Clase N 17 Cambio de variables en integrales triples

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Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 17: CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES 
 
 
1. SOPORTE TEÓRICO 
1.1. Introducción 
Señalábamos en la Clase Nº 16, antes de reflexionar sobre el cambio de variables en integrales 
dobles, que al momento de considerar en el sistema de coordenadas cartesiano, estas integrales o 
las triples en particular y las múltiples en general, en algunas de estas, por las propias características 
del sistema de coordenados elegido, su cálculo se tornaba muy dificultoso y en algunos casos no se 
podía encontrar su solución, a pesar de la certeza de su existencia y dábamos un ejemplo de esta 
última situación. Frente a esta realidad y tal como planteamos en esa misma oportunidad, también 
ahora, para las integrales triples, surge la misma inquietud. Suponiendo que la integral triple, 
 
!𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
!
, 
existe y admitiendo que D es una región cerrada en el espacio tridimensional uvw, limitada por una 
superficie formada por la unión de un número finito de superficies uniformes, con la propiedad de 
que a cada punto (u, v, w) ϵ D, le corresponde uno y solo un punto (x, y, z) ϵ R, nos preguntamos si 
existirá una función f*(u ,v, w)) con la propiedad que, 
∭ 𝑓∗(𝑢, 𝑣, 𝑤)	𝑑𝑉# , 
tenga el mismo valor que la anterior, esto es deseamos encontrar f*(u, v, w), de modo tal que: 
!𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
!
	= 		!𝑓∗(𝑢, 𝑣, 𝑤)	𝑑𝑉
#
	 
 Si esto es viable decimos que la integral triple original ha sido resuelta mediante un cambio de 
variables. 
Se pueden establecer las condiciones para las cuales es posible encontrar f*(u, v, w). Para ello 
se hace necesario revisar brevemente algunos conceptos de transformaciones de ℜ3 en ℜ3 y de los 
jacobianos de estas transformaciones. 
1.2. Transformación de ℜ3 en ℜ3 
Suponiendo que D y R son regiones en ℜ3, una función T cuyo dominio es D y su rango es R se 
denomina transformación de D sobre R. Esta transformación T, normalmente se especifica por el 
sistema; 
 
 x = X(u, v, w) 
 T y = Y(u ,v, w) 
 z = Z(u, v, w) 
 
Donde X, Y y Z son funciones cuyos dominios contienen a D y tienen la propiedad de qué; si (u, 
v, w) ϵ D, entonces [X(u,v,w), Y(u,v,w), Z(u,v,w)] ϵ R. La transformación T también se suele expresar 
como; 
T={[(u,v,w),(x,y,z)]/x=X(u,v,w),y=Y(u,v,w),z=Z(u,v,w), (u,v,w)ϵD,(x,y,z)ϵR} 
 
1.3. Jacobiano de una Transformación de ℜ3 en ℜ3 
Siendo T la transformación especificada por el sistema; x = X(u, v, w), 
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nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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y = Y(u, v, w), z = Z(u, v, w), el Jacobiano de la transformación T se representa por 𝐽($,&,'
(,),*
	) y se 
define como: 
𝐽 3
𝑋, 𝑌, 𝑍
𝑢, 𝑣, 𝑤 	7 = 8
8
𝜕𝑋
𝜕𝑢
𝜕𝑋
𝜕𝑣
𝜕𝑋
𝜕𝑤
𝜕𝑌
𝜕𝑢
𝜕𝑌
𝜕𝑣
𝜕𝑌
𝜕𝑤
𝜕𝑍
𝜕𝑢
𝜕𝑍
𝜕𝑣
𝜕𝑍
𝜕𝑤
8
8
 
Tal como vimos en el desarrollo del cálculo diferencial, el 𝐽($,&,'
(,),*
	), es un determinante y en el 
cálculo del jacobiano se hace uso de las propiedades de los mismos. 
Algunas veces el jacobiano, 𝐽($,&,'
(,),*
	), se representa por +($;&;	')
+((,),*)
 
1.4. Inversa de una Transformación de ℜ3 en ℜ3 
Limitaremos nuestra consideración a las transformaciones que satisfagan las siguientes 
condiciones. 
i) La Transformación T estará dada por: x = X(u, v, w), y = Y(u, v, w), z = Z(u, v, w), donde +$
+(
, +$
+)
, 
+$
+*
, +&
+(
, +&
+)
, +&
+*
, +'
+(
, +'
+)
, +'
+*
 son continuas en D. 
ii) El 𝐽 :$,&,'
(,),*
	; ≥ 0 ó 𝐽 :$,&,'
(,),*
	; ≤ 0, para (u, v, w) ϵ D. Bajo estas condiciones la transformación T 
mapea una región cerrada y acotada D sobre una región cerrada y acotada R, de tal manera que uno 
y solo un punto de R corresponde a cada punto de D y la frontera de D mapea, sobre la frontera de 
R. 
 Si el 𝐽 :$,&,'
(,),*
	; ≠ 0, para (u, v, w) ϵ D, existirá una transformación T*, de R sobre D definida por 
el sistema; 
 
u = U(x, y, z) 
 T* v = V(x, y, z) 
 w = W(x, y z) 
 
con (x, y, z) ϵ R, donde +0
+1
, +0
+2
, +0
+3
, +4
+1
, +4
+2
, +4
+3
, +5
+1
, +5
+2
, +5
+3
 son continuas en R y 𝐽 :0,4,5
1,2,3
	; ≠ 0, para (x, 
y, z) ϵ R. Entonces T* se llama, la inversa de la transformación T. Ambas, T y T*, son biunívocas. 
 
1.5. Teorema de Integración con Cambio de Variables de ℜ3 en ℜ3 
Suponiendo que la integral, ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! , existe y sea T una transformación definida por; x 
= X(u, v, w), y = Y(u, v, w), z = Z(u, v, w), con (u, v, w) ϵ D, donde D es una región en ℜ3, la cual se 
transforma sobre R mediante T. Si las funciones X, Y y Z tienen primeras derivadas parciales continuas 
en D y si 𝐽 :$,&,'
(,),*
	; ≠ 0,para (u, v, w) ϵ D, entonces: 
 
!𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
!
=!𝑓[𝑋(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑌(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑍(𝑢, 𝑣, 𝑤)] B𝐽 3
𝑋, 𝑌, 𝑍
𝑢, 𝑣, 𝑤	7B 𝑑𝑉
#
 
 
Este teorema aún es verdadero si 𝐽 :$,&,'
(,),*
	; = 0, en algunos puntos de D, siempre y cuando 
𝐽 :$,&,'
(,),*
	; no cambie de signo en D. 
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Resaltar
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 Hemos visto en la Clase 16 que una integral doble en coordenadas cartesianas puede 
calcularse, usando polares circulares o polares elípticas, mediante una adecuada transformación y 
que, en algunos casos, el cálculo de la integral por estos sistemas resultaban más sencillos. También 
en integrales triples es posible este hecho con el uso de coordenadas cilíndricas circulares, cilíndricas 
elípticas y coordenadas esféricas que trataremos a continuación. Es de hacer notar que existen otros 
cambios de variables que no consideraremos en este trabajo. 
 
2. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS CIRCULARES 
2.1. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Circulares a Cartesianas 
Una transformación T dada por; 
 
 x = r cosθ 
 T y = r senθ 
 z = z 
 
se llama la transformación en coordenadas cilíndricas circulares. Del mismo modo que en el caso de 
coordenadas polares circulares y elípticas en ℜ2, se acostumbra a no hacer uso de un sistema de 
coordenadas rectangulares rθz por separado sino superponerlo con el cartesiano xyz. Estas 
ecuaciones dan la relación entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) y las coordenadas cilíndricas 
circulares (r, θ, z) de un punto P en ℜ3, según se muestra en el siguiente gráfico. 
 
 
 z 
 
 P(x, y, z) 
 P(r, θ, z) 
 z 
 
 x r y y 
 r 
 
 x 
 
 
Entonces la región D en el espacio cilíndrico circular rθz se mapea sobre la región R en el espacio 
tridimensional cartesiano xyz, por la transformación T que acabamos de especificar 
 El jacobiano 𝐽 :1,2,3
6,7,8	
	;, de la transformación T definida, es: 
 
𝐽 3
𝑟𝑐𝑜𝑠θ	, 𝑟𝑠𝑒𝑛θ, 𝑧
𝑟, θ, 𝑧 	7 = 8
8
𝜕(𝑟𝑐𝑜𝑠θ)
𝜕𝑟
𝜕(𝑟𝑐𝑜𝑠θ)
𝜕θ
𝜕(𝑟𝑐𝑜𝑠θ)
𝜕𝑧
𝜕(𝑟𝑠𝑒𝑛θ)
𝜕𝑟
𝜕(𝑟𝑠𝑒𝑛θ)
𝜕θ
𝜕(𝑟𝑠𝑒𝑛θ)
𝜕𝑧
𝜕𝑧𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕θ
𝜕𝑧
𝜕𝑧
8
8
= 	 J
𝑐𝑜𝑠θ −𝑟𝑠𝑒𝑛θ 0
𝑠𝑒𝑛θ 					𝑟𝑐𝑜𝑠θ 0
0 0 1
J 
 
𝐽 :69:;7	,6;<=7,3
6,7,3
	; = r cos2θ + r sen2θ = r(cos2θ + sen2θ) 
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nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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Resaltar
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 4 
 
𝐽 :69:;7,6;<=7,3
6,7,3
	; = r 
 
2.2. Teorema de Integración en Coordenadas Cilíndricas Circulares 
 Si D se mapea sobre R mediante la transformación, x = r cosθ,	y = r senθ, z = z y si r ≥ 0 en D 
entonces, de acuerdo al teorema especificado en el apartado 1.5, se tendrá; 
!𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
!
=!𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟𝑠𝑒𝑛θ, z)𝑟𝑑𝑉
#
 
 Los límites de integración para una integral iterada que nos de la integral del segundo miembro, 
los podemos obtener de las ecuaciones en coordenadas cilíndricas circulares de la región R, si esta 
región tiene ciertas características, dadas en el siguiente teorema. 
 
Teorema: 
 Suponiendo que ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉		! existe. Si R es una región cerrada y acotada cuya proyección 
R’ sobre el plano xy es del tipo Tθ y es la gráfica de; 
{(r, θ)/g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ), a ≤ θ ≤ b}, donde; b – a ≤ 2π y g1(θ) ≥ 0 y si R está limitada superiormente por 
la gráfica, en coordenadas cilíndricas circulares, de z = k2(r, θ ) e inferiormente por z = k1(r, θ ), 
entonces; 
 
!𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
!
=	N N N 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, rsenθ, z)r	dz	dr	dθ
>!(#,%)
>'(#,%)
?!(%)
?'(%)
@
A
 
 
Cuando se evalúa una integral ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! , usando este teorema decimos que la hemos 
calculado mediante coordenadas cilíndricas circulares 
 
Ejemplo: 
 Si R es la región definida por: x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ x2 + y2, calcular ∭ xByB𝑑𝑉! . 
 
Solución: 
 Usamos el cambio de variables de cartesianas a cilíndricas circulares. La región R en ℜ3 será; x2 
+ y2 = r2cos2θ + r2sen2θ = 1, entonces queda; r2 = 1. 
0 ≤ z ≤ x2 + y2, 0 ≤ z ≤ (r2cos2θ + r2sen2θ), obteniéndose; 0 ≤ z ≤ r2. La región R’ en ℜ2, que es la 
proyección de R en el plano xy será; r = 1 
El integrando x2 y2 = r2cos2θ r2sen2θ, entonces; 
x2 + y2 = r4 cos2θ sen2θ= r4	CDE
!B7
F
 
 Usando el teorema propuesto en el apartado 2.2. tendríamos que; 
!xByB𝑑𝑉
!
=	N N N rF
senB2θ
4 	r	dz	dr	d
6!
G
H
G
BI
G
θ 
 
!xByB𝑑𝑉
!
=	N N N rJ
senB2θ
4 	dz	dr	d
6!
G
H
G
BI
G
θ 
Integrando respecto de z se obtiene; 
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nahue
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Resaltar
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Resaltar
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 5 
!xByB𝑑𝑉
!
=	
1
4N N 𝑟
K
H
G
BI
G
	senB2θ	dr	dθ 
 
Integrando respecto de r tendremos; 
!xByB𝑑𝑉
!
=	
1
32N sen
B2θ	dθ	
BI
G
	 
 
Finalmente integrando respecto de θ, obtenemos el resultado final. 
!xByB𝑑𝑉
!
=	
𝜋
32 
 
3. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS ELIPTICAS 
3.1. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Elípticas a Cartesianas 
Una transformación T dada por; 
 
 x =a r cosθ 
 T y = b r senθ , 
 z = z 
 
se denomina la transformación en coordenadas cilíndricas elípticas. Del mismo modo que en el caso 
de coordenadas polares circulares y elípticas en ℜ2 y de las coordenadas cilíndricas circulares ℜ3, se 
acostumbra a no hacer uso de un sistema de coordenadas rectangulares rθz por separado sino 
superponerlo con el cartesiano xyz. Estas ecuaciones dan la relación entre las coordenadas 
cartesianas (x, y, z) y las coordenadas cilíndricas elipticass (r, θ, z) de un punto P en ℜ3, según se 
muestra en el siguiente gráfico. 
 
 
 z 
 
 P(x, y, z) 
 P(r, θ, z) 
 z 
 
 x θ r y b y 
 a 
 
 x 
 
 
 
Entonces la región D en el espacio cilíndrico elíptico rθz se mapea sobre la región R en el 
espacio tridimensional cartesiano xyz, por la transformación T que acabamos de especificar 
 El jacobiano 𝐽 :1,2,3
6,7,8
	;, de la transformación T definida es: 
 
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𝐽 3
𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ, 𝑧
𝑟, θ, 𝑧 	7 = 8
8
𝜕(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ)
𝜕𝑟
𝜕(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ)
𝜕θ
𝜕(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ)
𝜕𝑧
𝜕(𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ)
𝜕𝑟
𝜕(𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ)
𝜕θ
𝜕(𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ)
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕θ
𝜕𝑧
𝜕𝑧
8
8
= J
𝑎	𝑐𝑜𝑠θ −𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛θ 0
𝑏𝑠𝑒𝑛θ 𝑏𝑟𝑐𝑜𝑠θ 0
0 0 1
J 
 
𝐽 :A69:;7,@6;<=7,3
6,7,3
	; = abr cos2θ + abr sen2θ = abr(cos2θ + sen2θ) 
 
𝐽 :69:;7,6;<=7,3
6,7,3
	; = abr 
 
3.2. Teorema de Integración en Coordenadas Cilíndricas Elípticas 
Si D se mapea en R mediante la transformación x = a r cosθ,	y = b r sen	θ, z = z y si r ≥ 0 en D 
entonces, de acuerdo al teorema especificado en el apartado 1.5, se tendrá; 
!𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
!
=!𝑓(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ, z)𝑎𝑏𝑟𝑑𝑉
#
 
 
 Los límites de integración para una integral iterada que nos de la integral del segundo miembro, 
los podemos obtener de las ecuaciones en coordenadas cilíndricas elípticas de la región R si esta 
región tiene ciertas características , dadas en el siguiente teorema. 
 
Teorema: 
 Suponiendo que ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! existe. Si R es una región cerrada y acotada cuya proyección 
R’ sobre el plano xy es una región que es la gráfica, en coordenadas polares elípticas del plano , de 
{(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, c≤ θ ≤ d}, donde; d – c ≤ 2π, entonces, si R está limitada superiormente por la 
gráfica, en coordenadas cilíndricas elípticas z = k2(r, θ ) e inferiormente por z = k1(r, θ ), entonces; 
 
!𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
!
=	NN N 𝑓(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ, brsenθ, z)abr	dz	dr	dθ
>!(#,%)
>'(#,%)
H
G
L
9
 
 
Cuando se calcula una integral ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! , usando este teorema decimos que la hemos 
calculado mediante coordenadas cilíndricas elípticas. 
 
Ejemplo: 
 Si R es la región definida por: 1B
F
 + 2B
M
 = 1, 0 ≤ z ≤ 1B	
F
+ 2B
M
, calcular ∭ xB𝑑𝑉! . 
Solución: Usamos el cambio de variables de cartesianas a cilíndricas elípticas. La región R en ℜ3 será; 
1B
F
 + 2B
M
 = r2cos2θ + r2sen2θ = 1, entonces queda; r = 1. 
0 ≤ z ≤ 1B
F
 + 2B
M
, 0 ≤ z ≤ (r2cos2θ + r2sen2θ), obteniéndose; 0 ≤ z ≤ r2. La región R’ en ℜ2, que es la 
proyección de R en el plano xy será; r = 1y el integrando: x2 = 4r2cos2θ 
 Usando el teorema propuesto en el apartado 3.2. tendremos que; 
 
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Resaltar
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Resaltar
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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!xB𝑑𝑉
!
=	N N N 4	rB	cosBθ	6r	dz	dr	d
6!
G
H
G
BI
G
θ 
 
!xB𝑑𝑉
!
= 	24N N N rN	cosBθ	dz	dr	d
6!
G
H
G
BI
G
θ 
 
Integrando respecto de z se obtiene; 
!xB𝑑𝑉
!
= 	24N N 𝑟J
H
G
BI
G
	cosBθ	dr	dθ 
 
Integrando respecto de r tendremos; 
!xByB𝑑𝑉
!
= 	4N cosBθ	dθ	
BI
G
	 
 
Por último integrando respecto de θ, obtenemos el resultado final. 
!xByB𝑑𝑉
!
= 	4𝜋 
 
4. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADASESFÉRICAS 
4.1. Transformación de Coordenadas Esféricas a Cartesianas 
Una transformación T dada por; 
 
 x =ρ cosθ senφ 
T y = ρ senθ senφ, 
 z = ρ cosφ 
 
se llama la transformación en coordenadas esféricas. Del mismo modo que en el caso de coordenadas 
polares circulares y elípticas en ℜ2 y de las coordenadas cilíndricas circulares y elípticas en ℜ3, se 
acostumbra a no hacer uso de un sistema de coordenadas rectangulares ρθφ por separado sino 
superponerlo con el cartesiano xyz. Bajo esta condición las ecuaciones dadas en T, dan la relación 
entre las coordenadas cartesianas xyz y las coordenadas esféricas ρθφ de un punto P en ℜ3, según 
se muestra en el siguiente gráfico. 
 
 z 
 
 
 P(x, y, z) 
 φ P(ρ, θ, φ) 
 ρ z 
 O 
 x θ r y 
 y 
 
 x 
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 8 
Las coordenadas esféricas ρθφ de un punto P, en un sistema de coordenadas esféricas, son las 
coordenadas del punto en el sistema rectangular ρθφ que se mapea en P por la transformación T. 
Esto es, cualquier tríada (ρ,θ,φ) serán las coordenadas esféricas del punto P(x,y,z), si la tríada (ρ,θ,φ) 
satisface al sistema dado en T. 
Entonces la región D en el espacio esférico ρθφ se mapea sobre la región R en el espacio 
tridimensional cartesiano xyz, por la transformación T que acabamos de especificar 
Convenimos en seleccionar, 
ρ ≥ 0 y φ ϵ [0, 𝜋]. 
 
 Por consideraciones trigonométricas vemos que las coordenadas esféricas ρθφ, de un punto P 
se interpretan de la siguiente manera: ρ es la distancia entre el origen O y el puno P; θ es el ángulo 
entre la parte positiva del eje x y la proyección del segmento OP sobre el plano xy; φ es el ángulo, (0 
≤ φ ≤ 𝜋) entre la parte positiva del eje z y el segmento OP. 
La ecuación de una superficie en coordenadas esféricas se obtiene de una ecuación de la 
superficie en coordenadas cartesianas usando las ecuaciones dadas por T. 
 El jacobiano 𝐽 :1,2,3
O,7,P
	;, de la transformación T definida, es: 
 
𝐽 :1,2,3
O,7,P
	; = 𝐽 :O	QRC7	CDEP,			O	CDE7	CDEP,			O	QRCP
O,7,P
	; 
 
𝐽 3
𝑥, 𝑦, 𝑧
ρ, θ, φ	7 = 	 J
	𝑐𝑜𝑠θ	senφ −ρ	senθ	senφ ρ	𝑐𝑜𝑠θ	cosφ
	senθ	senφ 𝜌	𝑐𝑜𝑠θ	senφ ρ	senθ	cosφ
	cosφ 0 −ρ	senφ
J 
 
𝐽 :1,2,3
O,7,P
	; = -ρ2 cos2θsen3φ–ρ2 sen2θcos2φ senφ–ρ2cos2θ cos2φsenφ–ρ2sen2θsen3φ 
𝐽 :1,2,3
O,7,P
	; = -ρ2 senφ (cos2θ sen2φ + sen2θ cos2φ + cos2θ cos2φ + sen2θ sen2φ) 
𝐽 :1,2,3
O,7,P
	; = -ρ2 senφ [cos2θ (sen2φ + cos2φ) + sen2θ (cos2φ + sen2φ)] 
𝐽 :1,2,3
O,7,P
	; = -ρ2 senφ (cos2θ + sen2θ) 
𝐽 :1,2,3
O,7,P
	; = -ρ2 senφ 
 
4.2. Teorema de Integración en Coordenadas Esféricas 
Entonces, de acuerdo al teorema especificado en el apartado 1.5, si D se mapea en R 
mediante la transformación T y si ρ2 senφ, no cambia de signo en D se tendrá; 
!𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
!
=!𝑓(ρcosθsenφ, ρsenθsenφ, ρcosφ)ρBsenφ	𝑑𝑉
#
 
 Ya que hemos convenido en que ρ ≥ 0 y 0 ≤ φ ≤	𝜋, entonces ρ2senφ ≥ 0, en cualquier región 
D. Los límites de integración para una integral iterada que podamos usar para calcular la integral del 
segundo miembro se obtiene de las ecuaciones, en coordenadas esféricas, de la región R, si dicha 
región tiene determinadas características que se describen en el siguiente teorema: 
 
Teorema: 
 Suponiendo que ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! existe y que también están definidas dos funciones k1 y k2 
de dos variables independientes, dos funciones g1 y g2 de una variable independiente y números 
Highlight
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 9 
reales a y b con la propiedad que R es acotada por las gráficas de ρ = k1(θ, φ), ρ = k2(θ, φ), θ = g1(φ), 
θ = g2(φ), φ = a y φ = b, esto es R es la gráfica de; 
{(ρ, θ, φ) / k1(θ, φ) ≤ ρ ≤ k2(θ, φ), g1(φ) ≤ θ ≤ g2(φ), a ≤ φ ≤ b} 
 
 Si ρ2senφ no cambia de signo en R, entonces; 
 
!𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
!
N N N 𝑓(ρcosθsenφ, ρsenθsenφ, ρcosφ)ρBsenφ	𝑑𝜌	𝑑𝜃	𝑑𝜑
SB(7,P)
SH(7,P)
TB(P)
TH(P)	
@
U
 
 
Los papeles de θ y φ se se pueden intercambiar y el teorema aún es cierto. Cuando se calcula 
una integral ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! , usando este teorema decimos que la hemos calculado mediante 
coordenadas esféricas. 
 
Ejemplo: 
 Calcular ∭ 𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉! , donde R es la semiesfera de radio 1. 
Solución: De acuerdo al teorema enunciado en el apartado 4.2, para este caso particular tendremos 
que: 
!𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 =
!
N N N(ρcosθsenφ)(ρsenθsenφ)(ρBcosB𝜑)ρBsenφ	𝑑𝜌	𝑑𝜃	𝑑𝜑
H
G
BI
G	
I
G
 
 
!𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 =
!
N N NρV(cosθ	senθ)(senBφ	cosB𝜑)	senφ	𝑑𝜌	𝑑𝜃	𝑑𝜑
H
G
BI
G	
I
G
 
 
!𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 =
!
N N NρV
𝑠𝑒𝑛2θ
2
H
G
BI
G	
I
G
𝑠𝑒𝑛B2𝜑
4 	senφ	𝑑𝜌	𝑑𝜃	𝑑𝜑 
 
!𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 =
!
N N NρV
𝑠𝑒𝑛2θ
2
H
G
BI
G	
I
G
𝑠𝑒𝑛B2𝜑
4 	senφ	𝑑𝜌	𝑑𝜃	𝑑𝜑 
 
 
Integrando respecto de 𝜌; 
!𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 =
!
1
56N N 𝑠𝑒𝑛2𝜃
BI
G	
I
G
	senB2φ	senφ	𝑑𝜃	𝑑𝜑 
 
Integrando respecto de θ: 
 2π 
Como, ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃BIG	 	𝑑𝜃 = −
9:;BW
B
 = 0, entonces; 
 0 
!𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 =
!
	0 
Highlight
Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
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Consignas para la revisión de la teoría 
 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes consignas: 
1. Transformación de ℜ3 en ℜ3 
2. Jacobiano de una Transformación de ℜ3 en ℜ3 
3. Teorema de Integración con Cambio de Variables de ℜ3 en ℜ3 
4. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Circulares a Cartesianas 
5. Teorema de Integración en Coordenadas Cilíndricas Circulares. 
6. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Elípticas a Cartesianas 
7. Teorema de Integración en Coordenadas Cilíndricas Elípticas 
8. Transformación de Coordenadas Esféricas a Cartesianas 
9. Teorema de integración en Coordenadas Esféricas 
 
Consignas para la revisión de la práctica 
 
Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen: 
1. Use la transformación x = u2, y = v2, z= w2, para calcular ∫∫∫𝑑𝑉, donde 
 R 
R es la región acotada por la superficie. √𝑥 + i𝑦 + √𝑧 = 1 y los planos coordenados. 
Rta: 1/6 
 
2. Utilice coordenadas cilíndricas circulares para evaluar 
N N N
1
1 + 𝑥B + 𝑦B 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
H
G
XFY2!
2
√B
G
 
Rta: (π/8)ln5. 
 
3. Evalúe la integral triple ∭ i𝑥B + 𝑦B! 	𝑑𝑉 donde R es la región limitada por las superficies 
 𝑧 = 	i𝑥B + 𝑦B	, z=1 y los planos coordenados x=0, y=0. 
 
Rta: π/24 
 
4. Utilice el cambio de coordenadas más adecuado para calcular: 
NNNyzdV 
 R 
donde R es l región que esta encima del plano z = 0, debajo del plano z = y, y dentro delcilindro 
circular recto, 𝑥B +	𝑦B = 4 
Rta: 64/15 
 
5. Utilice el cambio de coordenadas más adecuado para calcular: 
NNNdV 
 R 
donde R es la región encerrada por la porción de esfera de radio 2, del primer octante. 
Rta: (4/3)π. 
 
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6. Calcule ∭ 𝑒[1!\2!\3!]
( !)
! 𝑑𝑣 donde R es la región interior al cono 𝑧 = i𝑥
B + 𝑦B y debajo 
de la esfera 𝑥B + 𝑦B + 𝑧B = 1 
Rta: H
N
(𝑒 − 1). :− √B
B
+ 1; . 2𝜋 
 
7. Utilice el cambio de coordenadas más adecuado para calcular: 
NNNdV 
 R 
donde R es la región encerrada por la porción del elipsoide, 9x2 + 9y2 + 4z2 = 36 del primer octante. 
Rta: 2π 
 
8. Evalúe la integral triple ∭ √𝑥B + 𝑧B! 	𝑑𝑉 donde R es la región limitada por las superficies 
𝑦 = 	𝑥B + 𝑧B	, y=1. 
Rta: π/6