03-DESCARGAR-MULTIPLICACIÓN-Y-DIVISIÓN-DE-NÚMEROS-NATURALES

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AÑO 
Multiplicación y División de 
números naturales 
 
 
 
 
¿Las divisiones son un asunto difícil? 
 
Para muchas personas la división en general es más complicada que la multiplicación y aunque ahora 
podemos resolverla con gran facilidad, no siempre fue así. 
 
En la antigüedad se consideraba "sabio" a quien hacía correctamente y con rapidez las divisiones; 
cada "maestro en división" (algo así como especialista) debía comunicar a los demás el resultado de 
determinados casos de esta operación. 
 
Algunas veces, encendiendo un cerillo con un movimiento habitual, todavía reflexionamos sobre cuánto 
trabajo costó a nuestro antecesores, inclusive no muy remoto, la obtención del fuego. Empero pocos 
sospechan que a los actuales métodos de realización de las operaciones aritméticas tampoco fueron, en 
su origen, así de sencillos y cómodos para que en forma tan rápida y directa condujeran al resultado. 
 
Nuestros antepasados emplearon métodos mucho más lentos y engorrosos, y si uno de ustedes, escolar 
del primer año de secundaria del siglo XXI (del colegio Trilce, por supuesto) pudiera trasladarse tres o 
cuatro siglos atrás, sorprendería a nuestros antecesores por la rapidez y exactitud de sus cálculos 
aritméticos. 
 
El rumor acerca de ustedes recorrería las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la 
gloria de los más hábiles contadores de esa época, y de todos lados llegarían gente a aprender del nuevo 
gran maestro el arte de calcular. 
 
Particularmente difíciles y complejas eran en la antigüedad las operaciones de la multiplicación y la 
d i v i s i ó n : e s t a ú l t i m a e n m a y o r e s c a l a . "La multiplicación es mi martirio, y con la división es la 
desgracia" decían entonces. Pero aún no existía, como ahora, un método práctico elaborado para 
cada operación. Por el contrario, estaba en uso simultáneamente casi una docena de diferentes métodos 
de multiplicación y división con tales complicaciones que su firme memorización sobrepasaba a las 
posibilidades del hombre medio. Cada "maestro de la división" exaltaba su método particular al respecto. 
 
En el libro de V. Belustino: "Cómo llegó la gente gradualmente a la aritmética actual" (1911), aparecen 
27 métodos de multiplicación, y el autor advierte: "es muy posible que existan todavía métodos ocultos en 
lugares secretos de bibliotecas, diseminados fundamentalmente en colecciones manuscritas" : y todos 
estos métodos de mul-tiplicación : "ajedrecístico o por organización", "por inclinamiento", "por partes", 
"por cruz pequeña", "por red", "al revés", "por rombo", "por triángulo", "por cubo o copa", "por diamante", 
y otros, así como todos los métodos de división, que tenían nombres no menos ingeniosos, competían 
uno con otro tanto en voluminosidad como en complejidad. 
 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS 
NATURALES 
 
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos 
iguales, que pueden repetirse muchas veces. 
ELEMENTOS 
 
En la multiplicación encontramos los siguientes elementos: 
 
2 x 5 = 10 
 
Por ejemplo, según esto, 2 x 5 significa 5 veces el 2. 
Multiplicando 
Multiplicador 
Producto 
 
Entonces: 
 
 
2  2  2  2  2
 
 
 
= 10
 
 
· Los números que se multiplican también se llaman
 
2 x 5 = 
5 veces 
 
factores. 
O también: 
 
 
2 x 5 =5  5 = 10 
2 veces 
 
· El resultado se conoce como producto. 
 
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE 
NÚMEROS NATURALES 
 
La Multiplicación de Números Naturales cumple con las 
siguientes propiedades: 
5. Propiedad del elemento absorvente 
 
“El elemento ABSORVENTE de la multiplicación es el 
CERO, pues si MULTIPLICAMOS cualquier número 
natural con el CERO, el resultado siempre será CERO”. 
 
1. Propiedad de clausura 
 
“Si multiplicamos dos o más números naturales el 
resultado será también otro número natural”. 
 
Es decir: 
Es decir: 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
Si: a  lN  a x 0 = 0 x a = 0 
 
 
5 x 0 = 0 x 5 = 0 
Si: a lN  b lN  (a x b) lN 6. Propiedad distributiva 
 
Ejemplo: 
 
 
5 lN  9  lN  5 x 9 = 45 lN 
“Si un numero natural multiplica a una suma o diferencia, 
se distribuye como factor en cada elemento de la suma 
o diferencia”. 
 
2. Propiedad conmutativa 
“El orden de los factores NO altera el producto”. 
Es decir: 
Si: a lN  b lN  a x b = b x a 
Es decir: 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
a x (b + c) = a x b + a x c 
a x (b - c) = a x b - a x c 
 
 
5 x ( 3 + 2 ) = 5 x 3 + 5 x 2 
 
Ejemplo: 
 
 
5 x 9 = 9 x 5 
45 = 45 
 
Comprobemos: 
 
 
5 x 5 = 15 + 10 
25 = 25 
 
 
3. Propiedad asociativa 
 
“ La forma como agrupamos los factores NO altera el 
producto”. 
 
Es decir: 
Si: a; b; c  lN  (a x b) x c = a x (b x c) 
 
Ejemplo: 
 
DIVISIÓN DE NÚMEROS 
NATURALES 
 
Es una operación inversa a la multiplicación que tiene por 
objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d), 
hallar un tercero llamado cociente (q), que indique cuántas 
veces contiene el dividendo (D) al divisor (d). 
 
 
CLASES DE DIVISIÓN 
 
( 5 x 9 ) x 12 = 5 x ( 9 x 12 ) 
45 x 12 = 5 x 108 
540 = 540 
 
4. Propiedad del elemento neutro 
 
“El elemento NEUTRO de la multiplicación es el UNO, 
pues si MULTIPLICAMOS cualquier número natural con 
el UNO, el resultado sigue siendo el mismo número 
natural”. 
 
Es decir: 
Si: a lN  a x 1 = 1 x a = a 
a. División exacta 
Cuando no hay residuo. 
 
 
D d 
q 
 
 
 
Donde: 
D = dividendo  lN 
d = divisor  lN 
q = cociente  lN 
 
 
 
 
 
D = d . q 
 
Ejemplo: 
5 x 1 = 1 x 5 = 5 
 
Ejemplo 1: 280 7 
 280 40 
0 
 
Donde: 280 = 7 x 40 
 
Ejemplo 2: 
 
1218 21 
105 58 
168 
Donde: 24 = 7 x 3 + 3 
 
 
Ejemplo 2:
 
168 
0 
 
Donde: 1218 = 21 x 58 
 
 
b. División inexacta 
Cuando existe un residuo (r). 
 
 
D d 
198 13 
13 15 
68 
65 
3 
 
Donde: 198 = 13 x 15 +3 
r  0 q 
D = d . q + r 
PROPIEDADES 
 
 
Donde: 
 
 
D  lN ; d  lN ; q  lN ; r  lN 
a. 0 < residuo < d 
 
 
b. r
MÁX 
= divisor - 1 
Ejemplo 1: 24 7 
21 3 
3 
r
MÍN 
= 1 
 
 
 
 
 
 
Problemas para la clase 
 
 
Bloque I 
 
1. Desarrolla las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno: 
3. Ca mbie las let ras por díg itos que com plet en 
correctamente las operaciones. Si una letra se repite 
debe cambiarse siempre por el mismo dígito en esa 
operación. 
a) 2606 × 
 68 
b) 2708 × 
 1656 
 
 
a) A979 × 
AA 
B187B 
 
 
b) 47K4 × 
K8 
T8T52 
2. Cambie las interrogaciones por números que completen 
correctamente las operaciones. 
B187B 
BA0A1B 
4T146 
46K812 
 
a) 4?8? × 
?2 
8374 
33496 
?????? 
b) ? ? ? ? × 
145 
10320 
8256 
 2064 
?????? 
 
YY50 × 
YZZ 
8900 
c) 8900 
 17800 
1877900 
 
4. Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno y 
escribe el dividendo como el cociente por el divisor más 
el residuo. 
 
a) 1 234  8 
b) 2 396  17 
c) 1 331  11 
d) 543  87 
e) 19 827  121 
 
5. Completa el siguiente cuadro escribiendo la propiedad 
correspondiente a cada operación indicada: 
 
 
5 ( 7 + 1 ) = 5 x 8  7 + 1 = 8 
Propiedad: 
7 x 8 = 8 x 7 
Propiedad: 
8 – 2 = 6  3 ( 8 – 2 ) = 3 x 6 
Propiedad: 
7 x 6 x 18 x 0 x 11 = 0 
Propiedad: 
6 x ( 3 x 5 ) = ( 6 x 3 ) x 5 
Propiedad: 
7 x 41 = 41 x 7 
Propiedad: 
24 x 1 = 24 
Propiedad: 
4 x 24 x 9 x 0 = 0 
Propiedad: 
3 ( 2 + 9 ) = 3 x 2 + 3 x 9 
Propiedad: 
9 ( 3 + 2 ) = 9 x 5  3 + 2 = 5 
Propiedad: 
521 x 3 = 1 563 
Propiedad: 
 
 
 
Bloque II 
 
1. ¿Cuántas horas hay en una semana?, ¿y en un año no 
bisiesto? 
 
2. ¿Cuántos minutos hay en un día?, ¿y en una semana?, 
¿y en un mes? 
 
3. En una fábrica de telas se compraron 57 docenas de 
carretes de hilo, a $ 106 el carrete. ¿Cuánto se gastó 
en hilo? 
 
4. Un automóvil viajó durante tres horas a una velocidad 
constante de 60 kilómetros por hora. ¿Cuántos 
kilómetros viajó?5. Jesús compró tres camisas a $ 65 cada uno cuatro 
pantalones a $ 85 cada uno ¿Cuánto gastó? 
 
6. Liliana compró tres blusas a $ 65 cada una y tres faldas 
a $ 115 cada una. ¿Cuánto gastó? 
 
7. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 34 cajas de 
10 kg y con 21 cajas de 7 kg. ¿Cuántos kilogramos se 
cargó? 
 
8. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 15 cajas de 
12 kg de leche descremada y con 11 cajas de 12 kg de 
leche entera. ¿Cuántos kilogramos se cargaron? 
 
 
Bloque III 
 
1. A Felipe le pagaron el año pasado $15 990 con todo y 
aguinaldo. Si el aguinaldo es el equivalente a un mes 
de sueldo, ¿cuál fue el salario mensual de Felipe? 
 
2. Se desea guardar 427 envases de jugo en cajas en las 
que caben 24 envases. ¿Cuántas cajas se llenan?, 
¿cuántos envases sobran?, ¿cuántas cajas se necesitan 
si se desea guardar todos los envases? 
 
3. Se desea transportar a 128 personas en camionetas en 
las que caben 10 pasajeros. ¿Cuántas camionetas se 
necesitan? 
 
4. Se cuenta con cinco autobuses para transportar a 134 
personas. ¿Cuántas personas deben ir en cada autobús 
para que queden repartidas de la manera más pareja 
posible? 
 
5. De un frasco de botones se utilizaron 6 botones para 
cada uno de los 27 sacos, y sobraron 3 botones. ¿Cuántos 
botones había en el frasco? 
 
6. De un frasco con 300 botones se utilizaron 8 para cada 
saco y sobraron 4 botones. ¿A cuántos sacos se les 
puso botones? 
 
7. Marcela decidió gastar $ 1 000 en ropa. Compró dos 
pares de zapatos de $ 195 cada uno, tres faldas de $ 79 
cada uno, cuatro blusas de $ 57 cada uno y un suéter 
de $ 126. ¿Cuánto dinero le sobró? 
 
8. Iván y Esaú se fueron de viaje y acordaron que uno 
pagaba la comida y el otro el hotel. Esaú pagó las 
comidas; las cuentas son de $ 45, $ 134, $ 78, $ 57, 
$ 241, $ 50 y $ 33. Iván pagó el hotel: dejó $ 600 a 
cuenta pero le devolvieron $ 200 porque se quedaron 
una noche menos de lo previsto. ¿Cuánto dinero le debe 
dar quién a quién para que los gastos queden repartidos 
equitativamente?