Clase N 14 Integrales Dobles

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Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 14: INTEGRALES DOBLES 
 
 
El concepto de integral definida , correspondiente a una función de una sola variable, 
se estudió en el curso de Cálculo I. En el de Cálculo II se consideran el estudio de las integrales 
múltiples, correspondientes a funciones de varias variables, integrales dobles, integrales triples, y 
además se estudian las integrales de línea e integrales de superficie. Cada una de éstas se define de 
manera similar a la que se utilizó para las integrales definidas de funciones de una variable. Antes de 
comenzar el estudio de las integrales dobles recordaremos el concepto de integral definida que, para 
diferenciarla de las integrales múltiples, se le suele llamar integral simple definida. 
 
1. INTEGRAL SIMPLE DEFINIDA. 
1.1. Definición. 
La integral se puede definir en cuatro pasos. 
Sea f: y = f(x) una función definida en el intervalo : 
Paso 1. 
Se divide el intervalo en n subintervalos parciales, es decir se efectúa una partición P del 
mencionado intervalo. Para ello se eligen los puntos de división 
x0, x1, x2, x3, . . . , x i-1 , x i , x i+1 , . . . , x n-1, xn 
de modo que 
a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x i < . . . < x n-1 < x n = b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las longitudes de cada uno de estos subintervalos se indican con: 
Dx i = x i - x i-1 
Se llama norma de una partición P a la longitud del subintervalo más grande de la misma y se 
la denota con . 
Paso 2. 
A continuación se elige en cada subintervalo un punto arbitrario ξi tal que 
 
( )dxxf
b
a
ò
( )dxxf
b
a
ò
[ ]ba,
[ ]ba,
P
iii xx £x£-1
a b x 
y 
y= f(x) 
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Paso 3. 
Se considera la suma de Riemann, es decir se forma la suma de los productos 
Paso 4. 
Se calcula el límte de la suma de Riemann cuando y simultáneamente , y si este 
límite existe se define como la integral definida de f, de “a” a “b”. En símbolos: 
Si este límite existe se dice que la función f es integrable en el intervalo . 
 
1.2. Teorema de existencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Interpretación geométrica. 
 
 
 
 
 
 
1.4. Cálculo de la Integral definida. 
El cálculo de la integral definida se efectúa habitualmente por la aplicación del Segundo 
Teorema Fundamental del Cálculo Integral. 
 
 
 
 
 
 
 
2. INTEGRALES DOBLES. 
A continuación se definirá la integral doble . La definición seguirá el mismo proceso 
de cuatro pasos usado para las funciones de una variable. 
2.1. Conceptos previos. 
Regiones. 
Para definir la integral de una función de dos variables independientes se necesitan los 
conceptos de región cerrada y región acotada. 
å
=
Dx
n
i
ii xf
1
)(
0®P ¥®n
[ ]ba,
( ) dAyxf
R
òò ,
( ) åò
=
®
Dx=
n
i
ii
P
b
a
xflímdxxf
1
0
)(
Teorema. 
Si f es continua o monótona en , es integrable en ; esto es, existe la integral 
definida 
 
[ ]ba, [ ]ba,
( )dxxf
b
a
ò
En el caso particular en que , la integral definida se interpreta como el 
área de la región bajo la gráfica de f, de a a b. 
 
( ) 0³xf ( )dxxf
b
a
ò
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral. 
Sea f una función continua en el intervalo . Si G es cualquier primitiva o antiderivada de 
f en entonces 
[ ]ba,
[ ]ba, ( ) ( ) ( )aGbGdxxf
b
a
-=ò
nahue
Resaltar
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 Una región acotada puede ser abierta o cerrada o ni abierta ni cerrada. Una región puede ser 
cerrada sin ser acotada. Una curva simple cerrada C divide al plano en dos regiones, una región 
acotada R1, que es interior de C y una región no acotada R2, el exterior de C. La curva C es la frontera 
de ambas regiones, y si los puntos de C pertenecen a una de las regiones, esta región es cerrada y la 
otra es abierta. 
 
2.2. Definición. 
Sea f una función de dos variables definida en una región R cerrada y acotada de R2, donde R 
es interior al rectángulo S y S es la gráfica de: 
 
Se divide o particiona el rectángulo S mediante rectas paralelas a los ejes coordenados. El 
conjunto de todos los rectángulos que están completamente contenidos en R se lo llama una 
partición interna P de R. (Esto corresponde al Paso 1 del proceso) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los rectángulos rayados en la figura 1 ilustran una partición interna de la región R. Si a estos 
rectángulos cerrados se los denota por R1, R2,…, Rn entonces la partición interna P se denota por 
 La norma de la partición P es la longitud de la diagonal más larga de los rectángulos de la 
partición y se denota por . 
( ){ }dycbxayxS ££££= ,/,
{ }iR
P
Región cerrada. 
Una región R de R2 es cerrada cuando la frontera es parte de la región. O sea en la definición de 
la región se incluye a la frontera. 
 
Región acotada. 
Una región R de R2 se dice acotada, si existe un rectángulo con la propiedad de que cada punto 
de la región sea un punto del interior del rectángulo. 
x 
y 
S 
R 
b a 
c 
d 
Figura 2.1. 
Ri 
ΔAi 
(ξi ,ɳi) 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Las áreas de cada uno de los n rectángulos de la partición interna P están representadas por 
respectivamente. Así con el símbolo ΔAi se denota el área del i-ésimo rectángulo 
Ri con ΔAi = (Δxi)(Δyi), i = 1,2,…,n . 
A continuación en cada rectángulo se elige un punto arbitrario como se ilustra en la 
figura 2.1. (Esto corresponde al Paso 2). 
Se considera la suma de Riemann, es decir se forma la suma de los productos (Paso 3): 
 
Finalmente se considera el límite de la suma de Riemann cuando y simultáneamente 
(Paso 4). Si este límite existe se define como la integral doble de la función f(x,y) en la región R. En 
símbolos: 
 
 
Los cuatro pasos dados anteriormente conducen a la siguiente definición de integral doble. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota 1. 
El significado preciso de límite que define a la integral doble es como sigue: 
 
 
 
 
sí y sólo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si es una partición interna de R con 
 entonces 
 
 
 
para cualquier elección de los puntos en Ri. En otras palabras, las sumas de Riemann pueden 
estar arbitrariamente cerca de su límite, al tomar particiones internas de norma suficientemente 
pequeña. 
Nota 2. 
La región R recibe el nombre de región de integración y corresponde al intervalo para el caso de una 
integral simple. 
nAAA DDD ...,,, 21
( )ii hx ,
å
=
Dhx=Dhx++Dhx+Dhx
n
1i
iiinnn222111 A.),(fA.),(f...A.),(f.A.),(f
0®P ¥®n
{ }iRP =
d<P
( )ii hx ,
P
òòå =D
=® R
n
i
iiiP
AdyxfAflím ),(),(
10
hx
òòå =Dhx
=
®
R
n
i
iii
P
AdyxfAflím ),(),(
1
0
e<-Dhx òòå
= R
n
i
iii AdyxfAf ),(),(
1
Definición . 
Sea f una función de dos variables definida en una región R cerrada y acotada de R2. La integral 
doble de f sobre R se denota por y se define 
 
si este límite existe. 
( )dAyxf
R
òò ,
åòò
=
®
Dhx=
n
i
iii
P
R
AflímAdyxf
1
0
),(),(
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltarnahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
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nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Nota 3. La integral doble se escribe habitualmente: 
2.3. Teorema de Existencia de las Integrales Dobles. 
La existencia de la integral doble depende no sólo de la naturaleza de la función f(x,y) sino 
también de la región R. El siguiente Teorema da las condiciones de la región R y de la función f(x,y) 
suficientes para la existencia de la integral doble. 
 
 
 
 
 
 
 
Observaciones: 
a) Recordamos los conceptos de: 
i) Curva simple. 
Una curva plana C dada por r(t) = x(t) i + y(t) j, a≤ t≤ b es simple si no se cruza a si misma. 
ii) Curva rectificable. 
Una curva se dice que es rectificable si es posible encontrar un valor finito L como longitud de la 
misma. 
b) El cálculo del valor de una integral doble directamente de su definición es muy tedioso para la 
mayoría de las funciones y regiones, dicho cálculo es prácticamente imposible si se lo realiza a mano. 
Afortunadamente hay un Teorema de Evaluación para integrales dobles que corresponde al Segundo 
Teorema Fundamental del Cálculo para integrales de funciones de una variable independiente. Este 
Teorema se lo enuncia en el apartado 2.6. de esta unidad. 
2.4. Clasificación de las regiones de integración. 
En el cálculo y aplicaciones de las integrales dobles nos interesaran las siguientes regiones: 
a) Cuando R es un rectángulo cuyos lados sean x = a, x = b, y = c, y = d. 
b) Cuando R no es un rectángulo, sino una región limitada por un número finito de curvas. 
En ambos casos necesitamos clasificar las regiones de integración y el concepto de integrales 
iteradas. 
Región del tipo T1. 
Sea R una región cerrada y acotada de R2 cuya frontera es una curva cerrada simple y 
rectificable. Si cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje x, interseca a la 
frontera de R en un solo dos puntos, y si R es la gráfica de 
 
donde g1 y g2 son funciones continuas en el intervalo , entonces R se llama región del tipo T1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) dydxyxfdAyxf
RR
òòòò = ,,
( ) ( ) ( ){ }bxaxgyxgyxR ££££= ,21/,
[ ]ba,
Teorema. 
Si f(x,y) es una función de dos variables independientes que es continua en una región cerrada y 
acotada R y si la frontera de R es una curva cerrada simple y rectificable, entonces 
existe. 
 
( )dAyxf
R
òò ,
y= g1(x) 
a b x 
y= g2(x) 
y 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Región del tipo T2. 
Sea R una región cerrada y acotada de R2 cuya frontera es una curva cerrada simple y 
rectificable. Si cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje y, interseca a la 
frontera de R en un solo dos puntos, y si R es la gráfica de 
 
donde h1 y h2 son funciones continuas en el intervalo , entonces R se llama región del tipo T2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Región del tipo T1,2. 
Una región R que es del tipo T1 y del tipo T2 se llama región del tipo T1,2. 
2.5. Integrales Iteradas. 
En el cálculo diferencial se aprendió a derivar funciones de varias variables con respecto a una 
de ellas manteniendo constantes a las demás. Empleando un procedimiento similar se pueden 
integrar funciones de varias variables, para lo cual una de ellas es la variable de integración dejando 
como constantes las demás variables. Este proceso se llama integración parcial y consiste en lo 
siguiente. 
Sea f: z =f(x,y) una función contínua en una región R y supongamos que R es una región del tipo T1. 
Sea F(x,y) una función tal que Fy(x,y) = f(x,y), entonces la integral parcial de f con respecto a y es: 
 
Extendiendo el concepto de integrales definidas a funciones de varias variables y aplicando el 
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral para su resolución se tiene lo siguiente: 
 
Esta integral se conoce como integral parcial de la función f(x,y) con respecto a y en el intervalo 
. 
( ) ( ) ( ){ }dycyhxyhyxR ££££= ,21/,
[ ]dc,
( ) ( )yxFdyyxf ,, =ò
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )xgxFxgxF
xg
yxFdyyxf
xg
xg
xg
12
1
2
2
1
,,,, -==ò
( ) ( )[ ]xgxg 21 ,
x= h1(y) 
c 
d 
x 
y 
x= h2(y) 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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En otras palabras, para evaluar la integral se considera a “y” como variable de 
integración manteniendo a “x” como constante y como resultado se obtiene una función sólo de x, 
digamos k(x). Es decir: 
 
Como la integral parcial es una función sólo de x, podemos a su vez calcular la 
integral definida entre “a” y “b” de la función resultante k(x) con respecto a x. 
 
A la integral se la llama integral iterada de la función f(x,y). 
Debe resultar evidente que podemos definir otra integral iterada de la función continua f(x,y) 
en una región R del tipo T2. 
Sea G(x,y) una función tal que Gx(x,y) = f(x,y), entonces la integral parcial de f con respecto a x es: 
 
Para evaluar esta integral se considera a “x” como variable de integración manteniendo a “y” 
como constante y como resultado se obtiene una función sólo de y, es decir: 
 
 
A su vez podemos integrar esta función resultante t(y) con respecto a “y” de y=c a y = d. Es decir: 
 
 
La integral se llama integral iterada de la función f(x,y). 
Observaciones. 
 
1) La idea básica en las integrales iteradas es realizar dos integrales definidas sucesivas. Por lo tanto 
se pueden aplicar las propiedades de las integrales definidas para evaluar dichas integrales. 
 
( )
( )
( )
dyyxf
xg
xg
ò
2
1
,
( )
( )
( )
)(,
2
1
xkdyyxf
xg
xg
=ò
( )
( )
( )
)(,
2
1
xkdyyxf
xg
xg
=ò
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
dxdyyxfdxdyyxfdxxk
b
a
xg
xg
b
a
xg
xg
b
a
ò òò òò =
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
2
1
2
1
,,
( )
( )
( )
dxdyyxf
b
a
xg
xg
ò ò
2
1
,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )yyhGyyhG
yh
yxGdxyxf
yh
yh
yh
,,,, 12
1
2
2
1
-==ò
( )
( )
( )
)(,
2
1
ytdxyxf
yh
yh
=ò
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
dydxy,xfdydxy,xfdyyt
d
c
y2h
y1h
d
c
y2h
y1h
d
c
ò òò òò =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
( )
( )
( )
dydxy,xf
d
c
y2h
y1h
ò ò
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2) El orden de integración en la integral iterada es “dydx” primero se integra 
respecto de “y” y luego respecto de “x”. 
En la otra integral; 
 el orden de integración es “dxdy”, integrando primero respecto de “x” y luego 
respecto de “y”. 
En ambas integrales iteradas, después de realizar la integral interior, se obtiene una integral 
definida “ordinaria” y la segunda integración produce un número real. 
 
3) Los límites interiores de integración de ambas integrales iteradas pueden ser variables con 
respecto a la variable exterior de integración. Sin embargo los límites exteriores de integración 
deben ser constantes con respecto a ambas variables de integración. 
 
Ejemplo 1. 
Evalúe las siguientes integrales parciales: 
 
a) b) c) 
 
Solución. 
a) Considerando a “x” como constante obtenemos 
 
 
b) Considerando a “y” como constante tenemos 
 
 
c) Tratando a “x” como constanteobtenemos 
 
 
Ejemplo 2. 
Evalúe las siguientes integrales iteradas. 
( )
( )
( )
dxdyyxf
b
a
xg
xg
ò ò
2
1
,
( )
( )
( )
dydxy,xf
d
c
y2h
y1h
ò ò
dy
y
xyxò ÷÷ø
ö
çç
è
æ
-
2
1
2 46 ( ) dxeyx yò
-
-
3
1
56 ( ) dyyxsen
x
x
ò
2
[ ]
( ) ( )
2ln414
1ln422ln416
1
2
ln4246 3
2
1
2
xx
xxxx
yxyxdy
y
xyx
-=
---=
-=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-ò
( ) ( )
( ) ( )
y
yy
yy
ey
eyey
xeyxdxeyx
2024
531527
1
3
5356 2
3
1
-=
+--=
-
-=-ò
-
( )
x
x
x
x
x
xydyyxsen
x
x
x
x
32
2
2
coscoscos
+-=-=ò
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a) ; b) 
 
Solución. 
 
 
2.6. Evaluación de las integrales dobles 
Si la integral doble de f en R existe, y si la región R es del tipo T1 o del tipo T2 o la 
unión de un número finito de regiones del tipo T1 o T2, las integrales iteradas se pueden usar para 
calcular la integral doble. 
Enunciaremos, sin dar la demostración, el Teorema básico usado en el cálculo de integrales dobles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dxdyyx
x
x
ò ò
-
+2
1
12
2 dydxxy
y
cos2
3
1
2
6/
ò ò
p
[ ]
( )
49cos1cos
2
1cos
2
2
cos2cos2)
1
3
22
3
1
2
6/
3
1
3
1 6/
3
1 6/
2
22
--=
÷
ø
ö
ç
è
æ --=
-=
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
=
ò
ò
ò òò ò
yy
dyyyseny
dyxseny
dydxxydydxxyb
y
yy
p
pp
( )dAyxf
R
òò ,
Teorema de evaluación de integrales dobles. 
Sea f : z = f(x,y) una función continua en una región cerrada y acotada R. Entonces: 
a) Si R es del tipo T1 y es la gráfica de , 
donde g1 y g2 son funciones continuas en el intervalo entonces 
 
b) Si R es del tipo T2 y es la gráfica de, 
donde h1 y h2 son funciones continuas en el intervalo entonces 
 
( ) ( ) ( ){ }bxaxgyxgyxR ££££= ,21/,
[ ]ba,
( ) ( )
( )
( )
dxdyyxfdAyxf
b
a
xg
xgR
ò òòò =
2
1
,,
( ) ( ) ( ){ }dycyhxyhyxR ££££= ,21/,
[ ]dc,
( ) ( )
( )
( )
dydxyxfdAyxf
d
c
yh
yhR
ò òòò =
2
1
,,
a ) 2x y
x
x2 +1
∫
−1
2
∫ dydx = 2x ydy
x
x2 +1
∫
#
$
%
%
&
'
(
(−1
2
∫ dx
= x y2#$ &'
x2+1
x−1
2
∫ dx
= x x2 +1( )
2
− x3#$%
&
'( dx
−1
2
∫
=
1
6
x2 +1( )
3
−
x4
4
#
$
%
&
'
(
2
−1
=
63
4
nahue
Resaltar
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 De este teorema podemos concluir con un método de trabajo práctico y sencillo para el 
cálculo de las integrales dobles. 
 Al calcular una integral doble usando integrales iteradas la determinación de los límites de 
integración es un paso clave. Para tal fin primero dibujamos la región de integración R, en la cuál la 
operación se va a efectuar. De esta figura podemos determinar qué tipo de región es R; si R es del tipo 
T1, la primera integración puede ser con respecto a y; si R es del tipo T2 la primera integración es 
respecto a x; si R es del tipoT1,2 podemos integrar primero con respecto a cualquiera de las variables 
x ó y. Si la primera integración se hace respecto a y, buscamos expresiones para dos funciones g1 y g2 
y dos números a y b con la propiedad de que R esté limitada inferiormente por la gráfica de y = g1(x), 
superiormente por la gráfica de y = g2(x) a la izquierda por la gráfica de x = a y a la derecha por la 
gráfica de x = b; esto es que R es la gráfica de 
 
Si la primera integración es con respecto a x buscamos expresiones para dos funciones h1 y h2 y dos 
números c y d con la propiedad de que R sea la 
 región cuya frontera consiste de parte de las gráficas de x = h1(y), x= h2(y), y = c y y =d; esto es R es 
la gráfica de 
 
Ejemplo 3. 
a) Calcule la integral doble de f(x,y) = x + y en una región R, que es un rectángulo de lados x= 1, x= 3, 
y = 1 y y = 2. 
Solución. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elegimos, arbitrariamente, calcular la integra doble respecto de x primero y de y después: 
( ) ( ) ( ){ }bxaxgyxgyxR ££££= ,21/,
( ) ( ) ( ){ }dycyhxyhyxR ££££= ,21/,
( ) ( ) ( ) dxdyyxdydxyxdAyx
R
òòòòòò +=+=+
3
1
2
1
2
1
3
1
1 3 x 
y 
1 
2 
Evidentemente la región cuando es un rectángulo es la más sencilla que se nos 
puede presentar y es del tipo T1,2. En consecuencia podemos integrar haciendo 
 
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Ejercicios. 
a) Calcule , mediante integrales iteradas, la siguiente integral doble , donde R es la región 
limitada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1. 
Respuesta: . 
b) Calcule la integral doble donde R es una región en el primer cuadrante limitada por las 
gráficas de y2 = x, y2 = 4 -x, y = 0. 
Respuesta: !−8 + 8√2	(	2√" 
 
c) Calcule la integral doble ∬ 𝑥𝑦	𝑑𝐴# 	,	 donde R es la región en el primer cuadrante limitada por las 
gráficas de y2 = x, y2 = 4 -x, y = 0. 
 
d) Calcule la integral doble ∬ (𝑥$ + 4𝑦)# 𝑑𝐴, donde R es una región en el primer cuadrante 
limitada por las gráficas de y = x2, y = 2x. 
Respuesta: 32/3. 
 
2.7. Propiedades de las integrales dobles. 
A partir de la definición se sigue que la integral doble posee propiedades muy semejantes a la 
de las integrales definidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
ò
ò
ò òòò
=÷
ø
ö
ç
è
æ --+=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
+=+
2
1
1
32
1
2
2
1
3
1
7
2
13
2
9
2
dyyy
dyxyx
dydxyxdAyx
R
( ) 7=+\ òò dAyx
R
dAex
R
yòò
1e
2
1
-
dAex
R
yòò
Teoremas. 
Sean f y g funciones continuas en una región cerrada y acotada R del plano y sea k una 
constante. 
1- 
2- 
 3- si , para todo (x, y) que pertenece a R 
4- , donde R es la unión de dos regiones 
disjuntas R1 y R2 (no tienen puntos en común excepto puntos fronteras). 
 
( ) ( )òòòò =
RR
dAy,xfkdAy,xfk
( ) ( )[ ] ( ) ( )òòòòòò ±=±
RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,
( ) ( )òòòò £
RR
dAy,xgdAy,xf ( ) ( )y,xgy,xf £
( ) ( ) ( )òòòòòò +=
21
,,,
RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 12 
 
 
2.8 Demostración de las Propiedades de las Integrales Dobles. 
Teorema 1: 
Sea f (x,y) una funcion continua en una región cerrada y acotada R del plano, y sea k una constante, 
entonces se cumple que: 
. 
Hipótesis: 
f(x, y) es una función continua en la región cerrada y acotada R del plano. 
k es una constante. 
Tesis: 
 
Demostración: 
 Vamos a encarar la demostración de la tesis usando los cuatro pasos propuestos en la 
definición de integral simple y doble para la función [kf(x, y)], continua en la región cerrada y acotada 
R del plano. Esto es: 
Paso 1: Se realiza una partición interna P de región R (Ver figura 2.1.). 
Paso 2; A continuación en cada rectángulo de la partición P se elige un punto arbitrario y se 
consideran los ΔAi, como se ilustra en la figura 2.1. 
Paso 3: Se construye la suma de Riemann para la función [k.f(x,y)], es decir se forma la suma de los 
productos. 
 
Siendo k una constante y por propiedad de las sumtorias el segundo miembro de esta igualdad 
puede escribirse como: 
= 
Paso 4: Finalmente se considera el límite de la suma de Riemann para ambos miembros de esta 
última igualdad, cuando y simultáneamente . 
 
]= (1) 
Si este límite existe, se define, en el primer miembro de la igualdad (1), la integral doble de la función 
[k.f(x,y] en la región R. Es decir; 
 
En el segundo miembro de la iualdad (1), por propiedad de los limites se considera el limite de la 
constante k (que resulta la propia constante k) y el limite de la sumatoria , que no es 
otra cosa que la definición de integral doble de la función f(x, y). Entonces; 
= k . 
 k. = 
( ) ( )òòòò =
RR
dAy,xfkdAy,xfk
( ) ( )òòòò =
RR
dAyxfkdAyxfk ,,
( )ii hx ,
].),(.[.),(.....),(...),(.
1
222111å
=
D=D++D+D
n
i
iiinnn AfkAfkAfkAfk hxhxhxhx
å
=
D
n
i
iii Afk
1
.),(. hx å
=
D
n
i
iii Afk
1
.),(. hx
0®P ¥®n
å
=
®
D
n
i
iiiP
Afklím
10
),(.[ hx ]),(.[
10
å
=
®
D
n
i
iiiP
Afklím hx
òòå =D
=® R
n
i
iiiP
AdyxfkAfklím ),(.]),(.[
10
hx
å
=
D
n
i
iii Af
1
.),( hx
å
=
®
D
n
i
iiiP
Afklím
10
]),(.[ hx
0®P
lím å
=
®
D
n
i
iiiP
Aflím
10
),( hx
0®P
lím å
=
®
D
n
i
iiiP
Aflím
10
),( hx òò
R
Adyxfk ),(.
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 13 
De esta manera, bajo las hipótesis enunciadas, queda demostrado que: 
 
 
Teorema 2: 
Sean f y g funciones continuas en una región cerrada y acotada R del plano, entonces se 
cumple que: 
 
Hipótesis: 
f(x, y) y g(x,y) son funciones continuas en la región cerrada y acotada R. 
Tesis: 
 
Demostración: 
 Como en el teorema 1, también en este caso vamos a encarar la demostración de la tesis 
usando los cuatro pasos propuestos en la definición de las integrales simple y doble para la función 
[f(x, y) ± g(x,y)], continua en la región cerrada y acotada Rdel plano. Esto es: 
Paso 1: Se realiza una partición interna P de región R (Ver figura 2.1.). 
Paso 2; A continuación en cada rectángulo de la partición P se elige un punto arbitrario y se 
consideran los ΔAi, como se ilustra en la figura 2.1. 
Paso 3: Se construye la suma de Riemann para la función f(x,y) ± g(x, y), es decir se forma la suma de 
los productos. 
 
Por propiedad de las sumtorias, el segundo miembro de esta igualdad puede escribirse 
como: 
= ± 
Paso 4: Finalmente se considera el límite de la suma de Riemann para ambos miembros de esta 
última igualdad, cuando y simultáneamente . 
]= [ ± ] (2) 
Si este límite existe, en elprimer miembro de la igualdad (2), define la integral doble de la 
función [f(x,y) ± g(x, y)] en la región R. Es decir; 
] = 
 
En el segundo miembro de la igualdad (2), por propiedad de los límites (el límite de una suma 
de funciones es la suma de los límites), se consideran el limite de la sumatoria (que 
resulta la integral doble de f(x, y)) y el limite de la sumatoria que no es otra cosa que 
la definición de integral doble de la función g(x, y). Entonces; 
 
( ) ( )òòòò =
RR
dAyxfkdAyxfk ,,
( ) ( )[ ] ( ) ( )òòòòòò ±=±
RRR
dAy,xgdAy,xfdAy,xgy,xf
( ) ( )[ ] ( ) ( )òòòòòò ±=±
RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,
( )ii hx ,
å
=
D±=D±++D±+D±
n
i
iiiiinnnnn AgfAgfAgfAyxgf
1
2222211111 )].,(),([).],(),([....)],(),([.)],(),([ hxhxhxhxhxhxhx
å
=
D±
n
i
iiiii Agf
1
)].,(),([ hxhx å
=
D
n
i
iii Af
1
),( hx å
=
D
n
i
iii Ag
1
),( hx
0®P ¥®n
0®P
lím å
=
D±
n
i
iiiii Agf
1
)].,(),([ hxhx
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Af
1
),( hx å
=
D
n
i
iii Ag
1
),( hx
0®P
lím å
=
D±
n
i
iiiii Agf
1
)].,(),([ hxhx ( ) ( )[ ]dAyxgyxf
R
òò ± ,,
å
=
D
n
i
iii Af
1
.),( hx
å
=
D
n
i
iii Ag
1
.),( hx
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 14 
[ ± ] = ± 
 
± = 
 
De esta manera, bajo las hipótesis planteadas, queda demostrado que: 
 
 
Teorema 3: 
Sean f y g funciones continuas en una región cerrada y acotada R del plano y además 
, para todo (x, y) que pertenece a R, entonces se cumple que 
 
Hipótesis: 
- f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada R del plano. 
- , para todo (x, y) que pertenece a R 
Tesis: 
 
Demostración 
Siguiendo la misma metodologia propuesta para demostrar los teoremas 1 y 2 anteriores, 
también en este caso vamos a encarar la demostración de la tesis usando los cuatro pasos propuestos 
en la definición de las integrales simple y doble. Esto es: 
Paso 1: Se realiza una partición interna P de región R (Ver figura 2.1.). 
Paso 2; A continuación en cada rectángulo de la partición P se elige un punto arbitrario y se 
consideran los ΔAi, como se ilustra en la figura 2.1. 
Paso 3: Se construye la suma de Riemann para las funciónes f(x,y) y g(x, y), es decir se forma la suma 
de los productos del valor de la respectiva función para cada par por los respectivos . 
Se debe notar que la desiguldad dada por hipótesis , se mantiene puesto que 
 , para todo i=1,2,…n. De esta manera tendremos que: ≤ 
 
Paso 4: Finalmente se considera el límite de la suma de Riemann para ambos miembros de esta 
última desigualdad, cuando y simultáneamente . 
 ≤ 
Si este límite existe, se define, en el primer miembro, la integral doble de la función f(x,y) en la 
región R y en el segundo miembro, la ntegral doble de ls función g(x, y) en la región R. Es decir de 
esta manera queda demostrado, bajo las hipótesis planteadas, que:: 
 
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Af
1
),( hx å
=
D
n
i
iii Ag
1
),( hx
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Af
1
),( hx
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Ag
1
),( hx
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Af
1
),( hx
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Ag
1
),( hx ( ) ( )òòòò ±
RR
dAyxgdAyxf ,,
( ) ( )[ ] ( ) ( )òòòòòò ±=±
RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,
( ) ( )y,xgy,xf £
( ) ( )òòòò £
RR
dAyxgdAyxf ,,
( ) ( )yxgyxf ,, £
( ) ( )òòòò £
RR
dAyxgdAyxf ,,
( )ii hx ,
iii ),( hx iAD
iiif ),( hx £ ),( iig hx
iii Af D),( hx £ iii Ag D).,( hx å
=
D
n
i
iii Af
1
).,( hx
å
=
D
n
i
iii Ag
1
).,( hx
0®P ¥®n
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Af
1
).,( hx
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Ag
1
),( hx
( ) ( )òòòò £
RR
dAy,xgdAy,xf
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 15 
 
Teorema 4: 
Siendo f x,y) una función continua en una región cerrada y acotada R del plano, donde R es 
la unión de dos regiones disjuntas R1 y R2 (no tienen puntos en común excepto puntos fronteras), 
entonces se cumple que: 
, 
Hipótesis: 
- f(x, y) función continua en la región cerrada y acotada R. 
- R = R1 U R2. Es decir R1 y R2, son conjuntos disjuntos. 
 
Dem0stración: 
 Vamos a mantener la idea propuesta en los anteriores teoremas, es decir seguiremos 
usando los cuatro pasos presentados en la definición de integral simple y doble. Esto es: 
 
Paso 1: Se realiza una partición interna P de región R, en n particiones (Ver figura 2.1.). Pero la región 
R es ahora la unión de dos regiones disjuntas R1 y R2, entonces tendremos la partición interna P1 de 
la región R1, en m particiones y la partición interna P2 de la región R2, en r particiones, de esta manera 
n = m + r. 
 
Paso 2: En cada rectángulo de la partición P se elige un punto arbitrario y se consideran los 
ΔAi, correspondientes. Se procede de igual forma para las particiones P1 de la región R1 y para la 
partición P2 de la región R2. 
 
Paso 3: Se construye la suma de Riemann para la función f(x, y) en la región R, es decir se forma la 
suma de los productos del valor de la función f para cada par por los respectivos . 
 
Al primer miembro de esta igualdad lo podemos separar en dos tramos. Por un lado tomar 
los m primeros sumandos, con los valores de la función f para los , por los ΔAj, 
correspondientes a la región R1 y luego tomar los r últimos sumandos, con los valores de la función f, 
para los , por los ΔAk, correspondientes a la región R2. Entonces tendríamos: 
= 
+ 
 
= + 
Paso 4: Finalmente se considera el límite de la suma de Riemann para ambos miembros de esta 
última igualdad, cuando y simultáneamente . 
 = [ + ] 
 
( ) ( ) ( )òòòòòò +=
21
,,,
RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
( )ii hx ,
),( ii hx iAD
å
=
D=D++D+D
n
i
iiinnn AfAfAfAf
1
222111 .),(.),(....),(..),( hxhxhxhx
),( jj hx
),( kk hx
nnn AfAfAf D++D+D .),(....),(..),( 222111 hxhxhx
].),(....),(.),([ 222111 mmm AfAAf D++D+D hxhxhx
].),(....),(..),([ 222111 rrr AfAfAf D++D+D+ hxhxhx
å
=
D
n
i
iii Af
1
.),( hx å
=
D
m
j
jjj Af
1
.),( hx å
=
D
r
k
kkk Af
1
.),( hx
0®P ¥®n
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Af
1
).,( hx
0®P
lím å
=
D
m
j
jjj Af
1.),( hx å
=
D
r
k
kkk Af
1
.),( hx
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 16 
 Por propiedad de los límites, el segundo miembro de esta igualdad queda: 
 = + 
 
Si este límite existe, se define, en el primer miembro, la integral doble de la función f(x, y) en la 
región R y en el segundo miembro, el primer sumando es la ntegral doble de ls función f(x, y) en la 
región R1 y el segundo sumando es la ntegral doble de ls función f(x, y) en la región R2 Es decir de esta 
manera queda demostrado, bajo las hipótesis planteadas, que: 
 
 
a. Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral 
Continuando con el estudio de las propiedades de la integral doble se enuncia el Teorema del 
Valor Medio del Cálculo Integral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: se denomina valor promedio de la función f(x,y) en la 
región R. 
 
 
Consignas para la revisión de la teoría 
 
Analice, defina, enuncie, desarrolle y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes 
consignas: 
1. Suma de Riemann en integrales simples definidas. 
2. Integrales simples definidas. 
3. Suma de Riemann en integrales dobles. 
4. Tipos de regiones cerradas y acotadas en el plano. 
5. Integrales iteradas 
6. Integral doble sobre un rectángulo. 
7. Integral doble sobre una región general 
8. Propiedades de las integrales dobles 
9. Cálculo de las integrales dobles 
 
 
Consignas para la revisión de la practica 
Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen. 
 
1) Represente en R2 las siguientes regiones de integración: 
0®P
lím å
=
D
n
i
iii Af
1
).,( hx
0®P
lím å
=
D
m
j
jjj Af
1
.),( hx
0®P
lím å
=
D
r
k
kkk Af
1
.),( hx
( ) ( ) ( )òòòòòò +=
21
,,,
RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
( ) ( )dAy,xf
A
1y,xf
R
00 òò=
Teorema. 
Sea f(x,y) una función continua en una región R cerrada y acotada en el plano entonces existe 
por lo menos un punto (x0,y0) en R tal que 
 
donde A es el área de la región R 
 
( ) ( )Ay,xfdAy,xf 00
R
=òò
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 17 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
2) Esquematice gráficamente la región de integración R acotada por las gráficas de las ecuaciones 
dadas: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
 
3) Sea R la región del plano limitada por las curvas y = 2x, y= 2-x y la recta y=8. 
a) Represente gráficamente la región R. 
b) Describa la región R como una región del tipo T1. 
c) Describa la región R como una región del tipo T2. 
 
Rtas: 
b) , 
 
c) 
 
4) Represente la región R limitada por las rectas y = 1, y = 2, y = x, y = x/3. Describa la región R eligiendo 
la dirección más conveniente (Tipo T1 ó T2). 
Rta: 
 
 
( ){ }4≤y≤1-2,≤x≤0/yx,=R
( ){ }x≤y≤0,3≤x≤0/yx,=R
R= x,y( ) / -1≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 +2{ }
( ){ }y≤x≤y-4,≤y≤0/yx,=R
( ){ }3 y≤x≤08,≤y≤0/yx,=R
( ){ }2y≤x≤y2,≤y≤1-/yx,=R 2 +
( ){ }xln≤y≤0e,≤x≤1/yx,=R
( ){ }y≤x≤2-y2,≤y≤1-/yx,=R 2
2xy,4y,2y ===
x2y,xy 2 ==
yeje,xeje,2x,2y x ==
4x,
x
1y,xy ===
( ) 1x
2
1y,1xy 2 +=+=
0y,4x,0x,x1y ===+=
2y1,yx,y1,x-y ===+=
3-y10,-y2,-xy 3 ===
2x-y,y4y2-x 2 +=+=
1y-x1,-yx 22 +==
( ){ }8y2,0x3/y,xR x1 ££££-= - R2 = x, y( ) / 0 ≤ x≤ 3, 2x ≤ y ≤ 8{ }
21 RRR È=
( ){ }ylogxylog,8y1/y,xR 22 ££-££=
( ){ }y3xy,2y1/y,xR ££££=
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 18 
5) Representar la región de integración y determinar los límites de integración para la 
, 
si R está limitada por: 
 
6) De los límites de integración para la . R es la región sombreada 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
òò
R
dA)y,x(f
( ){ }2y1,3x1/y,xR ££-££-=
òò
R
dA)y,x(f
 
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuestas: 
a) ; b) 
 
c) ¸ 
( ) dxdyy,xfdA)y,x(f
2
2
22x
xR
ò òòò
-
+
-
= ( ) dydxy,xfdA)y,x(f
1
2
2y3
1yR
ò òòò
-
-
+
=
( ) dydxy,xfdA)y,x(f
2
0
6y
2yR
ò òòò
+-
=
c) 
d) 
e) f) 
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 20 
d) 
e) 
f) 
 
7) Represente la región de integración R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Expresar 
la como una integral iterada y luego cambia el orden de integración. 
 
Respuestas: 
 a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
8) Represente gráficamente la región de integración correspondiente a la integral iterada: 
( ) ( ) dxdyy,xfdxdyy,xfdA)y,x(f;RRR
1
21
2x3
2x1
2
1
0
2x1
2x3R
21 ò òò òòò
-
-
+=È=
( ) dxdyy,xfdA)y,x(f
3
0
3x22x
3x42xR
ò òòò
++-
+-
=
( ) ( ) dxdyy,xfdxdyy,xfdA)y,x(f;RRR
1
0
0
)x3x(3
0
1
)x3x(3
0R
21 ò òò òòò
--
-
+=È=
òò
R
dA)y,x(f
03yx,x2y,y-3x e)
01-x,1yx,xlny,ey)d
8y,0x,xy)c
2y,0x,xy)b
0y,4x,xy)a
x
3
=++==
==+==
===
===
===
( ) ( ) dydxy,xfdxdyy,xfdA)y,x(f
2
0
4
2y
4
0
x
0R
ò òò òòò ==
( ) ( ) dxdyy,xfdydxy,xfdA)y,x(f
4
0
2
x
2
0
2y
0R
ò òò òòò ==
( ) ( ) dydxy,xfdxdyy,xfdA)y,x(f
8
0
3 y
0
2
0
8
3xR
ò òò òòò ==
( ) ( ) ( ) dydxy,xfdydxy,xfdxdyy,xfdA)y,x(f
e
1
1
yln
1
0
1
y1
1
0
xe
x1R
ò òò òò òòò +==
--
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 21 
 
 
9) Evalúe la integral iterada: 
 
Rtas: a) 163/120; b) 36/5; c) (4e-e4)/2; d) (e2+1)/4; f) -2; g) 1/3; h) 4; i) 32/3; 
j) 
 
 
10) Evalúe la integral doble en la región R: 
a) , R es el rectángulo con vértices (-1,-1); (2,-1); (2,4); (-1,4) . 
Rta: 75/2. 
 
b) , R es la región triangular con vértices (0,0); (3,1); (-2,1). 
dydxy)f(x,)e
dxdyy)f(x,)d
dydxy)f(x,)c
dydxy)f(x,)b
,
dxdyy)f(x,)a
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 yln
ysen
1
-3-
e
xarctg
1-
-2-
y2
y3
1
0-
y
y
2
-1-
2-x
4-x
x
3
2
p
p
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
4
0
3
0
4
0
2
0
2
0
2y-4
0 2
1
0
y
0
2
0
xsen
0
3
0
0
2-
2
e
1
x
0
2
1
x
3x
xy
2
0
y2
2y
2
1
x
x-1
2
,dxdyxsen)j,dydxyx)i
,dydx
y-4
2)h,dydxy-1)g
,dxdy)xcos1()f,dxdyy)x2-yx()e
,dxdyxln)d,dxdye)c
,dydx)y-x4()b,dxdyyx)a
p
p
+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+- 1
2
23
òò +
R
dA)x2y(
òò
R
2 dAyx
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 22 
Rta: 1/2. 
 
c) , 
Rta: -585/8. 
 
d) , 
Rta: . 
e) , R está acotada por las graficas de y = x2; y = 0; x =2. 
Rta: . 
f) , R está acotada por y = x -1; y2 = 2 x + 6. 
Rta: 36 
 
g) , 
 Rta: -19/42 
 
h) , . 
Rta: . 
 
i) , R es la región triangular acotada por y = x; y = 2x; x = 2 Rta: ln(5/2) 
 
j) , R es la región triangular acotada por y = 4 - x; y = 0; x = 0. 
Rta: . 
 
k) , R está acotada por y = 0; y = x2; x = 1. 
Rta: 
 
òò -
R
32 dA)yx3y2( ( ){ }3≤y≤0,2≤x≤1/yx,=R
òò
R
dAyxsen ( ){ }6≤y≤0,4≤x≤1/yx,=R p
( )32
4
15
-
òò
R
3 dA)yx(cosx
( )18cos
3
1
+-
òò
R
dAyx
òò -
R
2 dA)yx2x( ( ){ }x-2≤y≤x,1≤x≤0/yx,=R
òò
R
y
x
dAe ( ){ }3y≤x≤y,2≤y≤1/yx,=R
e2e
2
1 4 -
òò +
R
22
dA
yx
y
òò
R
y dAex
1e3 2 --
òò
R
dAycosx
( )11cos
2
1
+-
Clase Nº 14: Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 23 
l) ,R está acotada por y = x - 6; y2 = x. 
Rta: 500/3 
 
11) Arme una integral para cada orden de integración y usar el orden más conveniente para evaluar 
la integral sobre la región R. 
a) , R es el rectángulo con vértices (0,0); (0,5); (3,5); (3,0). 
Rta: 
b) , R es el trapezoide limitado por y = x; y = 2x; x = 1, x = 2. 
Rta: 
c) , R es el triángulo limitado por y = 4 - x; y = 0; x = 0. 
Rta: 
 
d) , R sector de un círculo en el primer cuadrante limitado por 
y = (25 – x2)1/2 , 3x – 4y = 0, y = 0. 
Rta: ; 
òò
R
3 dAy4
òò
R
dAyx
òò òò ==
3
0
5
0
5
0
3
0
4
225dxdyyx
4
225dydxyx
òò +
R
22 dAyx
y
òò ò òò ò =+++=+
2
1
y
1
4
2
2
2
y
2222
2
1
x2
x
22 2
5ln
2
1dxdy
yx
ydxdy
yx
y;
2
5ln
2
1dydx
yx
y
òò -
R
dAy2
ò ò
-
-
-=-
1
0
2x4
x4
5
6dydxy2
òò
R
dAx
ò ò
-
=
3
0
2y25
3/y4
25dxdyx x dydx+ x dydx= 25
0
25−x2
∫
4
5
∫
0
3x/4
∫
0
4
∫