4_Limites

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Notas de clase - Cálculo I
4. Ĺımite de funciones
Sea f : I → R una función, prestaremos atención a los x0 ∈ R para los cuales existe r > 0 tal que
(1) (x0 − r, x0 + r) \ {x0} ⊂ I.
Esta última condición expresa que nos podemos acercar a x0 tanto como queramos por puntos en I pero
distintos de x0 (x0 puede o no pertenecer al conjunto I).
Nosotros estamos interesados en estudiar ”a que valor se aproxima f(x)” cuando x esta ”próximo” a un
punto x0 que satisface (1) y x 6= x0.
Antes de precisar las comillas anteriores comenzaremos con un ejemplo, en dicho ejemplo las palabras
aproxima y próximo se emplearán de forma intuitiva.
Ejemplo 1: Sea f : I → R la función definida por f(x) = x
3 − 1
x− 1
, para x ∈ I = R \ {1}. f NO esta
definida para x = 1! Sin embargo x0 = 1 satisface (1) para I = R \ {1}. Queda a cargo del lector realizar el
gráfico de tal función f . Ahora uno se puede preguntar lo siguiente:
A qué valor se ”aproxima”
x3 − 1
x− 1
, cuando x esta ”próximo” a 1 y x 6= 1? Un primer intento para
responder esto es realizar una tabla de valores para f(x) con x’s ”próximos” pero distintos de 1.
Teniendo en cuenta que
x3 − 1
x− 1
= x2 + x+ 1 para todo x 6= 1, obtenemos la siguiente tabla.
x x
3−1
x−1
1.1 3.31
1.01 3.0301
1.001 3.003
↓ ↓
1 3?
↑ ↑
0.999 2.997
0.99 2.9701
0.9 2.71
Dicha tabla parece indicar que
x3 − 1
x− 1
se ”aproxima” a 3 cuando x esta ”próximo” a 1 y x 6= 1.
El sentido preciso de la frase ”f(x) se aproxima al valor L o tiene por ĺımite a L cuando x se aproxima o
tiende a x0 y x 6= x0”, se encuentra en la siguiente definición.
Definición de ĺımite: Decir que una función f : I → R, f = f(x), tiene por ĺımite al valor L ∈ R,
cuando x tiende a un punto x0 que satisface (1) y x 6= x0, significa que:
Para cada � > 0, existe δ > 0 : si x ∈ I y 0 < |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− L| < �.
Si este es el caso escribimos
lim
x→x0
f(x) = L.
Nota 1: Si una función posee ĺımite, entonces éste es único.
1
2
Nota 2: En la definición de ĺımite, primero se da el número � > 0 y luego debe encontrarse el δ > 0. En
general δ puede depender de � y del punto x0. Los siguientes gráficos ilustran esta afirmación.
Figura 1
Dado � > 0, buscamos δ > 0 tal que 0 < |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− L| < �.
Figura 2
El δ que aparece en la figura (2) es tal que 0 < |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− L| < �.
El δ̃ que aparece en la figura (2) No cumple que 0 < |x−x0| < δ̃ =⇒ |f(x)−L| < �; pues, por ejemplo,
el punto x1 es tal que 0 < |x1 − x0| < δ̃ y |f(x1)− L| > �.
Nota 3: Sean �, δ > 0 tales que 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − L| < �. Si 0 < δ0 < δ, entonces
0 < |x− x0| < δ0 =⇒ |f(x)− L| < �.
3
Ejemplo 2: Veamos, por definición, que lim
x→1
x3 − 1
x− 1
= 3.
Dado � > 0, debemos hallar δ > 0 tal que
0 < |x− 1| < δ =⇒
∣∣∣∣x3 − 1x− 1 − 3
∣∣∣∣ < �.
Es suficiente mostrar que
∣∣∣x3−1x−1 − 3∣∣∣ ≤ 4|x− 1| para todo x tal que 0 < |x− 1| ≤ 1. Entonces tendremos
que, dado � > 0 al tomar δ = min
{
�
4 , 1
}
resulta
0 < |x− 1| < δ =⇒
∣∣∣∣x3 − 1x− 1 − 3
∣∣∣∣ ≤ 4|x− 1| < 4δ ≤ 4 �4 = �.
Luego, por definición
lim
x→1
x3 − 1
x− 1
= 3.
Veamos que
∣∣∣x3−1x−1 − 3∣∣∣ ≤ 4|x− 1|, ∀x : 0 < |x− 1| ≤ 1. Un computo da∣∣∣∣x3 − 1x− 1 − 3
∣∣∣∣ = |x2 + x+ 1− 3|
= |x2 + x− 2|
= |x+ 2||x− 1|
= |x− 1 + 3| |x− 1|
≤ (|x− 1|+ 3) |x− 1|,
por lo tanto ∣∣∣∣x3 − 1x− 1 − 3
∣∣∣∣ ≤ (|x− 1|+ 3) |x− 1|, ∀x 6= 1.
De esta última desigualdad se sigue que∣∣∣∣x3 − 1x− 1 − 3
∣∣∣∣ ≤ 4|x− 1|, ∀x : 0 < |x− 1| ≤ 1.
Veamos algunos ejemplos especificos para � y δ.
Si tomamos � = 5, entonces δ = min
{
�
4 , 1
}
= min
{
5
4 , 1
}
= 1 y
0 < |x− 1| < 1 =⇒
∣∣∣∣x3 − 1x− 1 − 3
∣∣∣∣ < 5.
Si tomamos � = 12 , entonces δ = min
{
�
4 , 1
}
= min
{
1
8 , 1
}
= 18 y
0 < |x− 1| < 1
8
=⇒
∣∣∣∣x3 − 1x− 1 − 3
∣∣∣∣ < 12 .
Con esto concluimos el ejemplo.
Ejercicio: Mostrar, por definición, que lim
x→2
x3 − 1
x− 1
= 7.
4
Comentario: Sea f : I → R una función y sea x0 ∈ R un punto para el cual tiene sentido tomar ĺımite,
o sea: x0 satisface (1) para I = dom(f). Supóngase que existe lim
x→x0
f(x) = L ∈ R. Si x0 ∈ I, entonces bien
puede ocurrir que L = f(x0) o bien que L 6= f(x0).
El siguiente ejemplo ilustra lo dicho en este último comentario.
Ejemplo 3: Sea f : R→ R la función definida por
f(x) =
 1 si x 6= 0−1 si x = 0 ,
Figura 3
Es claro que cada x0 ∈ R satisface (1) para I = R = dom(f). Entonces tiene sentido preguntarse por el
ĺımite de la función f = f(x) para x→ x0. Luego, debeŕıa ser claro (al menos intuitivamente) que
lim
x→0
f(x) = 1 6= −1 = f(0)
y
lim
x→x0
f(x) = 1 = f(x0) ∀x0 6= 0.
La demostración de estos ĺımites es análoga a la que aparece en el ejemplo 5 abajo.
Este sencillo ejemplo pone de manifiesto que el ĺımite de una función, si existe, en un punto de su dominio,
en general, puede no coincidir con la valuación de la función en dicho punto.
El siguiente resultado nos proporcianará un criterio para decidir cuando una función no posee ĺımite.
Teorema 1. Si f : I → R es una función tal que existe lim
x→x0
f(x) = L ∈ R, entonces
lim
n→+∞
f(an) = L
para cada sucesión {an}+∞n=1 tal que {an} ⊂ I, an 6= x0 (∀n) y limn→+∞an = x0.
5
Este teorema nos da el siguiente criterio.
Sea f : I → R una función dada y x0 ∈ R un punto en el cual tiene sentido tomar ĺımite. Luego, si
{an} y {bn} son dos sucesiones distintas tales que {an} ⊂ I, {bn} ⊂ I, an 6= x0, bn 6= x0 (∀n), lim
n→+∞
an =
lim
n→+∞
bn = x0 y
lim
n→+∞
f(an) 6= lim
n→+∞
f(bn)
o alguno de estos ĺımites no existe en R, entonces no existe en R el lim
x→x0
f(x).
Ejemplo 4: Veamos que no existe lim
x→0
sen
(
1
x
)
.
Es claro que el dominio de la función sen
(
1
x
)
es R\{0} por lo tanto tiene sentido tomar ĺımite para x→ 0.
Para ver que no existe tal ĺımite usaremos el criterio arriba mencionado. Sea an =
2
nπ , n ∈ N, es claro
que {an} ⊂ R \ {0}, an 6= 0 ∀n y lim
n→+∞
an = 0. Ya que
sen
(
1
an
)
=
 0 si n es par±1 si n es impar ,
se tiene que la sucesión sen(1/an) es oscilante, por lo tanto no existe lim
n→+∞
sen(1/an); luego, por el criterio
anterior se sigue que no existe lim
x→0
sen (1/x).
La siguiente figura muestra el comportamiento errático de la función sen(1/x) para x’s cercanos pero
distintos del 0.
Figura 4
A continuación daremos más ejemplos del cálculo de ĺımites por definición, para luego pasar a las
propiedades del ĺımite los cuales facilitarán el computo del mismo.
Ejemplo 5: Sea α ∈ R y f(x) = α, ∀x ∈ R. Veamos que lim
x→x0
f(x) = α, para cada x0 ∈ R fijo.
Fijado x0 ∈ R y ya que |f(x)− α| = 0, ∀x ∈ R, dado � > 0, al tomar δ > 0 arbitrario, se sigue que
0 < |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− α| = 0 < �.
Por lo tanto hemos probado que lim
x→x0
f(x) = α.
Ejemplo 6: Veamos que lim
x→x0
x = x0.
6
Sea f(x) = x para todo x ∈ R. Dado � > 0, tomamos δ = �, luego
0 < |x− x0| < � =⇒ |f(x)− x0| = |x− x0| < �.
Por lo tanto hemos probado que lim
x→x0
x = x0.
Ejemplo 7: Veamos que lim
x→x0
x2 = x20.
Siendo
|x2 − x20| = |x+ x0| |x− x0| ≤ (|x− x0|+ 2|x0|) |x− x0| ≤ (1 + 2|x0|)|x− x0|, ∀ 0 < |x− x0| ≤ 1,
dado � > 0, al tomar δ�,x0 = min
{
1, �1+2|x0|
}
, se sigue que
0 < |x− x0| < δ�,x0 =⇒ |f(x)− x20| = |x2 − x20| < �.
Por lo tanto hemos mostrado que lim
x→x0
x2 = x20.
Ejemplo 8: Veamos que lim
t→0
sen(t) = 0. Para ver esto vamos a mostrar que | sen(t)| ≤ |t| para todo
t ∈ R.
Para cada 0 < t ≤ π2 (fijo!), sea Tt el triángulo con vértices en los puntos (0, 0), (1, 0), (cos(t), sen(t)) y
sea St el sector circular de radio 1 con arco de circunferencia de longitud t. Ver siguiente figura.
Figura 5
Siendo
sen(t)
2
= área (Tt) ≤ área (St) =
t
2
, para cada 0 < t ≤ π
2
,
se sigue que
0 ≤ sen(t) ≤ t, para cada 0 ≤ t ≤ π
2
,
de la imparidad de la función seno y ya que | sen(t)| ≤ 1 < π2 resulta
| sen(t)| ≤ |t|, para todo t ∈ R,
como queŕıamos mostrar.
Ahora, dado � > 0, al escoger δ = �, resulta que
0 < |t| < � =⇒ |sen(t)− 0| = | sen(t)| ≤ |t| ≤ �.
7
Por lo tanto hemos mostrado que lim
t→0
sen(t) = 0. Similarmente se puede ver que
lim
t→t0
sen(t−t0) = 0,
y que
lim
t→0
sen(αt) = 0, para cada constante fija α ∈ R.
Ejercicio: Utilizar la definición de ĺımite para mostrar que lim
x→x0
|x| = |x0|, ∀x0; que lim
x→x0
√
x =
√
x0 para
cada x0 > 0 y que lim
x→x0
1
x
=
1
x0
para cada x0 6= 0.
Ĺımites laterales
Sea f : I → R una función dada y x0 ∈ R tal que ((x0 − r, x0 + r) \ {x0}) ∩ I 6= ∅, ∀ r > 0.
Definición: (Ĺımite por derecha) Escribimos lim
x→x+0
f(x) = L+ ∈ R si y sólo si
∀� > 0, ∃ δ > 0 : si x ∈ I y 0 < x− x0 < δ =⇒ |f(x)− L+| < �.
Figura 6
Definición: (Ĺımite por izquierda) Escribimos lim
x→x−0
f(x) = L− ∈ R si y sólo si
∀� > 0, ∃ δ > 0 : si x ∈ I y 0 < x0 − x < δ =⇒ |f(x)− L−| < �.
Figura 7
Los ĺımites por derecha y por izquierda se denominan ĺımites laterales.
Ejemplo 9: Veamos, por definición, que lim
x→0+
√
x = 0.
8
Sea f(x) =
√
x, es claro que dom(f) = [0,+∞). Por lo tanto, dado � > 0, al tomar δ = �2 resulta
0 < x < �2 =⇒ |f(x)− 0| =
√
x <
√
�2 = �.
Luego, lim
x→0+
√
x = 0.
El siguiente teorema da un equivalencia entre el ĺımite y los ĺımites laterales.
Teorema 2: lim
x→x0
f(x) = L si y sólo si lim
x→x−0
f(x) = L− = L = L+ = lim
x→x+0
f(x).
De este teorema se sigue que si los ĺımites laterales no coinciden, o alguno de ellos no existe debido a que
la función oscila, o alguno no es finito, entonces no existe el lim
x→x0
f(x).
Ejemplo 10: Sea f : [1, 3]→ R definida por
f(x) =
 x
2 si 1 ≤ x < 2
x si 2 ≤ x ≤ 3
.
Es claro que lim
x→2−
f(x) = 4 y que lim
x→2+
f(x) = 2, de esto se sigue que NO existe lim
x→2
f(x), pues los ĺımites
laterales no coinciden. Queda a cargo del lector realizar el gráfico de dicha función.
Ejemplo 11: Veamos que No existe lim
x→0
|x|
x
. Para ello, veremos que los ĺımites laterales no coinciden.
Siendo
|x|
x
= 1, para cada x > 0,
y
|x|
x
= −1, para cada x < 0,
se sigue que
lim
x→0+
|x|
x
= 1 y lim
x→0−
|x|
x
= −1.
Ya que los ĺımites laterales no coinciden se sigue que No existe lim
x→0
|x|
x
.
Propiedades del ĺımite
Teorema 3: Sean α, β ∈ R constantes fijas, y sean f y g funciones para las cuales existe
lim
x→x0
f(x) y lim
x→x0
g(x),
entonces
1. ∃ lim
x→x0
[αf(x)] = α lim
x→x0
f(x).
2. ∃ lim
x→x0
[αf(x) + βg(x)] = α lim
x→x0
f(x) + β lim
x→x0
g(x).
3. ∃ lim
x→x0
[f(x) · g(x)] = lim
x→x0
f(x) · lim
x→x0
g(x).
4. ∃ lim
x→x0
[f(x)]n =
[
lim
x→x0
f(x)
]n
, para cada n ∈ N.
5. ∃ lim
x→x0
[
f(x)
g(x)
]
=
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
, si lim
x→x0
g(x) 6= 0.
Nota 4: Este último teorema también vale para los ĺımites laterales con obvias modificaciones.
Ejemplo 12: Veamos que lim
x→1
(x2 + x+ 1) = 3.
9
De las propiedades 2 y 3 del teorema 3, resulta
lim
x→1
(x2 + x+ 1) =
(
lim
x→1
x
)2
+ lim
x→1
x+ lim
x→1
1 = 1 + 1 + 1 = 3.
Ejemplo 13: Veamos que lim
x→0
cos(x) = 1. Para ello utilizaremos el teorema 3.
De las identidades trigonométricas se sigue que
cos(x) = cos
(x
2
+
x
2
)
= [cos(x/2)]2 − [sen(x/2)]2 = 1− 2[sen(x/2)]2, ∀x ∈ R,
al tomar ĺımite para x→ 0, por las propiedades 2 y 3 del teorema 3, resulta
lim
x→0
cos(x) = lim
x→0
(
1− 2[sen(x/2)]2
)
= 1− 2
[
lim
x→0
sen(x/2)
]2
= 1− 2 · 0 = 1,
pues lim
x→0
sen(x/2) = 0 (ver p. 7).
Teorema 4: Sean f y g funciones tales que para algún r > 0
f(x) = g(x), ∀ x ∈ (x0 − r, x0) ∪ (x0, x0 + r).
Si existe lim
x→x0
g(x) = L ∈ R, entonces existe lim
x→x0
f(x) = L.
La idea de este teorema es que el cálculo del lim
x→x0
g(x) sea más fácil de calcular que el lim
x→x0
f(x). El
siguiente ejemplo ilustra esto.
Ejemplo 14: En el ejemplo 2 vimos, por definición, que lim
x→1
x3 − 1
x− 1
= 3. Ahora vamos a utilizar el
teorema 4 para mostrar esto.
Ya que
x3 − 1
x− 1
= x2 + x+ 1, ∀x 6= 1,
ahora del ĺımite calculado en el ejemplo 12 y del teorema 4 resulta
lim
x→1
x3 − 1
x− 1
= lim
x→1
(x2 + x+ 1) = 3.
Ejercicio: Utilizar el teorema 4 para calcular los siguientes ĺımites:
(1) lim
x→−1
x4 − 1
x+ 1
.
(2) lim
x→a
xn − an
x− a
.
10
Teorema del emparedado: Sean f , g y h funciones tales que para algún r > 0 se cumple que
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ (x0 − r, x0) ∪ (x0, x0 + r).
Si lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
h(x) = L ∈ R, entonces existe lim
x→x0
g(x) = L.
Figura 8
Ejemplo 15: Veamos que lim
x→0
x sen
(
1
x
)
= 0.
Siendo
∣∣sen ( 1x)∣∣ ≤ 1, ∀x 6= 0, resulta∣∣∣∣x sen( 1x
)∣∣∣∣ ≤ |x|, ∀x 6= 0,
si y sólo si
−|x| ≤ x sen
(
1
x
)
≤ |x|, ∀x 6= 0.
Figura 9
Ya que lim
x→0
|x| = 0, por el teorema del emparedado se sigue que lim
x→0
x sen
(
1
x
)
= 0.
11
Ejercicio: Utilizar el teorema del emparedado para mostrar que lim
x→0
x3 sen
(
1
x2
)
= 0.
Ejercicio: Utilizar el teorema del emparedado para mostrar que lim
x→0
[
sen(x2)
x
]
= 0.
Ejemplo 16: (Ĺımite Notable) Veamos que lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
Para 0 < x < π2 , tenemos que (ver figura (10) abajo)
0 < sen(x) ≤ x ≤ tg(x),
equivalentemente
1 ≤ x
sen(x)
≤ 1
cos(x)
, si 0 < x <
π
2
,
equivalentemente
cos(x) ≤ sen(x)
x
≤ 1, si 0 < x < π
2
.
Para −π2 < x < 0, también vale esta última cadena de desigualdades. Por lo tanto
cos(x) ≤ sen(x)
x
≤ 1, si 0 < |x| < π
2
.
Ya que lim
x→0
cos(x) = 1 = lim
x→0
1, por el teorema del emparedado, resulta que
lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
Figura 10. Comparación de áreas
Lema 1: lim
x→x0
f(x) = 0 si y sólo si lim
x→x0
|f(x)| = 0.
Prueba: El lema 1 se sigue de la definición de ĺımite y del hecho que |f(x)− 0| = ||f(x)| − 0|.
Este Lema combinado con el teorema del emparedado nos da el siguiente resultado que será de utilidad
en la práctica.
12
Corolario: Sean f y g funciones, definidas sobre la región 0 < |x− x0| < r, tales que
lim
x→x0
f(x) = 0
y
|g(x)| ≤M < +∞, sobre 0 < |x− x0| < r.
Entonces
lim
x→x0
f(x) · g(x) = 0.
Prueba: Ya que |f(x) · g(x)| ≤M |f(x)|, para todo 0 < |x− x0| < r, entonces
−M |f(x)| ≤ f(x) · g(x) ≤M |f(x)|,
para todo 0 < |x−x0| < r. Siendo lim
x→x0
f(x) = 0, por el Lema 1 se sigue que lim
x→x0
|f(x)| = 0, luego al aplicar
el teorema del emparedado obtenemos que
lim
x→x0
f(x) · g(x) = 0.
Ĺımite de una composición de funciones
Proposición 1: Sean f : (y0 − δ, y0 + δ) \ {y0} → R y g : (x0 − r, x0 + r) \ {x0} → R funciones tales que
lim
y→y0
f(y) = L, y lim
x→x0
g(x) = y0.
Si para algún 0 < r0 < r se tiene que g(x) 6= y0 para todo x tal que 0 < |x− x0| < r0, entonces existe
lim
x→x0
(f ◦ g)(x) = L.
Nota 5: Por la definición de ĺımite se pide la condición g(x) 6= y0 sobre la región 0 < |x− x0| < r0 en la
Proposición 1.
Ejemplo 17: Veamos que lim
x→ 35
sen(5x− 3)
5x− 3
= 1.
Para calcular tal ĺımite vamos a utilizar la proposición 1. Sea f(y) = sen(y)y , para y 6= 0, y sea g(x) = 5x−3,
para x ∈ R. Ya que
y0 = lim
x→ 35
(5x− 3) = 0,
5x− 3 6= 0 para todo x 6= 35 y
L = lim
y→y0
f(y) = lim
y→0
f(y) = lim
y→0
sen(y)
y
= 1,
entonces tenemos que las funciones f y g satisfacen las hipótesis de la proposición 1, luego
lim
x→ 35
sen(5x− 3)
5x− 3
= lim
x→ 35
(f ◦ g)(x) = L = 1.
Una forma más directa para mostrar que lim
x→ 35
sen(5x− 3)
5x− 3
= 1 es la siguiente:
Al hacer y = 5x− 3 resulta y = 5x− 3→ 0 cuando x→ 35 . Luego al calcular limy→0
sen(y)
y
= 1 obtenemos,
por el ĺımite de una composición, que
lim
x→ 35
sen(5x− 3)
5x− 3
= lim
y→0
sen(y)
y
= 1.
Ejercicio: Utilizar la proposición 1 y las propiedades del ĺımite para mostrar que
lim
x→0
sen(αx)
x
= α,
para cada α ∈ R fijo!
13
Ejemplo 18: Sea x0 ∈ R fijo. Veamos que lim
x→x0
cos(x− x0) = 1.
Ya que y = x − x0 → 0, cuando x → x0, y cos(y) → 1, cuando y → 0 (ver ejemplo 13), entonces por el
ĺımite de una composición, se sigue que
lim
x→x0
cos(x− x0) = 1.
Ejemplo 19: Sea x0 ∈ R fijo. Veamos que lim
x→x0
sen(x) = sen(x0).
De las identidades trigonométricas se sigue que
sen(x) = sen(x− x0 + x0) = sen(x− x0) cos(x0) + cos(x− x0) sen(x0), ∀x ∈ R.
De esta última identidad, las propiedades del ĺımite y de los siguientes ĺımites
lim
x→x0
sen(x− x0) = 0, y lim
x→x0
cos(x− x0) = 1,
obtenemos que
lim
x→x0
sen(x) = sen(x0).
Ejemplo 20: Veamos que limx→1
√√
x− 1
x− 1
=
√
2
2
.
Sea y =
√
x−1
x−1 un computo da que y =
√
x−1
x−1 =
1√
x+1
→ 12 cuando x→ 1. Luego al calcular lim
y→ 12
√
y =
√
2
2
,
obtenemos, por el ĺımite de una composición, que
lim
x→1
√√
x− 1
x− 1
= lim
y→ 12
√
y =
√
2
2
.
14
Ĺımites al infinito y ĺımites infinitos
Los śımbolos −∞ y +∞ significan que −∞ < x < +∞ para todo x ∈ R.
La notación x→ +∞ significa que x se hace cada vez más grande en magnitud a la derecha del cero sin
cota superior, y se lee: ”x tiende al + infinito”.
La notación x → −∞ significa que x se hace cada vez más grande en valor absoluto a la izquierda del
cero sin cota inferior, y se lee: ”x tiende al - infinito”.
Ejemplo 21: Sea f(x) =
1
x
, x 6= 0. La siguiente tabla
x f(x) = x−1
10 10−1
102 10−2
103 10−3
...
...
10n 10−n
↓ ↓
+∞ 0?
muestra, intuitivamente, que f(x) =
1
x
→ 0, cuando x → +∞. La definición de ĺımite al +∞ nos dirá
que ésto es aśı.
Definición: (x → +∞) Sea I = R ó I = (a,+∞), con −∞ < a < +∞, y sea f : I → R una función.
Escribimos lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R si y sólo si dado � > 0, existe N ∈ N tal que
x ≥ N =⇒ |f(x)− L| < �.
Definición: (x → −∞) Sea J = R ó J = (−∞, a), con −∞ < a < +∞, y sea f : J → R una función.
Escribimos lim
x→−∞
f(x) = K ∈ R si y sólo si dado � > 0, existe N ∈ N tal que
x ≤ −N =⇒ |f(x)−K| < �.
Ejemplo 22: Veamos, por definición, que lim
x→+∞
1
x
= 0. Dado � > 0, existe N ∈ N tal que 0 < �−1 < N ;
luego
Figura 11
si x ≥ N =⇒
∣∣∣∣ 1x − 0
∣∣∣∣ = 1x ≤ 1N < �.
15
Por lo tanto, hemos mostrado por definición que lim
x→+∞
1
x
= 0. Similarmente se puede ver que lim
x→−∞
1
x
= 0.
Propiedades de ĺımites al infinito
Si existen y son finitos los ĺımites lim
x→+∞
f(x) y lim
x→+∞
g(x), entonces
1. ∃ lim
x→+∞
[αf(x) + βg(x)] = α lim
x→+∞
f(x) + β lim
x→+∞
g(x), donde α, β ∈ R.
2. ∃ lim
x→+∞
[f(x) · g(x)] = lim
x→+∞
f(x) · lim
x→+∞
g(x).
3. ∃ lim
x→+∞
[
f(x)
g(x)
]
=
lim
x→+∞
f(x)
lim
x→+∞
g(x)
, si lim
x→+∞
g(x) 6= 0.
4. Si h : (y0 − δ, y0 + δ) \ {y0} → R es un función tal que lim
y→y0
h(y) = L ∈ R y lim
x→+∞
g(x) = y0 con
g(x) 6= y0 para x ≥ N , entonces existe lim
x→+∞
(h ◦ g)(x) = lim
y→y0
h(y) = L.
Nota 6: Las propiedades 1-4 también valen para cuando x→ −∞. El teorema del emparedado también
vale para x→ ±∞.
Ejemplo 23: Si α ∈ R y f(x) = α, ∀x ∈ R, entonces lim
x→+∞
f(x) = α.
Ejemplo 24: Veamos que lim
x→+∞
−7x2 + 2
3x2 + 2x+ 1
= −7
3
. Un computo da
−7x2 + 2
3x2 + 2x+ 1
=
(
−7 + 2x2
)(
3 + 2x +
1
x2
) , ∀x 6= 0.
Luego, del ejemplo 22 y de las propiedades 2 y 3, se sigue que lim
x→+∞
−7x2 + 2
3x2 + 2x+ 1
= −7
3
.
Teorema 5:
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
Ĺımites infinitos
Definición: Sean x0 ∈ R y β > 0 números dados y sea f : (x0 − β, x0 + β) \ {x0} → R una función.
Escribimos lim
x→x0
f(x) = +∞ , si para cada M > 0 existe 0 < δ ≤ β tal que
si 0 < |x− x0| < δ =⇒ M < f(x).
Similarmente se define lim
x→x0
f(x) = −∞, y se definen los limites laterales lim
x→x+0
f(x) = ±∞ y lim
x→x−0
f(x) =
±∞, con obvias modificaciones.
Definición: Sea I = R ó I = (a,+∞), con −∞ < a < +∞, y sea f : I → R una función. Escribimos
lim
x→+∞
f(x) = +∞ si para cada M > 0, existe N ∈ N tal que
x ≥ N =⇒ M < f(x).
Similarmente se definen lim
x→+∞
f(x) = −∞, lim
x→−∞
f(x) = −∞ y lim
x→−∞
f(x) = +∞ con obvias modifica-
ciones.
Lema 2: Sea x0 ∈ R. Entonces lim
x→x0
f(x) = ±∞ si y sólo si lim
x→x+0
f(x) = lim
x→x−0
f(x) = ±∞.
16
Lema 3: Sea −∞ ≤ L ≤ +∞ y sea −∞ ≤ y0 ≤ +∞. Si h y g son funciones tales que lim
y→y0
h(y) = L y
lim
x→+∞
g(x) = y0 con g(x) 6= y0 para x ≥ N , entonces lim
x→+∞
(h ◦ g)(x) = lim
y→y0
h(y) = L.
Ejemplo 25: Sea a > 0 y b ∈ R, entonces lim
x→+∞
ax+ b = +∞ y lim
x→−∞
ax+ b = −∞.
Ejemplo 26: Vamos a utilizar el teorema 5 y el lema 3 para calcular lim
x→+∞
(
1− 1
x
)−x
.
Un computo da(
1− 1
x
)−x
·
(
1 +
1
x
)x
=
(
x+ 1
x− 1
)x
=
(
1 +
2
x− 1
)x
=
(1 + 1
(x−1)
2
) (x−1)
2
2 ·(1 + 1
(x−1)
2
)
.
Sobre la expresión que esta entre corchetes hacemos el cambio de variable y = x−12 → +∞, cuando
x→ +∞ (ver ejemplo 25). Luego, del lema 3 y el teorema 5 resulta
lim
x→+∞
(
1 +
1
(x−1)
2
) (x−1)
2
= lim
y→+∞
(
1 +
1
y
)y
= e.
Ya que lim
x→+∞
(
1 +
1
(x−1)
2
)
= 1 se sigue que
lim
x→+∞
[(
1− 1
x
)−x
·
(
1 +
1
x
)x]
= e2.
Por otro lado, una vez más por el teorema 5, tenemos que lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)−x
= lim
x→+∞
1(
1 + 1x
)x = 1e , y(
1− 1
x
)−x
=
(
1− 1
x
)−x
·
(
1 +
1
x
)x
·
(
1 +
1
x
)−x
, ∀x 6= 0.
Finalmente, de la propiedad multiplicativa de los ĺımites resulta
lim
x→+∞
(
1− 1
x
)−x
= lim
x→+∞
[(
1− 1
x
)−x
·
(
1 +
1
x
)x]
· lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)−x
= e2 · e−1 = e.
Ejemplo 27: f(x) =
1
(x− 2)2
, x 6= 2, es tal que lim
x→2
f(x) = +∞. Claramente, también se tiene que
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x) = +∞.
Figura 12
Ejemplo 28: f(x) =
1
(x− 2)
, x 6= 2, es tal que lim
x→2+
f(x) = +∞ y lim
x→2−
f(x) = −∞.
17
Figura 13
Ejemplo 29: Los siguientes ejemplos de ĺımites sirven para calcular otros ĺımites combinados.
1. Si r > 0, entonces lim
x→+∞
erx = +∞, y lim
x→−∞
erx = 0.
2. lim
x→+∞
ln(x) = +∞, y lim
x→0+
ln(x) = −∞.
3. Sea n ∈ N, luego lim
x→−∞
xn = (−1)n · ∞; lim
x→0
1
xn
= +∞, si n es par; y si n es impar, entonces
lim
x→0−
1
xn
= −∞ y lim
x→0+
1
xn
= +∞.
4. Si r > 0, entonces lim
x→+∞
xr = +∞ y lim
x→+∞
x−r = 0.
Ejemplo 30: Calculemos lim
x→+∞
ex − e−x
ex + e−x
. Un computo da
ex − e−x
ex + e−x
=
1− e−2x
1 + e−2x
.
Del ejemplo 29, 1. tenemos que lim
x→+∞
e−2x = 0, luego por las propiedades del ĺımite resulta
lim
x→+∞
ex − e−x
ex + e−x
= 1.
Teorema 6:
1. Sea −∞ < L ≤ +∞ y −∞ ≤ x0 ≤ +∞ (ver nota 7 abajo). Si lim
x→x0
f(x) = L y lim
x→x0
g(x) = +∞,
entonces
lim
x→x0
[f(x) + g(x)] = +∞.
2. Sea −∞ ≤ L < +∞ y −∞ ≤ x0 ≤ +∞. Si lim
x→x0
f(x) = L y lim
x→x0
g(x) = −∞, entonces
lim
x→x0
[f(x) + g(x)] = −∞.
3. Sea −∞ ≤ L ≤ +∞, L 6= 0 y −∞ ≤ x0 ≤ +∞. Si lim
x→x0
f(x) = L y lim
x→x0
g(x) = +∞, entonces
lim
x→x0
[f(x) · g(x)] =
 −∞ si −∞ ≤ L < 0
+∞ si 0 < L ≤ +∞
.
4. Sea −∞ ≤ x0 ≤ +∞. Si lim
x→x0
f(x) = ±∞, entonces lim
x→x0
1
f(x)
= 0.
18
Nota 7: La expresión −∞ ≤ x ≤ +∞ significa que x = −∞, ó x = +∞, ó x ∈ R.
En el contexto de los ĺımites, el teorema 6, nos permite definir la siguiente aritmética sobre el conjunto
{−∞} ∪ R ∪ {+∞}.
0. Si L,K ∈ R, entonces L+K y L ·K es la aritmética usual en R.
1. L+ (+∞) = +∞, L+ (−∞) = −∞, para todo L ∈ R.
2. +∞+ (+∞) = +∞, −∞+ (−∞) = −∞
3. L · (+∞) =
 −∞ si −∞ ≤ L < 0
+∞ si 0 < L ≤ +∞
.
4.
1
±∞
= 0.
En el contexto de los ĺımites, las siguientes expresiones: +∞+ (−∞), 0 · (±∞), 0
0
,
±∞
±∞
, 1±∞, 00, (±∞)0
son indeterminadas, esto no significa que el ĺımite sea indeterminado. Esto significa que a tales expresiones
no se les puede definir ninguna aritmética como las listadas arriba que nos permita determinar el valor del
ĺımite, si es que lo posee, por este motivo se dicen que son indeterminadas. En ciertos casos, para resolver
una indeterminación del tipo anterior se pueden utilizar manipulaciones algebraicas, propiedades de las
funciones involucradas y el teorema del emparedado, entre otros. Cuando veamos la teoŕıa de diferenciación
dispondremos de la Regla de l’Hôpital que nos permitirá trabajar sobre tales expresiones indeterminadas.
Ejemplo 31: Si uno quiere, por ejemplo, calcular lim
x→x0
f(x)
g(x)
podemos utilizar la siguiente regla
lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
,
la cual es válida bajo ciertas hipótesis, ver Teorema 3 o propiedad 3 de los limites al infinito. Ahora, si
aplicamos dicha regla cuando tomamos ĺımite en las siguientes expresiones para x→ +∞
ex
e2x
y
e2x
ex
,
obtenemos
+∞
+∞
en ambas expresiones. Sin embargo, al manipular algebraicamente y al tomar luego el ĺımite
resulta
lim
x→+∞
ex
e2x
= lim
x→+∞
1
ex
= 0 y lim
x→+∞
e2x
ex
= lim
x→+∞
ex = +∞.
Éste ejemplo ilustra el porqué la expresión
+∞
+∞
es indeterminada.A continuación introduciremos en el contexto de los ĺımites un tercer infinito, a saber: el infinito sin
signo, el cual se denota por ∞.
Ĺımites al infinito sin signo (∞)
Primero recordamos las definiciones de los ĺımites para x→ +∞ y para x→ −∞.
Definición 1: (x→ +∞) Sea f : (a,+∞)→ R y sea L ∈ R. Escribimos lim
x→+∞
f(x) = L, si ∀� > 0 existe
N ∈ N tal que
x > N =⇒ |f(x)− L| < �.
19
Ejemplo 32: lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
Definición 2: (x→ −∞) Sea f : (−∞, a)→ R y sea L ∈ R. Escribimos lim
x→−∞
f(x) = L, si ∀� > 0 existe
N ∈ N tal que
x < −N =⇒ |f(x)− L| < �.
Ejemplo 33: lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
A continuación damos la definición de ĺımite para x→∞.
Definición 3: (x → ∞) Sea f : R → R y sea L ∈ R. Escribimos lim
x→∞
f(x) = L, si ∀� > 0 existe N ∈ N
tal que
|x| > N =⇒ |f(x)− L| < �.
Proposición 2: Sea f : R→ R y sea L ∈ R. Entonces
lim
x→∞
f(x) = L si y sólo si lim
x→+∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) = L.
La prueba de esta proposición es una consecuencia inmediata de las definiciones 1, 2 y 3.
Ejemplo 34: La proposición 2 y los ejemplos 32 y 33 nos permite concluir que lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
Ejemplo 35: lim
x→∞
e−x
2
= 0. En efecto, un computo da
lim
x→−∞
e−x
2
= 0, y lim
x→+∞
e−x
2
= 0,
luego por la proposición 2 resulta que lim
x→∞
e−x
2
= 0.
Ĺımites infinitos
Sea f : I → R y sea x0 ∈ R tal que (x0 − �, x0 + �) \ {x0} ⊂ I para algún � > 0.
Definición 4. Escribimos lim
x→x0
f(x) =∞ si para cada M ∈ N, existe δ > 0 tal que
0 < |x− x0| < δ =⇒ M < |f(x)|.
Definición 5. Escribimos lim
x→x0
f(x) = +∞ si para cada M ∈ N, existe δ > 0 tal que
0 < |x− x0| < δ =⇒ M < f(x).
Definición 6. Escribimos lim
x→x0
f(x) = −∞ si para cada M ∈ N, existe δ > 0 tal que
0 < |x− x0| < δ =⇒ f(x) < −M
Nota 8: Es claro que si una función f satisface la definición 5 o 6 entonces también satisface la definición
4. Cabe mencionar que si una función f satisface la definición 5 o 6, entonces f crece o decrece en magnitud
”desmedidamente” sin cambiar de signo cuando nos acercamos a x0.
Nota 9: Las definiciones 4, 5 y 6 tienen sus análogos para cuando se toma ĺımite para x→ x+0 ó x→ x
−
0 ,
para x→∞ ó x→ +∞ ó x→ −∞ con obvias modificaciones.
20
Por ejemplo, si f : R→ R, escribimos lim
x→∞
f(x) =∞ si para cada M ∈ N, existe N ∈ N tal que
|x| > N =⇒ M < |f(x)|.
Lema 4: Si f(x) > 0 para todo x ∈ (x0 − �, x0 + �) \ {x0} y lim
x→x0
f(x) = 0 (simbólicamente f(x)→ 0+),
entonces
lim
x→x0
1
f(x)
= +∞.
En el contexto de los ĺımites este lema se simboliza por
1
0+
= +∞.
Lema 5: Si f(x) < 0 para todo x ∈ (x0 − �, x0 + �) \ {x0} y lim
x→x0
f(x) = 0 (simbólicamente f(x)→ 0−),
entonces
lim
x→x0
1
f(x)
= −∞.
En el contexto de los ĺımites este lema se simboliza por
1
0−
= −∞.
Proposición 3: Si f : R \ {x0} → R es tal que lim
x→x−0
f(x) = +∞ y lim
x→x+0
f(x) = −∞ ó lim
x→x−0
f(x) = −∞
y lim
x→x+0
f(x) = +∞, entonces, en ambos casos, lim
x→x0
f(x) =∞.
Ejemplo 36: Utilizando los lemas 4 y 5 y la proposición 3 se sigue que lim
x→0
1
x
=∞ y que lim
x→π2
tg(x) =∞.
Ejemplo 37: lim
x→∞
x3 =∞ y lim
x→∞
x =∞.
Ejemplo 38: lim
x→∞
ex no existe, pues lim
x→−∞
ex = 0 y lim
x→+∞
ex = +∞ (ver proposición 2).
Ejemplo 39: lim
x→0
1
x2
= +∞ (ver lema 4).
Lema 5: lim
x→x0
f(x) = ±∞ ó ∞, entonces lim
x→x0
1
f(x)
= 0. Simbólicamente, en el contexto de los ĺımites,
1
±∞
=
1
∞
= 0.
Ejemplo 40: lim
x→−∞
1
x
= lim
x→+∞
1
x
= lim
x→∞
1
x
= 0.
Ejemplo 41: lim
x→−∞
e−|x| = lim
x→+∞
e−|x| = lim
x→∞
e−|x| = 0.
Aśıntotas
La recta x = x0 es una aśıntota vertical del gráfico de una función f si se cumple alguno de los siguientes
ĺımites:
1. lim
x→x+0
f(x) = +∞.
2. lim
x→x+0
f(x) = −∞.
3. lim
x→x+0
f(x) =∞.
4. lim
x→x−0
f(x) = +∞.
5. lim
x→x−0
f(x) = −∞.
6. lim
x→x−0
f(x) =∞.
21
La recta y = y0 es una aśıntota horizontal del gráfico de una función f si se cumple alguno de los siguientes
ĺımites:
1. lim
x→+∞
f(x) = y0. Decimos que la recta y = y0 es una aśıntota horizontal del Gf para x→ +∞.
2. lim
x→−∞
f(x) = y0. Decimos que la recta y = y0 es una aśıntota horizontal del Gf para x→ −∞.
Ejemplo 42: Sea f(x) =
1
x− 1
+ 1, x 6= 1.
Un computo da
lim
x→1+
(
1
x− 1
+ 1
)
= +∞, lim
x→1−
(
1
x− 1
+ 1
)
= −∞,
y
lim
x→+∞
(
1
x− 1
+ 1
)
= 1, lim
x→−∞
(
1
x− 1
+ 1
)
= 1.
Por lo tanto, la recta x = 1 es la aśıntota vertical del gráfico de f , y la recta y = 1 es la aśıntota horizontal
del gráfico de f para x→ ±∞. En la siguiente figura se aprecia el gráfico de f y sus aśıntotas.
Figura 14
Ejemplo 43: Sea f(x) =
sen(x)
x
, x 6= 0. Ya que
0 ≤ | sen(x)|
|x|
≤ 1
|x|
→ 0, cuando x→ ±∞.
Del teorema del emparedado (ver Nota 6 arriba) se sigue que la recta y = 0 es la aśıntota horizontal del
gráfico de f para x→ ±∞. En la siguiente figura se puede ver el gráfico de f junto con su recta aśıntota.
22
Figura 15
Aśıntotas oblicuas
La recta con ecuación y = ax+ b, a 6= 0, será una aśıntota oblicua del gráfico de una función f si
lim
x→+∞
(f(x)− (ax+ b)) = 0, y/o lim
x→−∞
(f(x)− (ax+ b)) = 0.
Por lo tanto, la recta y = ax+ b es una aśıntota oblicua del gráfico de una función f , si y sólo si
lim
x→+∞
f(x)
x
= a, y lim
x→+∞
(f(x)− ax) = b,
y/o
lim
x→−∞
f(x)
x
= a, y lim
x→−∞
(f(x)− ax) = b.
Ejemplo 44: Sea f(x) =
x2
1 + x
, x 6= −1.
La recta x = −1 es la aśıntota vertical del gráfico de f , pues lim
x→−1−
x2
1 + x
= −∞ y lim
x→−1+
x2
1 + x
= +∞.
La recta y = x−1 es la aśıntota oblicua del gráfico de f para x→ ±∞, pues lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
x
1 + x
= 1
y lim
x→±∞
(f(x) − x) = lim
x→±∞
−x
1 + x
= −1. En la siguiente figura se puede ver el gráfico de f junto con sus
aśıntotas.
23
Figura 16. Gráfico de la función f(x) = x
2
1+x y de sus aśıntotas.
Ejercicios adicionales 4.
Ĺımites
(1) Pruebe por definición que lim
x→2
2x2 − 3x− 2
x− 2
= 5.
(2) Sea f : R→ R la función definida por
f(x) =

sen(x)
x
si x ∈ (−∞, 0)
0 si x = 0
sen(1/x) si x ∈ (0, 1/π]
x3 − 4x2 + x− 4
x− 4
si x ∈ (1/π, 4) ∪ (4,+∞)
1 si x = 4
.
(a) Esbozar el gráfico de la función f .
(b) Calcular o establecer que no existen los siguientes ĺımites lim
x→x−0
f(x), lim
x→x+0
f(x) y lim
x→x0
f(x)
para x0 = 0, 3, 4. Para cúal de los anteriores valores de x0 se verifica que lim
x→x0
f(x) = f(x0)?
24
(3) Sea p : R → R una función polinómica con coeficientes reales. Utilizar el teorema 3 para mostrar
que lim
x→x0
p(x) = p(x0).
(4) Utilizar que lim
x→0
sen(x)
x
= 1 para mostrar que lim
x→0
1− cos(x)
x
= 0.
(5) Hallar los siguientes ĺımites.
(a) lim
x→0
1−
√
1− x2
x
, (b) lim
h→0
√
a+ h−
√
a
h
, (c) lim
x→a
xn − an
x− a
,
(d) lim
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
, (e) lim
x→0
sen2(2x)
x2
, (f) lim
x→0
x− sen(2x)
x− sen(6x)
.
(6) Mostrar que los siguientes ĺımites no existen en R.
(a) lim
x→π+
sen
(
1
x− π
)
, (b) lim
x→0
x
|x|
cos(x), (c) lim
x→+∞
sen(x), (d) lim
x→0
1
x
.
(7) Calcular los siguientes ĺımites utilizando el teorema del ĺımite de una composición de funciones y/o
las propiedades de los ĺımites.
(a) lim
x→1
√√
x− 1
x− 1
, (b) lim
x→0
sen (ex − 1)
e2x − 1
, (c) lim
x→+∞
x sen(1/x), (d) lim
x→0
sen(3x)
sen(−5x)
.
(8) Supóngase que existe lim
x→x0
f(x) = ` ∈ R. Mostrar que existe δ > 0 tal que |f(x)| ≤ |`|+ 1 para todo
x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0}.
(9) Sea −∞ ≤ x0 ≤ +∞. Mostrar que lim
x→x0
f(x) = 0 si y sólo si lim
x→x0
|f(x)| = 0.
(10) Mostrar que si lim
x→x0
f(x) = ` 6= 0, entonces lim
x→x0
|f(x)| = |`| 6= 0. Dar un ejemplo para mostrar que
la rećıproca no es cierta.
(11) Sea ` ∈ R. Mostrar que lim
x→x0
f(x) = ` si y sólo si lim
x→x0
(f(x)− `) = 0
(12) Utilizar el ejercicio (9) y el teorema del emparedado para mostrar los siguientes ĺımites.
(a) lim
x→+∞
sen(x)
x
= 0, (b) lim
x→0+
x ln(x) = 0, (c) lim
x→+∞
ln(x)
x
= 0,
(d) lim
x→0
x2 ln(|x|) = 0.
(13) Determinar las rectas aśıntotas verticales, horinzontales y/u oblicuas al gráficode las siguientes
funciones.
(a) f(t) =
t
t− 1
, (b) f(x) =
sen(x)
x+ 2
, (c) g(x) =
x2 − 2x+ 2
x− 1
.
(14) Calcular los siguientes ĺımites.
(a) lim
x→+∞
ex − e−x
ex + e−x
, (b) lim
x→−∞
ex − e−x
ex + e−x
, (c) lim
x→+∞
(
√
x+ 5−
√
x),
(d) lim
x→+∞
−7x4 + x3 − 2x+ 1
2x4 + 3x+ 5
, (e) lim
x→+∞
2x2 + x+ 1
x4 − 2x3 + x− 6
, (f) lim
x→+∞
x5 − 2x+ 9
x3 + 3x+ x+ 4
.
(15) Utilizar que lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e para calcular los siguientes ĺımites.
(a) lim
x→+∞
(
1− 1
x
)−x
, (b) lim
x→+∞
(
1− 1
x
)x
, (c) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
,
(d) lim
x→+∞
(
1− 1
x2
)x
, (e) lim
x→0+
(1 + 2x)
3
x+1, (f) lim
x→+∞
(
1 +
a
x
)x
, (a 6= 0),
(g) lim
x→−∞
(
1 +
a
x
)x
, (a 6= 0), (h) lim
x→+∞
(
5− 1
x
)−x
, lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)−5x
.