Clase N 9 Derivación Direccional

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Clase Nº 9: Derivación Direccional Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
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DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 9: DERIVACIÓN DIRECCIONAL 
 
 
1. DERIVADAS DIRECCIONALES 
 Ahora se generalizará la definición de una derivada parcial para obtener la razón de cambio de 
una función con respecto a cualquier dirección, pues para funciones de dos y tres variables las 
derivadas parciales nos dan la razón de cambio de la función en la dirección de los ejes coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación. La dirección r según la cual se calcula la derivada direccional también puede estar 
definida mediante un vector unitario u en la dirección de r, a través del cual se pueden conocer sus 
cosenos directores. En el caso bidimensional se puede dar como dirección el ángulo α, que es el 
formado por la dirección r o el vector unitario u con el eje positivo x. 
Notaciones: 
 En función de lo expresado anteriormente las notaciones más usuales para la derivada 
direccional son ; , ; 
1.2. Casos particulares 
a) Para funciones de dos variables 
Para el caso de una función de dos variables los elementos intervinientes serán, f: z = f(x,y), 
 puntos pertenecientes al dominio de f y r es una dirección en el plano xy 
( )0r PfD ( )0r0P Pf,r
z
¶
¶ ( )0u PfD ( )0PfDa
( ) ( )yy,xxPyy,xP 00000 D+D+
1.1. Definición. 
Sea f la función definida por la ecuación z = f(x1, x2, … , xn), sean y 
 , puntos perteneciente al domino de f y sea sea r una 
dirección en Rn 
 
 
 
 
r es una recta orientada que tiene la dirección del punto P0 al punto P. 
La derivada direccional de f en el punto P0 en la dirección de r, denotada por 
se define: 
 si este límite existe 
( )0n02010 x...,,x,xP
( )n0n202101 xx...,x,x,xxP D+D+D+
( )0r PfD
( ) ( ) ( )
0
0
0PP
0r PP
PfPf
limPfD
-
-
=
®
P0 
P r 
 
Distancia entre P y P0 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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definida por los ángulos directores α y β, que son los ángulos que forma la dirección r con la dirección 
positiva de los ejes x e y, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Llamando a la distancia y considerando el triángulo rectángulo de la figura se tiene 
que Δx= ρ cos α y Δy= ρ cos β = ρ sen α, por ser α y β ángulos complementarios. Cuando 
. 
 Por definición la derivada direccional de f en el punto P0 en la dirección de r, es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es otra forma de expresar la definición. 
 Sólo en el caso bidimensional, además de las notaciones sugeridas para la derivada direccional 
de f en el punto P0, también se puede usar 
b) Para funciones de tres variables. 
Para una función de tres variables se tiene f : u = f(x, y, z),
, puntos del dominio de f y r es una dirección en el espacio definida por los ángulos directores α , β 
y γ, ángulos que forma la dirección r con la dirección positiva de los ejes x , y, z, respectivamente. 
r=- 0PP
0entonces,PP 0 ®r®
( ) ( ) ( )
0
0
PP0r PP
PfPf
limPfD
0 -
-
=
®
( ) ( ) ( )
0
0000
PP0r PP
y,xfyy,xxf
limPfD
0 -
-D+D+
=
®
( ).PfD 0a
( ) ( )zz,yy,xxPyz,y,xP 0000000 D+D+D+
x 
y 
r 
α 
P0 
P 
x0 x0+Δx 
y0 
y0+Δy 
 
α β 
 
si este límite existe 
ó 
 
si este límite existe 
 
( ) ( ) ( )
r
-br+ar+
=
®r
0000
0
0r
y,xfcosy,cosxf
limPfD
( ) ( ) ( )
r
-ar+ar+
=
®r
0000
0
0r
y,xfseny,cosxf
limPfD
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Ejemplo. 
Calcular en el punto P0(1,1) la derivada en la dirección r que forma un ángulo α = 3π/4 con el semieje 
positivo de las x, de la función z = x2+y2. 
 Aplicando la definición de derivada en una dirección r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por definición de derivada direccional, será 
 
 
 
 
Desarrollando y calculando el límite se llega a: 
 
Ejercicio. 
Calcule, por definición, la derivada direccional de z = x2-y2 en el punto (2,4) si α = π/6. 
Respuesta: 
( ) ( ) ( )
r
-ar+ar+
=
®r
a
0000
0
0
y,xfseny,cosxf
limPfD
( )
( )
r
-÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
r+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-r+
=
®r
p
=a
1,1f
2
21,
2
21f
lim1,1fD
0
4
3
( )
r
-÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
r++÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-r+
=
®r
p
=a
2
2
21
2
21
lim1,1fD
22
0
4
3
( ) 01,1fD
4
3 =p
=a
( ) 4324,2fD
6
-=p
=a
 
si este límite existe 
( ) ( ) ( )
r
-gr+br+ar+
=
®r
000000
0
0r
z,y,xfcosz,cosy,cosxf
limPfD
x 
(1,1) 
α = 3π/4 
r 
y 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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2. FÓRMULA PARA CALCULAR LA DERIVADA DIRECCIONAL. 
2.1. Para funciones de dos variables. 
 El siguiente teorema nos brinda una fórmula para calcular la derivada direccional en la que 
intervienen las derivadas parciales. Aplicar la mencionada fórmula es más sencillo y práctico que 
utilizar la definición correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. 
 f admite derivadas parciales fx y fy continuas en el N(P0) 
Tesis. 
 
Demostración. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Δx= ρ cos α y Δy= ρ cos β = ρ sen α, α y β, que son los ángulos que forma la dirección r con la 
dirección positiva de los ejes x e y. 
, Cuando 
 Considerando el cociente de incrementos: 
( ) b
¶
¶
+a
¶
¶
= cos
y
fcos
x
fPfD 0P0P0r
( ) ( )yy,xxPyy,xP 00000 D+D+
r=- 0PP 0entonces,PP 0 ®r®
Teorema. 
Si la función f : z =f(x,y) admite derivadas parciales fx y fy continuas en el entorno de un punto 
P0(x0,y0) entonces la derivada direccional de f en P0 en la dirección de r se calcula como 
 
ó 
 
( ) b
¶
¶
+a
¶
¶
= cos
y
fcos
x
fPfD 0P0P0r
( ) a
¶
¶
+a
¶
¶
= sen
y
fcos
x
fPfD 0P0P0r
r 
α 
β 
x0 
x0 +Δx 
y0 y0+Δy 
z0 
z1 
ρ 
y 
x 
z 
z = f(x,y) 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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 Aplicando al numerador del cociente del segundo miembro el Teorema del Valor Medio del 
Cálculo Diferencial, pues fx y fy son continuas en el N(P0), queda: 
 
 
 Simplificando 
 
 Considerando límites en ambos miembros para 
 
Cuando , 
y por ser las derivadas parciales continuas entonces, 
 
2.2. Para funciones de tres variables. 
 
 
 
 
 
 
La demostración de este teorema se deja para el lector. 
 
2.3. Generalización para funciones de n variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
r
-D+D+
=
-
- 0000
0
0 y,xfyy,xxf
PP
PfPf
( ) ( ) ( ) ( )
2,1iyyy;xxx
,fy,fxy,xfyy,xxf
0100i0
22y11x0000
=D+<h<D+<x<
hxD+hxD=-D+D+
( ) ( ) ( ) ( )
r
hxbr+hxar
=
-
- 22y11x
0
0 ,fcos,fcos
PP
PfPf
( ) ( ) ( ) ( )22y11x
0
0 ,fcos,fcos
PP
PfPf
hxb+hxa=
-
-
0entonces,PP 0 ®r®
( ) ( ) ( ) ( )[ ]22y11x0
0
0
PP
,fcos,fcoslim
PP
PfPf
lim
0
hxb+hxa=
-
-
®r®
2,1i
y0y
x0x
0
01
0i =
î
í
ì
®h®D
®x®D
®r
( ) b
¶
¶
+a
¶
¶
= cos
y
fcos
x
fPfD 0P0P0r
Teorema. 
Si la función f : u =f(x,y,z) admite derivadas parciales fx, fy, fz continuas en el entorno de un punto 
P0(x0,y0,z0 ) entonces la derivada direccional de f en P0 en la dirección de r se calcula como 
 
 
 
( ) g
¶
¶
+b
¶
¶
+a
¶
¶
= cos
z
fcos
y
fcos
x
fPfD 0P0P0P0r
Teorema. 
Si la función f : z =f(x1,x2,…,xn) admite derivadas parciales 𝑓!!con i = 1,2,…,n, continuas en el 
entorno de un punto entonces la derivada direccional de f en P0 en la dirección 
de r se calcula como 
 
donde cos αi son los cosenos directores de la dirección r en Rn 
( )0n02010 x...,,x,xP
( ) å
=
a
¶
¶
=
n
1i
i0P
i
0r cos.x
fPfD
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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3. ANALISIS DE LAS DERIVADAS DIRECCIONALES EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES 
3.1. Derivadas parciales como casos particulares de la direccional 
 En el caso de funciones de dos variables independientes se tiene: 
 
 Considerando que: 
• Si r es paralela al eje x, α = 0 , entonces 
• Si r es paralela al eje y , α = π/2 , entonces 
 Es decir las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales. 
 Este Análisis también se puede realizar en funciones de n variables (con n>2), para mostrar que 
las derivadas parciales son casos particulares de las derivadas direccionales. 
 
3.2. Relación entre el gradiente y la derivada direccional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. 
 
 f admite derivadas fx y fy continuas en el entorno de un punto P0(x0,y0). 
Tesis. 
 
Demostración. 
 Por hipótesis fx y fy continuas en el entorno de un punto P0(x0,y0) entonces 
 
 
 
 
( ) a
¶
¶
+a
¶
¶
= sen
y
fcos
x
fPfD 0P0P0r
( ) 0P0r x
fPfD
¶
¶
=
( ) 0P0r y
fPfD
¶
¶
=
( ) ( ) u.PfPfD 00r
!!
Ñ=
( )
( ) ( )
( ) ( ) u.PfPfD
jcosicos.j
y
fi
x
fPfD
cos
y
fcos
x
fPfD
00r
0P0P0r
0P0P0r
!!
Ñ=
b+a÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=
b
¶
¶
+a
¶
¶
=
Teorema. 
 Si la función f: z =f(x,y) admite derivadas parciales fx y fy continuas en el entorno de un punto 
P0(x0,y0) entonces la derivada direccional de f en P0 en la dirección de un vector unitario u, se 
calcula como 
 
ó 
 
 donde es un vector unitario en la dirección de r. 
( ) ( ) u.PfPfD 00r
!!
Ñ=
( ) ( ) u.PfPfD 00u
!!
" Ñ=
jiu ba coscos +=!
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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 7 
𝜑 
Observación: 
 Sabiendo que y efectuando el producto escalar entre dos vectores se 
tiene lo siguiente: 
 
 
 es vector unitario entonces ; 𝜑 es el ángulo entre los vectores . 
 
3.3 Derivada direccional máxima, mínima y nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demostración. 
 
• Si ∇$$⃗ f(P") = 0$⃗ , entonces para una dirección arbitraria (cualquier u), se tiene 
 
• Si entonces 
 
 
 
 
 
 
donde es	𝜑 el ángulo entre los vectores . Analizando el segundo miembro de esta 
fórmula se tiene: 
( ) ( ) u.PfPfD 00r
!!
Ñ=
( ) ( ) jÑ= cos.u.PfPfD 00r
!!
( ) ( ) jÑ= cos.PfPfD 00r
!
u! 1u =! ( ) uyPf 0
!!
Ñ
( ) ( ) ( ) ( ) 0jcosicos.j0i0u.PfPfD 00r =b+a+=Ñ=
!!
( ) 0Pf 0
!!
¹Ñ
( ) ( ) jÑ= cos.PfPfD 00r
!
( ) uyPf 0
!!
Ñ
Teorema. Propiedades de las derivadas direccionales. 
Sea f : z =f(x,y) una función que admite derivadas parciales fx y fy continuas en el entorno de un 
punto P0(x0,y0). 
 
• Si ∇$$⃗ f(P") = 0$⃗ , entonces D𝐫f(P") = 0 para todo u. 
• Si ∇$$⃗ f(P") ≠ 0$⃗ entonces: 
1. La derivada direccional es máxima en la dirección del ∇$$⃗ f(P"). El valor máximo de D𝐫f(P") es 
 
2. La derivada direccional es mínima en la dirección opuesta al ∇$$⃗ f(P"). El valor mínimo de D𝐫f(P") 
es -/∇$$⃗ f(P")/. 
3. La derivada direccional es nula en una dirección u perpendicular al ∇$$⃗ f(P"). 
 
( ) .Pf 0Ñ
!
 
 
P0 u 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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1. La derivada direccional es máxima cuando cos 𝝋 = 1, 𝝋 = 0, o sea cuando el vector u tiene la 
dirección del La derivada en esta dirección es . 
2. La derivada direccional es mínima cuando cos 𝝋 = -1, 𝝋 = π, o sea el vector u tiene la dirección 
opuesta al La derivada en esta dirección es - . 
3. La derivada direccional es nula cuando cos 𝝋 = 0, 𝝋 = π/2, cuando el vector u es perpendicular 
al 
 Estas propiedades de la derivada direccional de una función de dos variables se extienden a una 
función de tres y más de tres variables independientes. 
 
3.4. Interpretación geométrica de la derivada direccional en funciones de dos variables. 
 Al igual que las derivadas parciales, la derivada direccional de la función f(x,y) en el punto 
P0(x0,y0) en la dirección de r representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la curva 
C intersección de la superficie con el plano vertical en la dirección de r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5. Aplicaciones prácticas de la derivada direccional y del gradiente. 
 i) Un alpinista se encuentra descendiendo por una de las laderas de una montaña. Si f(x,y) 
denota la altitud del alpinista, entonces, indica la dirección que debe adoptar para 
desplazarse por la trayectoria de máxima pendiente. 
ii) Suponga que la temperatura en un punto (x,y,z) está dada por T(x,y,z). En este caso 
da la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en el punto P0(x0,y0,z0) y 
la máxima tasa de incremento está dada por . 
 
( ).Pf 0Ñ
!
( )0PfÑ
!
( ).Pf 0Ñ
!
( )0PfÑ
!
( ).Pf 0Ñ
!
( ) g== tgmtgPfD 1P0r
( )0PfÑ-
!
( )000 z,y,xTÑ
!
( )0PTÑ
!
r 
α x0 
y0 
P1 
y 
x 
z 
P0 
z = f(x,y) 
γ 
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Ejercicios. 
1. Resuelva las siguientes consignas: 
a) Calcule la derivada direccional de f(x,y) = x2 sen 2y en el punto (1, π/4) en la dirección de 
v = 3i – 4j. Respuesta: 
 b) Halle la dirección de crecimiento máximo para f en el punto (1, π/4) y determine la máxima 
razón de cambio en esa dirección. 
 c) Encuentre la dirección en que la función decrece más rápidamente y la razón de cambio en 
esa dirección. 
 d) Halle la dirección según la cual la función no crece ni decrece. 
2. Calcule la derivada direccional de la función f(x,y) = 3x2 – 2 y2 en (-1,3) en la dirección que va del 
punto P(-1,3) a Q(1,-2). Respuesta: 
3. Suponga que la temperatura en un punto (x,y,z) en el espacio está dada por 
donde T está medida en grados centígrados y x,y,z están en metros. 
¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura en el punto (1,1,-2)? ¿Cuál es la máxima tasa 
de incremento? 
Respuestas: - 
- Máxima tasa de incremento es 
 
( )
5
64/,1fDu =p
( )
29
484/,1fDu =p-
( ) 222 z3y2x1
80z,y,xT
+++
=
( ) k
4
15j
4
5i
8
52,1,1T +--=-Ñ
!
( )
8
4152,1,1T =-Ñ
!