12-DESCARGAR-INECUACIONES-DE-PRIMER-GRADO

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Inecuaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
 
4. Si: a > b  c < 0 ac < bc 
 
Este capítulo nos ayudará a desarrollar aún más nuestra 
capacidad de análisis, pues la diversidad de problemas que 
se presentan aquí requieren que el estudiante sea analítico, 
sólo de esa manera lograremos determinar la solución 
respectiva al problema. 
 
Las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones 
pero tienen como solución un conjunto infinito de números 
generalmente. 
 
Por ejemplo, le preguntamos al profesor de Geometría 
su edad y él contesta: “Mi edad más el doble de mi edad 
más el triple de mi edad es menor que 180”. Entonces cual 
sería como máximo la edad del profesor de Geometría, si a 
la edad del profesor lo llamamos "x" entonces podríamos 
 
Ejemplo: 
Si: 7 > 2  -3 < 0 (7)(-3) < (2)(-3) 
-21 < -6 ...... (verdadero) 
 
 
INECUACIÓN: Una inecuación es toda desigualdad que se 
establece entre dos expresiones matemáticas las cuales 
tienen por lo menos una variable, la cual se denominará 
incógnita. 
 
Esta desigualdad sólo se verifica para algunos valores 
determinados de las incógnitas o tal vez nunca se verifique. 
 
Formas generales 
expresar lo anterior como: 
 
x + 2x + 3x < 180 
I. 
 
III. 
ax + b > 0 
 
ax + b < 0 
II. 
 
IV. 
ax + b > 0 
 
ax + b < 0 
 
Para resolver el problema, debemos tener en cuenta 
algunas definiciones que daremos a continuación. 
 
DEFINICIONES 
 
DESIGUALDAD: Es una comparación que se establece entre 
dos números reales: "a" y "b" utilizando los símbolos de la 
relación de orden, el cual puede ser verdadero o falso. 
 
 
a > b ; a < b 
a < b ; a > b 
 
¿Cómo se resuelve la inecuación: 3x + 12 < x - [5x +2]? 
 
1º Suprimimos signos de agrupación: 3x + 12 < x - 5x - 2 
 
2º Reducimos términos semejantes: 3x + 12 < -4x - 2 
 
3º Transponemos términos: 4x + 3x < -2 - 12 
 
4º Reducimos términos semejantes: 7 x < -14 
 
Despejamos a "x" dividiendo a ambos miembros entre 7: 
 
 
Propiedades 
 
1. Si: a < b a + c < b + c 
7x 
<  
14 
7 7 
 
x < -2 
 
Ejemplo: 
5 < 12 5 + (-8) < 12 + (-8) 
-3 < 4 .............. (verdadero) 
 
 
2. Si: a > b  b > c a > c 
Los valores de "x" que satisfacen a la inecuación dada son 
todos aquellos que sean menores que menos dos ó x < -2 
 
 
INTERVALOS 
 
1. Intervalo abierto: Si "x" se encuentra entre dos 
números reales "a" y "b" de la forma: a < x < b, se 
Ejemplo: 
14 > 2  2 > -10 14 > -10 
denota: a; b o también:  a; b  , esto es: 
a; b = {x  lR / a < x < b} 
 
3. Si: a > b  c > 0 ac > bc 
 
Ejemplo: 
Si: 7 > 2  3 > 0 (7)(3) > (2)(3) 
21 > 6 .............. (verdadero) 
 
 
- a b + 
 
2. Intervalo cerrado: Si "x" se encuentra entre dos 
números reales "a" y "b" de la forma: a < x < b . Se 
denota por: [a; b] 
 
[a; b] = {x lR / a < x < b } 
 
 
 
- a b + 
 
3. Intervalo semiabierto: 
a; b = {x lR / a < x < b } 
Conjunto solución de una inecuación 
 
Se llama así al conjunto de los valores de la INCÓGNITA 
que reemplazados en la inecuación, verifican la desigualdad. 
La solución de una inecuación generalmente se presenta 
por medio de intervalos. 
 
Ejemplo: 
Resolver: 3x - 1 > 11 
 
3x > 11 + 1 
3x > 12 
x > 
 12 
3 
x > 4 
- a b + 
 
a; b = {x lR / a < x < b } 
- 4 
 
4 < x < +  ó 
 
+ 
 
x   4;  
- a b + 
 
 
 
Problemas para la clase 
 
 
BLOQUEI 4. Representar los siguientes gráficos en intervalos: 
 
1. Graficar los siguientes intervalos: 
 
a) 3 < x < 9 
b) -2 x 1 
c) -5 x < 1 
d) -5 x < 0 
e) 3 x 8 
 
 
a) 
- 
 
 
 
b) 
- 
 
 
 
c) 
-
 
 
 
-2 4 + 
 
 
 
-1 0 + 
 
 
 
3 + 
 
f) 6 x < 10 
 
2. Graficar: 
 
5. Hallar el conjunto solución que satisface a la siguiente 
inecuación: 
 
a) x 
 
2; 6 
 
 
 
a)  ; 8
8x < x + 56 
 
 
b)  ; 8 c) 
 
 
 
 ; 8 
b) x  [-1; 1] 
d)  ; - 8 
 
e) 8;  8 
c) x  1; 5
 
d) x  - 8; 1 
 
3. Graficar: 
a) x > 3 
b) x < 5 
c) x 8 
d) x > -2 
 
 
6. Resolver: x + (x + 5) (x + 7) 
 
 
a) x 2 b) x -2 c) x 
1 
2 
d) x 2 e) x = 2 
 
7. Cuántos números enteros y positivos satisfacen la 
siguiente inecuación: 
 
1 (x + 5)(x - 2) - (x - 1)(x + 3) 
 
a) x < 6 b) x < -6 c) x > 6 
d) x > -6 e) x  6 
 
a) 5 b) 6 c) 8 
d) 10 e) 2 
* Hallar el mínimo valor entero de "x" del conjunto solución 
en cada una de las siguientes inecuaciones: 
 
8. Resolver: 
 
 
 
 
 
a)  ;  15
 
c) 15;  
 
 
x x 5 
3 
> 
2 
 
 
b)  ;  15 
 
d) 15; 0 
9. 3x - 7 > 2 
 
10.4x + 5 > 3(x + 2) 
 
11.5(x + 2) < 6(x - 1) + 4 
 
12.(x + 2)(x + 6) - (x + 4)2 + x 2 
 
e) 0; 15 
 
9. Resolver e indicar el intervalo solución. 
2x
 
 
 
BLOQUEIII 
 
1. Resolver: 
 
 
 
 
 
3x + 4 > x + 2 
 
 
 
a) 15;  
 
c)  15;  
e) x > -20 
 
10.Resolver: 
x  
5 
 21 
 
 
b) 
 
d) 
 
 
 
15;  
 
 15; 15 
 
 
Indicar su intervalo. 
 
a) x < -7 b) x  -1 c) x > -1 
d) x > 1 e) x  1 
 
2. Resolver: 
4(x + 5) < 2 (x + 3) 
x 
 x 2  1 
 
Indicar su intervalo. 
4 3 
 
a) x < -7 b) x < 7 c) x > 3 
a) x -20 b) x 20 
c) 0 x < 20 d) x -20 
e) x > -20 
d) x > -7 e) x > 7 
 
3. Resolver: 
 
x 
 
x 


BLOQUEII 
 
* Resolver e indicar el intervalo solución de los siguientes 
ejercicios: 
 
1. x(x + 9) - 10 > (x + 2)2 
 
x 
 
 2 x 
5 
2 3 
 
Indicar su intervalo. 
 
a) x < 3 b) x < 2 c) x > 3 
d) x > 2 e) x < 6 
 
4. Resolver:
 
2. 
3 2 
< x  1 
3x 
(x  1)2 
3. 
2 
 
x  
 x 
(x  1)2 x 
< 
2 
+ 
3 

2 
 
Indicar su intervalo. 
 12 
4. 
3 
> 16
 
 
5. 
x 
 
 x 
 
 x 
12 
2 3 2 
 
 
* Hallar los valores enteros máximos del conjunto solución 
de cada una de las siguientes inecuaciones: 
 
6. 3x - 4 < 2x + 5 
 
7. 10(x + 5) < 9(x + 6) 
 
8. (x + 3)2 - x(x + 5) 9 
 
 
a) x < 8 b) x > 8 c) x > -8 
d) x < -8 e) x  8 
 
5. Resolver: 
 
x 
 2  
x 
 3 
3 2 
 
Indicar su intervalo. 
 
6.Resolver: 
 
 
2(x + 3) < 3(x + 2) 
9. Resolver: 
 
 
 
x + 2 (4x + 3) > 4 (2x + 3) 
Indicar su intervalo. 
 
a) x > 0 b) x < 0 c) x > 1 
d) x < 1 e) x < 6 
 
7. Resolver: 
 
Indicar su intervalo. 
 
a) x < 6 b) x < 3 c) x >6 
d) x > 3 e) x > 10 
 
10.Resolver: 
2x 
 4  
x 
 3 
3 2 
 
Indicar su intervalo. 
2(3x + 4)  4(3x + 2) 
 
Indicar su intervalo. 
 
a) x < -6 b) x < 6 c) x > -6 
d) x > 6 e) x < 5 
 
8. Resolver: 
a) x  0 
d) x  1 
b) x  0 
e) x  2 
 
c) x  1 
2(3x + 1) + x > 3 (2x + 1) + 4 
 
Indicar su intervalo. 
 
a) x < 5 b) x < 4 c) x > 4 
d) x < 3 e) x > 5 
 
 
 
Autoevaluación 
 
1. Resolver la siguiente inecuación: 
4. Luego de resolver la inecuación: 
5(x  1) 
 
x 2 
< 
x 
4 3 2 3x 1  
 4x 1 
> x
 
 
x   
23 
 
x   
23 
5 9 
x  
23 
a) 
13 
 
x  
23 
b) 
13 
c) 
13 
 
indicar el mínimo valor entero que lo verifica. 
d) 
13 
e) x  23 a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
 
2. Hallar el conjunto solución que satisface la siguiente 
inecuación: 
 
5. Luego de resolver la inecuación: 
2x 1 
 
 5x 1 x 11  2 
0 < x + (2x + 1) - (3x + 2) - x 3 2 6 
 
a) x > -1 b) x   c) x  lR señalar el mayor valor que puede tomar "x". 
d) x < 1 e) x < -1 
 
3. Resolver: 
 
x  2 
 3 
 
x < 1 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
5 2 
 
 
a)  ; 2 b)  ;2 c) 2;  
 
d) 2;  
 
e) x  