Ejemplo de función continua

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Ejemplo de Función Continua 
Estudiar la continuidad de las siguiente función f:R→R 
 
Como es una función racional, el dominio es el conjunto de los reales excepto los valores para 
los que se anula en denominador (no se puede dividir entre 0), es decir, el dominio es R−2R−2: 
Dom (f) = R−{2} 
La función es continua en todo su dominio. 
Gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La función crece (o decrece) indefinidamente cuando X se acerca a 2 por su derecha (o su 
izquierda): 
 
 
 
Esto es debido a que cada vez el denominador es más pequeño y, por tanto, el cociente es cada 
vez mayor (o menor, si el denominador tiene signo negativo). 
 
Ejemplo de función discontinua 
Determina qué tipo de discontinuidad tiene la siguiente función definida a trozos en el punto x=3 
 
 
 
 
Tanto el dominio del primer trozo de la función, -2x+1, como el del segundo trozo, 4x-5, son 
todos los números reales porque son funciones polinómicas. Así que el único punto en el que la 
función podría ser discontinua es el punto de ruptura de la función a trozos. Por lo que vamos a 
calcular los límites laterales en ese punto: 
 
 
 
 
 
Los dos límites laterales en x=3 dan diferente. Por tanto, el punto x=3 es una discontinuidad 
inevitable de salto finito. 
¿Cuál es la gráfica de una función constante? 
Una función constante es aquella función que siempre toma la misma imagen para cualquier 
valor de la variable independiente (x), es decir, una función constante es de la forma f(x)=k, 
donde k es un número real cualquiera. La representación gráfica de una función constante es una 
recta horizontal. 
 
 
 
 
 
 
¿Cuáles son los tres tipos de discontinuidad? 
1. Discontinuidad evitable: los límites laterales de una función en un punto no coinciden con el 
valor de la función. 
2. Discontinuidad inevitable de salto finito: los límites laterales de una función en un punto son 
diferentes. 
3. Discontinuidad inevitable de salto infinito: uno de los límites laterales de la función da infinito 
o no existe. 
Límite por definición: 
Definimos intuitivamente, al límite L de una función f(x) de variable real, al número al cual se 
aproxima la función cuando la variable independiente x, se aproxima a un valor a; se simboliza: 
 
 
Si nos interesa por ejemplo, estudiar a que valor se aproxima la función f (x)  3x 1 cuando la 
variable independiente x se aproxima al valor 2 
 
 
 
 
 
 
 
Si nos aproximamos a 2 por la izquierda vemos que la función se aproxima al valor 5 y si nos 
aproximamos al valor 2 por la derecha también vemos que la función se aproxima al valor 5, esto 
lo escribimos: 
 
 
 
 
Propiedades de teorema de los límites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evaluación de límites por sustitución: Se trata de encontrar el límite de funciones en un punto 
específico al reemplazar directamente el valor en la función. 
Lo primero que haremos será sustituir el valor al que tiende la x: 
 
 
 
 
Tenemos una indeterminación. Al simplificar: 
 
Ahora al evaluar x = 0: 
 
Entonces: 
 
Límites laterales: El límite de f(x) por la izquierda de a es L si la función toma valores cada 
vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda. Lo denotamos por: 
 
 
El límite de f(x) por la derecha de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L 
cuando x se aproxima al punto a por su derecha. Lo denotamos por: