REGLA DE LHOSPITAL

Análisis Matemático

•

SIN SIGLA

0

Sebastián Villagra

22/9/2023

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Análisis Matemático

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REGLA DE L’HOSPITAL 
INDETERMINACIONES 
𝟎
𝟎
; 
∞
∞
; ∞ − ∞; 𝟏∞; 𝟎𝟎; ∞𝟎; 𝟎. ∞ 
EJERCICIO 9 
Suponiendo que: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝟎 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙) = 𝟎 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒉(𝒙) = 𝟏 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒑(𝒙) = ∞ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒒(𝒙) = ∞ 
Cuales son formas indeterminadas. De no serlo evaluar el límite. 
𝐴. − lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝟎
𝟎
 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝐵. − lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑝(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)
=
𝟎
∞
= 𝟎 
𝐶. − lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥)
𝑝(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)
=
𝟏
∞
= 𝟎 𝐸. − lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑞(𝑥)
=
∞
∞
 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏 
𝐹. − lim
𝑥→𝑎
[𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥) − lim
𝑥→𝑎
𝑞(𝑥) = ∞ − ∞ 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏 
𝐻. − lim
𝑥→𝑎
[ℎ(𝑥). 𝑝(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥). lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥) = 𝟏. ∞ = ∞ 
𝑁. − lim
𝑥→𝑎
√𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)
1
𝑞(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
1
𝑞(𝑥) = ∞𝟎 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏 
 
EJERCICIO 14 
𝟏. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝒙 − 𝟏
𝑺𝒆𝒏 𝒙
=
𝟎
𝟎
 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝒙
𝑪𝒐𝒔 𝒙
=
𝒆𝟎
𝑪𝒐𝒔 𝟎
= 𝟏 
𝟒. − 𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒕. 𝒆𝒕
𝟏 − 𝒆𝒕
=
𝟎
𝟎
 → 𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝟏. 𝒆𝒕 + 𝒕. 𝒆𝒕
−𝒆𝒕
=
𝟏. 𝒆𝟎 + 𝟎. 𝒆𝟎
−𝒆𝟎
= −𝟏 
𝟔. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝑺𝒆𝒏 𝒙
𝒙𝟐
=
𝟎
𝟎
 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝑪𝒐𝒔 𝒙
𝟐. 𝒙
= {
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝒇(𝒙) = ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝒇(𝒙) = −∞
 
𝟕. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝐥𝐧 𝒙
𝒙
=
∞
∞
 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟏
𝒙
𝟏
=
𝟏
∞
𝟏
= 𝟎 
𝟗. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝑪𝒐𝒕𝒈 𝒙
𝒍𝒏 𝒙
=
∞
∞
 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
−𝑪𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙
𝟏
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
−
𝟏
𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝒙
=
∞
∞
 
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
−
𝒙
𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙
=
𝟎
𝟎
 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
−
𝟏
𝟐. 𝑺𝒆𝒏 𝒙. 𝑪𝒐𝒔 𝒙
=
𝟏
𝟐. 𝟎. 𝟏
= ∞ 
𝟏𝟐. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝒍𝒏(𝑺𝒆𝒏 𝒙)
𝒍𝒏(𝒕𝒈 𝒙)
=
∞
∞
 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟏
𝑺𝒆𝒏 𝒙 . 𝑪𝒐𝒔 𝒙
𝟏
𝒕𝒈 𝒙 . 𝑺𝒆𝒄
𝟐𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝑪𝒐𝒕𝒈 𝒙
𝑪𝒐𝒕𝒈 𝒙. 𝑺𝒆𝒄𝟐𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟏
𝑺𝒆𝒄𝟐𝒙
= 𝟏 
𝟏𝟕. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝝅
𝟐
(
𝝅
𝟐
− 𝒙) . 𝒕𝒈 𝒙 = 𝟎. ∞ → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝝅
𝟐
(
𝝅
𝟐
− 𝒙) .
𝑺𝒆𝒏 𝒙
𝑪𝒐𝒔 𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝝅
𝟐
(
𝝅
𝟐 − 𝒙) . 𝑺𝒆𝒏 𝒙
𝑪𝒐𝒔 𝒙
=
𝟎
𝟎
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝝅
𝟐
(−𝟏). 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + (
𝝅
𝟐
− 𝒙) . 𝑪𝒐𝒔 𝒙
−𝑺𝒆𝒏 𝒙
= 𝟏 
𝟐𝟑. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝒆𝒙 + 𝒙)
𝟏
𝒙 = 𝟏∞ → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝐥𝐧(𝒆
𝒙+𝒙)
𝟏
𝒙 𝑷𝒐𝒓 𝒔𝒆𝒓 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒍𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐥𝐧(𝒆𝒙+𝒙)
𝟏
𝒙
 
𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙
.𝐥𝐧(𝒆𝒙+𝒙)
= 𝒆∞.𝟎 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐥𝐧(𝒆𝒙+𝒙)
𝒙 = 𝒆
𝟎
𝟎 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
𝒆𝒙+𝒙
.(𝒆𝒙+𝟏)
𝟏 = 𝒆𝟐 
𝟐𝟓. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(𝟐 − 𝒙)𝒕𝒈(
𝝅
𝟐
.𝒙) = 𝟏∞ → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒆𝐥𝐧(𝟐−𝒙)
[𝒕𝒈(
𝝅
𝟐
.𝒙)]
 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝐥𝐧(𝟐−𝒙)
[𝒕𝒈(
𝝅
𝟐
.𝒙)]
 
𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒕𝒈(
𝝅
𝟐
.𝒙).𝐥𝐧(𝟐−𝒙)
 → 𝒆∞.𝟎 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝑺𝒆𝒏(
𝝅
𝟐
.𝒙).𝐥𝐧(𝟐−𝒙)
𝑪𝒐𝒔(
𝝅
𝟐
.𝒙)
= 𝒆
𝟎
𝟎 
𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝑪𝒐𝒔(
𝝅
𝟐
.𝒙).(
𝝅
𝟐
).𝐥𝐧(𝟐−𝒙)+𝑺𝒆𝒏(
𝝅
𝟐
.𝒙).
𝟏
𝟐−𝒙
.(−𝟏)
−𝑺𝒆𝒏(
𝝅
𝟐
.𝒙).(
𝝅
𝟐
)
 
 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
−𝑺𝒆𝒏(
𝝅
𝟐
.𝒙).
𝟏
𝟐−𝒙
−𝑺𝒆𝒏(
𝝅
𝟐
.𝒙).(
𝝅
𝟐
)
 
 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟐
𝝅.(𝟐−𝒙) = 𝒆
𝟐
𝝅 
𝟐𝟕. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝑪𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙 −
𝟏
𝒙
) = ∞ − ∞ → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(
𝟏
𝑺𝒆𝒏 𝒙
−
𝟏
𝒙
) → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(
𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝒙
𝒙. 𝑺𝒆𝒏 𝒙
) =
𝟎
𝟎
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙
𝟏. 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝒙. 𝑪𝒐𝒔𝒙
=
𝟎
𝟎
 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝑺𝒆𝒏 𝒙
𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝟏. 𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝒙. 𝑺𝒆𝒏 𝒙
=
𝟎
𝟏 + 𝟏 − 𝟎
= 𝟎 
𝟑𝟐. − 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎𝟎 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝐥𝐧 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐥𝐧 𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 
 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒙.𝐥𝐧 𝒙
 → 𝒆𝟎.∞ 
𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐥𝐧 𝒙
𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝒙 → 𝒆
∞
∞ → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙
−𝑪𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙.𝑪𝒐𝒕𝒈 𝒙 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙
−
𝑪𝒐𝒔 𝒙
𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙 → 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙
𝒙.𝑪𝒐𝒔 𝒙 
𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟐.𝑺𝒆𝒏 𝒙.𝑪𝒐𝒔 𝒙
𝟏.𝑪𝒐𝒔 𝒙+𝒙.(−𝑺𝒆𝒏 𝒙) → 𝒆
𝟎
𝟏+𝟎 → 𝒆𝟎 = 𝟏