PRACTICA INVERNAL 4 AM 1

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EJERCICIOS DE PRÁCTICA 
 
Ejercicio 1: Dadas las funciones: 𝑓(𝑥) = 4 + 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 − 2); se pide: 
 
a. Determinar la existencia de (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
b. Hallar el Dominio de (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
c. Escribir (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
 
a. Condición de existencia de (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
(𝒈𝒐𝒇)𝒙 ∃ 𝒔𝒊 𝑫𝒐𝒎 𝒈 ∩ 𝑹𝒈𝒐 𝒇 ≠ ∅ 
𝑫𝒐𝒎 𝒈 = 𝒙 − 𝟐 > 𝟎 → 𝑫𝒐𝒎 𝒈 = 𝒙 > 𝟐 → 𝑫𝒐𝒎 𝒈 = (𝟐,∞) 
𝑹𝒈𝒐 𝒈 = 𝓡 
 
Ahora buscamos 𝐷𝑜𝑚 𝑓 y 𝑅𝑔𝑜 𝑓 
𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝓡 
𝐴𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢 𝑉é𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∴ 𝑹𝒈𝒐 𝒇 = [𝟒,∞) 
 
(𝟐,∞) ∩ [𝟒,∞) = [𝟒,∞) ≠ ∅ 𝑳𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
 
 
b. Para encontrar el Dominio de (𝑔𝑜𝑓)𝑥 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒇/ 𝒇(𝒙) ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒈} 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 = 𝓡/𝟒 + 𝒙
𝟐 ∈ (𝟐,∞) 
 
𝟒 + 𝒙𝟐 > 𝟐 → 𝒙𝟐 > −𝟐 𝒙 ∈ 𝓡 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 
 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 = 𝓡 → 𝑫𝒐𝒎 (𝒈𝒐𝒇)𝒙 = (−∞,∞) 
 
c. La función (𝒈𝒐𝒇)𝒙 
 
(𝒈𝒐𝒇)𝒙 = 𝐥𝐧(𝟒 + 𝒙
𝟐 − 𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2: Sea la función definida por 𝑓(𝑥) =
ln|𝑥|−1
𝑥
 se pide: 
a. Dominio. 
b. Intersección con los ejes coordenados. 
c. Simetría. 
d. Asíntotas, aplicando límites. 
 
a. Dominio: 
 
Como se trata de una función que tiene Valor absoluto, vamos a descomponerla y estudiar por 
separado: 
𝑓(𝑥) =
ln|𝑥| + 1
𝑥
= {
ln(−𝑥) + 1
𝑥
 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑅𝑎𝑚𝑎 1
ln(𝑥) + 1
𝑥
 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑅𝑎𝑚𝑎 2
 
Para calcular el dominio estudiamos el dominio de cada rama y en particular para cada función 
sus elementos que nos puedan dar problemas, en este caso, por ejemplo, el hecho de que lleve 
un logaritmo y sea racional. 
 
Rama 1: 
 
Debemos tener en cuenta que el intervalo de estudio es (−∞, 0), lo que hace que el argumento 
del (Ln) sea Positivo. Y por otro lado al ser una función Racional debemos analizar el 
denominador: 
𝑥 ≠ 0 ∴ 𝐸𝑙 𝐷𝑜𝑚𝑟1 𝑓 = (−∞, 0) 
 
Rama 2: 
 
De manera análoga lo hacemos para la otra rama, sabiendo que ahora el intervalo de estudio 
esta dado por [0,∞), e igual forma analizamos el denominador: 
 
𝑥 ≠ 0 ∴ 𝐸𝑙 𝐷𝑜𝑚𝑟2 𝑓 = (0,∞) 
 
Siendo entonces el 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) 
 
𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑫𝒐𝒎𝒓𝟏 𝒇 ∪ 𝑫𝒐𝒎𝒓𝟐 𝒇 = (−∞, 𝟎) ∪ (𝟎,∞) = 𝓡 − {𝟎} 
 
 
b. Intersección con los Ejes Coordenados: 
 
 ∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒚 = 𝟎 
 
𝟎 =
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
 → 𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏 = 𝟎. (𝒙) → 𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏 = 𝟎 → 𝐥𝐧|𝒙| = −𝟏 
 
𝑩𝒂𝒔𝒆𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝑨𝒓𝒈𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 |𝒙| = 𝒆−𝟏 =
𝟏
𝒆
 → 𝒙 = {
 
𝟏
𝒆
 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
−
𝟏
𝒆
 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
 
 
 
 
∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒙 = 𝟎 (𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜) 
 
𝒚 =
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
 → 𝒚 =
𝐥𝐧|𝟎| + 𝟏
𝟎
 → {
−∞ 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
 ∞ 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
 ∴ 𝑵𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
c. Simetría: 
 
Simetría Par: 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙) 
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
≠
𝐥𝐧|−𝒙| + 𝟏
−𝒙
 
 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑷𝒂𝒓 
 Simetría Impar: 𝒇(𝒙) = −𝒇(−𝒙) 
 
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
= −
𝐥𝐧|−𝒙| + 𝟏
−𝒙
=
𝐥𝐧|𝒙| + 𝟏
𝒙
 
 
∴ 𝑻𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 
d. Asíntotas: 
 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→0
ln|𝑥| + 1
𝑥
=
ln|0| + 1
0
= ±∞ ∴ 𝑬𝒏 𝒙 = 𝟎 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
 
𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→∞
ln|𝑥| + 1
𝑥
= 0 
 
∴ 𝒚 = 𝟎 𝒕𝒆𝒏𝒈𝒐 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: Resolver el siguiente Límite 
𝑎. lim
𝑥→∞
𝑥. ln (
𝑥2 + 1
𝑥2 + 2
) 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→∞
ln (
𝑥2 + 1
𝑥2 + 2
)
𝑥
= ln lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
𝑥2 + 2
)
𝑥
= ln 1∞ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
]
𝒉(𝒙)
= 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒉(𝒙).[
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
−𝟏]
 
 
ln lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
𝑥2 + 2
)
𝑥
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
𝑥.(
𝑥2+1
𝑥2+2
−1)
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
𝑥.(
𝑥2+1−𝑥2−2
𝑥2+2
)
 
 
ln 𝑒
lim
𝑥→∞
(
−𝑥
𝑥2+2
)
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
[
−𝑥
𝑥2.(1+
2
𝑥2
)
]
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
[
−1
𝑥.(1+
2
𝑥2
)
]
 
 
ln 𝑒
lim
𝑥→∞
[
−1
∞.(1+
2
∞2
)
]
= ln 𝑒
lim
𝑥→∞
[
−1
∞.(1+0)
]
= 𝐥𝐧(𝒆𝟎) = 𝟎 
 
 
 
𝑏. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 lim
𝑥→0
√(cos 𝑥 − 1)2
3
𝑇𝑔 𝑥
 
lim
𝑥→0
√(cos𝑥 − 1)2
3
𝑇𝑔 𝑥
=
0
0
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
lim
𝑥→0
√(cos𝑥 − 1)2
3
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √(cos 𝑥 − 1)2
3
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑎𝑖𝑧 
 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √
(cos 𝑥 − 1)2
𝑠𝑒𝑛3𝑥
 
3
 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑟 
 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √
(1 − cos 𝑥)2
𝑠𝑒𝑛3𝑥
 
3
 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = (1 − cos 𝑥)(1 + cos 𝑥) 
 
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 1 − cos 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
1 + cos 𝑥
 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 
 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √(
𝑠𝑒𝑛2𝑥
1 + cos 𝑥
)
2
: 𝑠𝑒𝑛3𝑥 
3
 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 lim
𝑥→0
cos 𝑥. √
𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥. (1 + cos 𝑥)2
3
 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→0
cos 𝑥. √
𝑠𝑒𝑛 𝑥
(1 + cos 𝑥)2
3
= cos 0. √
𝑠𝑒𝑛 0
(1 + cos 0)2
3
= 1. √
0
2
3
= 1.0 = 𝟎