim -+
-®
yx
yx
e
yx
yxsen
yx cos
lim
),0(),( -
+
p®
2
lim
)0,0(),(
xyxy
yx
ee -
®
-
yx
yxarcsen
yx +--®
)(lim
22
)1,1(),(
( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹=
® 0,3,1
0,3,),(),(lim
4
)0,3(),( yxsi
yxsixyyxhsiyxh
yx
yx
x
yx +® )1,1(),(
lim
xy
yxarcsen
yx +® 1
)/(lim
)1,0(),(
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 11 
10) 
 
11) 
 
c) Estudiar los límites sucesivos, límites usando caminos y el límite doble en (0,0) de las siguientes 
funciones. 
i) ; ii) 
iii) iv) 
 
d) Encontrar el límite, si este existe, o mostrar que el límite no existe. 
1) 2) 
 
3) 4) 
 
5) 6) 
 
7) 8) 
9) 10) 
 
Respuestas. 
b)1) – 1/8 ; 2) -1; 3) e-1 ; 4) π ; 5) 0; 6) –π/4; 7) 0; 8) 1/2; 9) 0; 10) 81/2; 11) 2 
 
c) i) 0 ; ii) 0; iii) no existe el límite; iv) no existe el límite. 
 
d) 1) -927; 2) π; 3) no existe; 4) no existe; 5) 0; 6) no existe; 7) 2; 8) -3/5; 9) no existe; 10) 2 
Ejemplos 
 
zyx
zyx
++
® )5,2,1(),,(
lim
yz
zyx
xe
)1,0,2(),,(
lim
®
( ) ( )yxsenyxyxf += 2, ( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹
+
+
=
0,0,0
,,
, 22
22
yxsi
yxyxsi
yx
xsenyysenx
yxf
( )
22
,
yx
yxyxf
+
= ( )
24
2
,
yx
yxyxf
+
=
( )yyxyx
yx
32lim 222
)3,2(),(
+-
®
÷
ø
ö
ç
è
æ +
pp® 4
lim
),(),(
yxsenx
yx
44
22
)0,0(),(
8lim
yx
yx
yx +® 22)0,0(),( 2
2lim
yx
yx
yx +®
22)0,0(),(
lim
yx
yx
yx +®
24
2
)0,0(),(
2lim
yx
yx
yx +®
11
lim
22
22
)0,0(),( -++
+
® yx
yx
yx 1
lim
22
)3,2,1(),,( -
-
® xyz
zyzx
zyx
222
222
)0,0,0(),,(
lim
zyx
zyx
zyx ++
--
®
( )[ ]yxex z
zyx
-+
®
2lnlim
)0,3,2(),,(
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim
($,&)	→(*,+)
sin	 '
1
3	𝑥*𝑦, = 	−
√3
2 
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y	=		x	
Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
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