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Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 1 DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL CLASE Nº 8: FUNCIONES IMPLÍCITAS Se sabe del curso de Cálculo de una variable que las funciones pueden estar definidas de manera explícitas o implícitas. i) Funciones Explícitas. Se Llaman explícitas a aquellas funciones en las que la variable dependiente está explícitamente despejada y expresada en término de la o las variables independientes, de tal forma que, al asignar valores a estas últimas, se obtiene inmediatamente el valor de la variable dependiente. En este caso la ecuación que define a la función explícita viene expresada como: f : y = f(x) para funciones de una variable f : z = f(x,y) para funciones de dos variables f : z = f(X) para funciones de n variables, donde X es una variable n-dimensional Ejemplos de este tipo de funciones son; a) f : y = x2 + 3¸ b) f : y = ln(x +2) +5 c) f : z = sen(x +y) i ii) Funciones Implícitas. Se llaman implícitas a aquellas funciones en las que no está explícitamente dada una variable en función de las restantes. En este caso las funciones vienen dadas implícitamente por una ecuación del tipo F(x,y) = 0, de una variable independiente, F(x,y,z) = 0 de dos variables independientes, etc, y también se pueden expresar mediante un sistema de dos o más ecuaciones como veremos más adelante. A partir de estas ecuaciones, en algunos casos y mediante procedimientos algebraicos, es posible expresar la variable dependiente en términos de las independientes o sea obtener explícitamente la función, mientras que en otros casos esto no es posible. Los siguientes son ejemplos de una ecuación que define una variable como función de las otras; a) x + y -3 = 0, b) , c) , d) En los ejemplos anteriores no está despejada ninguna de las variables en términos de las restantes. En el primero es posible expresar a “y” en términos de “x”, no así en los ejemplos b) y c). Lo mismo sucede con el ejemplo d) donde no es posible establecer explícitamente la función. Por otra parte no toda ecuación del tipo F(x,y) = 0 ó F(x,y,z) = 0, ó, F(x1,x2,…xn, u) = 0 define implícitamente a una de las variables como función de las restantes. Por esto, nuestra intención en este punto es estudiar las condiciones de existencia de funciones definidas implícitamente por una ecuación ó un sistema de ecuaciones. Sabiendo que dichas funciones existen, aunque no podamos conocerla, si vamos a poder obtener las derivadas de dicha función, que va ser nuestro segundo objetivo en este estudio. Vamos a estudiar funciones implícitas definidas por una ecuación y por un sistema de ecuaciones. El siguiente diagrama es un resumen de las que se van a considerar en el desarrollo de esta unidad. ( ) 0y3x41ln9x4x2 322 =++-+ ( ) 01yxsene 2xy2 =-+++ ( ) 0zxyzlnyzx 22 =-+ Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 2 1. FUNCIONES IMPLÍCITAS DEFINIDAS POR UNA ECUACIÓN. 1.1. De una variable independiente a) Condiciones de existencia. Dada la ecuación F(x,y) = 0, las condiciones que aseguran la existencia de una función implícita y = f(x) en el entorno de un punto P0(x0,y0), son las condiciones dadas por el Teorema de Cauchy, el que se enunciará al final de esta sección. Las condiciones son: Siendo P0(x0,y0) un punto perteneciente al dominio de la función F, entonces se debe cumplir que; 1) 2) deben ser continuas en el entorno del punto P0 3) en el entorno del punto P0. Ejercicios. Determine si la ecuación x2+y2- 1 = 0 define a una función implícita: i) y = f(x) en entorno del punto (0,1); ii) y= h(x) en entorno del punto (1,0). Ampliación. Es posible que los papeles de las variables x e y en la discusión anterior sean intercambiables, en el sentido de que la ecuación F(x,y) = 0 defina implícitamente a una función x = g(y), para lo cual las Condiciones de Cauchy serían: Sea P0(x0,y0) perteneciente al dominio de la función F. ( ) 0y,xF 00 = yx FyF,F ( ) 0y,xF 00y ¹ Funciones implícitas definidas por Una ecuación Una variable independiente Dos variables independientes n variables independiente . . . Sistema de dos, tres… ,n ecuaciones Una variable independiente Dos variables independientes . . . Etc. Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 3 1) 2) continuas en el entorno del punto P0 3) en el entorno del punto P0. Ejercicios. Determine si la ecuación x2+y2- 1 = 0 define a una función implícita: i) x = g(y) en entorno del punto (0,1); ii) x= p(y) en entorno del punto (1,0). b) Derivación. Teorema Dada la ecuación F(x,y) = 0 que define a una función implícita y =f(x) en el entorno del punto P0, tal que entonces Hipótesis. La ecuación F(x,y) = 0 define a una función implícita y =f(x) en el entorno del punto P0 Tesis. Demostración. Por hipótesis la ecuación F(x,y) = 0 define a y =f(x) en el entorno N( P0), por lo tanto F es una función compuesta de x por intermedio de x e y. Realizando el diagrama de las variables a la función F se tiene: Derivando ambos miembros de la ecuación F(x,y) = 0 con respecto a x se tiene: de donde ( ) 0y,xF 00 = yx FyF,F ( ) 0y,xF 00x ¹ ( )( ) 0xf,xF = 0P 0P 0P y F x F dx dy ¶ ¶ ¶ ¶ -= 0P 0P 0P y F x F dx dy ¶ ¶ ¶ ¶ -= 0 x dy. y F dx dx. x F 0P0P0P = ¶¶ ¶ + ¶ ¶ 0P 0P 0P y F x F dx dy ¶ ¶ ¶ ¶ -= F x y x Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 4 Ejercicios a) Dada la ecuación calcular y’. b) Dada la ecuación : i) determinar si en el entorno del punto (0,0) define a una función implícita y = y(x). En caso afirmativo calcule y’ en el entorno de ese punto; ii) si es posible calcule c) Dada la ecuación determinar si en el entorno del punto (1,1) define a una función implícita y = y(x). i)En caso afirmativo calcule y’ en el entorno de ese punto. ii) si es posible calcule d) Dada la ecuación F(x,y) = 0 que define a una función implícita y = y(x), determine una fórmula para calcular y’’(x) 1.2. De dos variables independientes a) Condiciones de existencia Dada la ecuación F(x,y,z) = 0, las condiciones que aseguran la existencia de una función implícita z = z(x,y) en el entorno de un punto P0(x0,y0, z0) son las condiciones dadas por el Teorema de Cauchy: Sea P0(x0,y0,z0) perteneciente al dominio de la función F. 1) 2) continuas en el entorno del punto P0 3) en el entorno del punto P0. De la misma manera la ecuación F(x,y,z) = 0, puede definir a la función implícita y = y(x,z) en el entorno del punto P0. Las Condiciones de Cauchy serían: P0(x0,y0,z0) perteneciente al dominio de la función F 1) 2) continuas en el entorno del punto P0 3) en el entorno del punto P0. Las Condiciones de Cauchy para que la ecuación F(x, y, z) = 0, defina a una función implícita x = x(y,z) en el entorno del punto P0 son: P0(x0,y0,z0) perteneciente al dominio de la función F 1) 2) continuas en el entorno del punto P0 0yseneyx25 x =-++ ( ) 01yxsene 2xy2 =-+++ ( )1,1dx dy 0yx2yx 33 =-+ ( )1,12 2 dx yd ( ) 0z,y,xF 000 = zyx F,F,F,F ( ) 0z,y,xF 000z ¹ ( ) 0z,y,xF 000 = zyx F,F,F,F ( ) 0z,y,xF 000y ¹ ( ) 0z,y,xF 000 = zyx F,F,F,F Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M.Adriana Correa Zeballos 5 3) en el entorno del punto P0. b) Derivación. Teorema Dada la ecuación F(x,y,z) = 0 que define a una función implícita z =z(x,y) en el entorno del punto P0, tal que entonces ; Hipótesis. La ecuación F(x,y,z) = 0 define a una función implícita z =z(x,y) en el entorno del punto P0 Tesis. ; Demostración. Por hipótesis la ecuación F(x,y,z) = 0 define a z =z(x,y) en el entorno N( P0). Realizando el diagrama de las variables a la función F se tiene: Derivando como función compuesta, con respecto a la variable x, será: es igual a cero por ser ambas variables independientes. Resulta: Derivando, con respecto a la variable y se tiene Como es igual a cero, por ser ambas variables independientes, se tiene: ( ) 0z,y,xF 000x ¹ ( )( ) 0y,xz,y,xF = 0P 0P 0P z F x F x z ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ 0P 0P 0P z F y F y z ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ 0P 0P 0P z F x F x z ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ 0P 0P 0P z F y F y z ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ 0 x z. z F x y. y F x x. x F 0P0P0P0P0P = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x y ¶ ¶ 0P 0P 0P z F x F x z ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ 0 y z. z F y y. y F y x. x F 0P0P0P0P0P = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ y x ¶ ¶ F x y x z y Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 6 Ejercicios. a) Calcule zx y zy si b) Calcule yx y yz si c) Determine si la ecuación dada en el apartado b) define a una función implícita y = y(x,z) en el entorno del punto (3,1,1). ¿Es posible calcular yx , yz en el punto (3,1,1)? d) Dada la ecuación F(x,y,z) = 0 que define a z = z(x,y). Determine una fórmula para calcular zxx y zxy. e) Dada la ecuación determine zyy y zx 1.3. De tres variables independientes a) Condiciones de existencia Dada la ecuación F(x,y,z,u) = 0, las condiciones que aseguran la existencia de una función implícita u = u(x,y,z) en el entorno de un punto P0(x0,y0, z0, u0) son las condiciones dadas por el Teorema de Cauchy: Sea P0(x0,y0,z0, u0) perteneciente al dominio de la función F. 1) 2) continuas en el entorno del punto P0 3) en el entorno del punto P0. b) Derivación. Teorema Dada la ecuación F(x, y, z, u) = 0 que define a una función implícita u =u(x, y, z) en el entorno del punto P0, tal que F[x, y, z, u(x, y, z)] = 0, entonces Se deja para el lector la especificación de las hipótesis, tesis y la demostración de este Teorema. 1.4. De n variables independientes a) Condiciones de existencia Dada la ecuación , las condiciones que aseguran la existencia de una función implícita en el entorno de un punto son las condiciones dadas por el Teorema de Cauchy: Sea P0 perteneciente al dominio de la función F. 0P 0P 0P z F y F y z ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ 1zyx6zyx 333 =+++ 09x2zlnyzx =-++ 0ezyx z =- ( ) 0PF 0 = uzyx F,F,F,F,F ( ) 0PF 0u ¹ 0P 0P 0P 0P 0P 0P 0P 0P 0P u F z F z u; u F y F y u; u F x F x u ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ( ) 0u,x...,,x,xF n21 = ( ),x...,,x,xuu n21= ( )00n02010 u,x...,,x,xP Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 7 1) 2) continuas en el entorno del punto P0 3) en el entorno del punto P0. b) Derivación. Teorema Dada la ecuación que define a una función implícita en el entorno del punto P0 entonces Se deja para el lector la especificación de las hipótesis, tesis y la demostración de este Teorema. A continuación se enunciara el teorema que da las condiciones de existencia de las funciones implícitas. 2. FUNCIONES IMPLÍCITAS DEFINIDAS POR UN SISTEMA DE ECUACIONES. 2.1. Dos ecuaciones que definen dos funciones de una variable a) Condiciones de existencia Dado el sistema de ecuaciones las condiciones que aseguran la existencia de las funciones implícitas y = y(x) y z = z(x) en el entorno de un punto P0(x0,y0,z0) son las dadas por el Teorema de Cauchy, el que se enunciará al final del apartado 2. Las condiciones son: Sea P(x0,y0,z0) un punto tal que: 1) F(P0) = 0 y G(P0) = 0 2) F, Fx,Fy, Fz, G, Gx, Gy, Gz son continuas en el entorno del punto P0. ( ) 0PF 0 = unx2x1x F,F...,,F,F,F ( ) 0PF 0u ¹ ( ) 0u,x...,,x,xF n21 = ( ),x...,,x,xuu n21= n...,,2,1j u F x F x u 0P 0P j 0P j = ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ( ) ( )î í ì = = 0z,y,xG 0z,y,xF Teorema de Cauchy Sea , una ecuación que se satisface en , siendo continuas en un entorno de dicho punto las funciones: F(x1,x2, . . .,xn, u), 𝐹!!(𝑥", 𝑥#, . . . , 𝑥$, 𝑢), con i = 1, 2, . . . , n 𝐹%(𝑥", 𝑥#, . . . , 𝑥$, 𝑢), y además en el mencionado entorno. Entonces existe en el entorno del punto P0 una función, tal que; y ( ) 0,...,,, 21 =uxxxF n ( )00n02010 u,x...,,x,xP ( ) 0PF 0u ¹ ( )n21 x...,,x,xuu = ( )0n02010 x,...,x,xuu = ( )( ) 0x...,,x,xu,x...,,x,xF 0n02010n0201 = Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 8 3) en el entorno del punto P0. Donde se denomina determinante funcional o jacobiano y es una forma de escritura de un determinante cuyos elementos son derivadas parciales. En este caso: Es decir su nomenclatura indica que la primera fila del determinante que simboliza, está compuesta por Fy, Fz y la segunda fila por Gy, Gz. a) Derivación Teorema. Dada el sistema de ecuaciones que define a las funciones implícitas y = y(x) , z = z(x) en el entorno del punto P0, tal que, entonces Hipótesis. El sistema de ecuaciones define a las funciones implícitas y = y(x) y z = z(x) en el entorno del punto P0 Tesis. Demostración. Por hipótesis el sistema de ecuaciones , define a las funciones y = y(x) y z = z(x) en el entorno del punto P0 Realizando el diagrama de las variables a las función F y G se tiene: ( ) ( ) 0z,y G,F 0P ¹¶ ¶ ( ) ( ) 0Pz,y G,F ¶ ¶ ( ) ( ) 0 0 P P z G y G z F y F z,y G,F ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ( ) ( )î í ì = = 0z,y,xG 0z,y,xF ( ) ( )( ) ( ) ( )( )î í ì = = 0xz,xy,xG 0xz,xy,xF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0P 0P 0P 0P 0P 0P z,y G,F x,y G,F dx dz; z,y G,F z,x G,F dx dy ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ -= ( ) ( )î í ì = = 0z,y,xG 0z,y,xF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0P 0P 0P 0P 0P 0P z,y G,F x,y G,F dx dz; z,y G,F z,x G,F dx dy ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ -= ( ) ( )î í ì = = 0z,y,xG 0z,y,xF Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 9 Derivando con respecto a x ambos miembros de las ecuaciones F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z) = 0 y aplicando la regla de la cadena a las funciones F y G se tiene: Es un sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales en dos incógnitas y’ y z’. Para resolverlo se aplica la regla de Cramer: Todos los determinantes se evalúan en P0. ï ï î ïï í ì = ¶¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 0 x dz. z G dx dy. y G. dx dx x G 0 x dz. z F dx dy. y F. dx dx x F 0P0P0P0P0P 0P0P0P0P0P ï ï î ïï í ì ¶ ¶ -= ¶¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶¶ ¶ + ¶ ¶ 0P0P0P0P0P 0P0P0P0P0P x G x dz. z G dx dy. y G x F x dz. z F dx dy. y F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0P 0P 0P0P0P 0P 0P 0P0P0P z,y G,F x,y G,F dx dz; Z G y G Z F y F x G y G x F y F dx dz; Z G y G Z F y F x G y G x F y F dx dz ; z,y G,F z,x G,F dx dy; Z G y G Z F y F Z G x G Z F x F dx dy; Z G y G Z F y F Z G x G Z F x F dx dy ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶- ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ - = G x y x z F x y x z Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 10 2.2. Dos ecuaciones que definen dos funciones de dos variables a) Condiciones de existencia Dado el sistema de ecuaciones las condiciones que aseguran la existencia de las funciones implícitas u = u(x,y) y v = v(x,y) en el entorno de un punto P0(x0,y0,u0,v0) son las Condiciones de Cauchy, Sea P0(x0,y0,u0,v0) un punto tal que: 1) F(P0) = 0 y G(P0) = 0 2) F, Fx,Fy, Fu, Fv , G, Gx, Gy, Gu, Gv son continuas en el entorno del punto P0. 3) en el entorno del punto P0. b)Derivación Teorema. Dado el sistema de ecuaciones que define a las funciones implícitas u = u(x,y) y v = v(x,y) en el entorno del punto P0, tal que , entonces: Se deja la especificación de las hipótesis y tesis y la demostración de este teorema para el lector. Ejemplo 1 a) Dado el sistema que define implícitamente a las funciones implícitas y= y(x) y z = z(x) hallar: Considerando ( ) ( )î í ì = = 0v,u,y,xG 0v,u,y,xF ( ) ( ) 0v,u G,F 0P ¹¶ ¶ ( ) ( )î í ì = = 0v,u,y,xG 0v,u,y,xF ( ) ( )( ) ( ) ( )( )î í ì = = 0y,xv,y,xu,y,xG 0y,xv,y,xu,y,xF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0P 0P 0P 0P 0P 0P 0P 0P 0P 0P 0P 0P v,u G,F y,u G,F y v v,u G,F x,u G,F x v v,u G,F v,y G,F y u; v,u G,F v,x G,F x u ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ïî ï í ì =-- =++- 0zy4x3 03z5yx2 4 2 dx dzy dx dy ( ) ( ) 4 2 zy4x3z,y,xG 3z5yx2z,y,xF --= ++-= Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 11 el jacobiano es Entonces Ejemplo 2. Dado el sistema de ecuaciones que define a las funciones implícitas u = u(x,y) y v=v(x,y) determinar: ux, uy, vx,vy Considerando )F (x, y, u, v) = x# − 4y + u& + v# G(x, y, u, v) = 3x + y& − 2u − v Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) 20zy8z44 5y2 z,y G,F GG FF z,y G,F 3 2 zy zy += -- - = ¶ ¶ = ¶ ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20zy8 8y6 20zy8 34 2y2 20zy8 GG FF dx dz; z,y G,F x,y G,F dx dz 20zy8 15z8 20zy8 z43 52 20zy8 GG FF dx dy; z,y G,F z,x G,F dx dy 333 xy xy 3 3 3 3 3 zx zx + +- = + - - -= + -= ¶ ¶ ¶ ¶ -= + + = + - -= + -= ¶ ¶ ¶ ¶ -= ïî ï í ì =--+ =++- 0vu2yx3 0vuy4x 3 232 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v4u3 yv64 v4u3 1y3 v24 GG FF GG FF y u; v,u G,F v,y G,F y u v4u3 v6x2 12 v2u3 13 v2x2 GG FF GG FF x u; v,u G,F v,x G,F x u 2 2 2 2 vu vu vy vy 22 vu vu vx vx +- +- = +- - - -=-= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ +- + = -- - -=-= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 12 Ejercicios. 1) Dado el sistema de ecuaciones a) enuncie las condiciones de Cauchy para que el sistema defina a las funciones implícitas u = u(x, y) y v=v(x, y) y w = w(x ,y) en el entorno de un punto P0 b) deduzca las fórmulas para calcular las derivadas 2) Analice la existencia de las funciones u = u(x, y) y v=v(x, y) definidas implícitamente por el sistema en el entorno del punto P0(1,1,1,1) aplicando las condiciones de Cauchy y luego halle , donde w = u.v Generalización: Un sistema puede definir n funciones implícitas siempre que se cumplan ciertas condiciones que se enuncian a continuación. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vu yu vu y u GG FF GG FF y u vu GF yu GF y v vu xu vu xu GG FF GG FF x v vu GF xu GF x v vu vu yu yu vu vu xu xu 43 89 43 32 43 ; , , , , 43 49 43 32 23 ; , , , , 2 22 2 2 2 2 2 2 2 +- +- = +- - - -=-= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ +- -- = +- - -=-= ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶ ( ) ( ) ( )ïî ï í ì = = = 0w,v,u,y,xF 0w,v,u,y,xF 0w,v,u,y,xF 3 2 1 y wy x u ¶ ¶ ¶ ¶ ïî ï í ì =-+++ =--+ 08xyv4u2 0yuxvu 2222 2244 y wy x w ¶ ¶ ¶ ¶ Teorema de Cauchy-Dini. Dado un sistema de n ecuaciones con i = 1,2,…,n siendo las funciones continuas, como así también sus derivadas parciales primeras en un entorno del punto tales que las ecuaciones y el jacobiano , entonces existen n funciones continuas en el entorno del punto P0 y que satisfacen el sistema de ecuaciones que las define implícitamente y cuyas derivadas parciales se calculan con la fórmula ( ) 0u,...,u,u,x...,,x,xF n21m21i = ( )n21m21i u,...,u,u,x...,,x,xF ( )0n02010m02010 u,...,u,u,x...,,x,xP ( ) 00 =PFi ( ) ( ) 0u,...,u,u F...,,F,F 0P n21 n21 ¹ ¶ ¶ ( )m21ii x...,,x,xuu = ( ) ( ) ( ) ( ) 0Pni21 ni21 0P nj21 n...,i21 0P j i u,...,u...,,u,u F...,,F,...,F,F u...,x,...,u,u F,F,...,F,F x u ¶ ¶ ¶ ¶ -= ¶ ¶
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