0_3_2_TP3 SOLUCIONARIO POLINOMIOS FACTORIZACION

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MÓDULO DE MATEMÁTICA – INGRESO 2023 
TRABAJO PRÁCTICO N° 3 
UNIDAD N° 3: POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 
1.- Complete el siguiente cuadro: 
 
 
EXPRESIONES 
¿
E
s
 p
o
lin
o
m
io
?
 
N
° 
d
e
 t
é
rm
in
o
s
 
G
ra
d
o
 
C
o
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 M
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s
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té
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o
 
in
d
e
p
e
n
d
ie
n
te
?
 
𝑥5 + 7𝑥−8 + 4𝑥4 No 
5𝑥6 + 𝑥8 − 4 + 6x3 Si 4 8 1 Si No No -4 
−1x − 𝑥4 + x2 Si 3 4 -1 No No No 0 
2𝑥2 + 1𝑥3 + 2x − 3 Si 4 3 1 Si Si No -3 
 
2.- Dados los siguientes polinomios: 
P(x) = x4 + 3x2 − 10 
Q(x) = 2x2 − 2 
S(x) = 5x4 + 2x2 − 4x − 2 
T(x) = 3x4 + 4x 
F(x) = x2 − 2x5 + 4x + 5 
M(x) = 1x4 + 2x − 3 
L(x) = 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5 
N(x) = 2x2 + 5x 
 
Calcular: 
a) P(x) + Q(x) + S(x) = 
b) P(x)– Q(x)– S(x) = 
c) P(x) ∙ N(x) = 
d) M(x) ∙ P(x) − L(x) = 
e) S(x)– Q(x) + M(x) = 
f) T(x) ∙ N(x) = 
g) F(x) + L(x)– M(x) = 
h) F(x) − L(x) + Q(x) ∙ T(x) = 
 
a) 6𝑥4 + 7𝑥2 − 4𝑥 − 14 
b) −4𝑥4 − 1𝑥2 + 4𝑥 − 6 
c) 2𝑥6 + 5𝑥5 + 6𝑥4 + 15𝑥3 − 20𝑥2 − 50𝑥 
d) 𝑥8 + 3𝑥6 + 2𝑥5 − 17𝑥4 + 3𝑥3 − 11𝑥2 − 20𝑥 + 25 
e) 6𝑥4 − 2𝑥 − 3 
f) 6𝑥6 + 15𝑥5 + 8𝑥3 + 20𝑥2 
g) −2𝑥5 + 3𝑥4 + 3𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 + 13 
h) 6𝑥6 − 2𝑥5 − 10𝑥4 + 5𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 
 
 
2 
 
3.- Resolver por división tradicional, luego por Ruffini y aplicar Teorema del resto. 
a) (30x5 + 9x4 − 12x3 − 8x2 + 40x − 18): (𝑥 − 1) = 
 
b) (20x3 − 4 − x + 5x4): (𝑥 + 4) = 
 
 
 
3 
 
c) (6x2 + 13x + 6): (𝑥 + 3) = 
 
d) (15𝑥2 + 12 − 28𝑥) ∶ ( 𝑥 − 2) = 
 
e) (12x3 − 8x2 + 40x − 18): (2𝑥 − 1) = 
 
 
4 
 
2 4 + 3 3 8 2 14 + 7
0 4 +7 3 8 2 14 +7
2 4 4 3
7 3 14 2
0 3 +6 2 14 +7
6 2 12 
0 2 2 +7
 2 +4
0 +3
 2
23 8 147
276 23
41412 4
2
2 3 +7 2 +6 2
 
f) (2𝑥4+3𝑥3 − 8𝑥2 − 14𝑥 + 7) ÷ (𝑥 − 2) = 
 
 
Cociente: 𝟐𝒙𝟑 + 𝟕𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐 
Resto: 3 
 
 
 
 
g) (4𝑥4 − 3𝑥2 − 1) ÷ (𝑥 − 1) = 
 
 
Cociente:𝟒𝒙𝟑 + 𝟒𝟐 + 𝒙 + 𝟏 
Resto: 0 
 
 
 
 
h) (6𝑥4 + 5𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥5 − 5) ÷ (𝑥2 + 3) = 
 
Cociente:−𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟑 
Resto: −𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟒 
 
 
 
 
 
i) (3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥5 − 𝑥 + 2) ÷ (𝑥2 + 2𝑥 − 3) = 
 
 
Cociente:𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑𝟏 
Resto: 𝟗𝟏𝒙 − 𝟗𝟏 
 
 
4 4 +0 3 3 2 +0 1
4 4 4 3
0 4 +4 3 3 2 +0 1
4 3 4 2
0 3 + 2 +0 1
 2 
0 2 + 1
 1
 1
0 +0
4 3 +42 + +1
4 0 03 1
1
4
4 4
4
4
1
1
1
1
0
 5 +6 4 + 3 +5 2 +0 5
 5 +0 4 3 3
0 5 +6 4 +4 3 +5 2 +0 5
6 4 +0 3 +18 2
0 4 +4 3 13 2 +0 5
4 3 +0 2 +12 
0 3 13 2 12 5
 13 2 +0 39
0 2 12 +34
 2 +3
 3 +6 2 +4 13
 5 +0 4 +3 3 5 2 +2
 5 +2 4 3 3
0 5 2 4 +6 3 5 2 +2
 2 4 4 3 +6 2
0 4 +10 3 11 2 +2
10 3 +20 2 30 
0 3 31 2 +29 +2
 31 2 62 +93
0 2 +91 91
 2 +2 3
 3 2 2 +10 31
 
5 
 
 
4.- Resolver las siguientes expresiones algebraicas y simplificar el resultado. 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
h) 
a2−6a+9
(a+3)2
:
a−3
a2−9
=
(𝒂−𝟑)𝟐
𝒂+𝟑
 
 
i) 
x2
x2−0,4x+0,04
.
x2− 
1
25
x2+
1
5
x
=
𝒙
(𝒙−
𝟏
𝟓
)
 
 
 
5.- Factorizar los siguientes polinomios hasta la mínima expresión y nombrar los casos de 
factorización aplicados en cada ejercicio. 
 
a) (𝑥 + 1)(𝑥2 − 8) 
b) (𝑥2 − 2)2 
c) (𝑥 − 2𝑦)(𝑥 + 2𝑦)(𝑥 − 2𝑦)2 
d) (−𝑥 + 3)3 
e) (3𝑥 − 2)2 
f) (𝑥 + 3)2 
g) (𝑥 + 2)3 
h) 2𝑥(𝑥 − 5)(𝑥 + 5) 
i) 3(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 
 
6.- Calcular el mcm y el MCD de los siguientes polinomios: 
 
a) 
𝑚𝑐𝑚(𝑇(𝑥); 𝑄(𝑥)) = (𝑥 − 2)2(𝑥 + 2) 
𝑚𝑐𝑑(𝑇(𝑥); 𝑄(𝑥)) = (𝑥 − 2) 
 
b) 
𝑚𝑐𝑚(𝐺(𝑥); 𝐷(𝑥)) = 𝑥3(𝑥 − 4)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 
𝑚𝑐𝑑(𝐺(𝑥); 𝐷(𝑥)) = 𝑥2(𝑥 − 4) 
 
 
 
 
 
7 
 
 
7.- Escribir un polinomio S(x) cuyas raíces sean 2, -3 y 7; y cuyo coeficiente principal sea 2. 
 
 
 
8.- Calcular T(x) sabiendo que 𝑇(𝑥) = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2)2 ∙ (𝑥 − 5) 
 
 
9.- Calcular el polinomio M(x) que dividido por (2x-3) da por cociente 𝐶(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 3, dejando 
un resto de 8 unidades. 
 
 
10.- Si el polinomio A(x) es de cuarto grado y el polinomio I(x) es de segundo grado. ¿Cuál es el 
grado del producto A(x) . I(x)? 
Sexto grado. 
 
 
 
8 
 
 
 
11.- En una división de polinomios, el dividendo es de grado ocho y el divisor de grado dos. ¿Cuál 
es el grado del cociente? ¿Qué se puede decir del grado del resto? 
 
El cociente es de grado 6. 
Aclaración: El grado del resto es menor que el grado del polinomio divisor, caso contrario, se 
puede continuar dividiendo. 
 
12.- Preguntas de repaso: Responder: 
a) ¿Cuántos términos tiene que tener un polinomio para factorizarlo por segundo caso? 
Tiene que poder formarse grupos con igual cantidad de términos cada uno de ellos. 
b) ¿Cuántos términos tiene que tener un polinomio para factorizarlo por tercer caso? 
3 términos. 
c) ¿Cuántos términos tiene que tener un polinomio para factorizarlo por cuarto caso? 
4 términos. 
d) ¿Cuántos términos tiene que tener un polinomio para factorizarlo por quinto? 
2 términos. 
e) ¿Cómo deben ser los dos términos de un polinomio para que pueda factorizarse por 6° caso? 
Tienen que ser sumas o restas de dos potencias de igual exponente. 
f) Si factorizo un polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 1 por el 6° caso ¿Obtengo el mismo resultado que por el 
5° caso? sí 
g) ¿Cuántas raíces puede tener como máximo un polinomio de grado 5? 5 raíces. 
 
13.- Aplicar el teorema del resto para encontrar el valor de k que hace que el polinomio P(x) sea 
divisible por Q(x). 
a) 
𝑃(𝑥): 𝑥4 + 𝑘𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 −
3
2
 
𝑄(𝑥): 𝑥 − 3 
a) 𝑅(3) = 34 + 33𝑘 − 3 ∙ 32 + 5 ∙ 3 −
3
2
= 0 → 𝑘 = −
69−
3
2
27
= −
𝟓
𝟐
 
 
b) 
𝑃(𝑥): 3𝑥 + 2𝑥5 − 5𝑘𝑥2 
𝑄(𝑥): 𝑥 + 3 
b) 𝑅(−3) = 3(−3) + 2(−3)5 − 5(−3)2𝑘 = 0 → 𝑘 = −
495
45
= −𝟏𝟏 
 
 
9 
 
 
14.- Simplificar las siguientes expresiones algebraicas: 
a) 
12a4b4
5c3d3
∶ 
4b2
3ad
 .
10c3d
9a
=
𝟐𝒂𝟒𝒃𝟐
𝟓𝒅
 
 
b) 
x2 + 2xy
x + y
:
x2 + xy − 2y2
x − y
=
𝒙
𝒙 + 𝒚
 
 
c) 
2
1 − 𝑥
+
𝑥
𝑥2 − 1
= 
−𝒙 − 𝟐
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
 
 
d) 
x − m
4m
+
m − 2x
2m
−
3x + m
8m
= 
−𝟗𝒙 + 𝒎
𝟖𝒎
 
 
e) 
2(3𝑥 − 1)
5
−
𝑥 − 2
3
+ 1 =
𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟗
𝟏𝟓
 
 
15.- Resolver: 
a) Dos estudiantes resolvieron un problema de simplificación de expresiones algebraicas 
racionales y obtuvieron respuestas diferentes. A continuación, se detalla la resolución y la 
justificación de cada estudiante. ¿Alguno de ellos lo resolvió bien? ¿Por qué? 
Estudiante A Estudiante B 
2a2 − 4a
a2 − 4
=
2a(a − 2)
(a + 2)(a − 2)
=
2a
a + 2
 
2a2 − 4a
a2 − 4
= 2 + a 
“Yo factoricé el numerador usando el método de 
factor común y el denominador usando el 
método de diferencia de cuadrados. 
Luego, simplifiqué el factor común (a − 2) en el 
numerador y el denominador para llegar a la 
respuesta”. 
“Yo simplifiqué los factores comunes a2 y 
(−4) en el numerador y el denominador para 
llegar a la respuesta. Como el signo (–) fue 
simplificado, y sabiendo que cuando divido 
un número negativo por otro número 
negativo deboobtener un número positivo, 
me queda con un signo (+) en la respuesta”. 
 
 
10 
 
 
Este es un problema de simplificación de expresiones algebraicas racionales. El estudiante A lo resolvió y 
justificó bien. El estudiante B cometió un error bastante común. 
Una manera de comprobar que la expresión simplificada es equivalente a la expresión original es sustituir 
un número elegido aleatoriamente en la incógnita. 
Por ejemplo, si usamos 𝑎 = 1, obtenemos que la expresión original 
2𝑎2−4𝑎
𝑎2−4
=
2−4
1−4
=
−2
−3
=
2
3
. 
Comparando este valor con el valor de la expresión que obtuvo el estudiante A al sustituir el mismo valor 
de 𝑎 , 
2𝑎
𝑎+2
=
2
3
 y la expresión que obtuvo el estudiante B al sustituir el mismo valor de 𝑎, 2 + 𝑎 = 3, 
podemos afirmar que el estudiante B se equivocó. 
Este método sirve para detectar errores, pero no sirve para confirmar la respuesta, ya que las expresiones 
originales y finales deben coincidir en valor para todos los valores de la incógnita, y estamos solamente 
usando un valor de prueba. 
 
16.- Complete las siguientes afirmaciones: 
a) El polinomio 𝐴(𝑥) = 5𝑥2 + 30𝑥 + 45 tiene ……. raíces que son …….……..., en cambio, el 
polinomio 𝐵(𝑥) = 𝑥3 − 10𝑥2 + 25𝑥 tiene ………. raíces que son ……………. 
b) Al factorizar los polinomios 𝐶(𝑥) = 2𝑥3 − 50𝑥 𝑦 𝐷(𝑥) = 24𝑥3 + 3 se aplican en ambos casos 
los casos de factoreo ……………………………………………………………………………………….. 
c) Los polinomios 𝐸(𝑥) = 3𝑥3 − 12𝑥2 + 15𝑥 − 6 y 𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 6𝑥 − 4 comparten el 
mismo factor primo ……………………. 
a) 
 
𝐴(𝑥) = 5𝑥2 + 30𝑥 + 45 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐴(𝑥) = 5. (𝑥2 + 6𝑥 + 9) 
 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝑨(𝒙) = 𝟓. (𝒙 + 𝟑)𝟐 
 
𝐵(𝑥) = 𝑥3 − 10𝑥2 + 25𝑥 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐵(𝑥) = 𝑥. (𝑥2 − 10𝑥 + 25) 
 
Tercer caso 
 
𝑩(𝒙) = 𝒙. (𝒙 − 𝟓)𝟐 
b) 
𝐶(𝑥) = 2𝑥3 − 50x 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐶(𝑥) = 2𝑥. (𝑥2 − 25) 
 
𝑄𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 (𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑥𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜) 
 
𝑪(𝒙) = 𝟐𝒙. (𝒙 − 𝟓). (𝒙 + 𝟓) 
𝐷(𝑥) = 24𝑥3 + 3 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐷(𝑥) = 3. (8𝑥3 + 1) 
 
𝑆𝑒𝑥𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝑫(𝒙) = (𝟐𝒙 + 𝟏). (𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏) 
 
11 
 
 
 
c) 
 
𝐸(𝑥) = 3𝑥3 − 12𝑥2 + 15𝑥 − 6 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐸(𝑥) = 3. (𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 2) 
 
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 
 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −2 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 1 
𝑝 = 1, −1, 2, −2 
𝑞 = 1, −1 
𝑝
𝑞
= 1, −1, 2, −2 
Aplicando teorema del resto 
𝐸(1) = (1)3 − 4. (1)2 + 5. (1) − 2 = 0 
𝐸(2) = (2)3 − 4. (2)2 + 5. (2) − 2 = 0 
Aplicando cociente 
(𝑥 − 1). (𝑥 − 2) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 
𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 2 𝑥2 − 3𝑥 + 2 
0 𝑥 − 1 
𝑬(𝒙) = 𝟑. (𝒙 − 𝟏). (𝒙 − 𝟐). (𝒙 − 𝟏) = 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝟐. (𝒙 − 𝟐) 
 
𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 6𝑥 − 4 
 
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 
 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −4 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 1 
𝑝 = 1, −1, 2, −2, 4, −4 
𝑞 = 1, −1 
𝑝
𝑞
= 1, −1, 2, −2, 4, −4 
Aplicando teorema del resto 
𝐹(2) = (2)3 − 4. (2)2 + 6. (2) − 4 = 0 
 
 
 
 
12 
 
 
Aplicando regla de Ruffini 
(𝑥3 − 4𝑥2 + 6𝑥 − 4): (𝑥 − 2) = 
 
 
𝑭(𝒙) = (𝒙 − 𝟐). (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐) 
 
17.- Marcar la/s opción/es correcta/s: 
 
a) 𝐴(𝑥) = 2𝑥3 − 14𝑥2 + 30𝑥 − 18 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝑨(𝒙) = 𝟐. (𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 − 𝟗) 
 
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 
 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −9 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 1 
𝑝 = 1, −1, 3, −3, 9, −9 
𝑞 = 1, −1 
𝑝
𝑞
= 1, −1, 3, −3, 9, −9 
Aplicando teorema del resto 
𝐴(1) = (1)3 − 7. (1)2 + 15. (1) − 9 = 0 
Aplicando regla de Ruffini 
(𝑥3 − 7𝑥2 + 15𝑥 − 9): (𝑥 − 1) = 
 
 1 -7 15 -9 
1 1 -6 9 
 1 -6 9 0 
 
𝑨(𝒙) = 𝟐. (𝒙 − 𝟏). (𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗) 
 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝑨(𝒙) = 𝟐. (𝒙 − 𝟏). (𝒙 − 𝟑)𝟐 
2(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)2 X 
2(𝑥3 − 7𝑥2 + 15𝑥 − 9) X 
2(𝑥 − 1)(𝑥2 − 6𝑥 + 9) X 
𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 
 
 1 -4 6 -4 
2 2 -4 4 
 1 -2 2 0 
 
13 
 
 
b) 𝐵(𝑥) = 3𝑥2. (𝑥 − 3). (𝑥 + 7). (𝑥 − 7) 
 
𝐵(𝑥) = (3𝑥3 − 9𝑥2). (𝑥 + 7). (𝑥 − 7) 
 
𝐵(𝑥) = (3𝑥3 − 9𝑥2). (𝑥2 − 7𝑥 + 7𝑥 − 49) 
 
𝐵(𝑥) = (3𝑥3 − 9𝑥2). (𝑥2 − 49) 
 
𝑩(𝒙) = 𝟑𝒙𝟓 − 𝟏𝟒𝟕𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟒 + 𝟒𝟒𝟏𝒙𝟐 
 
6𝑥5 − 36𝑥3 + 230𝑥 − 48 
3𝑥5 − 9𝑥4 − 147𝑥3 + 441𝑥2 X 
2𝑥5 − 15𝑥4 + 111𝑥3 − 324𝑥2 + 21𝑥 − 5 
𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 
 
18.- Factorice el polinomio 𝑃(𝑥) = 6𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 1 hasta la mínima expresión aplicando los 
casos de factorización e indique si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F): 
a) El polinomio queda expresado como el producto de 3 polinomios primos F 
b) Uno de sus polinomios primos es un polinomio Mónico V 
c) Uno de sus polinomios primos tiene un término independiente igual -1 F 
d) La suma de los coeficientes de las variables de uno de sus polinomios primos es igual a 5 V 
 
𝑃(𝑥) = 6𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 1 
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −1 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 6 
𝑝 = 1, −1 
𝑞 = 1, −1, 3, −3, 6, −6 
𝑝
𝑞
= 1, −1,
1
3
, −
1
3
,
1
6
, −
1
6
 
Aplicando teorema del resto 
𝑃 (
1
3
) = (
1
3
)
3
+ 4. (
1
3
)
2
+ (
1
3
) 𝑥 − 1 = 0 
Aplicando regla de Ruffini 
(6𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 1): (𝑥 −
1
3
) = 
 
 6 4 1 -1 
1
3
 
 2 2 1 
 6 6 3 0 
 
 
 
 
14 
 
 
𝑃(𝑥) = (𝑥 −
1
3
) . (6𝑥2 + 6𝑥 + 3) 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
𝑷(𝒙) = (𝒙 −
𝟏
𝟑
) . 𝟑. (𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) 
𝑷(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟏). (𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) Si se considera el polinomio resultado expresado de esta manera 
cambian los verdaderos y falsos de los incisos b y c. 
 
19.- Factorizar los siguientes polinomios hasta la mínima expresión aplicando los casos de 
factorización correspondientes: 
a) 𝐴(𝑥) = 5𝑥2 − 10𝑥𝑦 + 5𝑦2 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐴(𝑥) = 5. (𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2) 
 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝑨(𝒙) = 𝟓. (𝒙 − 𝒚)𝟐 
 
b) 𝐵(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1 
 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐵(𝑥) = (𝑥2 − 1)2 
 
𝑄𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐵(𝑥) = ((𝑥 − 1). (𝑥 + 1))2 
 
𝑩(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟐. (𝒙 + 𝟏)𝟐 
 
c) 𝐶(𝑥) = 2𝑥6 − 16𝑥3 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐶(𝑥) = 2𝑥3. (𝑥3 − 8) 
 
𝑆𝑒𝑥𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝑪(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑. (𝐱 − 𝟐). (𝒙𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟒) 
 
d) 𝐷(𝑥) = 25𝑥4 − 20𝑥3 + 4𝑥2 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜: 𝐷(𝑥) = x2. (25𝑥2 − 20x + 4) 
 
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜: 𝑫(𝒙) = 𝐱𝟐. (𝟓𝐱 − 𝟐)𝟐 
 
 
 
15 
 
 
e) 𝐸(𝑥) = 5𝑥3 − 10𝑥2 + 5𝑥 − 10 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐸(𝑥) = 5. (𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2) 
 
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 
 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −2 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 1 
𝑝 = 1, −1, 2, −2 
𝑞 = 1, −1 
𝑝
𝑞
= 1, −1, 2, −2 
Aplicando teorema del resto 
𝐸(2) = (2)3 − 2. (2)2 + (2) − 2 = 0 
Aplicando regla de Ruffini 
(𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2): (𝑥 − 2) = 
 
 1 -
2 
1 -
2 
2 2 0 2 
 1 0 1 0 
𝑬(𝒙) = 𝟓. (𝒙 − 𝟐). (𝒙𝟐 + 𝟏) 
 
f) 𝐹(𝑥) = 3𝑥9𝑦7 − 12𝑥7𝑦9 
 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝐹(𝑥) = 3𝑥7𝑦7. (𝑥2 − 4𝑦2) 
 
𝑄𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
𝑭(𝒙) = 𝟑𝒙𝟕𝒚𝟕. (𝐱 − 𝟐𝐲). (𝐱 + 𝟐𝐲) 
 
 
20.- Factorice el polinomio 𝑃(𝑥) = 12𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 1 
a) Aplicando los casos de factorización correspondiente.b) Aplicando el Teorema de Gauss. 
c) ¿Las raíces del polinomio obtenidas mediante el inciso a) y el inciso b) son iguales? 
 
 
 
16 
 
 
a) 𝑃(𝑥) = 12𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 1 
 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 12 
𝑝 = 1, −1 
𝑞 = 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 6, −6, 12, −12 
𝑝
𝑞
= 1, −1,
1
2
, −
1
2
,
1
3
, −
1
3
,
1
4
, −
1
4
,
1
6
, −
1
6
,
1
12
, −
1
12
 
Aplicando teorema del resto 
𝑃 (
1
2
) = 12 (
1
2
)
3
− 4. (
1
2
)
2
− 3 (
1
2
) + 1 = 0 
𝑃 (−
1
2
) = 12 (−
1
2
)
3
− 4. (−
1
2
)
2
− 3 (−
1
2
) + 1 = 0 
𝑃 (
1
3
) = 12 (
1
3
)
3
− 4. (
1
3
)
2
− 3 (
1
3
) + 1 = 0 
𝑷(𝒙) = 𝟏𝟐. (𝒙 −
𝟏
𝟐
) . (𝒙 +
𝟏
𝟐
) . (𝒙 −
𝟏
𝟑
 ) 
 
Las raíces del polinomio obtenidas mediante el inciso a) son: 
3𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 =
1
3
 
2𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 =
1
2
 
2𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −
1
2
 
 
Las raíces del polemonio obtenidas mediante el inciso b) son 
1
2
, −
1
2
, −
1
3
 
 
Finalmente, las raíces del polinomio son iguales ya sea que se hayan obtenido de una u otra manera. 
 
 
21.- Factorice los siguientes polinomios aplicando el Teorema de Gauss: 
a) 𝐴(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −6 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 1 
𝑝 = 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6 
𝑞 = 1, −1 
𝑝
𝑞
= 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6 
Aplicando teorema del resto 
𝐴(1) = (1)3 + 4. (1)2 + (1) − 6 = 0 
𝐴(−2) = (−2)3 + 4. (−2)2 + (−2) − 6 = 0 
𝐴(−3) = (−3)3 + 4. (−3)2 + (−3) − 6 = 0 
𝑨(𝒙) = (𝒙 − 𝟏). (𝒙 + 𝟐). (𝒙 + 𝟑) 
 
17 
 
 
 
b) 𝐵(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥 + 1 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 1 
𝑝 = 1, −1 
𝑞 = 1, −1 
𝑝
𝑞
= 1, −1 
Aplicando teorema del resto 
𝐵(1) = (1)4 − 2.1 + 1 = 0 
Aplicando regla de Ruffini 
(𝑥4 + 0𝑥3 + 0𝑥2 − 2𝑥 + 1): (𝑥 − 1) = 
 
 1 0 0 -2 1 
1 1 1 1 -1 
 1 1 1 -1 0 
 
𝑩(𝒙) = (𝒙 − 𝟏). (𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏) 
 
c) 𝐶(𝑥) = 𝑥4 + 6𝑥3 + 8𝑥2 − 6𝑥 − 9 
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −9 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 1 
𝑝 = 1, −1, 3, −3, 9, −9 
𝑞 = 1, −1 
𝑝
𝑞
= 1, −1, 3, −3, 9, −9 
Aplicando teorema del resto 
𝐶(1) = (1)4 + 6. (1)3 + 8. (1)2 − 6. (1) − 9 = 0 
𝐶(−1) = (−1)4 + 6. (−1)3 + 8. (−1)2 − 6. (−1) − 9 = 0 
𝐶(−3) = (−3)4 + 6. (−3)3 + 8. (−3)2 − 6. (−3) − 9 = 0 
Aplicando cociente 
(𝑥 − 1). (𝑥 + 1). (𝑥 + 3) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 3 
𝑥4 + 6𝑥3 + 8𝑥2 − 6𝑥
− 9 
 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 3 
0 𝑥 + 3 
𝑪(𝒙) = (𝒙 − 𝟏). (𝒙 + 𝟏). (𝒙 + 𝟑). (𝒙 + 𝟑) = (𝒙 − 𝟏). (𝒙 + 𝟏). (𝒙 + 𝟑)𝟐 
 
 
18 
 
 
 
22.- Indicar verdadero o falso. Justificar. 
 
a) Falso. 
𝑎3 + 𝑏3 ≠ (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
𝑎3 + 𝑏3 ≠ (𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑏𝑎2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3) 𝑃𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 
 𝑎3 + 𝑏3 ≠ (𝑎3 + 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑏3) 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
b) Verdadero. Caso especial del 6° caso, encontrado también en cierta bibliografía como diferencia de 
cubos. 
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎3 + 𝑎2𝑏+𝑎𝑏2 − 𝑏𝑎2 − 𝑎𝑏2 − 𝑏3) 𝑃𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎3 − 𝑏3) 𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
c) Verdadero. Caso especial del 6° caso, encontrado también en cierta bibliografía como suma de cubos. 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎3 − 𝑎2𝑏+𝑎𝑏2 + 𝑏𝑎2 − 𝑎𝑏2 + 𝑏3) 𝑃𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎3+𝑏3) 𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
d) Falso. 
𝑎3 − 𝑏3 ≠ (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
𝑎3 + 𝑏3 ≠ (𝑎3 − 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 − 𝑏𝑎2 + 𝑎𝑏2 − 𝑏3) 𝑃𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 
 𝑎3 + 𝑏3 ≠ (𝑎3 − 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 − 𝑏3) 𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
e) Verdadero. Si resolvemos el binomio al cuadrado obtenemos 
(
3
10
𝑥2 − 3𝑦2𝑧)
2
= (
3
10
𝑥2)
2
− 2. (
3
10
𝑥2) . (3𝑦2𝑧) + (3𝑦2𝑧)2 =
9
100
𝑥4 −
9
5
𝑥2𝑦2𝑧 + 9𝑦4𝑧2 
Si pasamos las fracciones a números decimales, obtenemos 
(
3
10
𝑥2 − 3𝑦2𝑧)
2
= 0,09𝑥4 − 1,8𝑥2𝑦2𝑧 + 9𝑦4𝑧2 
 
 
19 
 
23.- Factorice la siguiente expresión: 𝑅(𝑚) = 5376 − 1728 𝑚2 + 96 𝑚4 utilizando el séptimo caso 
de factoreo. Pista: necesitará cambiar de variable mediante alguna sustitución conveniente. 
Opcional: verifique las raíces graficando al polinomio en GeoGebra. 
 
Solución 
𝑅(𝑚) = 5376 − 1728𝑚4 + 96𝑚8 
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚2 = 𝑧 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝑅(𝑧) = 5376 − 1728𝑧 + 96𝑧2 
𝑧1,2 =
1728 ± √(−1728)2 − 4 ∙ 96 ∙ 5376
2 ∙ 96
 
=
1728 ± √2985984 − 20643844
192
=
1728 ± √921600
192
 
𝑧1 =
1728 + 960
192
= 14 
→ 𝑚1 = √𝑧1 = √14 ≅ 3,74 ; 𝑚2 = −√𝑧1 = −√14 ≅ −3,74 
𝑧2 =
1728 − 960
192
= 4 
→ 𝑚3 = √𝑧2 = √4 = 2 ; 𝑚4 = −√𝑧2 = −√4 = −2 
 
𝑹(𝒎) = 𝟗𝟔 ∙ (𝒎 − 𝟑, 𝟕𝟒) ∙ (𝒎 + 𝟑, 𝟕𝟒) ∙ (𝒎 − 𝟐) ∙ (𝒎 + 𝟐) 
 
24.- Respecto del sexto caso de factoreo podemos decir que todo lo que sigue es cierto excepto: 
a) Verdadero. Por definición 
b) Verdadero. Por definición 
c) Falso. Al contrario, es muy usada en este caso especialmente 
d) Verdadero. S(1/2) = 0 
e) Verdadero. Por definición 
 
25.- Respecto al séptimo caso de factoreo, todas las afirmaciones que se hacen a continuación 
son ciertas excepto. Justifique. 
a) Verdadero. Justamente es la ecuación llamada resolvente la que nos permite calcular las 
raíces de todo polinomio de segundo grado. 
b) Verdadero. Lo importante a reemplazar en la resolvente son los valores de a, b y c, no es 
importante que el polinomio esté ordenado. 
c) Verdadero. Siendo “a” el coeficiente principal y x1 y x2 las raíces del polinomio. 
 
 
 
20 
 
 
d) Falso. Este método se puede aplicar a cualquier polinomio de segundo grado. 
Basta un contraejemplo para demostrar la falsedad, y cualquier trinomio cuadrado perfecto 
puede factorizarse por este método, por ejemplo: P(x) = 16x2 + 64x + 64 tiene como raíces 
𝑥1 = 𝑥2 = −2 por tanto: P(x) = 16(x + 2)(x + 2) = 16(x + 2)
2. En todo caso es menos 
conveniente que utilizar el método de factorizarlo directamente como un cuadrado de un 
binomio, pero no por eso quiere decir que no se pueda usar. 
e) Verdadero. Todos los Trinomios Cuadrados Perfectos son polinomios de segundo grado, pero 
no todos los polinomios de segundo grado son Trinomios Cuadrados Perfectos. 
 
26.- Marcar la/las opciones correctas. 
a) La expresión 
𝑥2−4
𝑥3−9𝑥2+27𝑥−27
.
𝑥2−9
𝑥2+4𝑥+4
 factorizada y simplificada es igual a: 
✓ 
𝑥+2
𝑥+3
 
✓ 
𝑥−2
𝑥+2
.
𝑥+3
(𝑥−3)2
 
✓ 
𝑥−2
𝑥+2
.
𝑥+3
𝑥−3
 
✓ Ninguna opción es correcta. 
b) Al factorizar 𝑥6 − 12𝑥4 + 48𝑥2 − 64 obtenemos: 
✓ (𝑥 − 2)3(𝑥 + 2)3 
✓ (𝑥2 − 2)3 
✓ (𝑥2 − 4)2 
✓ Ninguna opción es correcta. 
 
27.- Calcular: 
a) (𝑥 + 3)2 + (𝑥 + 2)(𝑥 + 4) = 
𝑥2 + 6𝑥 + 9 + (𝑥 + 2)(𝑥 + 4) = 
𝑥2 + 6𝑥 + 9 + 𝑥2 + 2𝑥 + 4𝑥 + 8 = 
2𝑥2 + 12𝑥 + 17 
 
b) (−𝑥2 −
1
5
𝑥) ∙ (−2𝑥3)2 = 
(−𝑥2 −
1
5
𝑥) ∙ 4𝑥6 = 
−4𝑥8 −
4
5
𝑥7 
 
c) (−5𝑥 −
3
5
𝑥3) 𝑥 + (4𝑥2)3 = 
−5𝑥2 −
3
5
𝑥4 + 64𝑥6 
 
21 
 
 
 
 
d) (𝑥3 + 4𝑥)2 − (2𝑥2 + 3)3 = 
𝑥6 + 2𝑥3 ∙ 4𝑥 + 16𝑥2 − (8𝑥6 + 3(2𝑥2)2. 3 + 3.2𝑥2. 9 + 81)= 
𝑥6 + 8𝑥4 + 16𝑥2 − (8𝑥6 + 36𝑥4 + 54𝑥2 + 27) = 
−7𝑥6 − 28𝑥4 − 38𝑥2 − 27 
 
 
 
𝑒) (𝑥 + 3)2 = 𝑥2 + 2𝑥 ∙ 3 + 32 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 
𝑓) (3𝑥 + 𝑦)3 = (3𝑥)3 + 3 ∙ (3𝑥)2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 3𝑥𝑦2 + 𝑦3 = 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟐𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝟗𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 
 
𝑔) (𝑥2 + 6)2 = (𝑥2)2 + 2𝑥2 ∙ 6 + 62 = 𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 
ℎ) (2𝑥2)2 = 22. (𝑥2)2 = 𝟒𝒙𝟒 
𝑖) (𝑦 + 2)(𝑦 − 2) = 𝑦2 − 22 = 𝒚𝟐 − 𝟒 
 
28.- Expresa en lenguaje algebraico estos enunciados: 
a) 3 × [𝑥 + (𝑥 − 1)] = 3 × (2𝑥 − 1) = 𝟔𝒙 − 𝟑 
b) 4(𝑥 + 3) = 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 
c) 
𝟏
𝟑
𝒙 + (𝒙 + 𝟏)𝟑 
d) 𝒙 + 𝟐𝒚 
e) 𝑥 − (0,2𝑥) = 𝟎, 𝟖𝒙