Ecuación lineal y cuadrática

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Ecuación lineal y cuadrática
ÁLGEBRA
Docente: Álex Bravo
Semana 13
- ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Conocer el concepto de ecuación.
✓ Conocer las ecuaciones lineales y cuadráticas.
✓ Aplicar nuestra teoría en la resolución de
problemas matemáticos y contextualizado.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción
3. Ecuación polinomial
4. Ecuación lineal y cuadrática
2. Ecuación
5. Problemas resueltos
- ÁLGEBRA
INTRODUCCIÓN:
Las ecuaciones son tan antiguas que los babilonios
del siglo XVII a.C. ya sabían resolverlas. Los egipcios
del siglo XVI a.C. desarrollaron un álgebra muy
elemental que usaron para resolver problemas
cotidianos que tenían que ver con la repartición de
víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces
tenían un método para resolver ecuaciones de primer
grado que se llamaba el "método de la falsa posición".
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Ecuación
Ejemplos:
⦁ 2𝑥 − 3 = 7 − 𝑥
2. Solución de una ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
matemáticas, donde existe al menos una variable o
incógnita.
⦁ 𝑥2 = 49
⦁ 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
1. Definición
Es el valor de la incógnita que verifica la igualdad.
Ejemplo:
En la ecuación 𝑥2 = 49
𝑥 = 7
𝑥 = −7
⟶
⟶
72 = 49
−7 2 = 49
𝑉
𝑉
𝑥 = 5 ⟶ 52 = 49 𝐹
Es el conjunto conformado por todas las soluciones
de la ecuación.
3. Conjunto solución
Ejemplo:
En la ecuación 𝑥2 = 49, su conjunto solución es:
CS = −7; 7
⦁ 𝑥2 − 3 = 2𝑥 + 1
, se tiene:
⋮ ⋮
Las soluciones son: 7 y − 7.
Nota
Resolver una ecuación significa hallar su 
conjunto solución.
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Ecuación polinomial
Una ecuación polinomial tiene la forma general:
𝑃 𝑥 = 0
• 2𝑥3 − 5𝑥2 + 3 = 0
• 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0
• 3𝑥 + 12 = 0
donde 𝑃 𝑥 es un polinomio de grado 𝑛 ≥ 1.
Ec. lineal
Ec. cúbica
Ec. cuadrática
Ejemplos:
1. Ecuación lineal
; 𝑎 ≠ 0𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Llamada también ecuación de primer grado. Su
forma general es:
Ejemplos:
3𝑥 + 4 = 0• Resuelva
⟶ 3𝑥 = −4
⟶ 𝑥 = −
4
3
∴ CS = −
4
3
Resolución:
Observación:
Resolver una ecuación significa hallar su 
conjunto solución.
Se tiene 3𝑥 + 4 = 0
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Resolución:
2 𝑥 + 3 + 3(𝑥 − 5) = 4(2𝑥 + 9)
2𝑥 + 6 + 3𝑥 − 15 = 8𝑥 + 36
5𝑥 − 9 = 8𝑥 + 36
−3𝑥 = 45
∴ 𝑥 = −15
• Resuelva
Resolución:
𝑥 + 2
3
+
𝑥 − 1
4
=
5𝑥 + 9
12
M.C.M.(3;4;12) = 12
𝟏𝟐
𝑥 + 2
3
+
𝑥 − 1
4
𝟏𝟐
5𝑥 + 9
12
4 𝑥 + 2 = 5𝑥 + 9
4𝑥 + 8 + 3𝑥 − 3 = 5𝑥 + 9
7𝑥 + 5 = 5𝑥 + 9
2𝑥 = 4
𝑥 = 2
∴ CS = 2
𝑥 + 2
3
+
𝑥 − 1
4
5𝑥 + 9
12
=
Multiplicamos m. a. m por
+ 3(𝑥 − 1)
• Halle 𝑥 en: 2 𝑥 + 3 + 3(𝑥 − 5) = 4(2𝑥 + 9)
Luego:
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Llamada también ecuación de segundo grado. Su
forma general es:
2. Ecuación cuadrática
; 𝑎 ≠ 0𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Ejemplos:
• 𝑥2 − 9𝑥 + 10 = 0
• 15𝑥2 − 19𝑥 + 6 = 0
• Resuelva la ecuación 15𝑥2 − 19𝑥 + 6 = 0
15𝑥2 − 19𝑥 + 6 = 0
3𝑥
5𝑥
−2
−3
= 0⟶ 3𝑥 − 2 5𝑥 − 3
Soluciones: 𝑥 =
2
3
; 𝑥 =
3
5
Resolución:
Factorizamos por aspa simple
∴ CS =
2
3
;
3
5
2.1. 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐩𝐨𝐫 𝐟𝐚𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐳𝐚𝐜𝐢ó𝐧
i. Las raíces de una ecuación polinomial
son numéricamente iguales a las
soluciones de la ecuación.
ii. Toda ecuación cuadrática tiene 2 raíces. 
Observaciones:
Raíces: 𝑥 =
2
3
; 𝑥 =
3
5
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• Resuelva 𝑥2 − 49 = 0
(𝑥 + 7)
⟶ 𝑥 + 7 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0
⟶ 𝑥 = −7 ∨ 𝑥 = 7
−7; 7
Si 𝑥2 = 𝑛 ⟶ 𝑥 = 𝑛 ∨ 𝑥 = − 𝑛
En 𝑥2 = 49 ⟶ 𝑥 = 49 ∨ 𝑥 = − 49
⟶ 𝑥 = 7 ∨ 𝑥 = −7
𝑛 > 0
Resolución:
Aplicamos la diferencia de cuadrados:
(𝑥 − 7) = 0
Soluciones:
∴ CS = −7; 7
Raíces: −7; 7
Observación:
∴ CS = −7; 7
• Resuelva la ecuación 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0
𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0
𝑥
𝑥
− 3
− 3
= 0⟶ 𝑥 − 3 𝑥 − 3
Resolución:
Factorizamos por aspa simple
⟶ 𝑥 − 3 = 0 ∨ 𝑥 − 3 = 0
⟶ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 3
3Solución:
∴ CS = 3
Raíces: 3; 3
✓ La ecuación tiene solución ÚNICA.
✓ El polinomio cuadrático es un T.C.P.
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𝑥1;2
Dada la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
=
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
donde ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
sus raíces son:
es el llamado "discriminante".
2. 𝐏𝐨𝐫 𝐟ó𝐫𝐦𝐮𝐥𝐚 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥
Halle las raíces de la ecuación 𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0
→ ∆ = −5 2 − 4 1 2
𝑥1 =
5 + 17
2
= 17
Resolución:
𝑎 = 1 ; 𝑏 = −5 ; 𝑐 = 2
; 𝑥2 =
5 − 17
2
Se tiene que
Ejemplo:
Luego
𝑥1 =
−𝑏 + ∆
2𝑎
; 𝑥2 =
−𝑏 − ∆
2𝑎
Luego:
www.adun i . e du . p e