Valor absoluto I

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Valor absoluto
Ecuación con valor absoluto
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 28
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Utilizar adecuadamente la definición del
valor absoluto.
 Resolver ecuaciones con valor absoluto
aplicando propiedades y teoremas.
 Resolver problemas diversos relacionados
con el valor absoluto.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Distancia en la recta numérica
3. Propiedades
4. Ecuaciones con valor absoluto
2. Valor absoluto
5. Problemas diversos
- ÁLGEBRA
DISTANCIA EN LA RECTA NUMÉRICA
Constantemente medimos el peso, el tiempo, la distancia,
el volumen, etc. como nos damos cuenta son cantidades no
negativas, por ello muchas veces el signo negativo de un números
deben ser eliminados, y eso se logra con el valor absoluto.
Sabemos que todos los números reales se pueden ubicar
en la recta numérica, el valor absoluto de un número real
representa la distancia desde el origen (0) hasta dicho número
real, entonces el resultado será positivo o cero.
- ÁLGEBRA
VALOR ABSOLUTO
Definición: El valor absoluto de un número real 𝑥 se
denota por 𝑥 y se define por:
𝑥 = 
𝑥 , 𝑥 > 0
0 , 𝑥 = 0
−𝑥 , 𝑥 < 0
Ejemplos:
𝑥 En forma práctica, las barras se
eliminan.positivo
= 𝑥
• 5 = 5 • −2 =
• −2.5 = − −2.5
= 2− −2
• 0 = 0
 
𝑥 En forma práctica, las barras se
elimina y cambiamos de signo.negativo
= −𝑥 
= 2.5
• 𝑥2 + 3
• 𝑥2 − 𝑥 + 1
• 2 − 𝜋
 
siempre positivo
 
negativo
= 𝑥2 + 3
= 𝜋 − 2
= 𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑥2 ≥ 0 ; ∀ x ∈ ℝ
π = 3,14…
→ 2 − π = −1,14…
Como
→ 𝑥2 + 3 ≥ 3
Como
• ∆ = −1 2 − 4 1 1
∆ =
siempre positivo
−3 < 0
• Coef. princ.= 1 > 0
Por el Teorema del
trinomio Positivo:
< 0
• 2 − 1
 
positivo
= 2 − 1 2 = 1,4142…
→ 2 − 1 = 0,4142…
Como
> 0
- ÁLGEBRA
Si 𝑥; 𝑦 son números reales, entonces:
𝑥 ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
• 2𝑥 + 3
• 5 − 𝑥
𝟏.
≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
−𝑥
• −4
• 7 − 𝑥
𝟐.
= 4
= − 𝑥 − 7 = 𝑥 − 7
= 𝑥
Consecuencia: 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
• 2 − 𝑥 = 𝑥 − 2
𝑥 2
• 𝑥 − 8 2
• 2𝑥 − 3 2
𝟑. = 𝑥2 = 𝑥2
= 𝑥 − 8 2
= 2𝑥 − 3 2
𝑥2
• −9 2
• 𝑥 + 6 2
𝟒.
2𝑛
𝑥2𝑛 = 𝑥En general:
•
4
𝑥 − 3 4
= 𝑥
= −9 = 9
= 𝑥 + 6
= 𝑥 − 3
𝑥𝑦𝟓.
• −9𝑥
• 4𝑥 − 12
= 𝑥 . 𝑦
= −9 . 𝑥 = 9 𝑥
= 4 𝑥 − 3 = 4 𝑥 − 3
𝑥
𝑦
𝟔.
3
𝑥 − 4•
=
𝑥
𝑦
=
3
𝑥 − 4
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
4𝑥 + 1
7𝑥 − 3•
=
4𝑥 + 1
7𝑥 − 3
=
3
𝑥 − 4
Ejemplos:
Ejemplos:
PROPIEDADES
- ÁLGEBRA
1. Definición
Son aquellas ecuaciones en donde la incógnita se
encuentra afectada por el valor absoluto.
• 2𝑥 − 1 = 9
• 2 − 𝑥 + 𝑥 = 2
Ejemplos:
• 𝑥 + 3 = 4
• 7𝑥 − 3 = 4𝑥 + 5
2.Resolución de ecuaciones con valor absoluto
Tenga en cuenta los siguientes teoremas:
Teorema 1
𝑥 = 𝑎 ⇔ ∧ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎𝑎 ≥ 0
Ejemplos:
→ 𝑥 + 3 = 4 ∨ 𝑥 + 3 = −4
→ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −7
∴ CS = 1; −7
• 4𝑥 + 3 = 11
• 2𝑥 − 1 = 5 → 2𝑥 − 1 = 5 ∨ 2𝑥 − 1 = −5
→ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −2
∴ CS = 3; −2
Observación
• 𝑥 = −2
• 2𝑥 − 1 = −3
Las siguientes ecuaciones:
tienen como CS = ∅, pues
𝒙 ≥ 𝟎 ; ∀ 𝒙 ∈ ℝ• 𝑥 = 2 → 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −2
∴ CS = 2; −2
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
- ÁLGEBRA
• 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 = 𝟐𝒙 − 𝟏
Teorema 2
𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎
→ 𝑥2 − 𝑥 − 1
→ 𝑥2 − 3𝑥 = 0
∨ 𝑥2 − 𝑥 − 1
∨ 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
∨ (𝑥 + 2) 𝑥 − 1 = 0→ 𝑥 𝑥 − 3 = 0
→ 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 3 𝑥 = −2 ; 𝑥 = 1
∴ CS = 0; 3; −2; 1
• 𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝒙
Ejemplos:
→ 2 𝑥 − 6 = 𝑥 ∨ 2𝑥 − 6 = −𝑥
→ 𝑥 = 6 ∨ 𝑥 = 2
∴ CS = 6; 2
= 2𝑥 − 1 = −2𝑥 + 1
𝑥 − 6 = 2𝑥Si 𝛼 es la solución de la ecuación
Resolución:
Ejercicio:
Por el teorema: 2𝑥 ≥ 0
𝑥 − 6 = 2𝑥 ∨ 𝑥 − 6 = −2𝑥
→ 𝑥 = −6 ∨ 𝑥 = 2
→ 𝛼2 = 4
Halle 𝛼2
Luego, solo cumple 𝑥 = 2
𝑥2 − 5 𝑥 + 6 = 0.Resuelva la ecuación
Resolución:
Ejercicio:
𝑥 2 − 5 𝑥 + 6 = 0
𝑥
𝑥
−2
−3
= 0→ 𝑥 − 2 𝑥 − 3
→ 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = 3
→ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 3
∴ CS = −2: 2; −3; 3
𝑥 2𝑥2 =
¡ Recuerde!
→ 𝑥 ≥ 0
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