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Álgebra Lineal

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angelica sanchez
18/9/2023
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Álgebra Lineal

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Clase 3
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo I
Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 3
Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
Clase 3:
-Operaciones Elementales por Filas (OEF)
-Equivalencia por Filas
-Forma Escalonada Reducida por Filas (FERF) de una Matriz
-Matrices Elementales
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 3
Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
Operaciones Elementales
por Filas
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 3
Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
Las operaciones elementales por filas son herramientas usadas con mucha frecuencia en la reso-
lución de los sistemas de ecuaciones lineales, asi como en el cálculo de la inversa de una matriz
cuadrada. Estas operaciones las usaremos a lo largo de todo el curso, por ello deben ser manejadas
con la mayor perfección posible por parte del estudiante que desee aprender la materia. Vamos a
definir dichas operaciones, para ello comenzaremos por denotar por MFm(R) al conjunto formado
por todas las matrices reales con m filas (sin importar la cantidad de columnas).
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 3
Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
DEFINICIÓN (Operaciones elementales por filas (OEF))
Una función f : MFm(R) → MFm(R) es llamada una operación elemental por filas (OEF) si es
de uno de los siguientes tipos:
OEF Tipo 1. Si f(A) = B, entonces existen s ∈ {1, . . . ,m} y α 6= 0 tales que
B(i) = A(i) para cada i ∈ {1, . . . ,m}, con i 6= s, y además B(s) = αA(s), esto es, una
de las filas de A es multiplicada por un escalar no nulo y el resto de las filas permanecen iguales.
f(A) = f


A(1)
.
.
.
A(s−1)
A(s)
A(s+1)
.
.
.
A(m)


=

A(1)
.
.
.
A(s−1)
αA(s)
A(s+1)
.
.
.
A(m)

= B
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo I: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Clase 3
Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
DEFINICIÓN (Operaciones elementales por filas (OEF))
OEF Tipo 2. Si f(A) = B, entonces existen s, t ∈ {1, . . . ,m}, con s 6= t, y α ∈ R tales que
B(i) = A(i) para cada i ∈ {1, . . . ,m}, con i 6= s, y además B(s) = A(s) + αA(t), es decir,
a una fila de A le sumamos un múltiplo escalar de alguna otra fila de A, distinta de la primera,
dejando el resto de las filas intactas.
f(A) = f


A(1)
.
.
.
A(s−1)
A(s)
A(s+1)
.
.
.
A(m)


=

A(1)
.
.
.
A(s−1)
A(s) + αA(t)
A(s+1)
.
.
.
A(m)

= B
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Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
DEFINICIÓN (Operaciones elementales por filas (OEF))
OEF Tipo 3. Si f(A) = B, entonces existen s, t ∈ {1, . . . ,m} tales que B(i) = A(i) para cada
i ∈ {1, . . . ,m}, con i 6= s e i 6= t y además B(s) = A(t) y B(t) = A(s), dicho de otra manera,
intercambiamos dos filas de A y dejamos el resto sin alterar.
f(A) = f


A(1)
.
.
.
A(s−1)
A(s)
A(s+1)
.
.
.
A(t−1)
A(t)
A(t+1)
.
.
.
A(m)


=

A(1)
.
.
.
A(s−1)
A(t)
A(s+1)
.
.
.
A(t−1)
A(s)
A(t+1)
.
.
.
A(m)

= B
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Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
DEFINICIÓN (Operaciones elementales por filas (OEF))
En cada caso, en lugar de escribir f(A) = B, escribiremos para
OEF Tipo 1. A
Fs → αFs→B.
OEF Tipo 2. A
Fs → Fs + αFt→B.
OEF Tipo 3. A
Fs ↔ Ft→B.
OBSERVACIÓN
Nótese que si A ∈ Mm×n(R) y f : MFm(R) → MFm(R) es una OEF, entonces f(A) ∈
Mm×n(R), es decir, el orden de la matriz original se mantiene al aplicarle una OEF.
EJERCICIO (Inversibilidad de las OEF)
Pruebe que toda OEF f : MFm(R) → MFm(R) es una función invertible y que su inversa f−1 :
MFm(R)→ MFm(R) es también una OEF del mismo tipo que f .
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Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
EJEMPLO (Uso de las OEF)
Sea
A =

−2 4 −5
6 3 4
2 −1 8
−6 21 −15

Entonces
A =

−2 4 −5
6 3 4
2 −1 8
−6 21 −15

F1 ↔ F3→
(OEF 3)

2 −1 8
6 3 4
−2 4 −5
−6 21 −15

F4 → 13F4→
(OEF 1)

2 −1 8
6 3 4
−2 4 −5
−2 7 −5

F3 → F3 + F1→
(OEF 2)

2 −1 8
6 3 4
0 3 3
−2 7 −5
 = B
�
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Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
OBSERVACIÓN
1 Se pueden aplicar más de dos operaciones por filas en un solo paso, lo único que debemos
cuidar es no transformar, en el mismo paso, una fila más de una vez y no transformar, en
el mismo paso, una fila que va ser usada para transformar a otra(s).
2 De manera análoga a como se definieron las operaciones elementales por filas, pueden definirse
las operaciones elementales por columnas (OEC) sobre el conjunto MCn(R) formado por
todas las matrices reales con n columnas, sin embargo, estas últimas sólo se usarán para el
cálculo de determinantes y no para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales ni para
calcular la inversa de una matriz cuadrada, en estos últimos dos problemas sólo usaremos las
OEF. Al igual que las OEF, las OEC también son invertibles y sus inversas son también OEC
del mismo tipo que la original.
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Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
DEFINICIÓN (Matrices escalonadas, reducidas por filas y escalonadas reducidas por filas)
Sea A = (aij)m×n ∈ Mm×n(R). Diremos que A es una matriz
Escalonada
1 Si todas las filas nulas de A, si las hay, están ubicadas en las últimas posiciones.
2 Si A(i) y A(i+1) son dos filas no nulas de A, entonces la primera componente no nula de
A(i) (contada de izquierda a derecha) está mas a la izquierda de la primera componente
no nula de A(i+1).
Reducida por Filas (RF)
1 Si A(i) es una fila no nula de A, entonces la primera componente no nula de A(i) es
igual a 1 (uno), dicha componente es llamada pivote.
2 Si A(j) es una columna de A que tiene un pivote, en cuyo caso la llamaremos columna
pivote, entonces el resto de las componentes de A(j) son iguales a 0 (cero).
Escalonada Reducida por Filas (ERF) si simultáneamente es escalonada y reducida por filas.
Estamos particularmente interesados en las matrices ERF.
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Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
EJEMPLO (Matrices escalonadas, RF y ERF)
1 Para cualesquiera m,n ∈ Z+, In y 0/m×n son escalonadas reducidas por filas. �
2 E =

2 −1 3 8 3
0 0 5 6 −4
0 0 0 8 −7
0 0 0 0 0
 es escalonada pero no es reducida por filas.�
3 R =

0 0 0 0
1 0 0 7
0 0 1 −9
0 0 0 0
0 1 0 1

es reducida por filas pero no es escalonada. �
4 F =

1 0 −5 0 8
0 1 3 0 −1
0 0 0 1 −2
0 0 0 0 0
 es escalonada reducida por filas. �
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Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
Equivalencia por Filas
La Forma Escalonada
Reducida por Filas
(FERF)
de una Matriz
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Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
DEFINICIÓN (Equivalencia por filas)
Sean A,B ∈ Mm×n(R). Diremos que B es equivalente por filas a A si existen OEF
f1, f2, . . . , fr : MFm(R)→ MFm(R) tales que B = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A).
EJEMPLO (Equivalencia por filas)
Consideremos las matrices A y B del ejemplo del uso de las OEF. Entonces B es equivalente por
filas a A (¿por qué?). �
TEOREMA (Propiedades de la equivalencia por filas)
Sean A,B,C ∈ Mm×n(R). Tenemos que
1 A es equivalente por filas a śı misma.
2 Si B es equivalente por filas a A, entonces A lo es B.
3 Si C es equivalente por filas a B y B lo es a A, entonces C lo es a A.
Demostración.
¡Ejercicio!
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Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
OBSERVACIÓN
La parte 2 del teorema anterior, nos permite decir A y B son equivalentes por filas en lugar de B
es equivalente por filas a A o A es equivalente por filas a B.
TEOREMA (La forma escalonada reducida por filas (FERF))
Toda matriz A ∈ Mm×n(R) es equivalente por filas a:
1 Una matriz escalonada.
2 Una matriz reducida por filas.
3 Una única matriz escalonada reducida por filas, la cual llamaremos la forma escalonada redu-
cida por filas (FERF) de A.
Demostración.
Escapa del objetivo del curso, para una prueba puede remitirse al apendice de demostraciones en la
gúıa de clases.
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Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
OBSERVACIÓN
1 Observe que A ∈ Mn×n(R) es equivalente por filas a In si y sólo si In es la FERF de A.
2 Dada una matriz no nula A ∈ Mm×n(R), la cantidad de matrices escalonadas, que son
equivalentes por filas a A, son infinitas, pero la cantidad de matrices RF que son equivalentes
por filas a A son, a lo sumo m!.
El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento a seguir para calcular la FERF de una matriz, los
pasos pueden variar en cantidad y en el orden en que se aplican, sin embargo, el resultado final debe
ser el mismo sin importar los pasos previos.
EJEMPLO (Cálculo de la FERF)
Calcular la FERF de
A =

6 −1 −15 2 13
−1 0 2 −1 −3
0 −3 −9 0 9
7 1 −11 3 10

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Solución.
A =

6 −1 −15 2 13
−1 0 2 −1 −3
0 −3 −9 0 9
7 1 −11 3 10
F1 ↔ F2→

−1 0 2 −1 −3
6 −1 −15 2 13
0 −3 −9 0 9
7 1 −11 3 10

F1 → −F1→

1 0 −2 1 3
6 −1 −15 2 13
0 −3 −9 0 9
7 1 −11 3 10

F2 → F2 − 6F1→
F4 → F4 − 7F1

1 0 −2 1 3
0 −1 −3 −4 −5
0 −3 −9 0 9
0 1 3 −4 −11

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Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
F2 → −F2→

1 0 −2 1 3
0 1 3 4 5
0 −3 −9 0 9
0 1 3 −4 −11

F3 → F3 + 3F2→
F4 → F4 − F2

1 0 −2 1 3
0 1 3 4 5
0 0 0 12 24
0 0 0 −8 −16

F3 → 112F3→

1 0 −2 1 3
0 1 3 4 5
0 0 0 1 2
0 0 0 −8 −16

F1 → F1 − F3
F2 → F2 − 4F3→
F4 → F4 + 8F3

1 0 −2 0 1
0 1 3 0 −3
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0

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Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
Aśı que la FERF de A es
C =

1 0 −2 0 1
0 1 3 0 −3
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0

�
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Clase 3
Operaciones Elementales por Filas
Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
Matrices Elementales
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Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
Matrices Elementales
DEFINICIÓN (Matriz elemental)
Una matrizE ∈ Mn×n(R) es llamada matriz elemental si existe una OEF f : MFn(R)→ MFn(R)
tal que E = f(In), es decir, E se obtiene de In por medio de una única OEF.
OBSERVACIÓN
Para cada n ∈ Z+, la matriz In es una matriz elemental (¿por qué?)
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Matrices Elementales
EJEMPLO (Matrices elementales)
1 E1 =

1 0 0 0
0 1 0 0
−5 0 1 0
0 0 0 1
 es elemental tipo 2, pues
I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F3 → F3 − 5F1→

1 0 0 0
0 1 0 0
−5 0 1 0
0 0 0 1
 = E1
�
2 E2 =

1 0 0
0 4 0
0 0 1
 es elemental tipo 1, ya que
I3 =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
F2 → 4F2→

1 0 0
0 4 0
0 0 1
 = E2
�
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EJEMPLO (Matrices elementales)(continuación)
3 E3 =

1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0

es elemental tipo 3, dado que
I5 =

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

F2 ↔ F5→

1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0

= E3
�
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Matrices Elementales
TEOREMA (Propiedades de las OEF)
Sean A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R) y f : MFm(R)→ MFm(R) una OEF. Entonces
1 f(AB) = f(A)B.
2 (f(A))(j) = f
(
A(j)
)
para cada j ∈ {1, . . . , n} de donde
f(A) =
[
f
(
A
(1)
)
f
(
A
(2)
)
· · · f
(
A
(n)
)]
es decir, la fila j-ésima de f(A) es igual a f aplicada a la j-ésima fila de A.
Demostración.
Escapa al objetivo real del curso, para detalles de la demostración, ir al apéndice de
demostraciones en la gúıa de clases.
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Operaciones Elementales por Filas
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Matrices Elementales
Como una consecuencia directa de este teorema tenemos los siguiente resultados.
COROLARIO
Si f, f1, f2, . . . , fr : MFm(R) → MFm(R) son OEF, y si consideramos A ∈ Mm×n(R) y
B ∈ Mn×p(R), entonces
1 f(A) = f(Im)A = EA donde E = f(Im) es una matriz elemental.
2 (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(AB) = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A)B.
3 ((f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)(A))(j) = (f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fr)
(
A(j)
)
para cada j ∈ {1, . . . ,m}.
COROLARIO
Sean A,B ∈ Mm×n(R) dos matrices equivalentes por filas. Entonces existen matrices elementales
E1, E2, . . . , Er ∈ Mm×m(R) tales que B = E1E2 · · ·ErA.
En ambos casos las demostraciones se dejan como ejercicio y son consecuencias directas del
teorema.
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Equivalencia por Filas. La FERF de una Matriz
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OBSERVACIÓN
Para las OEC, existen resultados y definiciones equivalentes a las dadas para las OEF, entre éstas
tenemos: matrices equivalentespor columnas, matrices elementales (por columnas), estás últimas
no difieren de las matrices elementales (por filas) pues se puede probar que toda matriz elemental
(por filas) es también una matriz elemental (por columnas) y viceversa, de alĺı la razón por la
cual simplemente se les llama matrices elementales. Entre otros resultados tenemos, por ejemplo,
que si f : MCp(R) → MCp(R) es una OEC, A ∈ Mm×n(R) y B ∈ Mn×p(R), entonces
f(AB) = Af(B); (f(B))(j) = f
(
B(j)
)
para cada j ∈ {1, . . . , n} y f(B) = Bf(Ip) = BE.
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	Equivalencia por Filas. La Forma Escalonada Reducida por Filas (FERF) de una Matriz
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