Clase N 19 Aplicaciones en integrales triples

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Clase Nº 19: Aplicaciones de las Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 19: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 
 
 
Tal como señalábamos al inicio de la clase 18, en el momento de presentar las aplicaciones de 
las integrales dobles, donde planteábamos que se pueden emplear para tratar múltiples problemas 
en las distintas áreas del conocimiento, como la Economía, la Estadística, la Ecología, etc., este 
concepto también es válido para las integrales triples. Con lo cual nos vemos en la necesidad de 
aclarar también en esta ocasión que, por la necesidad de acotar el presente trabajo a los objetivos 
planteados y porque nos interesan las ciencias ligadas a la ingeniería, centraremos la atención, 
aunque no exhaustivamente, en solo dos ámbitos de usos de las integrales triples: las aplicaciones 
geométricas y las aplicaciones físicas. 
 
1. APLICACIONES GEOMÉTRICAS 
1.1. Cálculo de Volúmenes 
En el apartado 3.1., de la clase 15, tras analizar los elementos intervinientes en una integral 
triple, como ser, región cerrada y acotada R perteneciente al dominio de una función u = f(x, y, z), la 
partición interna P de R, en n paralelepípedos de volumen ∆Vi, para i = 1, 2, . . ., n, y de norma ‖𝑃‖. 
Hemos acordado que la integral triple de la función f sobre la región R, se define como el límite de la 
suma de Riemann, dada por; 
𝑓(𝜉!, 𝜂!, 𝛾!)Δ𝑉! + 	𝑓(𝜉", 𝜂", 𝛾")Δ𝑉"+	.				.				. +	𝑓/𝜉#, 𝜂#,𝛾#0Δ𝑉# =	2𝑓/𝜉% , 𝜂%,𝛾%0Δ𝑉%
#
%&!
 
cuando la norma ‖𝑃‖, de la partición de R, tiende a cero. 
 Ahora le asignamos un contenido geométrico a cada uno de los elementos intervinientes en 
esta definición. En esta oportunidad vamos a considerar la función particular f(x, y, z) = 1 definida en 
una región cerrada y acotada R ϵ R3. 
a) Sabemos que los Δ𝑉%, con i = 1, 2, . . ., n, son los volúmenes de cada uno de los n 
paralelepípedos de la partición interna P de la región R. 
b) Las 𝑓/𝜉% , 𝜂%,𝛾%0 = 1, son los valores que toma la función correspondiente a cada punto 
/𝜉% , 𝜂%,𝛾%0 perteneciente al i-ésimo paralelepípedo de la partición, con volumen ΔV', todo esto 
para i = 1, 2, . . ., n. Entonces la suma de Riemann para este caso particular será: 
1. Δ𝑉! + 	1. Δ𝑉"+	.				.				. +	1. Δ𝑉# =	21. Δ𝑉%
#
%&!
 
c) Entonces, geométricamente, cada sumando de este caso particular de la suma de Riemann, 
1. Δ𝑉% , para i = 1, 2, . . ., n, se puede considerar como el volumen de cada uno de los 
paralelepípedos en que fue particionada la región R, de acuerdo a lo expresado en el punto 
a). 
d) Bajo las condiciones indicadas, geométricamente, para este caso específico, la suma de 
Riemann, ∑ 1. Δ𝑉%#%&! estará dando el volumen VR aproximado de la región R. 
e) Se comprende que cuando la norma ‖𝑃‖ de la partición de R se haga menor esta suma de 
Riemann aproximará mas al volumen VR de R. 
f) Evidentemente el lim
‖)‖→+
∑ 1. Δ𝑉%#%&! , que obviamente define la integral triple de f(x, y, z) = 1, 
será exactamente el volumen de R. 
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En consecuencia, geométricamente, la integral triple para el caso particular que el integrando 
f(x, y, z) = 1, es el volumen VR ,de la región de integración R. Por lo tanto: 
𝑉, 	= 	9𝑑𝑉
,
 
 Tal como lo expresamos en la clase 18, en ocasión de analizar las distintas aplicaciones de las 
integrales dobles, se debe tener en cuenta que al momento de resolver esta integral triple particular 
se aplicaran las técnicas de cálculo que hemos estado usando hasta ahora, que también incluye, si se 
considera necesarios, los cambios de variables estudiados en la clase 17. Obviamente al tener el 
integrando igual a 1, en general, es de esperar que las integrales triples sean más sencillas que 
aquellas donde el integrando es una función. 
 
Ejemplo: 
Hallar el volumen de la región dada por los puntos interiores de x2 + y2 = 9, encima del plano z 
= 0 y debajo del plano x + z = 4. 
Solución: Según la consigna planteada, esta región es un cilindro circular recto de radio 3, con eje 
paralelo al eje z, limitado inferiormente por el plano z =0 (plano xy) y superiormente por el plano 
oblicuo paralelo al eje y que corta a z en 4. Según se muestra en la figura siguiente. 
 z 
 
 
 x + z = 4 
 4 
 3 x2+ y2 = 9 
 3 
 3 y 
 x 
Entonces, según lo estudiado en el desarrollo teórico, se tendrá: 
𝑉, 	= 	9𝑑𝑉
,
 
𝑉, =	 ; ; ; dz	dx	dy
-./
+
01.2!
.01.2!
3
.3
 
𝑉, =	 ; ; (4 − x)dx	dy
01.2!
.01.2!
3
.3
 
𝑉, = 	8 ;C9 −	𝑦"
3
.3
𝑑𝑦 
nahue
Resaltar
nahue
Resaltar
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 3 
𝑉, = 36𝜋 
2. APLICACIONES FÍSICAS 
2.1. Masa y Peso de un Sólido de Densidad Variable 
Así como en la clase 18, hemos dado una definición de lámina plana que nos sirvió para analizar 
algunas aplicaciones físicas de las integrales dobles, ahora se hace necesario precisar a qué le 
llamamos un sólido. Es un cuerpo tridimensional que, a diferencia de los líquidos y los gases, presenta 
forma propia, delimitado por superficies 
De aquí en más, cuando consideremos un sólido R, esto significará que proponemos un cuerpo físico 
tridimensional real delimitado por superficies, a deferencia de la lámina plana que la conceptualizamos como un 
elemento físico idealizado de dos dimensiones. 
 Esquemáticamente un sólido puesto en sistema de coordenados cartesianos en R3, se muestra en la siguiente 
figura., 
 
 z 
 
 z ∆M 
 
 
 R ∆V 
 
 o 
 x y 
 y 
 x 
 
 
 
 La densidad de un sólido es la medida de la masa por unidad de volumen, como gr/cm3 o kg/dm3. Si 
un cuerpo tiene una densidad que varía punto a punto según los valores que toma la función 
 δ = δ(x, y, z). 
Por ser, 
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) 	= 	𝑙𝑖𝑚
∆5→+
∆6
∆5
 , 
entonces, 
δ(x, y, z) =		86
85
, 
 
dM = δ(x, y, z) dV, 
 
con lo que se obtiene, por la interpretación física de este caso particular de la suma de Riemann, 
que la masa total del sólido es; 
𝑀 =9δ(x, y, z)dV
,
				 
Para el cálculo del peso P de esta lámina plana, basta recordar que el peso específico ρ, es 
igual a la densidad δ por la aceleración de la gravedad g. De esta manera; 
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 4 
ρ (x, y, z) = g δ(x, y, z), 
con lo que concluimos que; 
𝑃 =9ρ(x, y, z)dV
,
 
𝑃 =𝑔9δ(x, y, z)dV
,
 
Ejemplo: 
Determinar la masa y el peso del sólido limitado por x + y + z = 1 y los planos coordenados en 
el primer octante, sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional al cuadrado de su 
distancia al plano yz. 
Solución: Según los datos disponibles en el enunciado, la función densidad es; δ(x,y,z) = k x2, siendo 
k la constante de proporcionalidad. Gráficamente el problema planteado se puede esquematizar de 
la siguiente manera: 
 
 z 
 
 
 1 
 
 z = 1- x -y 
 
 
 1 
 1 
 y = 1- x y 
 
 x 
 
Entonces: 
𝑀 =9δ(x, y, z)dV
,
 
𝑀 =9k	x"dV
,
 
𝑀 = 	k; ; ; 	x"	dz	dy	dx
!.9.:
+
!.9
+
!
+
 
𝑀 = 	𝑘; ; (𝑥"
!.9
+
!
+
− 𝑥3 − 𝑥"𝑦)	𝑑𝑦	𝑑𝑥 
𝑀 = 𝑘;(
𝑥"
2	
!
+
– 𝑥3 +
𝑥-
2 )	𝑑𝑥 
nahue
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nahue
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𝑀 =	
𝑘
60 
 
𝑃 = 	
𝑘	𝑔
60 
 
2.2. Momento Estático de un Sólido de Densidad Variable con Respecto a los Planos Coordenados 
Cartesianos 
Los momentos estáticos elementales, o de primer orden elementales, que produce la masa dM 
= δ(x, y, z) dV, dIxy, dIxz y dIyz con respecto a los planos coordenados xy, xz, yz , respectivamente, del 
sistema cartesiano en R3, son iguales al producto de dM por las correspondientes distancia z, y, x, a 
los mencionados planos. De esta manera tendremos; 
 
 z 
 
 
 y x xx 
 x 
 R dM 
 z 
 o 
 
 y 
 
 x 
 
 
a) dIxy es el producto de dM por la distancia “z” al plano xy. 
dIxy = z dM = z δ(x, y, z) dV 
Entonces el momento estático total del sólido R respecto al plano xy será: 
𝐼9: =	9z	δ(x, y, z)	dV
,
 
b) dIxz es el producto de dM por la distancia “y” al plano xz. 
dIxz = y dM = y δ(x, y, z) dV 
Entonces el momento estático total del sólido R respecto al plano xz será: 
𝐼9; =	9y	δ(x, y, z)	dV
,
 
c) dIyz es el producto de dM por la distancia “x” al plano yz. 
dIyz = x dM = x δ(x, y, z) dV 
Entonces el momento estático total del sólido R respecto al plano yz será: 
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𝐼:; =	9x	δ(x, y, z)	dV
,
 
 
2.3. Momentos de Inercia de un Sólido de Densidad Variable Respecto de los Planos Coordenados 
Cartesianos 
Los momentos de inercia elementales, o de segundo orden elementales, que produce la masa 
dM = δ(x, y, z) dV, dJxy, dJxz y dJyz, con respecto a los planos coordenados xy, xz, yz , respectivamente, 
del sistema cartesiano, son iguales al producto de dM por las correspondientes distancias al cuadrado 
z2, y2, x2, a los mencionados planos. De esta manera tendremos; 
 
 z 
 
 
 y x xx 
 
 R dM 
 z 
 o 
 
 x y 
 x 
 
a) 
b) dJxy es el producto de dM por la distancia “z”, al cuadrado, del plano xy. 
 dJxy = z2 dM = z2 δ(x, y, z) dV 
Entonces el momento de inercia total del sólido R respecto al plano xy será: 
𝐽9: =	9z"	δ(x, y, z)	dV
,
 
c) dJxz es el producto de dM por la distancia “y” al cuadrado del plano xz. 
dJxz = y2 dM = y2 δ(x, y, z) dV 
Entonces el momento de inercia total del sólido R respecto al plano xz será: 
𝐽9; =	9y"	δ(x, y, z)	dV
,
 
d) dJyz es el producto de dM por la distancia “x”al cuadrado del plano yz. 
dJyz = x2 dM = x2 δ(x, y, z) dV 
Entonces el momento de inercia total del sólido R respecto al plano yz será: 
𝐽:; =	9x"	δ(x, y, z)	dV
,
 
 
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2.4. Coordenadas del Centro de Masa de un Sólido de Densidad Variable 
El centro de masa de un sólido es aquel punto geométrico de la misma en donde se considera 
concentrada toda la masa y corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que 
forman el cuerpo, de tal manera que si este se apoyara en ese punto permanecería en equilibrio. De 
este concepto surge una importante ley física, esto es; “Los momentos estáticos con respecto a los 
planos paralelos a los coordenados cartesianos, que pasan por el centro de masa, son iguales a cero”. 
Considerando el siguiente gráfico de un sólido R con centro de masa Cm, de coordenadas (xc, 
yc, , zc) y los ejes paralelos a los cartesianos X, Y , Z que se interceptan en Cm. 
 
 z Z 
 z 
 
 
 Y 
 X Cm 
 zc R d M 
 
 
 o 
 xc yc y 
 x y 
 x 
 
 
 
De acuerdo la ley física enunciada, que cumple el centro de masa, se tendrá: 
a) IYZ = 0, entonces; 
9(𝑥 −	𝑥<
,
)𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 0 
9𝑥
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 −9𝑥<
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 0 
9𝑥
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 𝑥<9𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)
,
𝑑𝑉 
𝑥< =
∭ 𝑥,𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑑𝑉
 
b) IXZ = 0 
9(𝑦 −	𝑦<
,
)	𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 0 
9𝑦
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 −9𝑦<
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 0 
9𝑦
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 𝑦<9𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)
,
𝑑𝑉 
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 8 
𝑦< =
∭ 𝑦, 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑑𝑉
 
c) IXY = 0 
9(𝑧 −	𝑧<
,
)	𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 0 
9𝑧
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 −9𝑧<
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 0 
9𝑧
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 𝑧<9𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)
,
𝑑𝑉 
𝑧< =
∭ 𝑧, 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
∭ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑑𝑉
 
 
Ejemplo: 
 Determinar las coordenadas del centro de masa del sólido limitado por z = 4–x2 y el plano y 
= 1, solo en el primer octante, si la densidad es proporcional a la distancia al plano xy. 
Solución: Entonces la función densidad es: 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘	𝑧, donde k es la constante de 
proporcionalidad y el sólido dado es la porción de cilindro parabólico z=4–x2, con generatrices 
paralelas al eje y, cortado por los planos coordenados y el plano y=1. Entonces gráficamente 
tendremos; 
, 
 z 
 
 4 
 
 
 z = 4-x2 
 
 
 
 2 1 
 x y 
 
 
 
a) Determinación de xc. 
De acuerdo a lo deducido, 	𝑥< =
∭ 9" >(9,:,;)85
∭ >(9	(,:,;)" 85
 
 
Como el denominador es común a las tres coordenadas que se deben determinar, lo calculamos 
en primer lugar. 
9𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
,
=	; ; ; 𝑘
-.9!
+
𝑧
!
+
"
+
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 
nahue
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 9 
9𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
,
=	
𝑘
2; ; (4 − 𝑥
")"𝑑𝑦𝑑𝑥
!
+
"
+
 
9𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
,
=
𝑘
2; (16
"
+
− 8𝑥" + 𝑥-)𝑑𝑥 
9𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
,
=
𝑘
2	(32 −
64
3 +
32
5 ) 
 
9𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
,
=
128
15 	𝑘 
 
Resolviendo el numerador de la expresión para calcular xc, se tiene; 
9𝑥
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 	; ; ; 𝑥𝑘
-.9!
+
𝑧
!
+
"
+
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 
9𝑥
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 	
𝑘
2; ; 𝑥
!
+
"
+
(4 − 𝑥")"𝑑𝑦𝑑𝑥 
9𝑥
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 	
𝑘
2; 𝑥
"
+
(4 − 𝑥")"𝑑𝑥 =
𝑘
2; (16𝑥
"
+
− 8𝑥3 + 𝑥A)𝑑𝑥 
9𝑥
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝑘
2 (32 − 32 +	
32
3 ) 
9𝑥
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 	
16
3 	𝑘 
 
En consecuencia xc, será: 
 
 𝑥< =
#$
% 	B
#!&
#' 	B
 x(	 = 	0,625 
 
b) Determinación de yc. 
De acuerdo a lo expresado en la teoría.		𝑦< =
∭ :" >(9,:,;)85
∭ >(9,:,;)" 85
 
Como ya lo manifestamos anteriormente el denominador es común a las tres coordenadas que 
se desean determinar y ya está calculado, entonces resolvemos solo el numerador. 
 
9𝑦
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ; ; ; 𝑦𝑘𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
-.9!
+
!
+
"
+
 
9𝑦
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝑘
2; ; 𝑦(4 − 𝑥
")"
!
+
"
+
𝑑𝑦𝑑𝑥 
9𝑦
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝑘
4; (16 − 8𝑥
"
"
+
+ 𝑥-)𝑑𝑥 
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 10 
9𝑦
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 	
𝑘
4 (32 −
64
3 +
32
5 ) 
9𝑦
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 	
𝑘
4 (32 −
64
3 +
32
5 ) 
9𝑦
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = 	
64
15 𝑘 
 
Por {o tanto yc, será; 
 
𝑦* =	
64
15𝑘
128
15 	𝑘
												
												𝒚𝒄 = 	𝟎, 𝟓 
 
c) Determinación de zc. 
Según dedujimos en el desarrollo teórico; 𝑧< =
∭ ;" >(9,:,;)85
∭ >(9,:,;)" 85
 
Como en los casos anteriores solo calculamos el numerador puesto que el denominador ya está 
resuelto. 
Entonces tendremos que: 
 
9𝑧
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ; ; ; 𝑧𝑘𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 =
-.9!
+
!
+
"
+
𝑘 ; ; ; 𝑧"𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 =
-.9!
+
!
+
"
+
 
9𝑧
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝑘
3; ; (
!
+
"
+
4 − 𝑥")3𝑑𝑦𝑑𝑥 
9𝑧
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝑘
3; (4 − 𝑥
")3𝑑𝑥
"
+
 
9𝑧
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝑘
3; (64 − 48𝑥
" + 12𝑥- − 𝑥C)𝑑𝑥
"
+
 
9𝑧
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝑘
3 \128 − 128 +
384
5 −
128
7 ^ 
9𝑧
,
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
2048
35
𝑘
3 
 
Entonces zc será: 
 
 
𝑧< =
2048
35
𝑘
3
128
15 	𝑘
																 
 
		𝑧< = 2,286 
 
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Consignas para la revisión de la teoría 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes consignas: 
1. Cálculo de volúmenes con integrales triples. 
2. Masa y Peso de un sólido de densidad variable. 
3. Momentos estáticos con respecto a los planos coordenados cartesianos de un sólido de 
densidad variable. 
4. Momentos de Inercia con respecto a los planos y al origen, en el sistema de coordenadas 
cartesianas, de un sólido de densidad variable. 
5. Cálculo de las coordenadas del centro de masa de una de un sólido de densidad variable. 
 
Consignas para la revisión de la práctica 
Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen: 
1. Calcular el volumen de una esfera de radio R. 
Rta: 𝑉, =	
-
3
πR3 
2. Calcular el volumen del elipsoide, 9
!
D!
+ :
!
E!
+ ;
!
<!
= 1 
Rta: 𝑉, =	
-
3
πabc 
3. Utilice coordenadas esféricas para determinar el volumen del sólido que está encima del 
cono 𝑧 = C𝑥" + 𝑦" y debajo de la esfera 𝑥" + 𝑦" + 𝑧" = 𝑧. Rta: 𝜋/8 
4. Determine la masa y el peso de una región determinada por x + y + z = 1 y los planos 
coordenados en el primer octante, sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional al 
cuadrado de su distancia al eje z. 
Rta: M=k/30 
 
5. Un sólido S está dentro del cilindro 	𝑥" + 𝑦" = 1,		 debajo del plano z=4 y encima del 
paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥" − 𝑦". La densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia al eje 
del cilindro. Determine la masa de S. Rta: !"FB
A
 
 
6. Determine las coordenadas del centro de masa de un cono circular recto de altura h, con 
radio la de base; a. (Coloque al cono de manera que su base esté en el plano xy, con centro en el 
origen y su eje a lo largo del eje positivo z) 
Rta: Cm(0, 0, h/4) 
 
7. Calcule el momento de inercia del cono del ejercicio anterior respecto del eje z. 
8. Determine el volumen del tretraedro sólido de con vértices (0, 0, 0), 
(0, 0, 1), (0, 2, 0) y (2, 2, 0) 
Rta: V = 2/3 
9. Halle el momento de inercia respecto del eje de simetría del sólido limitado por el paraboloide 
𝑧 = 𝑥" + 𝑦" y el plano z=4. La densidad en cada punto es proporcional a la distancia entre el punto 
y el eje z. Rta: A!"
3A
. 𝑘. 𝜋