CALCULO DE LIMITES (2)

Vista previa del material en texto

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 
LIMITES 
 
Examinemos lo que sucede con la función f(x) = 2x + 3 cuando x → 1 
Tomaremos cuando x = 0.8; 0.9; 0.99; 0.999; ……. Que sin duda se aproxima cada vez más a 
1, entonces los valores correspondientes de f(x) están dados por: 
x 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999 …. 
f(x) 4.6 4.8 4.98 4.998 4.9998 … 
 
Se puede observar que a medida que x se aproxima a 1, f(x) está cada vez más cerca de 5. 
 Lo cual lo escribiremos como f(x) → 5, cuando x → 1 
Se puede considerar también el caso de que x se aproxima a 1 por arriba de sus valores, es 
decir; cuando x = 1.5; 1.1; 1.01; 1.001, 1.0001, entonces, se tiene: 
x 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001 
f(x) 6 5.2 5.02 5.002 5.0002 
 
Se puede observar que f(x) → 5, cuando x → 1 
En consecuencia, cuando x se aproxima a 1 por abajo o por arriba f(x) = 2x + 3 se acerca a 5. 
Se dice que el límite o valor límite de f(x) cuando x tiende a 1 es igual a 5. 
Denotado por: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟓 
LÍMITE DE FUNCIONES.- Dada una función real de valor real y = f(x), se dice que un número 
real b es el límite de f(x) cuando x se aproxima a un número fijo “a” i se denota por: 
lim
𝑥 →𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏, si x se aproxima a “a”, entonces f(x) se aproxima a “b” 
Gráficamente, se tiene: 
 y 
 b 
 y = f(x) 
 f(x) 
 
 x a x 
CÁLCULO DE LÍMITES 
Calcular el límite de una función significa, dado lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), determinar el valor de “b”, tal que: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝒃 
Para tal fin se requiere conocer algunas propiedades fundamentales del límite de una función. 
PROPIEDADES: 
1. Límite de una constante. Con K un valor real 
 
Ejemplo: 
lim
𝑥→5
(−9) = − 9 
lim
𝑥→ −2
(18) = 18 
lim
𝑥→ −
1
3
(−
5
7
) = −
5
7
 
lim
𝑥→𝜋
( √13
3
) = √13
3
 
2. Límite de una función Identidad 
lim
𝑥→𝑎
(𝑥) = 𝑎 : limite de x, cuando x se aproxima o tiende a “a” es a 
Ejemplos 
lim
𝑥→ −1
(𝑥) = −1 
lim
𝑥 →13
(𝑥) = 13 
lim
𝑥→−3/4
(𝑥) = −3/4 
lim
𝑥→2𝜋
(𝑥) = 2𝜋 
 
3. Límite de una suma o resta 
 
Ejemplo 
lim
𝑥→ −3
(6 + 𝑥) = lim
𝑥→ −3
(6) + lim
𝑥→ −3
(𝑥) = 6 + (−3) = 6 − 3 = 3 
lim
𝑥→−1/2
(𝑥 − 5/2) = lim
𝑥→−1/2
(𝑥) − lim
𝑥→−1/2
(5/2) = −
1
2
−
5
2
= −
6
2
= −3 
 
4. Límite de un producto 
 
Ejemplo 
lim
𝑥→ −6
(7. 𝑥) = lim
𝑥→ −6
(7) . lim
𝑥→ −6
(𝑥) = (7). (−6) = −42 
lim
𝑥→0
(−
5
3
. 𝑥) = lim
𝑥→0
(−
5
3
). lim
𝑥→0
(𝑥) = (−
5
3
) . (0) = 0 
5. Límite de un cociente 
 ; Si lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
 
Ejemplo 
lim
𝑥→−3
(
8𝑥
3
) = 
lim
𝑥→−3
(8. 𝑥)
lim
𝑥→−3
(3)
= 
lim
𝑥→−3
(8) . lim
𝑥→−3
(𝑥)
lim
𝑥→−3
(3)
= 
(8). (−3)
3
= −8 
lim
𝑥→−1
[5𝑥 +
11𝑥
5
] = lim
𝑥→−1
(5. 𝑥) + lim
𝑥→−1
(
11𝑥
5
) = { lim
𝑥→−1
(5). lim
𝑥→−1
(𝑥)} + {
lim
𝑥→−1
(11. 𝑥)
lim
𝑥→−1
(5)
} 
 = {(5)(−1)} + {
lim
𝑥→−1
(11) . lim
𝑥→−1
(𝑥)
5
} = −5 + {
(11)(−1)
5
} = −5 −
11
5
= −
36
5
 
6. Límite de una potencia 
 
 lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
 ; ∀ 𝑛 𝜖 ℝ 
Ejemplo 
lim
𝑥→ −2
(9𝑥 − 13)2 = [ lim
𝑥→ −2
(9𝑥 − 13)]
2
= [ lim
𝑥→ −2
(9. 𝑥) − lim
𝑥→ −2
(13)]
2
 
 = [ lim
𝑥→ −2
(9). lim
𝑥→ −2
(𝑥) − lim
𝑥→ −2
(13)]
2
= [9. (−2) − 13]2 = [−18 − 13]2 
 = [−31]2 = 961 
lim
𝑥→2
[3𝑥]2𝑥 = {lim
𝑥→2
[3. 𝑥]}
lim
𝑥→2
[2.𝑥]
= {lim
𝑥→2
(3) . lim
𝑥→2
(𝑥)}
[lim
𝑥→2
(2). lim
𝑥→2
(𝑥)]
= {3(2)}2(2) = {6}4 
 = 1296 
 
7. Límite de una función 
 
 g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc. 
Ejemplo 
lim
𝑥→−1
√7𝑥
3
= √ lim
𝑥→−1
(7. 𝑥)3 = √ lim
𝑥→−1
(7) lim
𝑥→−1
(𝑥)3 = √7(−1)
3 = √−7
3
= −√7
3
 
lim
𝑥→−1
[log2(4𝑥)] = log2 [ lim
𝑥→−1
(4𝑥)] = log2 [ lim
𝑥→−1
(4) lim
𝑥→−1
(𝑥)] = log2[4(−1)] = log2[−4] =? ? ? ? ? 
lim
𝑥→𝜋
[𝐶𝑜𝑠 (3𝑥)] = 𝐶𝑜𝑠 [lim
𝑥→𝜋
(3. 𝑥)] = 𝐶𝑜𝑠 [lim
𝑥→𝜋
(3). lim
𝑥→𝜋
(𝑥)] = 𝐶𝑜𝑠[3𝜋] = 𝐶𝑜𝑠 (540°) = -1 
 
8. Límite de una raíz 
 
lim
𝑥→𝑎
[ √𝑓(𝑥)
𝑛 ] = √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 ; ∀ 𝑛 ∈ ℤ+ 
 
Ejemplo 
lim
𝑥→−1
√7𝑥
3
= √ lim
𝑥→−1
(7𝑥)3 
lim
𝑥→3
√11𝑥
5
= √lim
𝑥→3
(11𝑥)5 = √lim
𝑥→3
(11) lim
𝑥→3
(𝑥)5 = √11(3)
5 = √33
5
 
lim
𝑥→
3
2
√
4𝑥 + 11
3
7
= √lim
𝑥→
3
2
[
4𝑥 + 11
3
]
7
= √
lim
𝑥→
3
2
(4𝑥 + 11)
lim
𝑥→
3
2
(3)
7
= √
lim
𝑥→
3
2
(4. 𝑥) + lim
𝑥→
3
2
(11)
lim
𝑥→
3
2
(3)
7
 
 = √
lim
𝑥→3/2
(4). lim
𝑥→3/2
(𝑥)+ lim
𝑥→3/2
(11)
lim
𝑥→3/2
(3)
7
= √
(4).(
3
2
)+11
3
7
= √
6+11
3
7
= √
17
3
7
 
 
9. Límite de un logaritmo 
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/limite-de-la-funcion-logaritmica.html#log
 
 
 EJEMPLOS: 
Utilizando propiedades determinar los siguientes límites: 
1. lim
𝑥→2
[√
𝑥2+3𝑥+6
𝑥3+1
] = √lim
𝑥→2
(
𝑥2+3𝑥+6
𝑥3+1
) = √
lim
𝑥→2
(𝑥2+3𝑥+6)
lim
𝑥→2
(𝑥3+1)
 
= √
lim
𝑥→2
(𝑥2)+ lim
𝑥→2
 (3.𝑥)+ lim
𝑥→2
 (6)
lim
𝑥→2
(𝑥3)+ lim
𝑥→2
 (1)
= √
(lim
𝑥→2
 𝑥)
2
+ (lim
𝑥→2
 3).(lim
𝑥→2
 𝑥)+ (lim
𝑥→2
 6)
(lim
𝑥→2
 𝑥)
3
+ lim
𝑥→2
 (1)
 
= √
(2)2+ (3)(2)+6
(2)3+1
= √
4+6+6
8+1
 = √
16
9
= 
4
3
 
 
2. lim
𝑥→3
(
5𝑥3−2𝑥2+5
2−6𝑥
) = 
lim
𝑥→3
(5𝑥3−2𝑥2+5)
lim
𝑥→3
(2−6𝑥)
= 
lim
𝑥→3
(5.𝑥3)−lim
𝑥→3
(2.𝑥2)+lim
𝑥→3
(5)
lim
𝑥→3
(2)−lim
𝑥→3
(6.𝑥)
 
 = 
lim
𝑥→3
(5).lim
𝑥→3
(𝑥3)−lim
𝑥→3
(2).lim
𝑥→3
(𝑥2)+lim
𝑥→3
(5)
lim
𝑥→3
(2)−lim
𝑥→3
(6).lim
𝑥→3
(𝑥) 
 
= 
lim
𝑥→3
(5).[lim
𝑥→3
(𝑥)]
3
−lim
𝑥→3
(2)[lim
𝑥→3
(𝑥)]
2
+lim
𝑥→3
(5)
lim
𝑥→3
(2)−lim
𝑥→3
(6).lim
𝑥→3
(𝑥)
 
= 
5.(3)3−2.(3)2+5
2−(6.3)
= 
135−18+5
2−18
= 
122
−16
= −
61
8
 
 
3. lim
𝑥→−1
(2𝑥5 + 7𝑥3 + 8𝑥 − 3)7 = [ lim
𝑥→−1
(2𝑥5 + 7𝑥3 + 8𝑥 − 3)]
7
 
= [ lim
𝑥→−1
(2. 𝑥5) + lim
𝑥→−1
(7. 𝑥3) + lim
𝑥→−1
(8. 𝑥) − lim
𝑥→−1
(3)]
7
 
= [ lim
𝑥→−1
(2). lim
𝑥→−1
(𝑥5) + lim
𝑥→−1
(7). lim
𝑥→−1
(𝑥3) + lim
𝑥→−1
(8). lim
𝑥→−1
(𝑥) − lim
𝑥→−1
(3)]
7
 
=[ lim
𝑥→−1
(2). ( lim
𝑥→−1
(𝑥))
5
+ lim
𝑥→−1
(7). ( lim
𝑥→−1
(𝑥))
3
+ lim
𝑥→−1
(8). lim
𝑥→−1
(𝑥) − lim
𝑥→−1
(3)]
7
 
= [2. (−1)5 + 7. (−1)3 + 8. (−1) − 3]7 = [−2 − 7 − 8 − 3]7 = (−20)7 
MÉTODO PRÁCTICO: Para calcular el límite de una función. Sólo se reemplaza todas las 
variables de la función por el valor del punto fijo “a”. 
lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥)) = 𝑏 
Ejemplo: 
1. lim
𝑥→2
[√
𝑥2+3𝑥+6
𝑥3+1
] = √
(2)2+ (3)(2)+6
(2)3+1
= √
4+6+6
8+1
 = √
16
9
= 
4
3
 
2. lim
𝑥→−1
(2𝑥5 + 7𝑥3 + 8𝑥 − 3)7 = {2(−1)5 + 7(−1)3 + 8(−1) − 3}7 
 = {−2 − 7 − 8 − 3}7 = {−20}7 = − ⋯ 
 
3. lim
𝑥→0
(
3𝑥+5
𝑥+2
) = 
3(0)+5
0+2
= 
5
2
 
 
4. lim
𝑥→1
(
8𝑥6−5𝑥3+3𝑥2−6
2𝑥3−3𝑥2+8𝑥
) =
8(1)6−5(1)3+3(1)2−6
2(1)3−3(1)2+8(1)
= 
8−5+3−6
2−3+8
= 
0
7
= 0 
 
5. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)] = 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜
0
 = NO EXISTE 
 
6. lim
𝑥 →8
(
𝑥2−64
𝑥−8
) = 
𝟎
𝟎
 (𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐) 
 
NOTA: Cuando el valor de “b” resulta una forma indeterminada: 
(
𝟎
𝟎
) , (
∞
∞
) , (∞ − ∞), (𝟎. ∞), (𝟎𝟎), (𝟏∞), (∞𝟎), 𝒆𝒕𝒄. Para calcular correctamente el límite, 
se debe salvar la indeterminación por medio de operaciones algebraicas (factorización) de tal 
manera que aparezca un factor común tanto en el numerador como en el denominador, así poder 
cancelar estos factores idénticos y luego se calcula el límite de la expresión restante. 
Ejemplos: 
lim
𝑥 →8
(
𝑥2 − 64
𝑥 − 8
) = lim
𝑥→8
[
(𝑥 − 8)(𝑥 + 8)
(𝑥 − 8)
] = lim
𝑥→8
(𝑥 + 8) = 16 
 
7. lim
𝑥→1
(
𝑥2−1
2𝑥2−𝑥−1
) =
0
0
 (𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜) 
FACTORIZANDO EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR: 
𝒙𝟐 − 𝟏 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 
 
𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 
2x 1 -2x 
1x - 1 x 
 - x 
 
lim
𝑥→1
(
𝑥2 − 1
2𝑥2 − 𝑥 − 1
) = lim
𝑥→1
[
(𝑥− 1)(𝑥 + 1)
(2𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
] = lim
𝑥→1
[
𝑥 + 1
2𝑥 + 1
] = 
2
3
 
 
8. lim
𝑦→−2
(
𝑦3+4𝑦2+4𝑦
𝑦2−𝑦−6
) = 
(−2)3+4(−2)2+4(−2)
(−2)2−(−2)−6
=
−8+16−8
4+2−6
=
0
0
= (𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅) 
Factorizando: 
𝑦3 + 4𝑦2 + 4𝑦 = 𝑦(𝑦2 + 4𝑦 + 4) = 𝑦(𝑦 + 2)2 
𝑦2 − 𝑦 − 6 = (𝑦 − 3)(𝑦 + 2) 
y -3 
y 2 
Por tanto: 
lim
𝑦→−2
(
𝑦3 + 4𝑦2 + 4𝑦
𝑦2 − 𝑦 − 6
) = lim
𝑦→−2
{
𝑦(𝑦 + 2)2
(𝑦 − 3)(𝑦 + 2)
} = lim
𝑦→−2
{
𝑦(𝑦 + 2)
𝑦 − 3
}
=
−2(0)
−5
=
0
−5
= 0 
 
9. lim
𝑦→−2
(
𝑦3+4𝑦2+4𝑦
𝑦2−𝑦−6
) = 
(−2)3+4(−2)2+4(−2)
(−2)2−(−2)−6
= 
−8+16−8
4+2−6
= 
0
0
 (𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡. ) 
Factorizando: 
𝑦3 + 4𝑦2 + 4𝑦 = 𝑦(𝑦2 + 4𝑦 + 4) = 𝑦(𝑦 + 2)(𝑦 + 2) = 𝑦(𝑦 + 2)2 
 y 2 
 y 2 
𝑦2 − 𝑦 − 6 = (𝑦 − 3)(𝑦 + 2) 
y -3 
y 2 
lim
𝑦→−2
(
𝑦3 + 4𝑦2 + 4𝑦
𝑦2 − 𝑦 − 6
) = lim
𝑦→−2
[
y(y + 2)2
(y − 3)(y + 2)
] = lim
𝑦→−2
[
𝑦(𝑦 + 2)
(𝑦 − 3)
] 
 = 
−2(−2+2)
−2−3
= 
−2(0)
−5
=
0
−5
= 0 
10. lim
𝑥→3
(
𝑥2−5𝑥+6
𝑥2−8𝑥+15
) =
(3)2−5(3)+6
(3)2−8(3)+15
= 
9−15+6
9−24+15
=
0
0
 ( 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜) 
Factizando: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 
x - 3 -2x 
x -2 -3x 
 -5x 
𝑥2 − 8𝑥 + 15 = (𝑥 − 5)(𝑥 − 3) 
x - 5 
x -3 
lim
𝑥→3
(
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑥2 − 8𝑥 + 15
) = lim
𝑥→3
[
(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 5)(𝑥 − 3)
] = lim
𝑥→3
[
𝑥 − 2
𝑥 − 5
] =
1
−2
= −
1
2
 
 
11. lim
𝑥→1
(
𝑥60−2𝑥30+1
𝑥30−2𝑥15+1
)= TAREA 
12. lim
𝑥→2
(
𝑥4+2𝑥3− 𝑥2−8𝑥−12
𝑥4−2𝑥3−𝑥2+8𝑥−12
)TAREA