paradoja 10

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Hary Nicol Trujillo.
Paradojas matemáticas.
Paradoja de Löb
La Paradoja de Löb es una paradoja que surge en el campo de la lógica
modal y está relacionada con la autorreferencia y la teoría de la prueba en la
lógica matemática. Fue formulada por el lógico sueco Martin Hugo Löb en la
década de 1950. La paradoja de Löb es similar a la Paradoja del Mentiroso y
la Paradoja de Kleene-Rosser en el sentido de que involucra afirmaciones
autorreferenciales que conducen a contradicciones.
La Paradoja de Löb se puede expresar en términos generales de la siguiente
manera:
1. Supongamos que tenemos un sistema formal capaz de representar
afirmaciones lógicas y pruebas formales de esas afirmaciones.
2. Considera una afirmación P que dice: "Si es demostrable que P es
cierta, entonces P es cierta."
3. En otras palabras, P afirma que si existe una prueba de que P es
verdadera, entonces P es verdadera en sí misma.
4. La paradoja surge cuando intentamos determinar si P es verdadera o
falsa.
Si P es verdadera, entonces la afirmación "Si es demostrable que P es cierta,
entonces P es cierta" es verdadera, lo que significa que es demostrable que P
es cierta, y por lo tanto, P es cierta. Sin embargo, si P es falsa, entonces la
afirmación "Si es demostrable que P es cierta, entonces P es cierta" es
trivialmente verdadera (porque su antecedente es falso), lo que significa que
es demostrable que P es cierta, y nuevamente llegamos a la conclusión de
que P es cierta. Esto crea una contradicción.
La Paradoja de Löb destaca las sutilezas y complejidades de la lógica
autorreferencial y la autorreferencia en el contexto de la teoría de la prueba y
la lógica modal. Para resolver o evitar esta paradoja, se han desarrollado
diversos sistemas lógicos y enfoques, como la lógica modal provista de
restricciones para abordar problemas de autorreferencia.