Polinomios especiales

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Polinomios especiales
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 08
- ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Reconocer los principales polinomios
especiales.
✓ Utilizar la igualdad de polinomios en la
resolución de problemas.
✓ Resolver problemas diversos con la ayuda
de los polinomios.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. El orden en tu vida
3. Polinomio completo
4. Polinomio constante y nulo
2. Polinomio ordenado
5. Igualdad de polinomios
6. Problemas diversos
- ÁLGEBRA
EL ORDEN EN TU VIDA
Parece algo obvio, pero en muchas ocasiones se nos
olvida, y es que el orden es sumamente importante en nuestra
vida.
No te hablo solo del orden en el aspecto estético, es
decir, que tu casa, tu escritorio o tu bolso estén ordenados, sino
también tu alimentación, tus horarios, tu mente, tus relaciones...
El orden es igual a armonía, y la armonía proporciona
paz. Lo ideal, por tanto sería lograr una armonía global en
nuestras vidas.
- ÁLGEBRA
POLINOMIO ORDENADO
Es aquel polinomio donde sus términos están
ordenados de menor a mayor grado o" viceversa.
Ejemplos
𝑃 𝑥 = 6𝑥2− 5𝑥4+ 8𝑥7 + 𝑥9
El grado de los términos 
está aumentando
Es un polinomio ordenado en forma creciente 
o ascendente.
𝑀 𝑥 = 4𝑥8+ 𝑥7− 3𝑥5+ 9𝑥2+ 7
El grado de los términos 
está disminuyendo
Es un polinomio ordenado en forma
decreciente o descendente.
𝑁 𝑥 = 5𝑥3+ 6𝑥5− 2𝑥2+ 8𝑥6+ 12
Es un polinomio NO ordenado, pero podemos
ordenarlo, por ejemplo ordenamos en forma:
creciente o ascendente:
𝑁 𝑥 = + 8𝑥612 − 2𝑥2 + 5𝑥3 +6𝑥5
𝑆 𝑥 = 7𝑥3 + 3𝑥4− 𝑥5+ 8𝑥2+ 12 − 5𝑥
Es un polinomio NO ordenado, pero podemos
ordenarlo, por ejemplo ordenamos en forma:
decreciente o descendente:
𝑆 𝑥 = −5𝑥−𝑥5 +3𝑥4 + 7𝑥3 +8𝑥2 +12
El grado de los términos debe aumentar
El grado de los términos debe disminuir
- ÁLGEBRA
POLINOMIO COMPLETO
Es aquel polinomio que contiene todo los
términos desde el término independiente hasta
el de mayor grado.
Ejemplos
𝑃 𝑥 = 9𝑥3+ 4𝑥2+ 5 − 2𝑥4+ 7𝑥
es un polinomio completo.
𝐹 𝑥 = 3 + 9𝑥4− 6𝑥3+ 8𝑥
NO es un polinomio completo, le falta el
término de grado 2.
𝑁 𝑥 = 𝑥5+ 3𝑥4− 5𝑥3+ 2𝑥2 + 𝑥 − 8
es un polinomio completo y ordenado en forma
descendiente.
Observación
No todo polinomio completo es ordenado y no todo
polinomio ordenado es completo.
0° 1°2°3° 4°
0° 1° 2°3°4°
0°1°2°3°4°5°
𝑄 𝑥 = 2𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑚 +𝑚𝑥𝑝 + 𝑝𝑥𝑞 + 𝑞
0°1°2°3°4°
Halle 𝑛 + 𝑚 + 𝑝 + 𝑞 si el siguiente polinomio
completo y ordenado:
𝑞 = 1
𝑝 = 2
𝑚 = 3
𝑛 = 4
4 + 3 + 2 + 1→ 𝑛 +𝑚 + 𝑝 + 𝑞 =
∴ 𝑛 +𝑚 + 𝑝 + 𝑞 = 10
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Ejemplos:
Forma general:
R 𝑥 = 5
𝑃 𝑥 = 𝑘
Si 𝑃 𝑥 = 𝑎 − 2 𝑥 + 2𝑎 − 1 es un
polinomio constante. Halle 𝑃 𝑎
= 0
𝑎 − 2 = 0 → 𝑎 = 2
𝑃 𝑥 = 0 𝑥 + 3
∴ 𝑃 𝑎 = 3
Por ser 𝑃 𝑥 un polinomio constante, se
tiene:
S 𝑥 = −3
Reemplazando:
POLINOMIO CONSTANTE
Es aquel polinomio cuyo valor numérico no
cambia y este valor debe ser diferente a cero.
𝑘 ≠ 0
T 𝑥 = 2
T 𝑥 = 0𝑥 +
3
5
Calculemos su valor numérico:
T 5 = 2
T −3 = 2
T
1
3
= 2
Su valor numérico 
no cambia
𝑃 𝑥 = 𝑎 − 2 𝑥 + 2𝑎 − 1
𝑃 𝑥 = 2 − 2 𝑥 + 2.2 − 1
→ 𝑃 𝑥 = 3
Se considera que el polinomio constante
tiene grado cero.
Nota:
- ÁLGEBRA
Ejemplos:
Forma general:
R 𝑥 = 0
𝑁 𝑥 = 0
Si 𝑁 𝑥 = 𝑎 − 3 𝑥 + 2𝑏 − 10 es un
polinomio nulo. Halle 𝑎𝑏.
= 0
𝑎 − 3 = 0
→ 𝑎 = 3
𝑁 𝑥 = 0 𝑥 + 0
∴ 𝑎𝑏 = 15
Por ser 𝑁 𝑥 un polinomio nulo, se tiene:
S 𝑥 = 0𝑥 + 0
Reemplazando:
POLINOMIO NULO
Es aquel polinomio cuyo valor numérico siempre
es cero.
T 𝑥 = 0𝑥2 + 0𝑥 + 0
Calculemos su valor numérico:
T 3 = 0
T −4 = 0
T
2
7
= 0
Su valor numérico 
siempre es cero.
𝑁 𝑥 = 𝑎 − 3 𝑥 + 2𝑏 − 10
𝑁 𝑥 = 3 − 3 𝑥 + 2.5 − 10
→ 𝑁 𝑥 = 0
En grado del polinomio nulo no está
definido.
Nota:
= 0
2𝑏 − 10 = 0
→ 𝑏 = 5
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𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 8
¿Los polinomios:
Q 𝑥 = 𝑥 + 1 3 + 𝑥 + 2 2 + 𝑥 + 3
son iguales ∀ 𝑥 ∈ ℝ ?
Desarrollando
Q 𝑥 =
Q 𝑥 ==
𝑃 2 = 23 + 4 ∙ 22 + 8 ∙ 2 + 8 Q 2 = 2 + 1 3 + 2 + 2 2 + 2 + 3
𝑃 2 = 48 Q 2 = 48
Resolución:
+𝑥2 + 4𝑥 + 4 +𝑥 + 3
𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 8
𝑥 = 2:
𝑃 5 = 53 + 4 ∙ 52 + 8 ∙ 5 + 8 Q 5 = 5 + 1 3 + 5 + 2 2 + 5 + 3
𝑃 5 = 273 Q 2 = 273
𝑥 = 5:
Como son iguales:
𝑃 10 = 𝑄 10
𝑃 −2 = 𝑄 −2
𝑃 1/3 = 𝑄 1/3
𝑃 1.32 = 𝑄 1.32
⋮ = ⋮
POLINOMIOS IGUALES
𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1
+8𝑥3 +4𝑥2 +8𝑥
Veamos los valores numéricos en ambos polinomios:
- ÁLGEBRA
Si los polinomios 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son iguales
entonces sus valores numéricos para todo 𝑎 son
iguales, es decir:
Teorema:
Dos polinomios son iguales si presentan el
mismo grado y los términos que son semejantes
tienen los mismos coeficientes.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 ∀ 𝑥 ∈ ℝ
𝑎 = 𝑚 𝑏 = 𝑛 𝑐 = 𝑝∧ ∧
Es decir, si
Resolución:
3 = 𝑎 − 1 4 = 𝑏 + 1 −5 = 2𝑐 − 11∧ ∧
4 = 𝑎 3 = 𝑏 6 = 2𝑐∧ ∧
∴ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 10
entonces
POLINOMIOS IGUALES
Ejercicio:
Halle 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 si:
3𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 𝑎 − 1 𝑥2 + 𝑏 + 1 𝑥 + 2𝑐 − 11
se cumple ∀ 𝑥 ∈ ℝ
Se tiene la siguiente igualdad de polinomios:
3𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 𝑎 − 1 𝑥2 + 𝑏 + 1 𝑥 + 2𝑐 − 11
3 = 𝑐
𝑃 𝑎 = 𝑄 𝑎 ∀ 𝑎 ∈ ℝ
- ÁLGEBRA
Ejercicio:
Si los polinomios:
P 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
𝑄 𝑥 = 𝑥 + 1 3 + 𝑥 + 2 2 + 3
son iguales. Calcule 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
Resolución:
→ P 1 = 𝑄 1 ⋯ 𝛼
∴ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
𝑃 1 = 𝑎 1 3 + 𝑏 1 2 + 𝑐 1 +d
= 8 + 9 + 3
𝑄 1 = 20
𝑄 1 = 1 + 1 3 + 1 + 2 2 + 3
Como 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son iguales, entonces sus
valores numéricos son iguales
Reemplazando en 𝛼 :
Calculemos cada valor numérico:
𝑃 1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
P 1 = 𝑄 1
= 20
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