Clase N 11 Diferenciales

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Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 11: DIFERENCIALES 
 
 
 Recordando que para una función de una variable f: y = f(x), se define el incremento de la función 
y como, y la diferencial de y se define como dy = f´(x) dx. La figura siguiente 
muestra la relación entre ∆y y dy en el punto “a”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora se generalizará el concepto de diferenciales a funciones de dos y más variables. 
 
1. FUNCIÓNES DIFERENCIABLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso Particular: Funciones de dos variables. 
 Si f es tal que z = f(x,y) entonces f es diferenciable en P0(x0,y0) si el incremento total . 
 puede expresarse como 
)x(f)xx(fy -D+=D
0zD
( ) ( )00000 y,xfyy,xxfz -D+D+=D
1.1. Definición. 
La función f : z = f(x1,x2,…,xn), definida en un entorno de un punto , es 
diferenciable en P0 si el incremento total Δz0 correspondiente a los incrementos Δxi con i = 1,2,…,n 
de las variables independientes, puede expresarse como: 
 
 
donde las Ai son constantes independientes de los Δxi y los εi , que son funciones de los Δxi, son 
infinitésimos para . 
En la expresión a los n primeros términos se los denomina la parte lineal en los Δxi, y los últimos 
la parte no lineal en los Δxi. 
( )0n02010 x...,,x,xP
( ) ( )0n0201n0n2021010 x...,,x,xfxx...,,xx,xxfz -D+D+D+=D
nn2211nn22110 x...xxxA...xAxAz De++De+De+D++D+D=D
( ) ( )0,...,0,0x...,,x,x n21 ®DDD
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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 2 
 con para (∆𝑥, ∆𝑦	) → (0,0) 
1.2. Diferenciabilidad y Continuidad 
Consecuencia: Diferenciabilidad implica continuidad. 
 
 
 
 
 
 Es inmediato que una función diferenciable en un punto es continua en dicho punto ya que Δz0 
puede hacerse tan pequeño como se quiera con tan solo tomar los Δxi suficientemente pequeños. 
(Este es, precisamente, el concepto de continuidad). 
 
1.3. Valor de las constantes Ai con i = 1,2,…,n 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. 
 f es diferenciable en P0. 
 
Tesis. 
 
 
Demostración. 
 La función f es diferenciable en P0 entonces su incremento puede escribirse como 
 
 Como los Δxi son independientes entre sí, se puede anularlos a todos excepto a uno cualquiera, 
digamos Δxj, y por ser z diferenciable su incremento resultará: 
 
 Dividiendo ambos miembros por resulta 
 
 Considerando límite para 
 donde 
 Resulta 
con j = 1,2,…,n 
yxyAxAz 21210 De+De+D+D=D 0, 21 ®ee
nn2211n0P
n
20P
2
10P
1
0 x...xxxx
f...x
x
fx
x
fz De++De+De+D
¶
¶
++D
¶
¶
+D
¶
¶
=D
nn2211nn22110 x...xxxA...xAxAz De++De+De+D++D+D=D
jjjj0 xxAz De+D=D
0x j ¹D
jj
j
0 A
x
z
e+=
D
D
0x j®D
j
0jx
j
0jxj
0
0jx
limAlim
x
z
lim e+=
D
D
®D®D®D
0xpara0 jj ®D®e
j0P
j
A
x
z
=
¶
¶
Teorema. 
Si una función es diferenciable en un punto entonces es continua en ese punto 
Teorema. 
Si una función f : z = f(x1,x2,…,xn) es diferenciable en P0, entonces el incremento total Δz0 en ese 
punto puede escribirse como: 
 nn2211n0P
n
20P
2
10P
1
0 x...xxxx
f...x
x
fx
x
fz De++De+De+D
¶
¶
++D
¶
¶
+D
¶
¶
=D
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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 Detallando resulta que, 
 
 Remplazando en Δz0 queda 
 
 
Caso particular: En caso de trabajar con z = f(x,y) será: 
 
 
Ejemplo. 
 Probar que la función f: f(x,y) = 3 x – x y2 es diferenciable en todo punto de R2. 
 
 Se debe probar que para todo punto (x0,y0) de R2 se pueden determinar ε1 y ε2 tales que: 
 
y . 
 
 
 
 
Como f(x,y) = 3 x – x y2, 
 
 
Con estos valores y el valor de Δz0, se obtiene, 
 
Considerando (son posibles otras elecciones para ε1 y ε2) 
Tomando límite 
 
Se concluye que f es diferenciable en todo punto (x0,y0) de R2. 
 
Ejercicios 
Para cada una de las funciones que se indican, probar que es diferenciable en todo punto de su 
dominio. 
n0P
n
0P
n
20P
2
0P
2
10P
1
0P
1
A
x
f
x
z;...;A
x
f
x
z;A
x
f
x
z
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
nn2211n0P
n
20P
2
10P
1
0 x...xxxx
f...x
x
fx
x
fz De++De+De+D
¶
¶
++D
¶
¶
+D
¶
¶
=D
yxy
y
fx
x
fz 210P0P0 De+De+D¶
¶
+D
¶
¶
=D
yxy
y
fx
x
fz 210P0P0 De+De=D¶
¶
-D
¶
¶
-D
( ) ( )0,0x,xpara0y0 2121 ®DD®e®e
( ) ( )00000 y,xfyy,xxfz -D+D+=D
( ) ( )( ) ( )200020000 yxx3yyxxxx3z --D+D+-D+=D
( ) ( )220000200 yxyxyxy2yyx2xyx3z DD-D-DD-D-D-D=D
000P
2
00P yx2y
f;y3
x
f
-=
¶
¶
-=
¶
¶
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) y.yxyxx.yy2yxyxyxy2
yyx2xy3yxyxyxy2yyx2xy3
yyx2xy3yxyxyxy2yyx2xyx3
y
y
fx
x
fz
00
22
00
00
2
0
22
0000
2
0
00
2
0
22
0000
2
0
PP0 00
DDD-D-+DD-=DD-D-DD-
=D+D--DD-D-DD-D-D-
=D+D--DD-D-DD-D-D-D
=D
¶
¶
-D
¶
¶
-D
yxyxyyy2 02o1 DD-D-=eD-=e
( ) ( ) ( ) ( )
0limy0lim 2
0,0y,x
1
0,0y,x
=e=e
®DD®DD
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a) f(x,y) = 3x2y +4, b) f(x,y) = x2y – 2 x y, c) f(x,y) = x2/y 
2. DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso particular: Para una función de dos variables f : z = f(x,y) 
 diferencial total de una función de do variables 
 expresión analítica de la diferencial total de ua función de dos variables 
Ejemplo. 
 Sea f : f(x,y) = 3x2y + 4 halle la dz. 
 Si fx = 6xy y fy = 3x2, luego dz = 6xy dx + 3x2 dy 
 Sabemos que para una función de una variable, la existencia de la derivada de f en un número 
implica la diferenciabilidad y, por lo tanto, continuidad en ese número. Sin embargo para funciones 
de dos y más variables la existencia de las derivadas parciales en un punto no implica 
diferenciabilidad en ese punto. En el siguiente teorema se enuncian las condiciones necesarias para 
la diferenciabilidad. 
Teorema. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad. 
Si f es diferenciable en un punto P0 entonces: a) f es continua en P0 ; b) existen las derivadas parciales 
𝑓!!(𝑃") , i= 1,2,…n; c) existe ∀𝒖:	|𝒖| = 1,	 D𝐮f(P") = 	𝛁f(𝑃"). 𝒖. 
 
Existen condiciones adicionales que se le piden a una función para que sea diferenciable en un punto. 
Estas condiciones se enuncian en el teorema siguiente. 
2.2. Condición suficiente para la diferenciabilidad 
 
 
 
 
 
y
y
fx
x
fdz 0P0P D¶
¶
+D
¶
¶
=
dy
y
fdx
x
fdz 0P0P ¶
¶
+
¶
¶
=
2.1. Definición de diferencial total. 
Sea f : z = f(x1,x2,…,xn) una función diferenciable. Se llama diferencial total de la función f a la parte 
del incremento total Δz0, que es lineal en los Δxi, i = 1,2,…,n y se la representa con dz 
 
como j = 1,2, …, n se tiene 
 
Por ser las xi variables independientes, se cumple 
 
Resulta la siguiente expresión analítica para la diferencial total de una función de n variables 
independientes: 
 
 
 
nn2211 xA...xAxAdz D++D+D=
j0P
j
A
x
f
=
¶
¶
n0P
n
20P
2
10P
1
x
x
f...x
x
fx
x
fdz D
¶
¶
++D
¶
¶
+D
¶
¶
=
n...,,2,1idxx ii ==D
n0P
n
20P
2
10P
1
dx
x
f...dx
x
fdx
x
fdz
¶
¶
++
¶
¶
+
¶
¶
=
Teorema. 
Sea f : z = f(x1,x2,…,xn). Si existen las derivadas parciales con 
i =1,2,…,n, en el entorno de un punto y son continuas en dicho punto 
entonces f es diferenciable en P0. 
ix
f
¶
¶
( )0n02010 x...,,x,xP
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Hipótesis.Existen las derivadas parciales , en el entorno de un punto y son 
continuas en dicho punto. 
Tesis. 
 f es diferenciable en P0. 
 
Demostración. 
 Por el teorema del Valor Medio es 
 
 
donde son puntos interiores a los intervalos 
 
Por ser continuas las derivadas parciales en P0 podemos escribir 
 
 
 
y reemplazando en (1) resulta 
 
Reagrupando términos queda 
 
 
que coincide con la definición de función diferenciable. 
 
 Este teorema es mucho más fácil de aplicar que la definición para determinar si una función es 
diferenciable. 
Debido a que las derivadas parciales de las funciones polinomiales, son también funciones 
polinomiales, y como estas funciones son continuas en cualquier punto de su dominio, el teorema 
anterior establece que las funciones polinomiales son continuas en cualquier punto de su dominio. 
 
Ejemplos. 
a) Use el teorema del apartado 2.2 para demostrar que la función f : f(x,y) = xey – y lnx es 
diferenciable en su dominio. 
 
Solución. 
 El dominio de f es el conjunto de todos los puntos de R2 para los cuales x>0. 
ix
f
¶
¶ ( )0n02010 x...,,x,xP
( ) ( )0n0201n0n2021010 x...,,x,xfxx...,,xx,xxfz -D+D+D+=D
( ) ( ) ( ) nnnn2n1
n
1
1
n
1
2
1
1
1
0 x...,,,x
f...x...,,,
x
fz1 Daaa
¶
¶
++Daaa
¶
¶
=D
( )ini2i1 ...,,, aaa
n,...,2,1iconxxx;...;xxx;xxx n
0
n
i
n
0
n2
0
2
i
2
0
21
0
1
i
1
0
1 =D+<a<D+<a<D+<a<
( ) ( ) nnnn2n1
n
1
1
n
1
2
1
1
1
0 x...,,,x
f...x...,,,
x
fz Daaa
¶
¶
++Daaa
¶
¶
=D
( ) ( ) i0n0201
i
i
n
i
2
i
1
i
x...,,x,x
x
f...,,,
x
f
e+
¶
¶
=aaa
¶
¶
nn0P
n
220P
2
110P
1
0 xx
f...x
x
fx
x
fz D÷÷
ø
ö
çç
è
æ
e+
¶
¶
++D÷÷
ø
ö
çç
è
æ
e+
¶
¶
+D÷÷
ø
ö
çç
è
æ
e+
¶
¶
=D
nn2211n0P
n
20P
2
10P
1
0 x...xxxx
f...x
x
fx
x
fz De++De+De+D
¶
¶
++D
¶
¶
+D
¶
¶
=D
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Al calcular las derivadas parciales 
 
 Como las derivadas parciales son continuas en todos los puntos de R2 para los cuales x>0, 
entonces por el teorema, f es diferenciable en todo punto de su dominio. 
b) Dada la función 
 
i) demuestre que , existen en (0,0) 
ii) demuestre que f no es diferenciable en (0,0) 
 
Solución. 
i) 
 
Por lo tanto las derivadas parciales existen. 
ii) Esta función no es continua en (0,0) pues no existe . En efecto, si se considera y 
= mx, resulta 
Como f no es continua en (0,0) entonces f no es diferenciable en (0,0). 
 
Ejercicios. 
Utilice el teorema del apartado 2.2, para probar que la función es diferenciable en todo punto de su 
dominio. 
a) 
b) 
c) 
 
2.3. Propiedad invariante de la diferencial total de funciones compuestas 
 
 
 
 
 
 
 
Advertencia: La expresión analítica de la diferencial total dz de la función z = f(u,v,w), es la misma 
aunque las variables u,v,w no sean independientes. Esta invarianza de la expresión analítica de la dz 
no se conserva en las diferenciales de orden sucesivo. 
( ) ( ) xlnxey,xfy
x
yey,xf yy
y
x -=-=
( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹
+=
0,0y,xsi0
0,0y,xsi
yx
xy
y,xf 22
( ) ( )y,xfyy,xf yx
( ) ( ) ( )
x
0,0f0,xflim0,0f
0x
x D
-D
=
®D
( ) ( ) ( )
y
0,0fy,0flim0,0f
0y
y D
-D
=
®D
( ) 0
x
00lim0,0f
0x
x =D
-
=
®D
( ) 0
y
00lim0,0f
0y
y =D
-
=
®D
( ) ( )
( )y,xflim
0,0y,x ®
22220x m1
m
xmx
mxxlim
+
=
+®
( ) 22224 yxyx3x2y,xf --+-=
( )
y8x
y4x3y,xf 2 +
-
=
( ) xsen5xyln3y,xf +=
Teorema. 
Si f : z = f(u, v, w) es una función compuesta con u = u(x, y), v = v(x, y) y w = w(x,y), donde u,v y w 
son funciones diferenciables, entonces la diferencial total de esta función no depende de las 
variables elegida como independientes. En otras palabras 
 
 
 
y,xw,v,u dzdz =
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Hipótesis. 
 z = f(u,v,w) es una función compuesta con u= u(x,y), v = v(x,y) y w = w(x,y), donde u,v y w son 
funciones diferenciables. 
Tesis. 
 
Demostración. 
 Dada la función z = f(u,v,w) cuya diferencial total, de acuerdo a lo visto, es: 
 
La función z = f(u,v,w) es una función compuesta con u= u(x,y), v = v(x,y) 
y w = w(x,y), por lo tanto: 
 
Cuya diferencial total será: 
Lo que se quiere probar es que: 
Por ser 
(1) , 
y teniendo en cuenta que 
du= ux dx + uy dy 
dv= vx dx + vy dy 
dw= wx dx + wy dy 
Remplazando en (1) resulta 
 
Reagrupando resulta 
 
Cada uno de los paréntesis anteriores representan respectivamente a zx y zy, por lo que se puede 
escribir, 
 
y el segundo miembro no es otra cosa que por lo que se puede poner 
 
Ejercicios. 
i) Dada la función 
1) calcular 
2) calcular 
3) verificar 
ii) Dada la función z = u2+v2 con u = x+y v = x – y 
1) calcular 
2) calcular 
3) verificar 
 
y,xw,v,u dzdz =
dwzdvzduzdz wvuw,v,u ++=
( ) ( ) ( )[ ] ( )y,xFy,xw,y,xv,y,xufz ==
dyzdxzdz yxy,x +=
y,xw,v,u dzdz =
dwzdvzduzdz wvuw,v,u ++=
( ) ( ) ( )dywdxwzdyvdxvzdyudxuzdz yxwyxvyxuw,v,u +++++=
( ) ( ) dywzvzuzdxwzvzuzdz ywyvyuxwxvxuw,v,u +++++=
dyzdxzdz yxw,v,u +=
y,xdz
y,xw,v,u dzdz =
÷
ø
ö
ç
è
æ=+==
x
yarctgsyxlnrconez 22rs
s,rdz
y,xdz
y,xs,r dzdz =
v,udz
y,xdz
y,xv,u dzdz =
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2.4. Diferenciales sucesivas 
 Si f: z =f(x,y) es una función diferenciable, cuya diferencial total es 
 
 Si se acepta la constancia de los incrementos dx y dy y considerando a zx y zy como funciones 
de x e y se podrá calcular d(dz) = d2z, llamada diferencial segunda de z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. 
z =f(x,y) función diferenciable, dx y dy son constantes respecto de las variables x e y y, zx y zy 
son funciones derivables de x e y que cumplen con las condiciones de Schwarz, 
Tesis. 
 
Demostración. 
 Siendo entonces 
 
 
 
 Por hipótesis zx y zy son funciones derivables que cumplen las condiciones de Schwarz entonces 
(1) 
que es lo que se quería probar. 
 De igual manera, a partir de la expresión de d2z se puede calcular d(d2z) = d3z obteniéndose 
(2) 
 Se observa que las expresiones (1) y (2) tienen similitud con el desarrollo del cuadrado y el 
cubo de un binomio respectivamente. Realizando una analogía, se puede utilizar el operador 
diferencial para calcular las diferenciales sucesivas de z. Para ello se aplica de 
manera sucesiva dicho operador a la función z se obtiene dz, d2z, d3z,…, dnz. 
Esto es: 
 
dyzdxzdz yx +=
2
2
22
2
2
2
2 dy
y
zdydx
xy
z2dx
x
zzd
¶
¶
+
¶¶
¶
+
¶
¶
=
dyzdxzdz yx +=
[ ] [ ] [ ]dyzddxzddyzdxzd)dz(d yxyx +=+=
dydy
y
zdx
yx
zdxdy
xy
zdx
x
zzd 2
222
2
2
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
¶¶
¶
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶¶
¶
+
¶
¶
=
2
2
222
2
2
2
2 dy
y
zdydx
yx
zdxdy
xy
zdx
x
zzd
¶
¶
+
¶¶
¶
+
¶¶
¶
+
¶
¶
=
2
2
22
2
2
2
2 dy
y
zdydx
yx
z2dx
x
zzd
¶
¶
+
¶¶
¶
+
¶
¶
=
3
3
3
2
2
3
2
2
3
3
3
3
3 dy
y
zdydx
yx
z3dydx
yx
z3dx
x
zzd
¶
¶
+
¶¶
¶
+
¶¶
¶
+
¶
¶
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶ dy
y
dx
x
zdy
y
dx
x
dz ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=
Teorema. 
 Si f: z =f(x,y) es una función diferenciable, dx y dy son constantes respecto de las variables x 
e y y si zx y zy son funciones derivables de x e y que cumplen con las condiciones de Schwarz, 
entonces: 
 
 
 
 
 
 
2
2
22
2
2
2
2 dy
y
zdydx
xy
z2dx
x
zzd
¶
¶
+
¶¶
¶
+
¶
¶
=
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltarnahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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 9 
 
 
 
 El “exponente” colocado en los segundos miembros de estas expresiones es un exponente 
simbólico ya que no indica potencia enésima, sino por el contrario, para los símbolos indica 
orden de derivación y para los dx y dy indica exponente. 
Ejercicio. 
Dada la función f : z = ex cosy, calcular dz, d2z, d3z, d4z 
 
2.5. Interpretación geométrica de la diferencial total en funciones de dos variables 
 Sea S la superficie de R3 que es la gráfica de la función z =f(x, y) y sea P0(x0,y0), tal que z0 = 
f(x0,y0) y por lo tanto el punto P(x0,y0.z0) pertenece a la superficie S y f es diferenciable en P0. 
 Sea P1(x0+Δx,y0+Δy) tal que z1 = f(x0+Δx,y0+Δy), es la cota correspondiente al punto 
Q(x0+Δx,y0+Δy,z1) perteneciente a la superficie S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P: 
 
El punto pertenece al plano tangente por lo tanto sus coordenadas verifican 
la ecuación del plano 
zdy
y
dx
x
zd
2
2
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=
( )
zdy
y
dx
x
zd
.
zdy
y
dx
x
zd
n
n
3
3
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=
y
y
x ¶
¶
¶
¶
( ) ( )00P00P0 yyy
fxx
x
fzz -
¶
¶
+-
¶
¶
=-
( )'100 z,yy,xx'Q D+D+
P0(x0,y0) 
P(x0, y0, z0) 
P1(x0+Δx, y0+Δy,0) 
Q(x0+Δx, y0+Δy, z1) 
f(x0,y0) 
f(x0,y0) 
 
Q´ 
Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 10 
 
Simplificando y arreglando la expresión resulta 
 
El segundo miembro de esta igualdad es dz, 
 
 Entonces es la diferencia de cotas de dos puntos que están sobre el plano 
tangente cuando pasamos del punto P0 al punto P1. 
 
2.6. Relación entre incremento total y diferencial total en funciones de dos variables. 
 Si f es diferenciable en P0 entonces 
 
. Pero 
Como 𝜀$ → 0	𝑦		𝜀% → 0		𝑝𝑎𝑟𝑎	(Δ𝑥, Δ𝑦) → (0,0), Puede hacerse tan pequeña como se 
quiera con tan solo tomar Δx y Δy suficientemente pequeños. 
Es decir: para Δx y Δy suficientemente pequeños. 
 
2.7. Diferenciales exactas. 
 Dada la expresión M(x,y) dx + N(x,y) dy, si es la diferencial total de alguna función z = f(x,y) 
entonces se dice que dicha expresión es una diferencial exacta. Es decir, existe una función f tal que 
su diferencial total es: 
dz = M(x,y) dx + N(x,y) dy, 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios. 
Analizar si las siguientes expresiones con exactas. 
i) 
ii) 
2.8. Aplicaciones de las diferenciales. 
Usando siempre el concepto, que la diferencial total de la función en un punto de su dominio 
es una excelente aproximación del incremento total en ese punto, cuando se incrementan 
simultáneamente todas sus variables, se pueden plantear un conjunto de aplicaciones; como el 
cálculo del valor aproximado de una expresión aritmética, el cálculo de errores absolutos y relativos, 
etc. A continuación revisaremos dos aplicaciones de la diferencial total de una función, planteando 
respectivos casos particulares para su consideración. 
 
( ) ( )00P00P01' yyyy
fxxx
x
fzz
00
-D+
¶
¶
+-D+
¶
¶
=-
y
y
fx
x
fzz
00 PP01
' D
¶
¶
+D
¶
¶
=-
dzzz 01
' =-
01
' zzdz -=
yxy
y
fx
x
fz PP D+D+D¶
¶
+D
¶
¶
=D 210 00 ee
yxdzz D+D+=D 210 ee yxdzz D+D=-D 210 ee
dzz -D 0
dzz »D 0
( ) ( )dy1y2dx1x2 +-++
( ) ( )dyysec)xy2(senx2dx)xy2(seny2x3cos3 2+--
Teorema. 
Si las funciones M(x,y) y N(x,y) son continuas, con derivadas parciales continuas en una región, 
entonces M(x,y) dx + N(x,y) dy es una diferencial exacta sí y sólo sí 
 
x
N
y
M
¶
¶
=
¶
¶
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 11 
2.8.1. Calculo del valor aproximado de una expresión aritmética. 
Supongamos que deseamos calcular en forma aproximada el valor de (8,01)1/3.(2,02)2. 
Solución. 
Consideremos la función f(x, y)=x1/3y2 y los puntos P0 (8,2) y P1(8,01, 2,02), de adonde se sigue 
que dx = 0,01 y dy = 0,02. Notamos que podríamos sencillamente calcular la función en P0 y luego la 
variación de la función, mediante diferencial, en P0 cuando las variables tienen el incremento dx y dy 
mencionados. 
f(P0) = (8)1/3.(2)2 , f(P0) = 8 
df(x,y) = fx(x, y)dx + fy(x,y)dy df(x,y) = 1/3(1/x2)1/3y2dx + x1/32ydy 
df(P0) = fx(P0)dx + fy(P0)dy df(P0) = (1/3).(1/4).4.0,01 + 2.4.0,02 
df(P0) =0,1633…. 
Entonces, f(P1), que es lo que buscamos, será, aproximadamente: 
f(P1) = f(P0) + df(P0) (8,01)1/3.(2,02)2 = 8 + 0,1633 
 
(8,01)1/3.(2,02)2 = 8,1633 
 
2.8.2. Cálculo de errores absolutos y relativos. 
Se mide las aristas de un bloque paralelepípedo, las que resultan de 10, 12 y 20 cms, con un 
error probable de 0,05 cm en cada una. Deseamos conocer el máximo error absoluto y relativo al 
evaluar el área total del bloque, como consecuencia de los probables errores en las medidas 
individuales de sus aristas. 
Solución. 
La función a considerar será el área del paralelepípedo esto es, si a cada arista la denominamos 
como x, y, z, entonces S(x, y, z) = 2(xy + yz + xz). El punto P0(10, 12, 20) y P1(10,05, 12,05, 20,05) 
puesto que consideramos que el máximo error al evaluar S será cuando los errores de medición de 
las aristas sean máximos y de igual signo, en consecuencia, dx = dy = dz = 0,05. 
S(P0) = 2(10.12 + 12.20 + 10.20), S(P0) = 1120 cm2, 
Pero como suponemos cometer el máximos error, en realidad tenemos que calculas dS(P0)) . Es 
decir cuánto variaría la función en P0, cuando x0, y0 y z0, varían en 0,05 cms. cada una. 
dS(P0) = Sx(P0)dx + Sy(P0)dy + Sz(P0)dz, 
Entonces; dS(x, y, z) = 2(y + z)dx + 2(x + z)dy + 2(y + x)dz 
dS(P0) = 2(12 + 20).0,05 + 2(10 + 20).0,05 + 2(12 + 10).0,05 
De adonde resulta que el máximo error absoluto al evaluar el área del paralelepípedo será: 
dS(P0) = 8,4 cm2 
El error relativo porcentual es: &'()")
'()")
.100 = +,-
$$%"
.100 
 
 &'()")
'()")
.100 = 0,75 ℅ 
Ejercicios. 
i) Utilice diferenciales para calcular un valor aproximado de 
ii Los lados (en cm) de un paralelepípedo rectangular cambian de 9; 6 y 4 a 9.02 ; 5.97 y 4.01 
respectivamente. Use diferenciales para calcular aproximadamente el cambio del volumen. ¿Cuál es 
la variación exacta del volumen? 
iii) El radio y la altura de un cilindro circular recto miden 3 y 8 cm respectivamente, con un error 
posible en la medición de cm. Usar diferenciales para estimar aproximadamente el error 
máximo que se comete al calcular el volumen del cilindro. Aproxime también el error relativo y el 
relativo porcentual. 
02.1e99.0
05.0±