Resumen 2 parcial (4, 5 y 6)

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1 
 
 
 
El problema de aprovisionar y almacenar bienes es abordado por la IO a través de un área denominada 
GESTIÓN DE STOCKS. La cual, implica: 
 Almacenar: guardar bienes que se utilizarán en un futuro próximo (ya sea para producir otros bienes 
o para comercializar). 
 Aprovisionar: adquirir aquella cantidad de bienes necesarios, de acuerdo a lo requerido (demanda) y 
a la capacidad de almacenar. 
 
Estos conceptos, nos implican un costo que vamos a querer minimizar, por ello, vamos a tener que tomar 
ciertas decisiones: ¿Cuánto comprar? ¿Cuándo comprar? ¿Cuánto almacenar? 
 
Para poder aprovisionar es fundamental conocer la DEMANDA, es decir, conocer el requerimiento que 
se le hace al almacén (ya sea de materiales para la producción, de bienes para la venta o de insumos para 
la utilización). En definitiva, es necesario determinar el número de unidades que sale del inventario por 
unidad de tiempo (diariamente, semanalmente, mensualmente, etc) 
 
¿De dónde sacó esta información? 
 Si se trata de una empresa en marcha: sistemas de información, notas de pedidos, facturas, etc. 
 Si se trata de un proyecto nuevo: debemos basarnos en estimaciones realizadas en la formulación y 
evaluación del proyecto. 
 
Suponiendo que se trata de una empresa en marcha, es posible imaginar que, estudiando la salida de un 
determinado producto, se encuentre con la siguiente situación para la demanda por unidad de tiempo: 
 
 
Podemos observar que el producto posee una variabilidad pequeña, y si se realiza un ajuste lineal de los 
datos, puede resultar que la función que mejor los representa sea una recta, por ende, podemos 
considerar que la demanda por unidad de tiempo (h) es CONSTANTE. 
Entonces, se puede decir, que la recta y = 50 representa la demanda del artículo por unidad de tiempo, 
por lo cual: 
y = h = 50 
 
 
2 
 
COMPORTAMIENTO DEL APROVISIONAMIENTO Y DEL STOCK 
Bajo el supuesto de demanda constante por unidad de tiempo: en el eje de abscisas se representa a la 
variable tiempo y en el de ordenadas el nivel del Stock en función al transcurso del tiempo. 
 
- Suponemos que la compra (aprovisionamiento) de un artículo es una 
cantidad fija cada cierto tiempo. Como la demanda es constate, el stock va 
disminuyendo en forma lineal hasta agotarse. Cuando esto sucede, se vuelve 
a provisionar un conjunto de unidades y comienza nuevamente el proceso. 
 
 
- Suponemos que la producción de un artículo es a ritmo constante. Se 
produce una cantidad mayor que la que se retira en el almacén, por lo que 
se generará un excedente que al cabo de un período alcanza un nivel 
deseado (óptimo), entonces, la producción se detiene hasta que el stock es 
consumido por la demanda, iniciándose el proceso nuevamente 
 
 
PRINCIPALES VARIABLES 
Demanda: 
 n(t): es la DEMANDA, es decir, es la cantidad de unidades salidas del almacén en un momento del 
tiempo t. Se representa por medio de h. 
 N(t): es la DEMANDA ACUMULADA, es decir, es la cantidad de unidades salidas del almacén hasta un 
momento del tiempo t. Se representa por medio de ht. 
 
Aprovisionamiento: 
 q(t): es la COMPRA, es decir, es la cantidad de unidades ingresadas al almacén en un momento del 
tiempo t. Se representa por medio de q. 
 Q(t): es la COMPRA ACUMULADA, es decir, es la cantidad de unidades ingresadas al almacén hasta un 
momento del tiempo t. 
 
Stock: 
 s(t): es la cantidad almacenada en un momento del tiempo t. El mismo resulta de la diferencia entre 
la cantidad de unidades ingresadas, Q(t), y la cantidad de unidades salidas del almacén, N(t): Q(t) – N(t) 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
3 
 
 
También conocido como LEO, es el modelo más sencillo y elemental de la Gestión de Stocks. 
Algunas personas consideran que este modelo no se ajusta con una situación real, sin embargo, permite 
modelizar cualquier tipo de situación incorporando distintas variantes, por ello, se convirtió en el modelo 
básico de la Gestión de Stocks. 
Su objetivo es hallar el valor de la variable que indica cuánto provisionar y cuándo hacerlo, de manera de 
minimizar el costo. 
 
1) Se fija un período finito de análisis para el problema: 𝑻 
2) La demanda en todo ese período es una cantidad CIERTA Y CONOCIDA: 𝑵(𝑻) = 𝑵 
3) La demanda por unidad de tiempo es constante: 𝒉 =
𝑵
𝑻
 
 
Ejemplo: N = demanda en 1 año, T = 365 días, h = demanda por día. 
 
4) El tiempo de reaprovisionamiento () es igual a 0, es decir, al momento de realizar el pedido nuestro 
proveedor instantáneamente deposita el pedido en el almacén (supuesto muy lejano a la realidad, sin 
embargo, lo vamos a corregir e incorporar una herramienta para considerar que el tiempo de 
aprovisionamiento es ≠ 0). 
5) El aprovisionamiento es fijo (q) cada t1 unidades de tiempo (“período elemental”), es decir, siempre 
se compra la misma cantidad. 
 
 
Aprovisionamos una cantidad fija (q unidades) que se 
consumen a un ritmo constante (h) durante un período (t1). En 
ese momento (t1), el stock se agota, entonces, 
instantáneamente se aprovisionan q unidades (ya que el 
supuesto de tiempo de aprovisionamiento es = 0). 
El proceso se repite cada t1 unidades de tiempo (período 
elemental). 
 
 
 
 Costo de compra (c0): costo de cada unidad de producto ($ de compra). 
 Costo de pedido (cp): costo en el que se incurre por emitir y recibir un pedido. 
 Costo de almacenamiento (cs): costo que implica almacenar una unidad en una unidad de tiempo. 
 
𝑪𝑻 = 𝒄𝒐 + 𝒄𝒑 + 𝒄𝒔 
 
ACLARACIÓN: NO se incluyen los costos de oportunidad, ya que los mismos implican una decisión previa 
a la compra. 
 
 Función objetivo: COSTO TOTAL. 
 Variables de decisión: 
 q = cantidad a aprovisionar cada t1 unidades de tiempo  ¿Cuánto provisionar? 
 t1 = momento en el que se deben aprovisionar q unidades  ¿Cuándo provisionar? 
 
TOTAL 
almacenado 
4 
 
DETERMINACIÓN DE COSTOS PARA UN PERÍODO ELEMENTAL (t1): 
 Costo de compra en [0, t1]: compramos q unidades a un costo de c0, por lo tanto: 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 = 𝑐0 ∗ 𝑞 
 
 Costo de pedido en [0, t1]: se realiza un único pedido de q unidades a un costo de cp, por lo tanto: 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝑐𝑝 
 
 Costo de almacenamiento en [0, t1]: la cantidad almacenada varía en cada momento del tiempo (va 
disminuyendo). El total almacenado está representado por la superficie del triángulo (base*altura/2), ya 
la demanda es constante. 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑐𝑠 ∗
𝑡1 ∗ 𝑞
2
 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑠
𝑞
2
𝑡1 
 
Si la demanda no fuera constante, para poder determinar el costo de almacenamiento (para cualquier 
tipo de función) necesitamos calcular el área. Para ello, es necesario integrar la función de stock 
(llegamos al mismo resultado). 
- Función de stock: S(t) = q – ht 
∫ 𝑐𝑠 ∗ 𝑆(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑡1
0
∫ 𝑐𝑠 ∗ (𝑞 − ℎ𝑡)𝑑𝑡
𝑡1
0
 
 
DETERMINACIÓN DEL COSTO TOTAL PARA TODO EL PERÍODO (T): 
Debo sumar los costos de cada uno de los períodos elementales contenidos en T, entonces: 
 
 ¿Cuántos períodos elementales hay en T? 
𝒗 =
𝑇
𝒕𝟏
=
𝑁
𝒒
 
 
 ¿Cuál de las variables debo seleccionar? 
𝒒 = ℎ𝑡1 𝑦 𝒕𝟏 =
𝑞
ℎ
= 𝑞
𝑇
𝑁
 
 
Ambas están vinculadas, sin embargo, primero seleccionamos q (cantidad a comprar) y después t1 
(cuando comprar). 
 
Determinación de costo total seleccionando la variable “q”: 
 Costo de compra en T: 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 = 𝑐0 ∗ 𝑞 ∗ 𝒗 = 𝑐0 ∗ 𝑞 ∗
𝑵
𝒒
 → 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒂 = 𝒄𝟎 ∗ 𝑵 
 
 Costo de pedido en T: 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝑐𝑝 ∗ 𝒗 = 𝑐𝑝 ∗
𝑵
𝒒
 
 
 Costo de almacenamiento en T: 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚. = 𝑐𝑠 ∗
𝑞
2
𝑡1 ∗ 𝒗 = 𝑐𝑠 ∗
𝑞
2
∗ 𝑡1 ∗
𝑻
𝒕𝟏
 → 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒍𝒎. = 𝒄𝒔 ∗
𝒒
𝟐
∗ 𝑻 
 
 Costo total en T: 
𝑪(𝒒) = 𝒄𝟎 ∗ 𝑵 + 𝒄𝒑 ∗
𝑵
𝒒
+ 𝒄𝒔 ∗
𝒒
𝟐
∗ 𝑻 
 
 
 
 
FUNCIÓN OBJETIVO 
(Cantidad de pedidos) 
 
 
 
5 
 
Para hallar
el valor de q para el cual el CT es mínimo suponemos que C (q) es una función continua y 
derivable, entonces, podemos aplicar la optimización por diferenciación: tenemos una variable 
independiente y una variable dependiente, por ello, aplicamos el criterio de la derivada: 
 Derivada 1° = 0. 
 Derivada 2° > 0, encontramos el mínimo. 
 
EN DEFINITIVA: 
 
Ejemplo: a una empresa que comercializa artículos de electricidad, le interesa determinar una política de 
compra para el cable blanco que se comercializa por metro. Datos: 
- Demanda anual: N = 74884,50 mts. 
- Costo de compra: C0 = 51 por mts. 
- Costo de pedido: Cp = 1000 
- Costo de almacenamiento: Cs = 2,70 por mts por mes. 
- Período de análisis: 12 meses. 
 
𝑞0 = √
2 ∗ 1000 ∗ 74884,50
2,70 ∗ 12
= 𝟐𝟏𝟓𝟎 𝒎𝒕𝒔. 
𝑪𝑻 = 𝟑. 𝟎𝟏𝟗. 𝟏𝟑𝟓, 𝟓𝟎 + 𝟑𝟒. 𝟖𝟑𝟎 + 𝟑𝟒. 𝟖𝟑𝟎 = 𝟑. 𝟖𝟖𝟖. 𝟕𝟔𝟗, 𝟓𝟎 
C. pedido = C. almacenamiento 
c0 desaparece ya que no depende de q 
6 
 
 
¡SIEMPRE EN EL q ÓPTIMO EL COSTO DE PEDIDOS ES IGUAL AL COSTO DE ALMACENAMIENTO! Pero no 
siempre el mínimo relativo (corte de cp y cs) coincide con el mínimo absoluto (min de c0) 
 
 
Es más amplio que el modelo anterior y admite la ruptura en el stock, es decir, no poseemos stock para 
satisfacer toda la demanda, por lo tanto, vamos a tener demandas insatisfechas en forma transitoria (ya 
que va a estar insatisfecha durante un cierto periodo de tiempo, y cuando nos volvamos a aprovisionar 
satisfaceremos esa demanda pendiente). 
La ruptura es una cantidad de demanda insatisfecha que se acumula durante un cierto período que va 
desde que se agota el inventario hasta que se recibe el aprovisionamiento. 
 
Su objetivo es hallar el valor de la variable que indica cuánto provisionar, cuándo hacerlo, y CUANTO 
ALMACENAR de manera de minimizar el costo, CONSIDERANDO UNA RUPTURA O DEMANDA 
INSATISFECHA. 
 
 
El único supuesto que lo diferencia del Modelo de Provisión Perfecta es la posibilidad de planificar una 
demanda insatisfecha con el objetivo de  el nivel de stock, y por ende, almacenar menos cantidad. 
 
 
cp q 
cs q 
7 
 
 
 
 Costo de compra (c0): costo de cada unidad de producto ($ de compra). 
 Costo de pedido (cp): costo en el que se incurre por emitir y recibir un pedido. 
 Costo de almacenamiento (cs): costo que implica almacenar una unidad en una unidad de tiempo. 
 Costo de ruptura (cr): costo que implica la demanda insatisfecha por unidad en una unidad de tiempo. 
 
𝑪𝑻 = 𝒄𝒐 + 𝒄𝒑 + 𝒄𝒔 + 𝒄𝒓 
 
 Variables de decisión: posee más variables de decisión, ya que admite rupturas planificadas. 
 q = cantidad a aprovisionar cada t1 unidades de tiempo  ¿Cuánto provisionar? 
 t1 = momento en el que se deben aprovisionar q unidades  ¿Cuándo provisionar? 
 S = cantidad a almacenar en t2 unidades de tiempo  ¿Cuánto almacenar? 
 t2 = momento en el que se agotan las S unidades (período de almacenamiento)  ¿Cuándo 
provisionar? 
 R = cantidad de unidades de demanda insatisfechas (ruptura máxima admitida). 
 t3 = período en el cual la demanda esta insatisfecha (período de ruptura). 
 
 
DETERMINACIÓN DE COSTOS PARA UN PERÍODO ELEMENTAL (t1): 
 Costo de compra en [0, t1]: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 = 𝑐0 ∗ 𝑞 
 
 Costo de pedido en [0, t1]: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝑐𝑝 
 
 Costo de almacenamiento en [0, t1]: el total almacenado en t2 varía en cada momento del tiempo, para 
poder determinar el costo de almacenamiento necesitamos calcular la superficie del triángulo. Para ello, 
es necesario integrar la función de stock. 
- Función de stock: S(t) = s – ht 
∫ 𝑐𝑠 ∗ 𝑆(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑡2
0
∫ 𝑐𝑠 ∗ (𝑠 − ℎ𝑡)𝑑𝑡
𝑡2
0
 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑐𝑠
𝑠
2
𝑡1 
 
 Costo de ruptura en [0, t1]: para calcular la ruptura en t3, debo integrar la función de ruptura. 
- Función de ruptura: R(t) = ht – s (es la inversa de la F. de stock) 
∫ 𝑐𝑟 ∗ 𝑅(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑡3
𝑡2
∫ 𝑐𝑟 ∗ (ℎ𝑡 − 𝑠)𝑑𝑡
𝑡3
𝑡2
 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑐𝑟
𝑞 − 𝑠
2
𝑡2 
 
 
DETERMINACIÓN DEL COSTO TOTAL PARA TODO EL PERÍODO (T): 
Debo sumar los costos de cada uno de los períodos elementales contenidos en T, entonces: 
 
 ¿Cuántos períodos elementales hay en T? 
𝒗 =
𝑇
𝑡1
=
𝑁
𝑞
 
 
 ¿Cuál de las SEIS variables seleccionar? 
 
- t1: es una función de q. 
- t2: es una función de S. 
- R: es una función de q y S. 
- t3: es una función de q y S. 
Ídem modelo de previsión perfecta 
Las únicas var. indp. son q y S 
8 
 
Determinación de costo total, seleccionando las variables q y S: 
 Costo de compra en T: 
 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒂 = 𝒄𝟎 ∗ 𝑵 
 
 
 Costo de pedido en T: 
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 = 𝒄𝒑 ∗
𝑵
𝒒
 
 
 Costo de almacenamiento en T: 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚. = 𝑐𝑠
𝑠
2
𝑡2 ∗ 𝒗 = 𝑐𝑠
𝑠
2
𝑡2 ∗
𝑵
𝒒
= 𝑐𝑠
𝑠
2
𝑠 ∗
𝑇
𝑁
∗
 𝑁
𝑞
  
 
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒍𝒎. = 𝒄𝒔
𝑺𝟐
𝒒
𝑻
𝟐
 
 Costo de ruptura en T: 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑐𝑟
𝑞 − 𝑆
2
𝑡3 ∗ 𝒗 = 𝑐𝑟
𝑞 − 𝑆
2
𝑡3 ∗
𝑵
𝒒
= 𝑐𝑟
𝑞 − 𝑆
2
(𝑞 − 𝑆)
𝑇
𝑁
∗
 𝑁
𝑞
  
 
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒖𝒑𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝒄𝒓
(𝒒 − 𝑺)𝟐
𝒒
𝑻
𝟐
 
 
 Costo total en T: 
𝑪(𝒒, 𝑺) = 𝒄𝟎 ∗ 𝑵 + 𝒄𝒑 ∗
𝑵
𝒒
+ 𝒄𝒔
𝑺𝟐
𝒒
𝑻
𝟐
+ 𝒄𝒓
(𝒒 − 𝑺)𝟐
𝒒
𝑻
𝟐
 
 
 
Suponemos que C (q, S) es una función continua y derivable, entonces, podemos aplicar la optimización 
por diferenciación, y arribamos a: 
 
 
A partir de q y S podemos determinar la ruptura máxima: 
 
 
¿Existe alguna relación entre estas tres variables: q0 S0 y R0? 
¡SI! Esta dada por la tasa de ruptura: 
𝑻𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒖𝒑𝒕𝒖𝒓𝒂: 𝝆 =
𝒄𝒓
𝒄𝒔 + 𝒄𝒓
 
 
Es la relación entre el costo de ruptura y el costo de almacenamiento. Asume un valor entre 0 y 1: 
 ρ = 0: no existe ruptura, sólo existe el costo de almacenamiento. 
 ρ = 1: el costo de ruptura es muy elevado y el costo de almacenamiento es pequeño. Todos los valores 
óptimos se igualarán, y por ende, se daría la misma situación que en el Modelo de Previsión Perfecta (NO 
SE DA ESTA SITUACIÓN). 
FUNCIÓN OBJETIVO 
 
 
 
 
9 
 
¿Qué proporción del total comprado (q0) vamos a almacenar? 
Está definida por la tasa de ruptura. Es decir, esta tasa nos define del total comprado (q0) cuánto 
tendríamos que almacenar y cuánto tendríamos que admitir de demanda insatisfecha. Por ende: 
 
Conocido el valor de q0: 
 Almaceno  𝑆0 = 𝑞0 ∗ 𝜌 
 Ruptura máxima permitida  𝑅0 = 𝑞0 ∗ (1 − 𝜌) 
 
Podemos determinar el valor de las demás variables 
Conocido el valor de q0 y So: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: a una empresa que comercializa artículos de electricidad, le interesa determinar una política de 
compra para el cable blanco que se comercializa por metro. Datos: 
- Demanda anual: N = 74884,50 mts. 
- Costo de compra: C0 = 51 por mts. 
- Costo de pedido: Cp = 1000 
- Costo de almacenamiento: Cs = 2,70 por mts por mes. 
- Costo de ruptura: Cr = 45 por mts. al año. 
- Período de análisis: 12 meses. 
𝜌 =
45
32,40 + 14
= 𝟎, 𝟓𝟖𝟏𝟑𝟗 
 
𝑞0 = 2150 + √
1
0,58139
= 𝟐𝟖𝟏𝟗, 𝟕𝟎 𝒎𝒕𝒔. 
 
𝑆0 = 2150 ∗ √0,58139 = 𝟏𝟔𝟑𝟗, 𝟑𝟔 𝒎𝒕𝒔 
 
𝑅0 = 2018,70 − 1639,36 = 𝟏𝟏𝟖𝟎, 𝟑𝟒 𝒎𝒕𝒔. 
 
𝐶𝑇 = 3.819.109,50 + 26.557,61 + 15.440,48 + 11.117,16 
 
 
Con respecto al modelo anterior: 
- q0 es más alto, es decir, compramos más cantidad (en menos veces). 
- S0 es más bajo, es decir, almacenamos menos. 
- En el límite cuando el costo de ruptura es muy elevado el modelo deja de admitir ruptura y “cae 
despacio” en el Modelo de Previsión Perfecta. 
 
 
Periodicidad de los 
aprovisionamientos. 
Hasta que momento voy 
a tener stock. 
Tiempo durante el cual se 
genera la ruptura. 
Mismo Mod. Prev. Perfecta 
El COSTO DE RUPTURA y el 
COSTO DE ALMACENAMIENTO 
deben estar en la misma 
unidad de tiempo. 
10 
 
Pretenden acercar los modelos
tradicionales (PP y CR) a la realidad, ya que poseen supuestos que pueden 
no presentarse en ella. 
 
Variantes que se observan en la realidad y se pueden adecuar en los modelos: 
 El costo de compra por unidad co es una función del volumen de cada pedido q. 
𝑐0 = 𝑎 +
𝑏
𝑞
 
 
Es un precio base (a) más un adicional (b) que depende del volumen de compra (q) 
 
 El costo de almacenamiento es un costo fijo más un costo por cada unidad monetaria inmovilizada en 
el stock: 
𝑐𝑠 = 𝑎 + 𝑏𝑐0 
 El costo de pedido es igual a una constante más una parte proporcional del volumen de cada pedido. 
𝑐𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑞 
 
 El precio de compra varia “por saltos”, según el volumen de cada pedido q: 
𝑐01 𝑠𝑖 0 < 𝑞 < 𝑎 
𝑐02 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑞 < 𝑏 
𝑐03 𝑠𝑖 𝑏 ≤ 𝑞 
 
Este caso, se presenta con gran frecuencia y se lo denomina “descuento o bonificaciones por cantidad”. 
Se tendrían tantas curvas de CT como precios se definan. 
Cada precio define una sección de la curva de CT, y el valor que optimiza el CT se encuentra en el MÍNIMO 
ABSOLUTO. 
 
Ejemplo: 
 
Parte fija 
Parte variable 
El q0 ya no se encuentra en 
el punto donde el costo de 
pedido se iguala al costo 
de almacenamiento 
(mínimo relativo) porque 
tenemos variantes. 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 τ: tiempo de reaprovisionamiento o tiempo que se demora el proveedor en entregar un pedido. 
 
En los dos modelos básicos (PP y CR) se supuso que el aprovisionamiento es INMEDITO, donde τ = 0. 
Sin embargo, siempre va a existir una demora en el aprovisionamiento, por ello τ ≠ 0. 
 
Entonces, ¿cuándo debo realizar el pedido para evitar quedarme sin stock y satisfacer la demanda? 
En general, las empresas poseen sistemas de control de stock, donde registran el nivel de stock al inicio 
o al cierre de un día, sin embargo, es factible incorporar un NIVEL DE REORDEN. 
 
Es una herramienta que nos permite definir el momento en que tenemos que hacer un pedido, de modo 
de evitar la ruptura (en el modelo de PP) o no superar R máximo (en el modelo de CR). 
Como no es posible “contar los días” que faltan para hacer un pedido el NIVEL DE REORDEN se define 
como la cantidad almacenada que indica el momento de emitir un pedido de aprovisionamiento. 
NR = m0 
 
 
 
 (τ) 
Es decir, el proveedor me informa con certeza que su pedido llegará en exactamente X días. En esta 
situación, es sencillo establecer el nivel de reorden, ya que será IGUAL A LA DEMANDA DEL PERÍODO τ: 
m0 = hτ 
 
Ejemplo: τ = 5 días. 
 h = 6 unidades. 
Es decir, cuando el stock llegue a 30 unidades debo realizar un pedido (independientemente si ocurre 
antes del día 17-5 o después – ya que la demanda puede presentar pequeñas variaciones –) 
 
Modelo de previsión perfecta 
 
m0 = 6 * 5 = 30 
 
12 
 
 (τ) 
 
Es decir, el proveedor me puede entregar el pedido a los 2, 3, 4, … días, por ello, determinar el nivel de 
orden no es sencillo (no es fácil determinar un nivel de stock que asegure no caer en ruptura). Debo 
investigar los posibles plazos de entrega del proveedor con sus respectivas probabilidades de ocurrencia. 
 
 
 
 
Supongamos que el proveedor puede demorar entre 2 a 9 días en entregar un pedido y la probabilidad 
de que ocurra cada plazo de entrega es la misma. Es decir: τ es ALEATORIA con DISTRIBUCIÓN UNIFORME 
entre 2 y 9 
 
 
 
τ TIENE UNA COTA SUPERIOR (es decir, no puede superar un cierto valor) 
Podemos afirmar que τ es una variable acotada superiormente, ya que NO EXISTE PROBABILIDAD DE 
QUE OCURRA UN VALOR MÁXIMO A 9. 
Entonces, puedo fijar el nivel de reorden igual a la demanda máxima (τMAX = 9) y nunca tendré demanda 
insatisfecha (ruptura = 0): 
 τMAX = 9 días. 
 h = 6 unidades. 
Es decir, en la situación ideal (h se repite todos los días), cuando el stock llegue a 54 unidades debo 
realizar un pedido (en el día 17 – 9) 
 
 
CONSECUENCIAS: 
¿Qué pasaría si realizamos el pedido en ese momento (17-9) y el proveedor me entrega el pedido, PERO 
2 días después? 
Tendríamos en stock S (10) = 6 * 7 = 42, y en ese momento ingresan q = 102 unidades, por lo tanto, 
nuestro stock pasa a tener 144 unidades. A partir de allí, comienza a operar nuevamente la demanda, y 
se observa un crecimiento del triángulo que representa las unidades almacenadas, por ende: 
 STOCK MEDIO y lleva a que  COSTO DE ALMACENAMIENTO y que  COSTO TOTAL 
¿QUÉ NIVEL DE REORDEN 
FIJO? 
 m0 = 6 * 9 = 54 
 
Distribución uniforme 
 
13 
 
 
 
CONCLUSIÓN: si bien es una alternativa válida, se debe tener en cuenta que el costo de almacenamiento 
puede incrementarse significativamente, entonces, NO RESULTA CONVENIENTE FIJAR UN NIVEL DE 
REORDEN IGUAL A LA DEMANDA MÁXIMA (τMAX). 
Debo buscar otra alternativa que permita realizar una compensación entre el costo de almacenamiento 
y el costo de ruptura. 
 
 
 
 
 
Es decir: τ es ALEATORIA con DISTRIBUCIÓN NORMAL y NO posee cota (por lo cual, no resultará sencillo 
fijar un nivel de reorden) 
Supongamos que el tiempo de reaprovisionamiento se distribuye NORMAL con una media igual a 3,3 
días y un desvío de 1,2 días. Gráficamente: 
 
 
Entonces, si ¿fijamos un nivel de reorden igual a la demanda media en el periodo τ? 
 τ = 3,3 días. 
 h = 6 unidades. 
 
Es decir, cuando el stock llegue a 19,8 unidades debo realizar un pedido (en el día 17 – 3,3). 
Distribución normal 
 
Si bien los valores superiores a 7 y 
menores a 0 tienen poca probabilidad de 
ocurrir, NO TIENE PROBABILIDAD CERO. 
 m0 = 6 * 3,3 = 19,8 
 
14 
 
 
CONSECUENCIAS 
Si τ es NORMAL, m también es NORMAL. Es decir, m (demanda en T) se distribuye normal con media 
igual a 19,8 (h*media) y un desvío de 7,2 (desvío en t*h), en lenguaje matemático: 
𝑚 = ℎ𝜏 ~ 𝑁(19,8; 7,2) 
 
¿Cuál es la probabilidad de que la demanda en el período τ sea menor al nivel de reorden (m0)? 
𝑷(𝒎 ≤ 𝒎𝟎 = �̅�) = ? 
Definir dicha probabilidad me indica la probabilidad de caer (o no) en ruptura (de dejar insatisfecha 
demanda mientras espero el pedido). Calcular la probabilidad de una variable normal es sencillo: 
 
𝑚𝑜 = �̅� = 6 ∗ 3,3 = 19,8 
𝑷(𝒎 ≤ 𝒎𝟎 = �̅�) = 𝟎, 𝟓𝟎 
 
Es decir, la probabilidad de NO CAER EN RUPTURA (situada a 
la izquierda de la media) si fijo un nivel de reorden igual a la 
media y se distribuye en forma normal es igual a 0,50 es 
muy alto, entonces, tendríamos que disminuir tal 
probabilidad. 
 
 
¿Podemos aumentar el nivel de reorden para que la probabilidad de ruptura disminuya? 
Si, podemos incorporar al valor medio, lo que denominamos STOCK DE SEGURIDAD: 
 
 
𝒎𝒐 = �̅� + 𝑺𝑺 
 
Es una cantidad en el stock que incrementa la probabilidad de NO CAER EN RUPTURA 
a un nivel deseado 1 – α. 
 
Ejemplo: fijamos una probabilidad de no caer en ruptura de 0,90: 
𝑃(𝑚 ≤ 𝑚0) = 1 − 𝛼 = 0,90 
 
¿Cuál es el valor de m0 que corresponde a una probabilidad de 0,90? 
Como m tiene distribución normal: 𝑚 = ℎ𝜏 ~ 𝑁(�̅�; 𝜎𝑚)  𝑚 = ℎ𝜏 ~ 𝑁(19,8; 7,2), se puede asociar: 
𝑷(𝒛 ≤ 𝒛𝟎) = 𝟏 − 𝜶 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒛𝟎 =
𝒎𝟎 − �̅�
𝝈𝒎
 
Z0 lo buscamos en la tabla de probabilidades normales y si despejamos: 
𝒎𝟎 = �̅� + 𝒛𝟎 ∗ 𝝈𝒎 
𝑚0 = 19,8 + 1,2815 ∗ 7,2 = 29,03 
 
Es decir, cuando el stock alcance el nivel de 29,03 se emite una orden de pedido q=1200 unidades, y nos 
garantiza que en el 90% de los casos NO tendremos ruptura. 
 1 – α: prob. de 
NO caer en 
ruptura. 
 α: prob. de caer 
en ruptura. 
15 
 
 
 
FIJANDO EL NIVEL DE REORDEN, TOMANDO EL VALOR MEDIO DE LA DEMANDA EN EL PERÍODO τ MÁS 
EL STOCK DE SEGURIDAD, NIVELAMOS LOS COSTOS DE ALMACENAMIENTO Y DE RUPTURA, Y DE ESA 
FORMA EN EL 90% (en este ejemplo) DE LOS CASOS NO CAEREMOS EN RUPTURA. 
 
𝒎𝒐 = �̅� + 𝑺𝑺  𝒎𝒐 = �̅� + 𝒛𝒐 ∗ 𝝈𝒎 
 
Esta forma es válida cuando: τ aleatoria, acotada. 
 τ, aleatoria NO acotada. 
 
 τ cierta y determinada: el nivel de reorden será igual a la demanda del período τ: m0 = hτ 
 τ aleatoria: 1°:
se fija una probabilidad deseada de NO CAER EN RUPTURA (1-α) 
 2°: determinar el nivel de reorden tomando el valor medio de la demanda en el período 
τ más el stock de seguridad, que garantiza esa probabilidad: 𝒎𝒐 = �̅� + 𝒛𝒐 ∗ 𝝈𝒎 
 
 
 
 
La situación es la misma, SÓLO debemos considerar la ruptura máxima admitida, R. 
Ahora, consideramos al nivel de reorden (m0) como la cantidad almacenada o demanda insatisfecha que 
indica el momento de emitir el pedido de aprovisionamiento. 
 
 τ cierta y determinada: el nivel de reorden será: m0 = hτ – R 
 τ aleatoria: el nivel de reorden será: 𝒎𝒐 = �̅� + 𝒛𝒐 ∗ 𝝈𝒎 − 𝑹 
 
 
 
En los dos modelos básicos (PP y CR) se supuso que la demanda en el período de análisis era un valor 
CIERTO Y CONOCIDO, sin embargo, puede tratarse de un valor ALEATORIO, con una DISTRIBUCIÓN DE 
PROBABILIDAD CONOCIDA. 
 
 N (demanda en el período T) es una variable aleatoria discreta  probabilidad acumulada. 
 N (demanda en el período T) es una variable aleatoria continua  función de distribución. 
 
 
SS 
Modelo de compra con ruptura 
 
16 
 
 
 
 
Permite determinar la cantidad a aprovisionar o producir (q) en problemas de aprovisionamiento de 
artículos de estación y de demanda diaria. 
 
SUPUESTOS 
 Existe un período finito de tiempo, T, CORTO: un día, una semana o una temporada corta. 
Ejemplo: los productos navideños poseen una temporada corta (15 días) y el pan posee una temporada 
diaria. No aplica, por ejemplo, para toda la temporada de invierno o verano (que duran meses). 
 Se realiza un ÚNICO APROVISIONAMIENTO al inicio del período T (es decir, no se pueden hacer 
reposiciones del producto). 
 La demanda es aleatoria discreta con una distribución de probabilidad conocida. 
 
AL FINAL DEL PERÍODO T, PUEDE OCURRIR: 
 q < N: Faltante 
 q > N: Excedente 
 q = N: Ideal 
 
Implican costos 
 q < N: Faltante  costo por cada unidad faltante al final del período T = Cf. 
Representa el importe que se deja de ganar por no tener artículos para satisfacer la demanda (costo de 
oportunidad) o algún costo adicional que sea necesario para satisfacer una demanda (por ejemplo, 
generalmente los pedidos urgentes tienen un costo adicional) 
 
 q > N: Excedente  costo por cada unidad sobrante al final del período T = Ce. 
Representa el importe que se deja de ganar por vender los artículos a un precio de oferta o algún costo 
que no se recupera por la devolución de mercadería (generalmente, cuando se devuelve algún producto 
el proveedor no reembolsa el 100% del mismo). 
 
 q = N: Ideal  no implica costos, ya que NO SE CONSIDERA el costo de compra (porque no “juega” 
con la cantidad demandada), ni el costo de pedido (ya que se realiza un único pedido), ni el costo de 
almacenamiento (ya que no existe almacenamiento, sólo se tiene en stock los artículos necesarios para 
satisfacer la demanda de la temporada). 
 
Por lo tanto, el CT dependerá de q y N, y puede asumir 3 posibles valores: 
 𝑐𝑒 ∗ (𝑞 − 𝑁) 
 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝐺(𝑞, 𝑁) 0 
 𝑐𝑓 ∗ (𝑁 − 𝑞) 
 
Es una variable aleatoria ya que depende de N (que es una variable aleatoria) y no es sencillo determinar 
el costo mínimo a partir de una variable aleatoria. 
 
Posibles alternativas: 
 Optimización por diferenciación: NO, ya que sólo se aplica a variables ciertas. 
 Búsqueda: NO, ya que sólo se aplica a variables ciertas. 
 Simulación: SI, es posible (obtendríamos el costo mínimo promedio), sin embargo, puede ser mucho 
trabajo. 
 Podemos establecer como función objetivo la ESPERANZA MATEMÁTICA DEL CT. 
 
Media o promedio del CT, se la denomina así porque la expresamos como una función. 
Modelo con demanda aleatoria discreta 
 
Dependerán del comportamiento 
de la demanda, es decir, de la 
distribución de prob. 
17 
 
𝐹𝑈𝑁𝐶𝐼Ó𝑁 𝑂𝐵𝐽𝐸𝑇𝐼𝑉𝑂 = 𝐸𝑆𝑃𝐸𝑅𝐴𝑁𝑍𝐴 𝑀𝐴𝑇𝐸𝑀Á𝑇𝐼𝐶𝐴 𝐷𝐸𝐿 𝐶𝑇 = 𝑑(𝑞): 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖ó𝑛 
 
𝑑(𝑞) = ∑ 𝐺(𝑞, 𝑁) 𝑃(𝑁)
∞
0
 
 
 
 
 
 
 
Es discreta (ya que no depende de N) y el valor que hace mínimo el CT puede hallar por el método de 
búsqueda (no podemos utilizar optimización por diferenciación, ya que no es una función continua). 
 
- Desde 0: ya que la demanda 
no puede ser -. 
- ∞: puede reemplazarse por 
un valor máximo de demanda. 
Posibles valores 
del costo. 
Prob. de que ocurran 
FUNCIÓN OBJETIVO 
Reemp. los q por q – 1 
Acomodamos 
Distribuimos ce entre 
los términos de la + 
18 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
Hace referencia a que artículos estudiar (prestar atención) cuando se tienen muchos artículos en el 
almacén, es decir, esta técnica nos permite establecer cuáles son los artículos importantes (y los menos). 
 
Cuando en un stock se tiene un significativo número de artículos, previo a realizar cualquier análisis y/o 
definir una política de gestión de stock, es conveniente realizar una clasificación tipo ABC. 
La TÉCNICA ABC es un método de clasificación que permite determinar la representatividad de los 
artículos en función de la inversión anual. Para poder aplicarla, necesitamos información sobre: 
 Listado de todos los artículos de consumo habitual (no un artículo que se consumió por única vez). 
 Precio unitario de adquisición de cada artículo ($ de la última compra, y si el $ es muy viejo debería 
realizar un pedido, o bien, consultar una lista de precios actualizada). 
 Consumo anual de cada artículo. 
 Monto total del capital invertido anualmente. 
q - 1 
q 
20 
 
 
 
Ejemplo: una panadería contrata a un estudio de profesionales para que solucionen el problema 
ocasionado por la inexistencia de sistematización en los procedimientos de gestión de stock. Para ello, 
los expertos recurrieron a los datos históricos suministrados por la empresa acerca del consumo de 
materias primas y prosiguieron a la construcción de un diagrama del ABC: 
 
1° paso: se armó un cuadro que contiene: los insumos en stock necesarios para elaborar los productos, 
los códigos que los identifican, la demanda anual, la unidad con la que se mide cada artículo, el precio 
unitario de compra y la demanda anual valorizada (D.A.V). 
 
Se ordena de mayor a menor según el 
CAV: ya sea porque tiene mucho consumo 
anual o porque tiene un $ muy alto. 
A: Rep. no 
más del 15% 
B: Rep. no 
más del 10% 
C: Rep. no 
más de 75% 
21 
 
2° paso: ordenar el listado, de forma que los insumos de mayor demanda anual se encuentren al 
comienzo de la tabla. 
 
3° paso: ordenada la tabla, se obtuvo la demanda anual valorizada acumulada, y con ella pudo calcularse 
la representatividad de cada ítem en lo que respecta al capital invertido. De igual forma se calculó el 
porcentaje acumulado de insumos. 
 
CONCLUSIÓN: si establecemos políticas de stocks para los primeros 4 artículos (que representan el 
22,22%) controlamos el 85% de la inversión anual en el almacén. Si le agregamos 3 artículos más (que 
representan el 16,67%) controlamos el 95% de la inversión, entonces, en los restantes artículos (que 
representan el 61,11%) deberíamos aplicar una política de stock “liviana” (ejemplo: comprar x cantidad 
cada 3 meses), es decir, no centrar la atención en ellos. 
 
 
ESTABLECIENDO POLÍTICAS DE STOCK SOBRE UN % RELATIVAMENTE PEQUEÑO DE ARTÍCULOS SE 
CONTROLA UN ALTO % DEL CAPITAL INVERTIDO EN STOCKS. 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RED O GRAFO 
Es un conjunto de puntos llamados VÉRTICES o NODOS, conectados o relacionados de algún modo por 
medio de líneas/flechas denominados ARCOS. 
 
¿Cómo representamos una red en LENGUAJE MATEMÁTICO? 
 Usando un PAR ORDENADO (X;U) 
- U: es el conjunto de arcos  U = {u1, u2, … um} definido por la relación de los vértices X: ui = (xk;
xl) 
- X: es el conjunto de vértices  X = {x1, x2, x3 …, xn} 
 
 
Ejemplo: 
X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} 
U = {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7} 
(X,U) = {(x1,x2);(x2,x1);(x2,x3);(x2,x6);(x3,x6);(x3,x5);(x5,x4)} 
 
 
 Como una MATRIZ: se considera una matriz 
cuadrada de orden igual al número de vértices de la red, de modo de que cada uno de éstos tenga 
asociados en la matriz, una fila y una columna. 
Cada componente aij puede asumir dos valores posibles (1 o 0) 
 
 
 
Ejemplo: 
- a35: existe un arco que parte del vértice 3 y llega al vértice 5. 
- a4 y a6: es una fila de ceros, ya que de el vértice 4 y 6 no parte ningún 
arco. 
 
 
 
(une los vértices) 
24 
 
CONCEPTOS ORIENTADOS Y NO ORIENTADOS 
En algunas redes la orientación es fundamental, ya que define la dirección de la relación entre los vértices 
o nodos. 
 Orientados: poseen un sentido, un orden establecido. Ejemplo: proyecto (desde el inicio al fin). 
 No orientados (no las consideramos): unen los vértices, pero en cualquier dirección. Ejemplo: internet 
(puede recibir y enviar info a partir de cualquier dirección). 
 
CONCEPTOS ORIENTADOS CONCEPTOS NO ORIENTADOS 
Vértice: todo elemento 𝑥𝑖 ∈ 𝑋. Vértice: todo elemento 𝑥𝑖 ∈ 𝑋. 
Arco: todo par ordenado de elementos de X que 
pertenecen a U (es decir, existe un origen y un 
destino). 
Arista: relación entre dos vértices para la que no 
interesa el sentido de la misma. Se simboliza 
como (𝑥𝑖𝑥𝑗)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ y al conjunto de aristas que define a 
la red, como (𝑈)̅̅ ̅̅ ̅ (es decir, NO hay un origen ni un 
destino – todos operan como nodos de origen o 
como nodos de destino –) 
Extremidades de un arco: son los vértices que lo 
determinan: 𝑥𝑖 es el extremo inicial y 𝑥𝑗 el 
extremo final. 
Ídem. 
Arcos adyacentes: son arcos distintos entre sí que 
tienen una extremidad (vértice) en común. 
Ídem. 
Vértices adyacentes: son vértices distintos entre 
sí, que definen el arco (𝑥𝑖, 𝑥𝑗) ∨ (𝑥𝑗 , 𝑥𝑖) (es decir, 
son vértices que están unidos por un arco). 
Ídem. 
Sub-red: es la red que se obtiene de suprimir uno 
o más vértices y los arcos adyacentes 
correspondientes a los vértices suprimidos. 
Ídem. 
Camino: es una secuencia ordenada de arcos, 
donde el extremo final del primero coincide con 
el extremo inicial del siguiente (es decir, es una 
secuencia conectada de arcos). 
Cadena: es una secuencia de aristas adyacentes 
Longitud: es el número de arcos que componen 
un camino. 
Longitud de una cadena. 
Camino sencillo: cuando no utiliza 2 o más veces 
un mismo ARCO. Caso contrario, el camino se 
denomina no- sencillo. 
Cadena sencilla. 
Camino elemental: cuando no utiliza 2 o más 
veces un mismo VÉRTICE. 
Cadena elemental. 
Circuito: es un camino en el cual el vértice inicial 
del primer arco coincide con el final del último 
arco. 
• Puede ser sencillo o no serlo, según lo sean los 
caminos que lo forman. 
• Si bien, un circuito es un camino no elemental, 
se admite decir que es elemental si todos los 
vértices que atraviesa son distintos (con la 
excepción del primero y el último, que por 
definición es el mismo elemento). 
Ciclo. 
25 
 
Lazo o bucle: es un arco cuyos extremos inicial y 
final son iguales. Es un circuito de longitud igual a 
1 (es decir, posee un único arco). 
Ciclo unitario. 
Red simétrica: se da cuando existe un arco que 
une 𝑥𝑖 con 𝑥𝑗, como también, el que une 𝑥𝑗 con 𝑥𝑖 
para todos los vértices de la red: [(𝑥𝑖, 𝑥𝑗) ∈ U →
(𝑥𝑗 , 𝑥𝑖) ∈ U] (es decir, un arco de ida y un arco de 
vuelta). 
No se define. 
Red asimétrica: sólo existe el arco en sentido 𝑥𝑖 a 
𝑥𝑗 y no el arco 𝑥𝑗 a 𝑥𝑖: [(𝑥𝑖, 𝑥𝑗) ∈ U → (𝑥𝑗 , 𝑥𝑖) ∄ U] 
No se define. 
Red completa: se da cuando todo par de vértices 
de X, existe por lo menos un arco que los relaciona 
en alguno de los sentidos posibles: [∀𝑥𝑖 ∈ 𝑋 ∨
𝑥𝑗 ∈ 𝑋): 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 ] → [(𝑥𝑖, 𝑥𝑗) ∈ U ∨ (𝑥𝑗, 𝑥𝑖) ∈ U] 
(es decir, no queda ningún vértice sin relacionarse 
con otro). 
No se define. 
Red fuertemente conectada: se da si para todo par 
de vértices distintos entre sí, existe al menos un 
camino que los une. Ejemplo: red de caminos que 
conducen a una ciudad. 
Red conexa: ∀𝑥𝑖; ∀𝑥𝑗 con 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗. 
Cadena que une 𝑥𝑖 con 𝑥𝑗 
 
ORDENAMIENTO DE UNA RED 
Para poder ordenar una red es necesario definir una RELACIÓN DE ORDEN ESTRICTO. 
 
Es una proposición que establece: “existe un camino de longitud no nula entre un par de vértices distintos 
entre sí si (xi y xj con xi ≠ xj) que se denotará con xi xj (xi precede a xj)”. 
Es decir, me establece que existe un camino que AL MENOS contiene un arco (por ello es de longitud no 
nula) que une xi con xj 
 
 
Propiedades de la relación de precedencia 
 
 
Una red ordenada implica: 
 Todos los elementos de un mismo nivel no posean ascendientes en el siguiente. 
 Los elementos del 1° nivel no posean ascendientes y los del último, descendientes. 
 El orden de los vértices de un nivel sea indiferente, es decir, que tales vértices no estén ligados por 
arcos. 
 
 Para poder ordenar una red “desordenada” la debo representar a través de una matriz cuadrada, 
donde: 
 Filas: vértices ascendientes.  Columnas: vértices descendientes. 
 
Por ejemplo: el vector E es descendiente del vector K – H es descendiente de B – G y B no poseen 
descendientes (por ende, están en el último nivel). 
xi se denomina ascendiente de xj 
xj se denomina descendiente de xi 
Si xi precede a xj, entonces, xi tiene que ser distinto a xj 
 
 
Si xi precede a xj, entonces, xj no precede a xi 
 
 
Si xi precede a xj y xj precede a xk, entonces, xi precede a xk 
 
26 
 
 
 Se considera cada columna como un vector, se suman los componentes de cada fila y se obtiene un 
nuevo vector: 
 
 Se eliminan las columnas que no tienen descendientes, es decir, las que se igualaron a cero (B y G) y 
se suman los restantes vectores. 
 
 
 
 
No poseen 
descendientes: integran 
el último nivel 
Son ascendentes de B y G: 
integran el penúltimo nivel 
27 
 
 Prosigo del mismo modo con los demás vectores: 
 
 
VALOR DE UN CAMINO 
Dada una red (X, U), es posible asociar a cada arco, un número real, que denominamos VALOR DE ARCO. 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 = 𝑣(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗) = 𝑣𝑖𝑗 ∈ 𝑅 
Ejemplo: km a recorrer entre dos ciudades, horas/días/semanas que requiera realizar una actividad, etc. 
 
Este valor, depende de lo que el arco esté representando, y a partir de él, es posible determinar el VALOR 
DE UN CAMINO, que se define como: 
 La suma de los valores de los arcos que lo integran: 
 
 
 La suma de los sub-caminos que lo integran: Un camino puede descomponerse en SUB – CAMINOS: 
 
 
 
 
 
También, podemos encontrar: 
 Camino de valor MÁXIMO: es el que posee mayor valor entre todos los que integran la red. 
 Camino de valor MÍNIMO: es el que posee menor valor entre todos los que integran la red. 
 
 
A y K son ascendentes de C, 
D, F y G. 
E, I y J son ascendientes de 
A y K –no poseen 
descendientes y ocupan el 
1° nivel. 
 
Camino 
Subcaminos 
28 
 
 
Las redes pueden tener diversas aplicaciones, como: producción, distribución, planeación de proyectos, 
localización de instalaciones, administración de recursos, planeación financiera y otras. 
 
Básicamente existen 4 tipos de problemas que pueden ser abordados por esta teoría: 
• El problema de la ruta más corta. 
• El problema del árbol de mínima expansión. 
• El problema del flujo máximo. 
• El problema de planeación y control de proyectos (CPM y PERT). 
 
¿CÓMO SE REPRESENTA UN PROYECTO MEDIANTE UNA RED? 
Para poder hacerlo, necesitamos INFORMACIÓN NECESARIA sobre: 
 Listado de las actividades del proyecto (completo). 
 Las relaciones de precedencia. 
 
Para representar una red, existen dos métodos: 
 Método de los potenciales: - NODOS  representan actividades. 
 - ARCOS  definen la relación de precedencia. 
 
 Método de los arco-actividades: - ARCOS 
representan actividades. 
 - NODOS  representan etapas del proyecto. 
 
 
 
 
Consiste en representar a cada actividad o tarea del proyecto, como un nodo o vértice de una red 
indicando, mediante arcos, las actividades que deben estar terminadas antes de iniciar otra. 
 
Es necesario incorporar 2 vértices adicionales: 
 NODO 0: representa el inicio del proyecto. 
 NODO n: indica el fin del proyecto. 
 
Ejemplo: 
-A, B, C: no tienen precedentes (el único precedente es el inicio del proyecto). 
-H, I: no tienen descendientes (una vez concluidos, queda concluido el proyecto). 
 
Método de los potenciales 
 
Las relaciones de 
precedencia aparecen 
cuando se “conectan” 
las actividades con las 
etapas. 
 
29 
 
 
 
 
 
Al igual que en el método anterior, es necesario incorporar 2 vértices adicionales: 
 NODO 0: representa el inicio del proyecto. 
 NODO n: indica el fin del proyecto. 
 
Los vértices tienen el sentido de ETAPA del proyecto, en el significado que indican situaciones en que se 
encuentra desarrollado algún aspecto del mismo. 
 
Este método presenta ciertas ventajas relativas: 
• Las actividades pueden ser denotadas con números naturales, que simplifican la individualización de la 
tarea y otorgan facilidades para la obtención del valor de los caminos que unen los vértices. 
• Con respecto al método anterior, presenta menor cantidad de arcos. 
 
Puede ser necesario incorporar ACTIVIDADES FICTICIAS, para evitar confusiones o mostrar correctamente 
una relación de precedencia de las tareas. 
Se representan mediante arcos marcados con líneas de puntos y se les asignan un valor nulo de modo 
tal que no afecten ningún cálculo. 
 
Caso en que se hace necesaria la introducción de actividades ficticias: 
 
 
- Puede presentarse una indeterminación cuando se indica la actividad 7-16, ya que no se puede 
asegurar si se hace referencia a la actividad d, b, c, o a alguna combinación de ellas. Con las actividades 
ficticias se aclara la situación, haciendo: 
 
 
- El otro caso en que resulta necesaria la introducción de actividades ficticias se presenta cuando dos o 
más tareas tienen una o varias que las preceden a todas ellas, pero al mismo tiempo, existen otra u otras 
que sólo deben preceder a una. 
Método de los arco - actividad 
 
30 
 
 
Ejemplo: sean dos tareas a y b que preceden a c, pero al mismo tiempo, b precede a d: 
 
 
 
¿CÓMO DETERMINO EN CUANTO TIEMPO ESTARÁ TERMINADO EL PROYECTO? 
La representación del tiempo de ejecución del proyecto está asociado con el método de los arco – 
actividad. 
Un proyecto se considera concluido cuando TODAS las actividades estén terminadas. Pero, algunas 
actividades requieren más tiempo que otras, o algunas, se pueden realizar al mismo tiempo. 
 
Todas las actividades del proyecto indican algún camino que unen el vértice 0 (inicio) con el n (fin), y cada 
una requerirá un tiempo para su ejecución: tij (valor del arco que une el vértice i con el j – duración de la 
actividad –) 
 
El 1° camino tiene una duración de 13 unidades de tiempo, el 2° 12, el 3° 16 y el 4° 14. 
Entonces, conociendo el valor de TODOS los caminos que unen el inicio (0) con el fin (n), el proyecto 
quedará concluido cuando se COMPLETE EL CAMINO DE MÁXIMO VALOR. 
 Tiempo mínimo de ejecución del proyecto = 16 unidades de tiempo. 
 
GENERALIZANDO: considerando que el tiempo en que se concluirá un proyecto es τ y su valor debe ser 
tal que 
 
Es decir, la suma de los tiempos de ejecución de las actividades (tij) tiene que ser a lo sumo igual que el 
tiempo en el proyecto concluirá (τ) 
τ posee un conjunto de cotas inferiores (valor de un camino que une a 0 con n), y la mayor de ellas, 
representa el CAMINO DE VALOR MÁXIMO: 
 
 
 
Cuando se presentan muchos caminos la situación se dificulta, por ello, se desarrolló un ALGORITMO 
PARA LA DETERMINACIÓN DEL CAMINO DE VALOR MÁXIMO. 
a y b preceden a c Y d (sólo tienen que 
preceder a c y b a d). Lo solucionamos en el 
2° gráfico. 
31 
 
Este algoritmo considera 4 tiempos que se van a reflejar sobre la actividad ij (no sólo sobre el arco, sino 
también sobre sus vértices o etapas). 
 
Supongamos una actividad que une la etapa i con la j: 
 
 
Se asigna a cada VÉRTICE 2 valores: 
 ti o tj: representa el momento más TEMPRANO posible en que la ETAPA i (o j) estará terminada. 
También representará el momento más TEMPRANO posible en que podrán comenzar las ACTIVIDADES 
que parten de la etapa i (o j). 
 ti* o tj*: representa el momento más TARDÍO posible en que la ETAPA i (o j) estará terminada sin 
modificar el fin del proyecto. También representará el momento más TARDÍO posible en que podrán 
comenzar las ACTIVIDADES que parten de la etapa i (o j) respetando el fin del proyecto. 
 
 
Se asigna a cada ARCO 2 valores: 
 ti + tij (punta de la flecha): representa el momento más TEMPRANO posible en que la ACTIVIDAD ij 
estará concluida. 
 tj*- tij (cola de la flecha): representa el momento más TARDÍO posible en que podrá comenzar la 
ACTIVIDAD ij sin modificar el fin del proyecto 
 
 
 
 
 
Interpretación: 
-La actividad F comienza en el momento 5 y termina en el 11 
-La actividad I comienza en el momento 11 y termina en el 16 
 
Momento + 
temprano A 
ETAPA 
Queda concluida 
D (3+7) 
5+4 
5+6 
2+7 
MAYOR valor 10+3 
11+5 
M
A
Y
O
R
 valo
r 
Momento + 
tardío A 
MENOR valor 
32 
 
 Para determinar los momentos MÁS TARDÍOS, recorremos la red en sentido inverso: si el proyecto 
debe concluir a lo sumo en el momento 16 y la actividad H tiene 3 unidades de tiempo, como más tarde 
se puede iniciar en el momento 13 (16-3). 
 En el caso de que desde una etapa parta más de una actividad (dos “triángulos”) elegimos el de menor 
valor, ya que estamos determinando tiempos tardíos. 
 Entonces, para que el proyecto termine en el momento 16, como muy tarde necesito empezarlo en 
el momento 0. 
 Aquellas etapas donde el tiempo más temprano y más tardío son coincidentes (0, 2, 5 y n) se 
consideran ETAPAS CRÍTICAS y las actividades que las definen o unen (B, F e I) se denominan ACTIVIDADES 
CRÍTICAS porque son las que definen el tiempo mínimo de ejecución del proyecto. 
Si su valor cambia, cambia el valor del camino máximo y, en consecuencia, cambia el tiempo de ejecución 
del proyecto. Por ello, demoras en las actividades críticas demoran el fin del proyecto. 
 Las ACTIVIDADES NO CRÍTICAS pueden demorarse dentro de márgenes disponibles en sus tiempos de 
ejecución. 
 
MARGENES 
 Margen de etapa (le pertenece al vértice y no a la actividad): indica el período de tiempo en que la 
etapa debe estar concluida, para darle lugar a las que siguen: 
𝑴𝑬(𝒊) = 𝒕𝒊 ∗ − 𝒕𝒊 
 
𝑀𝐸(1) = 𝑡1 ∗ −𝑡1 = 6 − 3 = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 
𝑴𝑬(𝟐) = 𝒕𝟐 ∗ −𝒕𝟐 = 𝟓 − 𝟓 = 𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 
𝑀𝐸(4) = 𝑡4 ∗ −𝑡4 = 13 − 10 = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Margen total de la actividad (i, j): me indica hasta cuando me puedo extender en la duracipón de la 
actividad. Son las unidades de tiempo en exceso que se dispone para realizar la tarea, con los supuestos: 
a) Comienza en el momento más temprano posible. 
b) No se afecta la duración total del proyecto. 
𝑴𝑻(𝒊, 𝒋) = 𝒕𝒋 ∗ − 𝒕 𝒊 − 𝒕𝒊𝒋 
 
Ejemplo: (imagén 2) 
𝑀𝑇(1,4) = 𝑡4 ∗ − 𝑡 1 − 𝑡14 = 13 − 3 − 7 = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑. 
𝑀𝑇(2,4) = 𝑡4 ∗ − 𝑡 2 − 𝑡24 = 13 − 5 − 4 = 4 𝑢𝑛𝑖𝑑. 
𝑴𝑻(𝟐, 𝟓) = 𝒕𝟓 ∗ − 𝒕 𝟐 − 𝒕𝟐𝟓 = 𝟏𝟏 − 𝟓 − 𝟔 = 𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅. 
 
 Margen Libre de la actividad (i, j): son las unidades de tiempo en exceso que se dispone para realizar 
la tarea, con los supuestos: 
a) Comienza en el momento más temprano posible. 
b) No se afecta la fecha de iniciación de las tareas que le siguen (no se modifica tj). 
𝑴𝑳(𝒊, 𝒋) = 𝒕𝒋 − 𝒕 𝒊 − 𝒕𝒊𝒋 
 
Ejemplo: 
𝑀𝑇(1,4) = 𝑡4 − 𝑡 1 − 𝑡14 = 10 − 3 − 7 = 0 𝑢𝑛𝑖𝑑. 
33 
 
𝑀𝑇(2,4) = 𝑡4 − 𝑡 2 − 𝑡24 =
10 − 5 − 4 = 1 𝑢𝑛𝑖𝑑. 
𝑴𝑻(𝟐, 𝟓) = 𝒕𝟓 − 𝒕 𝟐 − 𝒕𝟐𝟓 = 𝟏𝟏 − 𝟓 − 𝟔 = 𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅 
 
 Margen Independiente de la actividad (i, j): son las unidades de tiempo en exceso que se dispone para 
realizar la tarea, con los supuestos: 
a) Comienza en el momento más tardío permisible. 
b) No se afecta la fecha de iniciación de las actividades que le siguen (no se modifica tj) 
𝑴𝑰(𝒊, 𝒋) = 𝒕𝒋 − 𝒕 𝒊 ∗ − 𝒕𝒊𝒋 
 
Ejemplo: 
𝑀𝑇(1,4) = 𝑡4 − 𝑡 1 ∗ − 𝑡14 = 10 − 6 − 7 = −3 𝑢𝑛𝑖𝑑. 
𝑀𝑇(2,4) = 𝑡4 − 𝑡 2 ∗ − 𝑡24 = 10 − 5 − 4 = 1 𝑢𝑛𝑖𝑑 
(puede iniciarse en el momento 5 y llegar al 10 tomandose 1 unidad de tiempo en exceso) 
𝑴𝑻(𝟐, 𝟓) = 𝒕𝟓 − 𝒕 𝟐 ∗ − 𝒕𝟐𝟓 = 𝟏𝟏 − 𝟓 − 𝟔 = 𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅 
 
MT(i, j) = ML(i, j) = MI(i, j) = 0  (i, j) es crítica 
 
 
 CPM (método del camino crítico): otorga una solución a los tiempos de ejecución de las tareas como 
variables ciertas. 
 PERT (técnica de revisión y evaluación de programas): otorga una solución a los tiempos aleatorios 
(con distribución de probabilidad desconocida). 
 
Sin embargo, muchos autores asignan al CPM la elección de tiempos en función de los costos de las 
actividades, mientras que al PERT, el problema de la aleatoriedad (solución a la incertidumbre). 
 
Se presentará el CPM como técnica global para tiempos ciertos y la relación tiempos-costes y, luego, el 
PERT como el caso en que las actividades del proyecto son aleatorias con distribución de probabilidad 
desconocida. 
 
 
Es una técnica de camino crítico, basada en el algoritmo para la determinación del camino de valor 
máximo con TIEMPOS CIERTOS. 
El sentido de la asociación tiempo-costo, requiere de un estudio previo de la CURVA DE COSTO de cada 
ACTIVIDAD que integra el proyecto. 
 Costo de una actividad: pij = f(tij) 
 
 
34 
 
El tiempo de ejecución de una actividad se encuentra entre dos límites: 
 dij (límite inferior): llamada “abscisa de duración acelerada o intensiva”, representa el menor tiempo 
posible en que puede ser realizada la actividad. Implica poner muchos recursos en juego, por ello, está 
asociado al MÁXIMO COSTO. 
 Dij (límite superior): llamada “abscisa de duración normal”, representa el tiempo “más razonable” de 
ejecución de una actividad. Está asociado al MÍNIMO COSTO. 
 
A medida que prolongamos la duración de las actividades el costo  hasta un mínimo Dij 
A partir de Dij, si continuamos prolongado la duración de una actividad, el costo  y entramos en un 
tramo donde los recursos se usan ineficientemente, en consecuencia, los tiempos operativos deben 
definirse entre dij y Dij (donde existen infinitas alternativas de duración de una actividad) 
 
 COSTO TOTAL DEL PROYECTO: es la suma de cada una de las actividades. Los cambios en los tiempos 
de ejecución de las actividades pueden DISMINUIR o AUMENTAR su valor (p) 
 
 
 
 
 
 
 
 Disminuir: prolongando la duración de las 
actividades hasta el límite Dij. 
 Aumentar: acelerando las actividades hasta el 
límite dij. 
 
 
 
 
 
 
 
 
La relación entre el tiempo de ejecución y el CT del proyecto define una REGIÓN 0ABC que contiene todas 
las soluciones factibles, siendo OA el conjunto de puntos de las soluciones óptimas. 
 Si ejecutamos las actividades en Dij, tendremos un PROGRAMA EJECUTADO EN TIEMPOS NORMALES 
con un MÍNIMO COSTO (el menor de todos los posibles). 
 Si ejecutamos las actividades en dij, tendremos un PROGRAMA ACELERADO, con un MÍNIMO o 
MÁXIMO COSTO. 
 
35 
 
Situaciones que se pueden presentar: 
 
 
Supongamos que el proyecto se programa acelerado con todas 
las actividades en el momento dij: el costo del proyecto será el 
máximo “C” ¿Es posible disminuir ese costo “C” hasta llegar al 
mínimo posible “A”? Sí, es posible manteniendo el tiempo del 
proyecto en una duración igual a dn. 
¿Cómo? Prolongando la duración de las actividades NO críticas 
(con límite en el ML, MT o Dij). 
 
 
 
Supongamos que el proyecto se programa en tp unidades de 
tiempo a un costo E (máximo): ¿Es posible disminuir ese costo “E” 
hasta llegar al mínimo posible “F”? Sí, es posible manteniendo el 
tiempo del proyecto en una duración igual a tp. 
¿Cómo? Prolongando la duración de las actividades NO críticas 
(con límite en el ML, MT o Dij). 
 
 
 
 
Supongamos que el proyecto se programa en tp unidades de 
tiempo a un costo F (mínimo): ¿Es posible llegar a el “mínimo de 
los mínimos” (óptimo)? Sí, es posible. 
¿Cómo? Prolongando la duración de las actividades NO críticas 
y CRÍTICAS (con límite en Dij), ya que debemos variar el tiempo 
de ejecución del proyecto. 
 
 
 
Para poder CT sin modificar el tiempo mínimo de ejecución del proyecto: 
1) Identificar las actividades NO CRITICAS y establecer el COSTO POR UNIDAD DE TIEMPO. 
2) Ordenar las actividades no críticas en función de su costo por unidad de tiempo de MAYOR a MENOR. 
3) Prolongar el tiempo de ejecución de las actividades no críticas, SIN SUPERAR el tiempo Dij, el MT 
(respetar el tiempo de ejecución del proyecto) o el ML (respetar la fecha de inicio de las actividades que 
le siguen) hasta alcanzar el nivel de costo deseado. 
 
 
¡CUIDADO! Cuando se comienza a prolongar la duración de las actividades haciendo uso de los márgenes, 
pueden aparecer NUEVOS CAMINOS (es decir, las actividades no criticas pueden pasar a ser críticas). 
 
 
36 
 
Supongamos que el proyecto se programa en tp unidades de 
tiempo a un costo G: se desea que el proyecto esté terminado 
en un determinado plazo (menor, acercándonos a dn) ¿Es 
posible acelerar el proyecto con el menor incremento en los 
costos? Sí, es posible, acelerando las actividades CRÍTICAS más 
baratas – con menor costo de aceleración por unidad de tiempo 
– (ya que ellas definen el tiempo de ejecución del proyecto). 
Al desplazarnos por la curva que une G con B el CT, pero en 
el menor incremento posible. 
 
 
Para poder  el tiempo mínimo de ejecución del proyecto con el menor costo adicional posible: 
1) Identificar las actividades CRITICAS y establecer el COSTO POR UNIDAD DE TIEMPO. 
2) Ordenar las actividades críticas en función de su costo por unidad de tiempo de MENOR a MAYOR. 
3) Acelerar el tiempo de ejecución de las actividades críticas, con límite en dij, hasta alcanzar el plazo de 
ejecución deseado. 
 
¡CUIDADO! Cuando se comienza a prolongar la duración de las actividades haciendo uso de los márgenes, 
pueden aparecer NUEVOS CAMINOS (es decir, las actividades no criticas pueden pasar a ser críticas). 
 
 PROLONGAR la duración de un proyecto  disminuir el CT lo + que podamos. 
 ACELERAR la duración de un proyecto  aumentar el CT lo – que podamos. 
 
Todo lo anterior es aplicable fácilmente cuando se tiene una red pequeña y/o cuando se conocen los 
costos por unidad de tiempo de cada actividad. 
El caso más práctico se presenta cuando el costo de cada una de las actividades puede ser expresado 
mediante una función lineal entre dij y Dij (en ese caso, es posible aplicar PL para hallar el tiempo de 
finalización del proyecto -no lo vemos-). 
 
 
El PERT, consiste en la determinación del camino crítico utilizando los tiempos medios de cada actividad. 
En él, los tiempos operatorios son VARIABLES ALEATORIAS con DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA (lo que 
implica un estado de incertidumbre). 
Resulta necesario dar una solución al problema de incertidumbre que presenta esta cuestión, para ello, 
se considera que el tiempo de las actividades se distribuyen según una ley de probabilidad β 
 
Utiliza 3 tipos de estimaciones subjetivas para los tiempos de las actividades, y a partir de ellos, obtiene 
la DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD y los PARÁMETROS (media y varianza) que tendrán los caminos que 
unen el vértice 0 con el n. 
 
A partir de esto, el supuesto se reformula: los tiempos operatorios son VARIABLES ALEATORIAS con 
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD β. 
 
Tipos de estimaciones subjetivas: 
 m (valor modal): es el tiempo de ejecución más probable, y se encuentra entre “a” y “b”. 
 a (tiempo optimista): posee
una probabilidad de ocurrencia muy cercana a 0. 
 b (tiempo pesimista): representa lo mucho que tardaríamos en ejecutar una actividad si tenemos 
algún problema. 
 
37 
 
β puede tener distintos comportamientos (dependiendo de la ubicación del valor modal): asimétrica 
izquierda, simétrica, asimétrica derecha. 
 
 
 
A partir de la definición de estos 3 tiempos, tenemos la posibilidad de determinar una MEDIA y una 
VARIANZA del tiempo de ejecución de una actividad. 
 
Si el tiempo de ejecución de una actividad ij (tij) se distribuye β: 
 Media: resulta de ponderar 4 veces el valor modal, y 1 vez (cada uno) los valores pesimistas y 
optimistas. 
 
 
 
 Varianza: suponemos que entre ambos extremos (a y b) existen 6 desvíos típicos. 
 
 
Una vez que establecemos la MEDIA y la VARIANZA de cada actividad ij, podemos determinar cuando 
podría estar concluido un proyecto. _ 
En PERT se utilizan los tiempos medios (tij) para aplicar el algoritmo de determinación del camino de valor 
máximo. El tiempo de ejecución de un proyecto queda determinado por la suma de los tiempos de las 
actividades que lo integran, en este caso, los tiempos son aleatorios, por ende, el tiempo del proyecto 
también será aleatorio. 
 
Entonces, al ser t la suma de variables aleatorias es aplicable el Teorma Central del Límite, que establece: 
 
 
Es decir, la sumatoria de las n variables aleatorias posee una distribución normal, cuya MEDIA es la suma 
de las medias y su VARIANZA, la suma de las varianzas de las distintas variables del conjunto. 
Dividimos por 6, ya que se 
consideran 6 valores posibles (4 
modal + 1 pesimista + 1 optimista). 
38 
 
Es posible establecer un tiempo esperado (no mínimo, ya que no estamos en el ámbito de la certeza) de 
ejecución del proyecto y sus respectivas varianzas. 
Como t es la suma de variables aleatorias, por el teorema central del límite, podemos afirmar que t es 
aleatoria, con distribución normal, media igual a t y varianza igual a σt2. 
 
¿Qué aporta esta información a la gestión y control de un proyecto? La posibilidad de: 
• Conocer la esperanza matemática y la varianza de la fecha de finalización de una etapa o del proyecto. 
• Conocer la probabilidad asociada a la finalización de una etapa o del proyecto. 
• Conocer la probabilidad de que el tiempo de finalización de una etapa (o del proyecto) sea menor que 
un valor determinado. 
• Conocer la probabilidad de que el tiempo de finalización de una etapa (o del proyecto) sea menor o 
igual que un valor determinado. 
• Conocer la probabilidad de que el tiempo de finalización de una etapa (o del proyecto) sea mayor o 
igual que un valor determinado. 
• Conocer las cotas que definen el intervalo para el que una etapa (o el proyecto) estará concluida para 
una probabilidad previamente definida. 
• Determinar una cota inferior o superior para la cual, la probabilidad de finalización de una etapa 
(proyecto) es un valor deseado. 
 
En definitiva, lo que brinda la técnica PERT es establecer algunas probabilidades, tiempos medios y 
varianzas, de modo de poder trabajar y conllevar un cierto control sobre el proyecto. 
Provee la posibilidad que cuando uno se encuentra en situaciones de incertidumbre (es decir, no se sabe 
cuánto durará cada una de las actividades, ni cuando finalizará el proyecto) aplicar un cierto control 
(sobre un proyecto que, en principio, era ingestionable). 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
1) Determinamos las medias y varianzas de cada actividad (utilizando las fórmulas) 
 𝒕𝒊𝒋 ̅̅ ̅̅ =
𝒂+𝟒𝒎+𝒃
𝟔
 → 𝑡𝐶 ̅̅̅̅ =
2+4∗3+6
6
= 3,50 𝑡𝐹 ̅̅̅̅ =
6+4∗8+12
6
= 8,33 
 𝝈𝒊𝒋
𝟐 = (
𝒃−𝒂
𝟔
) 𝟐 → 𝜎𝐴
2 = (
7−3
6
) 2 = 0,4444 𝜎𝐻
2 = (
9−3
6
) 2 = 1 
 
2) Determinamos el tiempo esperado de finalización del proyecto, aplicando el algoritmo para la 
determinación del camino de valor máximo (al igual que cuando los tiempos son ciertos) 
 
 
 
Es de esperar que la etapa 1 esté concluida en el momento 5, la 2 en el 6,5, la 3 en el 3,5, etc. 
 
3) Calcular la suma de los tiempos medios, varianza y desviación de las actividades/etapas críticas (que 
definen el camino de valor máximo) 
�̅� = 𝒕𝑩̅̅ ̅ + 𝒕�̅� + 𝒕�̅� = 6,50 + 8,33 + 7,33 = 22,16 
𝝈𝒕
𝟐 = 𝝈𝑩
𝟐 + 𝝈𝑭
𝟐 + 𝝈𝑰
𝟐 = 0,6944 + 1 + 1 = 2,6944 
𝝈𝒕 = √𝝈𝒕
𝟐𝟐 = √2,6944
2
= 1,6415 
El proyecto tiene una duración esperada de 22,16 unidades de tiempo, con una varianza de 2,6944 y un 
desvío de 1,6415. Todo esto, nos permite establecer la probabilidad de cuándo se va a finalizar el 
proyecto: 𝑃(𝑡 ≤ 22,16) = 0,50 
La probabilidad de que el proyecto finalice en 22,16 unidades de tiempo es de 0,50 (ya que t, se 
distribuye normal). 
4) Si queremos saber qué es lo que sucede en alguna otra unidad de tiempo: 
𝑃(𝑡 ≤ 25) =? ? → 𝒛 =
𝒕 − �̅�
𝝈𝒕
=
25 − 22,6
1,6415
= 1,7261 
Calculamos la probabilidad acumulada: 
𝑃(𝑧 ≤ 1,7261) = 0,9578 
Concluimos que existe una probabilidad de 0,9578 que el proyecto concluya en 25 unidades de tiempo: 
𝑃(𝑡 ≤ 25) = 0,9578 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¡NO se redondean! 
40 
 
 
 
 
 
 
 
Las personas cuando esperan, invierten tiempo, lo que implicará un costo. Por ende, se trata de optimizar 
este fenómeno, tratando que el efecto negativo que generan sea el menor posible. 
Este fenómeno, forma parte de los “PROCESOS ESTOCÁSTICOS” 
 
Es una serie de sucesos con un comportamiento de tipo aleatorio. 
Se asocian a fenómenos en los que intervienen magnitudes aleatorias, es decir, magnitudes a cuyos 
valores se les puede asociar una probabilidad de presentación (conocida) y están vinculadas a algún 
parámetro que, por lo general, representa el transcurso del tiempo. Ejemplo: si se observan las lámparas 
de la Universidad, sabiendo que ellas se queman después de algún tiempo, puede pensarse que su 
agotamiento es una sucesión de eventos que se produce a lo largo del tiempo y el hecho de que se 
queme en este instante una lámpara del aula 37, no condiciona la probabilidad de que se queme una 
lámpara en el aula magna. 
 
 
Es un fenómeno en el que se conforma una cola de objetos, personas, etc, que esperan por algún 
servicio. Ejemplo: aviones esperando una pista para aterrizar, camiones en los puertos para descargar, 
barcos para entrar a los puertos, etc. 
Las colas de espera implican la inversión de tiempo y costos, por ello, es importante reducirlas y/o 
minimizar sus costos. 
 
CARACTERÍSTICAS 
1. Llegadas de unidades a un CENTRO DE SERVICIO: ¿Cómo llegan?: 
 Separadas por intervalos de tiempo iguales. Ejemplo: llenado de las botellas en una máquina 
automática. 
 Separadas por intervalos de tiempo desiguales pero determinados (conocidos con certeza). 
 Separadas por intervalos de tiempo desiguales pero aleatorios. Ejemplo: la entrada de una persona 
a un banco puede ser cada 20, 340, 43 minutos. 
 
2. Uno o varios CANALES DE SERVICIOS O ESTACIONES, reunidos en el centro de servicio: se ocupan de 
prestar el servicio, y pueden prestarlo a un ritmo: 
 Constante. Ejemplo: la embotelladora tarda el mismo tiempo en llenar cada botella. 
 Variable, pero determinado. 
 Variable, pero aleatorio (situación general). Ejemplo: la atención de un cajero de supermercado no 
es la misma, la persona A tarda 24 minutos, la B 10, la C 5, etc. 
 
ESTRUCTURA BÁSICA 
 Sector fuente: es el conjunto de unidades potenciales que pueden requerir el servicio. Es decir, este 
sector representa a todas las unidades que pueden necesitar ser atendidas, aunque nunca lo soliciten. 
Ejemplo: en un cajero automático, cualquier persona puede extraer $, consultar, etc y no 
necesariamente es cliente del Banco. 
 
41 
 
 Sistema propiamente dicho: está formado por 2 secciones: 
1. Centro de Espera: es donde (física o virtualmente) se encuentran las unidades que requieren el 
servicio y están esperando por él. 
2. Centro de Servicio: es donde (física o virtualmente) se encuentran las unidades prestadoras de 
servicio.
Surgen VARIABLES asociadas a cada una de las partes que integran el sistema: 
 m: número de unidades del fenómeno – finito o infinito – (población fuente). Son las posibles unidades 
que pueden requerir el servicio. 
 n: número de unidades en el sistema (sistema propiamente dicho). Parte de la población fuente que 
efectivamente requirió el servicio. 
 v: número de unidades en el centro de espera – filas – (centro de espera). 
 j: número de unidades en el centro de servicio (centro de servicio). 
 S: número de estaciones de servicio (es una variable CIERTA). 
 ρ: número de unidades ociosas o desocupadas. 
 
Relaciones: 
𝑛 = 𝑣 + 𝑗 𝑠𝑖 𝑛 > 𝑆 
𝑛 = 𝑗 𝑠𝑖 𝑛 ≤ 𝑆 
𝜌 = 𝑆 − 𝑗 
El valor de las variables depende del ritmo al que lleguen las unidades y el ritmo al que resulten atendidas. 
 
¿Cómo se mide el ritmo al que llegan las unidades? 
A través de una TASA MEDIA DE LLEGADA (λ), que representa el número medio de unidades que llegan 
al sistema por unidad de tiempo. 
 
¿Cómo se mide el ritmo al que son atendidas las unidades? 
A través de una TASA MEDIA DE SERVICIO (μ), que representa el número medio de unidades que reciben 
el servicio por unidad de tiempo, pero considerada sólo en los momentos en que las estaciones están 
prestando servicio. 
 
 Si λ > μ (o sea que la cantidad de unidades que llegan, en promedio, supera la cantidad de unidades 
que son atendidas): la cola tiende a crecer indefinidamente. 
 Si λ ≤ μ: no se produciría la cola, ya que la cantidad de unidades entrante es igual o inferior que la que 
es atendida por unidad de tiempo, pero esto NO ES CORRECTO, porque λ y μ son valores promedios, 
razón por la cual ocurren “llegadas en andanadas” o “valores extremos de servicio”. Ejemplo: apertura 
de los Banco durante la cuarentena. 
42 
 
 
La sucesión de las llegadas y la sucesión de los servicios son VARIABLES ALEATORIAS, que hacen que todo 
el proceso sea aleatorio, por ende, el fenómeno de espera en fila es un PROCESO ESTOCÁSTICO. 
Para describirlo, se necesita conocer las MEDIAS de sus principales variables, y para calcularlas, se 
necesita estudiar el recorrido (posibles valores) de cada una de ellas. 
 
Sea: -Pn: probabilidad de que haya n unidades en el sistema. 
 -S: estaciones de servicio 
 
El recorrido de las variables n, v, j y ρ es: 
 
 
Medias de n, v, j y ρ: 
Número medio de unidades en el sistema. 
 
 
 
Número medio de unidades en la fila. 
 
 
Número medio de unidades recibiendo servicio. 
 
 
Número medio de estaciones ociosas. 
 
 
 
Principales supuestos (definen los restantes elementos del modelo): 
 Llegadas al sistema: es una variable aleatoria con distribución de probabilidad de Poisson. 
 Tiempo de servicio: es una variable aleatoria con distribución exponencial. 
 
Estos supuestos, se fundamentan en la Ley de Nacimiento – Muerte de Poisson, denominado “Proceso 
estocástico de Poisson”, y permite demostrar: 
 
 Cuando la distribución de probabilidad de las llegadas sigue la Ley de Poisson, el tiempo que media 
entre dos llegadas consecutivas se distribuye en forma exponencial. 
 
 
 
 
 
No hay unidades en el sistema, por ende, no hay unidades 
esperando y todas las estaciones están ociosas. 
Hay S unidades en el sistema, no hay unidades esperando y 
todas las estaciones están ocupadas. 
COMIENZA A FORMARSE LA COLA 
43 
 
 
 Si las unidades son servidas con distribución Poisson y los tiempos que median entre dos servicios 
consecutivos (tiempo de servicio) se distribuyen en forma exponencial. 
 
 
 
 
 
 
Estos supuestos nos permiten establecer probabilidades: 
Existe una secuencia de sucesos E (por ejemplo: nacimientos, fallas en equipo, entradas de personas a 
un banco) que define una variable aleatoria N(t) – número de sucesos ocurridos en el período de tiempo 
t – con una probabilidad de Pn(t) – probabilidad de n sucesos en el intervalo de tiempo t –. Supuestos: 
 pn(t) depende SÓLO del intervalo de tiempo y no del instante inicial. 
 La probabilidad de que el suceso E se produzca más de una vez en un intervalo de tiempo Δt 
(pequeñísimo) que tiende a 0, se aproxima a 0, con mayor velocidad o intensidad que Δt. 
 La probabilidad de que E acontezca una única vez en un intervalo de tiempo Δt que tiende a 0, es 
proporcional a Δt, y se denota con λ Δt. 
 
Entonces la variable aleatoria N(t) es tal que: 
• N(t) permanece constante cuando E no acontece. 
• N(t) aumenta una unidad cuando E acontece. 
• N(t) es inicialmente nula. 
 
Un incremento de n acontecimientos en un intervalo t tiene las siguientes propiedades: 
 Su probabilidad es pn(t) 
 
 
 Cuando una variable aleatoria responde a un proceso de Poisson, aparece una segunda variable 
definida como el tiempo que media entre dos sucesos consecutivos. Este lapso de tiempo, es aleatorio, 
y siendo poissoniano el suceso, se distribuye en forma exponencial. 
Llamando θ a la variable aleatoria que representa esos intervalos, se puede demostrar que la función de 
densidad es: 
 
44 
 
 
MODELO CLÁSICO 
Principales supuestos: 
 Llegadas: aleatorias con distribución Poisson 
 Tiempos de servicio: aleatorio con distribución exponencial. 
 Estaciones de servicios: una (S = 1) 
 Filas de espera = una. 
 Ley de la cola: por orden de llegada (es decir, NO SE DA ningún tipo de prioridad a embarazadas, 
ancianos, etc). 
 Población fuente: infinita. 
 
Al suponer que las llegadas tienen una distribución poisson y los tiempos de servicios una distribución 
exponencial, los supuestos respectos de la probabilidad son los mismos que los del “Proceso de Poisson”: 
 
 La probabilidad de que una unidad llegue al sistema en un intervalo Δt que tiende a cero, también 
tiende a cero (con velocidad proporcional a Δt) y es igual a λ Δt, donde λ es el número medio de llegadas 
por unidad de tiempo (es decir, la probabilidad de que ocurra una llegada si el intervalo es muy pequeño 
será baja y si el intervalo es grande será alta, pero siempre proporcional al número medio de llegadas 
por unidad de tiempo, λ). 
 La probabilidad de que un final de un servicio se produzca en un intervalo Δt que tiende a cero, 
también tiende a cero (con velocidad proporcional a Δt) y es igual a μ Δt, donde λ es la tasa media de 
tiempo de servicio (tiempo que se tarda en atender a un cliente), y su recíproca 1/μ es el intervalo medio 
de tiempo de servicio (es decir, la probabilidad de que alguien salga del sistema habiendo recibido el 
servicio, también es proporcional al número medio de llegadas por unidad de tiempo). 
 La probabilidad de que ocurra más de una llegada al sistema o más de un final de servicio, en el 
intervalo Δt que tiende a cero, también tiende a cero, con mayor velocidad que Δt, por lo tanto, se la 
considera nula. 
 Condición: λ < μ o λ / μ = 1  condición necesaria para que el fenómeno tenga un régimen estable 
y su cola no tienda a infinito. 
 
DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO 
Para poder describir el fenómeno de espera en fila, es necesario determinar las medias de cada una de 
las variables aleatorias: n y v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
λ: tasa media de 
llegada. 
μ: tasa media 
de servicio. 
45 
 
INTENSIDAD DE TRÁFICO: mide el nivel de ocupación del sistema, y siempre asume un valor menor a 1: 
 
 
 
 
 Cuánto más se aproxime a 1: - Hay MÁS tráfico, MAYOR ocupación del servicio. 
 - MAYOR probabilidad de tener que esperar. 
 
 Cuánto más se aproxime a 0: - Hay MENOS tráfico, MENOR ocupación del servicio. 
 - MENOR probabilidad de tener que esperar. 
 
 
(psi) 
46 
 
TIEMPOS MEDIOS: ¿Cuánto tiempo debe, en promedio, permanecer en el sistema, la fila o en el servicio 
una unidad? 
 
1) Tiempo medio de espera en fila: si se conoce el tiempo medio de espera en la fila se verifica que: 
 Ósea: 
 
 
 
 
Es decir, el tiempo medio de espera en fila por el número
medio de unidades que llegan al sistema, es 
igual al tamaño medio de la cola. 
 
Ejemplo: siendo λ=2 unidades por hora y el tiempo de espera en fila igual a 3 horas, entonces, en 
promedio, la cola es de 6 unidades. 
 
Cuando termina la 3° hora e inicia la 4°, sale el camión de la báscula y entra otro (se desplazan todos, y 
nuevamente tenemos 6 camiones en la cola). 
 
2) Tiempo medio de espera en el sistema: nos indica cuánto tiempo permanece una unidad desde que 
entra al sistema, hasta que sale con el servicio prestado: 
 
 
 
 
 
3) Tiempo medio de espera en el servicio: es la diferencia entre el tiempo que se permanece en el sistema 
y el tiempo de espera en la cola: 
 
 
 
Como sabemos, un fenómeno aleatorio se suele describir por sus parámetros estadísticos (media y 
varianza – en este caso, calculamos las medias de: n, v, j, tf, ts y tss –) o por su distribución de probabilidad. 
Ya conocemos pn, pero a veces, nos interesa conocer las probabilidades acumuladas (es decir, cuál es la 
probabilidad que haya hasta 20 unidades, más de 10, menos de 8, etc). 
 
Prob. HASTA n0 unidades 
47 
 
 
 
 
En estos fenómenos, inciden dos tipos de costos: 
 Costo de prestación del servicio: me indica cuanto me cuesta 1 unidad de servicio, por ello, se lo 
describe como un costo marginal (ya que es por unidad, es decir, por estación de servicio) que implica la 
aceleración del tiempo de servicio para disminuir el tiempo de espera o el tamaño de las filas. 
 Costo de la espera. 
 
Estos costos, pueden recaer en: 
 Mismo ente o sujeto: por ejemplo, el servicio interno de mantenimiento de equipos, donde las 
máquinas se paran y tanto el costo de servicio como el costo de espera recaen en la empresa propietaria 
de las máquinas. 
 Distinto ente o sujeto: por ejemplo, la SAT, donde el costo de servicio recae en la empresa y el costo 
de espera sobre el cliente. 
 
El CT, es la suma entre ambos costos: 
𝑪𝑻𝑺𝑺 + 𝑪𝑻𝒆 = 𝒄𝒔𝒔 ∗ 𝒔 + 𝒄𝒆 ∗ �̅� 
 
Es decir, el CT es el costo de servicio por la cantidad de estaciones de servicio más los costos de espera 
por el número medio de unidades en el sistema (ya que no sólo se pierde tiempo cuando se está en la 
cola, sino que debemos considerar todos los tiempos. Por ejemplo: espera cuando me están atendiendo 
en la caja). 
 
SIEMPRE  el CTe implica  el CTSS 
 
Prob. de que haya 
MÁS de n0 unidades 
Prob. de que haya 
MENOS de n0 unidades