U5_CONTINUIDAD_EJ_RESUELTOS

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FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 116 - 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Dada la función definida por : 













0;
.10
.32.3
0;
.5
cos.33
)(
x
x
xx
x
tgxx
x
xf 
 
analice la continuidad en x = 0. Si presenta discontinuidades clasifíquela y redefina si es necesario. 
 
Resolución 
a) 0xendefinidaestánofque yaf(0)existeno  . Entonces f no es continua en x=0 
b) 
existe 
10
3
 
2
1
 .1 .
5
3
 
cos1
cos
0
lim.
0
lim
5
3
)cos1.(
cos.
0
lim
5
3
 
)cos1( . .
cos .2
 
0
lim
5
3
)cos1.(.
)cos1.(cos).cos1(
0
lim
5
3
 
.
cos).cos1(
0
lim
5
3
cos
.
)cos1(
0
lim
5
3
..5
cos.33
0
lim
0
0
0.0.5
1.33
..5
cos.33
0
lim



































x
x
xx
senx
x
xx
xsenx
xxsenxx
xxsen
x
xsenxx
xxx
xsenxx
xx
x
x
senx
x
x
xtgxx
x
x
tgxx
x
x
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 117 - 
 
existe 
10
3
 1
0
lim 
10
3)1( .
0
lim 
10
3
 
10
.32.3
 
0
lim
0
0
10
.32.3
0
lim











x
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
x
 
como 
10
3
)(
0
lim)(
0
lim 


 
xf
x
xf
x
 entonces 
10
3
)(
0
lim 

xf
x
 y la función presenta 
 
discontinuidad evitable en x=0 
 
Función redefinida: 



















0;
10
323
0;
10
3
0;
.5
cos33
)(
x
x
xx
x
x
tgx
x
xF 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 118 - 
 
Ejemplo 2: 
Analice la continuidad de la función definida por: 
 
 
 
a) Se analiza el dominio de f 
 
 
 
 
 
b) Se analiza la continuidad de f en los puntos excluidos del dominio. 
 
1 
 , 
52.4
32.2
 
-1x
lim 
9
5
4
5
.2
2
3
 
-1x
lim
4
5
).1.(4
2
3
).1.(2
 
-1x
lim
52.4
32.2
 
-1x
lim
0
0
52.4
32.2
 
-1x
lim
1- x en definida está no f 
0
0
5)1(2)1.(4
3)1(2)1.(2
)1(
















































xen
evitableidaddiscontinupresentafunciónlaexiste
xx
xx
como
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
f
 
Función redefinida: 
 














 1;
9
5
1;
524
322
)(
x
x
xx
xx
xF 
 
524
322x
f(x)



xx
x








4
5
 1,- - R domf 12 x, 
4
5
1x
05-x-24x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 119 - 
 
Ejemplo 3: 
Analice la continuidad de la función definida, en los intervalos indicados: 
   1 ,5












 ;5,1- en 
 1 x;x -3
1x2- ; 5x
2- x ; 5 2x
f(x)
 
 
 
 
A) Si f es continua en todos los puntos del intervalo (-5, 1) es continua en dicho intervalo. 
Como f(x) = 2x + 5 es continua en R, lo es en el intervalo (-5, -2) 
Como f(x) = x + 5 es continua en R, lo es en el intervalo (-2, 1) 
Entonces se analiza la continuidad en x = – 2 
1 (x) 
-2x
lim existe entonces
existe 1 3 x
-2x
lim 
existe 1 52x 
-2x
lim )
2- x en , 2- x en definida está no f co )
-








f
b
adiscontinuesfmoa
 
Por lo tanto f presenta discontinuidad evitable en x = – 2 
 
 1 x;x -3
1x2- ; 5x
2- x ; 5 2x
f(x)













 
Con lo cuál deducimos que f es continua en (-5, 1) 
1 -2 -5 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 120 - 
 
B) Si f es continua en todos los puntos del intervalo (-5, 1) y además 
f(1)f(x)
1x
lim 
 
 
f es continua en (-5, 1]. 
Como f(x) = 2x + 5 es continua en R, lo es en el intervalo (-5, 1) 
Como f(x) = x + 5 es continua en R, lo es en el intervalo (-5, 1) 
Entonces se analiza la continuidad en x = 1 
(x) 
1x
lim existe no entonces (x) 
1x
lim (x) 
1x
lim como
existe 2 3x- 
1x
lim 
existe 4 3 x
1x
lim )
1 x en , 1 x en definida está no f co )
-
fff
b
adiscontinuesfmoa









 
Por lo tanto f presenta discontinuidad no evitable en x =1 y por lo tanto f no es continua en 
(-5, 1] 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 121 - 
 
Ejemplo 4: 
Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 
15,5 fotografías por minuto. 
Sin embargo sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de 
fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente 
expresión: 










5
2
455
5011515
x
x
x
xx
xF
,,
)( 
F(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene “x” años. 
 
DESARROLLO 
a) Estudia la continuidad de la función F(x)
 
 
 5 x en cont ínua es F
 
x
x
10 5. 1,1 -15,5 x . 1,1 -15,5 b
10 5. 1,1 -15,5 F(5) a
xx
xx











10
25
455.5
lim
2
455
lim
limlim)
)
55
55
 
b) Comprueba que si el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la 
máquina, entonces si ésta tiene más de 5 años, revelará menos de 10 fotocopias por minuto. 
6,6
220
4520.5
lim
2
455
lim
92,7
210
4510.5
lim
2
455
lim
88,8
27
457.5
lim
2
455
lim
37,9
26
456.5
lim
2
455
lim
2020
1010
77
66




























xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 122 - 
 
c) Justifica que por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de 5 fotog/min 
5
2
1
9
1 5
2
1
9
1.5
lim
2
1.
9
1.5
lim
2
45.5
5
lim
2
455
lim


























































 
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x 
 
d) Haz un esbozo de la gráfica de la función 
 
 
 
fin