ClasesVirtualesAlgebraLinealClase15

Vista previa del material en texto

Clase 15
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo III
Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Clase 15:
-Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
-Matriz de Cambio de Base
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Bases Ordenadas y Matriz
de Coordenadas
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Dada una base β = {v1, v2, . . . , vn} de V, existen
muchas formas de ordenar los vectores en β, a saber n! formas distintas, haremos una diferencia
entre unas y otras definiendo lo que llamaremos base ordenada.
Definición 10 (Bases ordenadas)
Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Una base ordenada de V es una n-upla ordenada
(v1, v2, . . . , vn) tal que {v1, v2, . . . , vn} es una base de V.
Observación 14
Para no recargar mucho la notación, en lugar de escribir (v1, v2, . . . , vn), escribiremos
{v1, v2, . . . , vn} y, para evitar posibles confusiones, diremos que {v1, v2, . . . , vn} es una ba-
se ordenada de V.
Ejemplo 26 (Bases Ordenadas)
1 En R2, βc = {(1, 0), (0, 1)} y β = {(0, 1), (1, 0)}, son dos bases ordenadas distintas, la
primera se denomina la base canónica ordenada o simplemente base canónica de R2. Nótese
que βc y β son iguales como bases de R2, pero distintas como bases ordenadas. �
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Ejemplo 26 (Bases Ordenadas (continuación))
1 En el mismo orden de ideas, en Rn, las bases ordenadas
βc = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)}
y
β = {(0, . . . , 0, 1), (0, . . . , 0, 1, 0), . . . , (1, 0, . . . , 0)}
son distintas, pero como bases son iguales. Al igual que en el caso de R2, βc es llamada base
canónica ordenada o simplemente base canónica de Rn. �
2 En el espacio de las matrices Mm×n(R), la base
βc = {E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n, . . . , Em1, Em2, . . . , Emn}
es llamada la base canónica ordenada o simplemente base canónica de Mm×n(R). Las si-
guientes son bases ordenadas de Mm×n(R), distintas entre śı y distintas de βc:
1 β1 = {E11, E21, . . . , Em1, E12, E22, . . . , Em2, . . . , E1n, E2n, . . . , Emn}
2 β2 = {Emn, . . . , Em2, Em1, . . . , E2n, . . . , E22, E21, E1n, . . . , E12, E11}
3 β3 = {Emn, . . . , E2n, E1n, . . . , Em2, . . . , E22, E12, Em1, . . . , E21, E11}
4 β4 = {E1n, . . . , E12, E11, E2n, . . . , E22, E21, . . . , Emn, . . . , Em2, Em1}
Todas estas bases son iguales como bases (no ordenadas). �
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Ejemplo 26 (Bases Ordenadas (continuación))
1 En Pn[x] las siguientes bases βc = {1, x, . . . , xn} y β = {xn, . . . , x, 1} son bases or-
denadas distintas, pero como bases son iguales. βc es llamada base canónica ordenada o
simplemente base canónica de Pn[x]. �
Dada una base {v1, v2, . . . , vn} de V, sabemos que para cada v ∈ V existen únicos escalares
α1, α2, . . . , αnR tales que
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.
Si {v1, v2, . . . , vn} es una base ordenada, entonces los escalares α1, α2, . . . , αn son únicos y
están ordenados de forma única, lo que da pie a la siguiente definición.
Definición 11 (Matriz de coordenadas)
Sea β = {v1, v2, . . . , vn} una base ordenada de V y sea v ∈ V. Definiremos la matriz de
coordenadas de v respecto a la base β como la única matriz
[v]β =

α1
α2
.
.
.
αn

tal que v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Ejemplo 27 (Matriz de Coordenadas)
El conjunto β = {1 + x, x + x2, 1 + x2} es una base de P2[x] (¡pruébelo!). Para cualquier
p(x) ∈ P2[x], encuentre [p(x)]β .
Solución. Sea p(x) = a0 + a1x+ a2x
2, con a0, a1, a2 ∈ R, y sea
[p(x)]β =

α1
α2
α3

Entonces, para cada x ∈ R, tenemos
p(x) = α1(1 + x) + α2(x+ x
2
) + α3(1 + x
2
) = (α1 + α3) + (α1 + α2)x+ (α2 + α3)x
2
De donde se obtiene el sistema

α1 +α3 = a0
α1 +α2 = a1
α2 +α3 = a2
Resolvamos el sistema
1 0 1 a0
1 1 0 a1
0 1 1 a2
F2 → F2 − F1→

1 0 1 a0
0 1 −1 −a0 + a1
0 1 1 a2

MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
F3 → F3 − F2→

1 0 1 a0
0 1 −1 −a0 + a1
0 0 2 a0 − a1 + a2

F3 → 12F3→

1 0 1 a0
0 1 −1 −a0 + a1
0 0 1 12a0 −
1
2a1 +
1
2a2

F1 → F1 − F3→
F2 → F2 + F3

1 0 0 12a0 +
1
2a1 −
1
2a2
0 1 0 − 12a0 +
1
2a1 +
1
2a2
0 0 1 12a0 −
1
2a1 +
1
2a2

Luego
p(x)]β = [a0 + a1x+ a2x
2
]β =

1
2a0 +
1
2a1 −
1
2a2
− 12a0 +
1
2a1 +
1
2a2
1
2a0 −
1
2a1 +
1
2a2
 = 12

a0 + a1 − a2
−a0 + a1 + a2
a0 − a1 + a2

=
1
2

1 1 −1
−1 1 1
1 −1 1


a0
a1
a2
 = 12

1 1 −1
−1 1 1
1 −1 1
 [p(x)]βc
�
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Teorema 20
Sea β una base ordenada de un espacio vectorial V de dimensión n. Para cualesquiera u, v ∈ V y
α ∈ R se cumple que
1 [u+ v]β = [u]β + [v]β .
2 [αu]β = α[u]β .
Demostración.
¡Ejercicio!
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Matriz de Cambio de
Base
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Teorema 21
Sean β1 = {v1, v2, . . . , vn} y β2 = {u1, u2, . . . , un} bases ordenadas de un espacio vectorial
V. Entonces existe una única matriz A ∈ Mn×n(R) tal que
[v]β2 = A[v]β1 para cada v ∈ V (1)
Definición 12 (Matriz de cambio de base)
La matriz A en el teorema anterior es llamada matriz de transición o matriz de cambio de base
de β1 a β2 y se denota por Mβ1,β2 .
Como su nombre lo indica, la matriz Mβ1,β2 permite calcular la matriz de coordenadas de un
vector v ∈ V, respecto a la base β2, conociendo la matriz de coordenadas de v respecto a la base β1.
Nótese además que por su definición, la columna j-ésima de Mβ1,β2 , representa la matriz de coorde-
nadas del j-ésimo vector de β1 respecto a la base β2, esto es, si
β1 = {v1, v2, . . . , vn}, entonces
Mβ1,β2 =
[
[v1]β2 [v2]β2 · · · [vn]β2
]
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Ejemplo 28 (Matriz de cambio de base en P2[x])
Sea β la base ordenada de P2[x] dada en el ejemplo 27. Entonces, según el ejemplo en cuestión,
tenemos que
Mβc,β =
1
2

1 1 −1
−1 1 1
1 −1 1
 (¿por qué?)
donde βc es la base canónica ordenada de P2[x]. �
Antes de dar algún otro ejemplo, enunciaremos un primer resultado que involucra matrices de
transición.
Teorema 22
Si V es un espacio vectorial de dimensión n y β1 y β2 son dos bases ordenadas de V, entonces la
matriz Mβ1,β2 es invertible y su inversa es Mβ2,β1 .
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Ejemplo 29 (Matriz de cambio de base en R3)
Consideremos las siguientes bases ordenadas de R3
β1 = {(1,−2, 0), (3,−1, 1), (0, 1, 3)};β2 = {(0, 2, 1), (−1, 0, 1), (3,−1, 2)}
y βc la base canónica.
Calcular Mβ1,β2 , Mβc,β2 y Mβ2,β1 .
Solución. Para calcular Mβ1,β2 debemos calcular las matrices de coordenadas de cada uno de
los vectores de β1 respecto a la base β2. Sean
[(1,−2, 0)]β2 =

α1,1
α2,1
α3,1
 , [(3,−1, 1)]β2 =

α1,2
α2,2
α3,2
 y [(0, 1, 3)]β2 =

α1,3
α2,3
α3,3

Entonces
(1,−2, 0) = α1,1(0, 2, 1) + α2,1(−1, 0, 1) + α3,1(3,−1, 2)
= (−α2,1 + 3α3,1 , 2α1,1 − α3,1 , α1,1 + α2,1 + 2α3,1)
(3,−1, 1) = α1,2(0, 2, 1) + α2,2(−1, 0, 1) + α3,2(3,−1, 2)
= (−α2,2 + 3α3,2 , 2α1,2 − α3,2 , α1,2 + α2,2 + 2α3,2)
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
(0, 1, 3) = α1,3(0, 2, 1) + α2,3(−1, 0, 1) + α3,3(3,−1, 2)
= (−α2,3 + 3α3,3 , 2α1,3 − α3,3 , α1,3 + α2,3 + 2α3,3)
De donde
−α2,1 +3α3,1 = 1
2α1,1 −α3,1 = −2
α1,1 +α2,1 +2α3,1 = 0
,

−α2,2 +3α3,2 = 3
2α1,2 −α3,2 = −1
α1,2 +α2,2 +2α3,2 = 1
y

−α2,3 +3α3,3 = 0
2α1,3 −α3,3 = 1
α1,3 +α2,3 +2α3,3 = 3
Debido a que la matriz de cada uno de estos sistemas es la misma, podemos resolverlos de manera
simultánea considerando la siguiente matriz tres veces ampliada
0 −1 3 1 3 0
2 0 −1 −2 −1 1
1 1 2 0 1 3

Nótese que las tres primeras columnas de ésta matriz, son las matrices de coordenadas de cada
uno de los vectores de la base β2 respecto a la base canónica, y las tres últimas columnas, son las
matrices de coordenadas de cada uno de los vectores de la base β1 respecto a la base canónica, es
decir
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
[Mβ2,βc |Mβ1,βc ] =

0 −1 3 1 3 0
2 0 −1 −2 −1 1
1 1 2 0 1 3

Este procedimiento es estándar cada vez que busquemos una matriz de cambio de base.
0 −1 3 1 3 0
2 0 −1 −2 −1 1
1 1 2 0 1 3
F1 ↔ F3→

1 1 2 0 1 3
2 0 −1 −2 −1 1
0 −1 3 1 3 0

F2 → F2 − 2F1→

1 1 2 0 1 3
0 −2 −5 −2 −3 −5
0 −1 3 1 3 0

F2 ↔ F3→

1 1 2 0 1 3
0 −1 3 1 3 0
0 −2 −5 −2 −3 −5

F2 → −F2→

1 1 2 0 1 3
0 1 −3 −1 −3 0
0 −2 −5 −2 −3 −5

F1 → F1 − F2→
F3 → F3 + 2F2

1 0 5 1 4 3
0 1 −3 −1 −3 0
0 0 −11 −4 −9 −5

MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
F3 → − 111F3→

1 0 5 1 4 3
0 1 −3 −1 −3 0
0 0 1 411
9
11
5
11

F1 → F1 − 5F3→
F2 → F2 + 3F3

1 0 0 − 911 −
1
11
8
11
0 1 0 111 −
6
11
15
11
0 0 1 411
9
11
5
11

Aśı que
Mβ1,β2 =

− 911 −
1
11
8
11
1
11 −
6
11
15
11
4
11
9
11
5
11
 = 111

−9 −1 8
1 −6 15
4 9 5

Calculemos ahora Mβc,β2 . En este caso la matriz aumentada que obtenemos es
[Mβ2,βc |Mβc,βc ] =

0 −1 3 1 0 0
2 0 −1 0 1 0
1 1 2 0 0 1

Vemos que para obtener Mβc,β2 necesitamos aplicar, en el mismo orden, las mismas OEF que
aplicamos anteriormente (¿por qué?), y obtenemos

1 0 0 111
5
11
1
11
0 1 0 − 511 −
3
11
6
11
0 0 1 211 −
1
11
2
11

MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Por lo tanto
Mβc,β2 =

1
11
5
11
1
11
− 511 −
3
11
6
11
2
11 −
1
11
2
11
 = 111

1 5 1
−5 −3 6
2 −1 2

Nótese que la matriz obtenida no es mas que la inversa de
Mβ2,βc =

0 −1 3
2 0 −1
1 1 2

Finalmente (¡verif́ıquelo!)
Mβ2,β1 = (Mβ1,β2 )
−1
=

− 1514
1
2
3
14
5
14 −
1
2
13
14
3
14
1
2
5
14
 = 114

−15 7 3
5 −7 13
3 7 5

�
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Ejemplo 30
Sean β1, β2 y βc como en el ejemplo 29. Dado cualquier (x, y, z) ∈ R3, calcular [(x, y, z)]β2 y
[(x, y, z)]β1 .
Solución. Sabemos que [(x, y, z)]βc =

x
y
z
 por lo tanto
[(x, y, z)]β2 = Mβc,β2 [(x, y, z)]βc =
1
11

1 5 1
−5 −3 6
2 −1 2


x
y
z
 = 111

x+ 5y + z
−5x− 3y + 6z
2x− y + 2z

[(x, y, z)]β1 = Mβ2,β1 [(x, y, z)]β2 =
1
14

−15 7 3
5 −7 13
3 7 5

 111

x+ 5y + z
−5x− 3y + 6z
2x− y + 2z


=
1
14

−4x− 9y + 3z
6x+ 3y − z
−2x− y + 5z

�
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
En este último ejemplo se verifica que
Mβc,β1 = Mβ2,β1Mβc,β2 =
1
14

−15 7 3
5 −7 13
3 7 5

 111

1 5 1
−5 −3 6
2 −1 2


Mβc,β1 =
1
14

−4 −9 3
6 3 −1
−2 −1 5

Este resultado no es casual, como se puede ver en elsiguiente teorema.
Teorema 23
Sean β1, β2 y β3 bases ordenadas de un espacio vectorial V de dimensión n. Entonces
Mβ1,β3 = Mβ2,β3Mβ1,β2 .
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
En el caṕıtulo 1, se explicó la resolución del problema de hallar una solución a la ecuación matricial
AX = B, donde A ∈ Mm×n(R) y B ∈ Mm×p(R) son matrices conocidas, en particular, cuando
A es invertible, tal resolución nos permite obtener la única solución posible que es X = A−1B.
Por otro lado, si consideramos tres bases ordenadas de un espacio vectorial V de dimensión finita,
digamos β1, β2 y β3, al resolver la ecuación matricial Mβ2,β3X = Mβ1,β3 , según lo comentado
anteriormente, y en virtud de los teoremas 22 y 23, obtenemos que la solución a esta ecuación está
dada por X = (Mβ2,β3 )
−1Mβ1,β3 = Mβ3,β2Mβ1,β3 = Mβ1,β2 , por lo tanto, sabiendo que
tal ecuación se resuelve al calcular la FERF de la matriz [Mβ2,β3 |Mβ1,β3 ], entonces, cuando las
matrices Mβ2,β3 y Mβ1,β3 son conocidas o bien, son fáciles de calcular, el problema se simplifica
bastante y se reduce al cálculo antes mencionado.
En relación a esto último, si β3 = βc, donde βc es la base canónica de V, siendo V uno de los
espacios Rn, Mm×n(R) o Pn[x], entonces las matrices Mβ2,β3 = Mβ2,βc y Mβ1,β3 = Mβ1,βc
se pueden calcular fácilmente, en consecuencia, dadas dos bases ordenadas β1 y β2 cualesquiera de
alguno de estos espacios vectoriales, el cálculo de la matriz de transición de β1 a β2, se reduce a
calcular la FERF de la matriz [Mβ2,β3 |Mβ1,β3 ] = [Mβ2,βc |Mβ1,βc ].
Puede verificar que este último procedimiento fue el que, de manera indirecta, se usó en el ejemplo
29.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Teorema 24
Sea β una base ordenada de un espacio vectorial V de dimensión n. Entonces {v1, v2, . . . , vn}
es una base de V si y sólo si la matriz cuadrada de orden n, cuya j-ésima columna es [vj ]β , tiene
determinante distinto de cero.
El Teorema 24 nos da una forma alternativa para saber si un conjunto {v1, v2, . . . , vn}, en un
espacio vectorial de dimensión n, es una base para dicho espacio.
Teorema 25
Sean V un espacio vectorial de dimensión n, β una base ordenada de V, S = {v1, v2, . . . , vk} ⊂ V,
A ∈ Mn×k(R) la matriz cuya j-ésima columna es [vj ]β y F ∈ Mn×k(R) la FERF de A. Si
j1, j2, . . . , jr ∈ {1, . . . , k} son tales que F (j1), F (j2), . . . , F (jr) son las diferentes columnas
pivotes de F , entonces vj1 , vj2 , . . . , vjr son linealmente independientes. Además, para cada j ∈
{1, . . . , k}, se tiene que
vj = f1jvj1 + f2jvj2 + · · ·+ frjvjr =
r∑
i=1
fijvji .
Demostración.
¡Ejercicio!
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Observación 15
El teorema 25 es una versión vectorial del teorema 12 y, del mismo modo como en el teorema 12, la
última igualdad en el teorema 25nos muestra, de forma expĺıcita, la expresión, para cada vector de
S, como combinación lineal de aquellos vectores de S que son linealmente independientes. Además,
análogo al caso matricial, el teorema 25 es de mucha utilidad práctica en el estudio de los espacios
vectoriales.
En el siguiente ejemplo veremos más claramente la aplicabilidad del teorema 25 y su relación con el
teorema 12.
Ejemplo 31
Consideremos el siguiente conjunto de vectores en R4
S = {(−1,−2, 1, 2), (2, 4,−2,−4), (2, 0, 3,−1), (0, 2,−5, 2), (5, 6,−5, 0)}
Halle una base para span(S) la cual esté contenida en S.
Solución. Es claro que S es un conjunto linealmente dependiente (¿por qué?). Denotemos por
v1, v2, v3, v4 y v5 a los vectores de S, en el mismo orden en que fueron dados. Veamos cómo el
teorema 25 nos va a permitir hallar una base para span(S) la cual esté contenida en S, en realidad
nos va a permitir algo más, como veremos.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Consideremos βc la base canónica ordenada de R4 y denotemos por [S]βc ∈ M4×5(R) (sólo es
una notación que estamos usando para este ejercicio en particular) a la matriz cuya j-ésima columna
es la matriz de coordenadas del j-ésimo vector de S respecto a la base canónica βc, tal como lo
sugiere el teorema 25, esto es
[S]βc =
[
[v1]βc [v2]βc [v3]βc [v4]βc [v5]βc
]
=

−1 2 2 0 5
−2 4 0 2 6
1 −2 3 −5 −5
2 −4 −1 2 0

Al calcular su FERF obtenemos la matriz (¡verif́ıquelo!)
F =

1 −2 0 0 −1
0 0 1 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0

Ahora bien, en virtud del teorema 25, dado que los pivotes se encuentran en las columnas 1, 3 y 4
de F , se tiene que los vectores v1, v3 y v4 son linealmente independientes y, por lo tanto, forman
una base para span(S) la cual, claramente, está contenida en S, es decir, β = {v1, v3, v4} es
una base para span(S) y β ⊂ S. Hasta acá hemos respondido la pregunta que se nos plantea, sin
embargo, el teorema 25 nos permite garantizar algo más.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
A partir de F , particularmente de las componentes de sus columnas, podemos garantizar (¿por
qué?) que
v2 = −2v1 + 0v3 + 0v4
y v5 = −1v1 + 2v3 + 2v4
Para este ejemplo espećıfico, tenemos que r = 3 (la cantidad de columnas pivotes de F ) y j1 = 1,
j2 = 3 y j3 = 4 (las posiciones de las columnas pivotes de F ). Compare este procedimiento con el
empleado en el ejemplo 16. �
En el ejemplo 31 se verifica la parte 1 del teorema 19, esto es, hallar una base de un espacio
vectorial a partir de un conjunto generador, sin embargo, la parte 2 del mismo teorema garantiza
que también podemos hallar una base de un espacio vectorial a partir de un conjunto linealmente
independiente, veamos cómo, en la práctica, podemos verificar tal resultado, para ello consideremos
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 32
Considere el conjunto S del ejemplo 31 y la base β para span(S) obtenida en el mismo ejemplo.
Encuentre una base β̃ para R4 tal que β ⊂ β̃
Solución. Dado que β = {v1, v3, v4} es linelamente independiente, por ser una base de span(S),
entonces, en virtud de la parte 2 del teorema 19, sabemos que existe una base β̃ de R4 tal que
β ⊂ β̃.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Por otro lado, dado que β tiene 3 elementos y dim(R4) = 4, solamente necesitamos un vector
para añadir a β y aśı encontrar β̃, ahora bien ¿cómo hacer tal escogencia? existen variadas maneras
de hacer tal escogencia, acá aplicaremos y explicaremos un método que luego generalizaremos en
un teorema.
Consideremos la base canónica ordenada de R4, βc = {e1, e2, e3, e4} y definamos la matriz
A =
[
[v1]βc [v3]βc [v4]βc
]
=

−1 2 0
−2 0 2
1 3 −5
2 −1 2

si eliminamos en A la fila 4, se obtiene la submatriz
à =

−1 2 0
−2 0 2
1 3 −5

la cual satisface que det(Ã) = −10 6= 0 (¡verif́ıquelo!) ¿qué hay con eso? veamos que esto basta
para saber que el vector e4 es tal que β ∪ {e4} es la base β̃ que buscamos. En efecto, probemos
que el conjunto β∪{e4} = {v1, v3, v4, e4} es una base para R4, para ello consideremos la matriz
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
 =
[
[v1]βc [v3]βc [v4]βc [e4]βc
]
=

−1 2 0 0
−2 0 2 0
1 3 −5 0
2 −1 2 1

Dado que
det(Â) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 2 0 0
−2 0 2 0
1 3 −5 0
2 −1 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
al desarrollar este determinate mediante la cuarta columna, obtenemos
det(Â) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 2 0
−2 0 2
1 3 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣ = det(Ã) = −10
En consecuencia, al hacer uso del teorema 24, podemos concluir que
β̃ = β ∪ {e4} = {v1, v3, v4, e4}
es una base para R4 y claramente β ⊂ β̃. �
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 15
Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
Matriz de Cambio de Base
Cabe destacar que el método usado en el ejemplo 32 se puede generalizar, por ejemplo, no
es necesario usar la base canónica para completar la base, sin embargo, también es cierto que al
escoger dicha base, se podŕıan ahorrar algunos cálculoss. A continuación enunciaremos el teorema
que permite tal generalización del método y también algo más.
Teorema 26
Sea β = {v1, v2, . . . , vn} una base ordenada de un espacio vectorial V. Entonces el conjunto
L = {u1, u2, . . . , uk} ⊂ V es linealmente independiente si y sólo si la matriz A ∈ Mn×k(R), tal
que A(j) = [uj ]β para cada j ∈ {1, . . . , k}, tiene una submatriz à ∈ Mk×k(R) con determinante
distinto de cero. Además, si à se obtuvo de A al eliminar las filas i1, i2, . . . , ir (nótese que
r = n− k), entonces los vectores vi1 , vi2 , . . . , vir son tales que
β̃ = L ∪ {vi1 , vi2 , . . . , vir} = {u1, u2, . . . , uk, vi1 , vi2 , . . . , vir}
es una base para V.
Demostración.
Ver el apéndice D de la gúıa de clases.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
	Clase 15
	Bases Ordenadas y Matriz de Coordenadas
	Matriz de Cambio de Base