Números reales

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Introducción a los números 
reales
ÁLGEBRA
Docente: Álex Bravo
Semana 21
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer las desigualdades y sus
aplicaciones cotidianas.
 Conocer los intervalos y las operaciones
con intervalos.
 Aplicar nuestra teoría en la resolución de
problemas matemáticos y contextualizados.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción
3. La recta real
4. Intervalos y tipos de intervalos
2. Desigualdades
5. Operaciones con intervalos
6. Problemas resueltos
- ÁLGEBRA
INTRODUCCIÓN:
Cuando hablamos de desigualdades en
matemática, nos referimos a la comparación de
cantidades reales.
Usamos desigualdades matemáticas todo el
tiempo. Piense en las siguientes situaciones:
Límite de velocidad en la autopista, tiempo de
viaje, temperatura de conservación del vino,
etc.
- ÁLGEBRA
Desigualdades
𝟏. 𝐃𝐞𝐬𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐝𝐚𝐝
Es la comparación que se establece entre dos
números reales, mediante los símbolos de la
relación de orden:
𝟐. 𝐋𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫𝐞𝐚𝐥
La recta real es la representación gráfica o geométrica
del conjunto de los números reales (ℝ).
 
𝑦2
<
>
: menor que
: mayor que "estrictos"
 
𝑦2
≤
≥
: menor o igual que
: mayor o igual que
"no estrictos"
• 3
Ejemplos:
< 7 • 1,5 >
1
2
• 5 ≤ 5• −4 ≥ −8
0 1 2 3 4−4 −3 −2 −1−∞ +∞
Positivos (ℝ+)
Negativos (ℝ−)
0,5 2−1,5 𝜋
𝟑. 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨
Un intervalo I es un subconjunto de los reales I ⊂ ℝ
comprendido entre dos extremos (finitos o ideales).
−∞ +∞𝑎 𝑏
extremos
- ÁLGEBRA
Tipos de intervalos
I. Intervalo Acotado
Es aquel intervalo cuyos extremos son reales (finitos).
1. Intervalo abierto
Es aquel intervalo que no incluye sus extremos.
Ejemplo:
2 7 +∞−∞
𝑴
Notación 𝑀 = 2; 7 = ]2; 7[
𝑀 = {𝑥 ∈ ℝ/2 < 𝑥 < 7}
2. Intervalo cerrado
Es aquel intervalo que sí incluye sus extremos.
Ejemplo:
3 9 +∞−∞
𝑵
Notación 𝑁 = [3; 9]
𝑁 = {𝑥 ∈ ℝ/3 ≤ 𝑥 ≤ 9}
3. Intervalo semiabierto
Intervalo donde un extremo es abierto y el otro cerrado.
Ejemplo:
1 5 +∞−∞
𝑷
Notación 𝑃 = ⟨1; 5]
𝑃 = {𝑥 ∈ ℝ/1 < 𝑥 ≤ 5}
Observación: 2 y 7 no pertenecen a M
Observación: 3 y 9 pertenecen a N
donde 2 y 7 son extremos de 𝑀
donde 3 y 9 son extremos de 𝑁.
donde 1 y 5 son extremos de P
- ÁLGEBRA
II. Intervalo no acotado
Es aquel intervalo donde, por lo menos, un extremo 
es ideal (+∞, −∞).
Ejemplo 1:
+∞−∞ 3
𝑨
Notación: 𝐴 = [3;+∞⟩
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≥ 3}
+∞−∞ 6
𝑩
Notación: 𝐵 = ⟨−∞; 6⟩
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < 6}
Ejemplo 2:
Operaciones con intervalos
+∞−∞
1. Unión (𝑨 ∪ 𝑩)
Sean los intervalos 𝐴 = 〈1; 6〉 y 𝐵 = [4; 9]
𝑨
𝑩
1 64 9
∴ 𝐴 ∪ 𝐵 = ⟨1; 9]
Sean los intervalos 𝐴 y 𝐵 donde tenemos:
Este intervalo se forma por todos los elementos
comunes y no comunes de 𝐴 y 𝐵.
Ejemplo:
- ÁLGEBRA
2. Intersección (𝑨 ∩ 𝑩)
𝐴 = [3; 8〉 y 𝐵 =〈5; +∞〉Sean los intervalos
∴ 𝐴 ∩ 𝐵 = ⟨5; 8⟩
Este intervalo se forma solo por los elementos
comunes de 𝐴 y 𝐵.
+∞−∞
𝑨
𝑩
3 85
Ejemplo:
3. Diferencia (𝑨 −𝑩)
Ejemplos:
• Sean los intervalos 𝐴 = 〈2; 7〉 y 𝐵 = [5; 10〉
∴ 𝐴 − 𝐵 = 〈2; 5 𝐵 − 𝐴 = 7; 10〉〉 [
• Sean los intervalos 𝑀 = [4;+∞〉 y 𝑁 = 〈1; 6]
6; +∞〉∴ 𝑀 −𝑁 = 〈 𝑁 −𝑀 = 〈1; 4〉
Este intervalo se forma por todos los elementos
de 𝐴 pero no de 𝐵.
+∞−∞
𝑨
𝑩
2 75 10
+∞−∞
𝑵
𝑴
1 64
- ÁLGEBRA
4. Complemento 𝑨c
𝑨c = {𝒙 ∈ ℝ/ 𝒙 ∉ 𝑨}= ℝ− 𝑨
Ejemplos
• Sea 𝐴 = 〈6;+∞〉
+∞−∞ 6
𝑨𝑨
c
∴ 𝐴c = 〈−∞;6]
• Sea 𝐵 = 〈2; 8]
+∞−∞ 2 8
𝑩𝑩
c 𝑩c
∴ 𝐵c = 〈−∞; 2] ∪ 〈8; +∞〉
𝑚
𝐴
𝑨𝒄
−∞ +∞
𝐍𝐨𝐭𝐚:
Si𝑚 es abierto en 𝑨 → es cerrado en 𝑨𝒄 .
Si𝑚 es cerrado en 𝑨 → es abierto en 𝑨𝒄 .
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