Funciones exponenciales

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Funciones exponenciales
Teoría
ÁLGEBRA
Docente: Lic. Juan Gamarra Carhuas
Semana 35
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer la función exponencial, sus gráficas y
propiedades.
 Resolver problemas algoritmicos y/o contextualizados
con el apoyo teórico eficaz las funciones exponencial
 Aplicar las propiedades y realizar las gráficas de
las funciones exponencial.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción
4. Inecuaciones exponenciales
5. Resolución de inecuaciones exponenciales.
2. Función exponencial
6. Problemas diversos.
3. Gráfica de función exponencial.
- ÁLGEBRA
Función exponencial
Es importante el estudio de la función exponencial y
logarítmica, pues su aplicación es frecuente en diversos
campos del quehacer humano.
La función exponencial es útil para el estudio del
interés compuesto, el crecimiento poblacional de una
especie determinada, la cantidad de personas
contagiadas por un virus, etc.
- ÁLGEBRA
𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
𝑓 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ
1 2−2 −1 0 𝑋
𝑌
1
2
4
𝑥 𝑦
−2 1/4
−1 1/2
0 1
1 2
2 4
Tabulando
Función exponencial
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
Ejemplo 1:
. Su gráfica es: 
1 2−2 −1 0 𝑋
𝑌
1
2
4
𝑥 𝑦
−2 4
−1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
Tabulando
Ejemplo 2:
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
; 𝑥 ∈ ℝ
Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ+Donde:
. Su gráfica es: 
- ÁLGEBRA
Función creciente Función decreciente
No cambia el sentido 
de la desigualdad
Sí cambia el sentido 
de la desigualdad
En general:
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1. Se tiene
Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
1 1
Ejemplos:
• 5𝑥 < 59
• 2𝑥 ≤ 64
• 𝑥 > 7
• 3 < 𝑥 ≤ 5
⟷ 𝑥 9<
⟷ 2𝑥 ≤ 26 ⟷ 𝑥 6≤
⟷ 4 4>𝑥 7
1
2
𝑥
≥
1
2
11
• ⟷ 𝑥 11≤
⟷ 0,2 0,2>3 𝑥 0,2≥ 5
• 𝑥 ≥ 5 ⟷
1
3
≤
𝑥 51
3
0 <
𝑏𝑥 < 𝑏𝑦 𝑏𝑥 < 𝑏𝑦⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦𝑥 < 𝑦
𝑦 = 𝑏𝑥> 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
(Siendo 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1)
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
- ÁLGEBRA
Aplicación 𝟏:
Halle el rango de la siguiente función
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥−1
; 𝑥 ∈ 2; 10
Resolución
Como la base 
Cambia el sentido
3𝑥 ≥ 1
2−1 ≥ 𝑓(𝑥) > 2−9
𝑅𝑎𝑛𝑓 = 2−9; 2−1
Halle el dominio de la función
𝑓 𝑥 = 3 3𝑥−1
Resolución
Analizaremos el radical.
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 
1
3
; +∞
3𝑥 − 1 ≥ 0
𝑥 ≥
1
3
Aplicación 𝟐:
2 ≤ 𝑥 < 10
1 ≤ 𝑥 − 1 < 9
1
2
1
≥
1
2
𝑥−1
>
1
2
9
Como:
0 < 𝑏 =
1
2
< 1
- ÁLGEBRA
Inecuación exponencial
Se reducirá la inecuación a una mas simple para buscar 
aplicar los siguientes teoremas: 
1)
Aplicación 𝟏:
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
1
2
𝑥
≤ 4𝑥
3𝑥 − 3 > 9𝑥
53𝑥 ≥ 52𝑥−1
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
2)
Si 𝒃 > 𝟏: 𝒃𝒙 < 𝒃𝒚 ⟷ 𝒙 < 𝒚
Si 𝟎 < 𝒃 < 𝟏: 𝒃𝒙 < 𝒃𝒚 ⟷ 𝒙 > 𝒚
Resolver
4𝑥 ≥ 2𝑥−3
Resolución
Buscaremos que las potencias tengan bases iguales
4𝑥 ≥ 2𝑥−3
22 𝑥 ≥ 2𝑥−3
22𝑥 ≥ 2𝑥−3
Como la base 𝑏 = 2 > 1
Aplicaremos el teorema 1
2𝑥 ≥ 𝑥 − 3
𝑥 ≥ −3
𝐶𝑆 = −3; +∞
- ÁLGEBRA
Aplicación 𝟐:
Resolver
4𝑥 + 1 5𝑥 − 25 ≥ 0
Resolución
Como la base 𝑏 = 5 > 1
Aplicaremos el teorema 1
3𝑥 > 2𝑥 − 2
𝑥 ≥ 2
𝐶𝑆 = 2; +∞
Resolver
1
3
3𝑥
<
1
9
𝑥−1
Resolución
Buscaremos que las potencias tengan bases iguales
Como la base 
Aplicaremos el teorema 2
𝐶𝑆 = −2;+∞
1
3
3𝑥
<
1
3
2
𝑥−1
1
3
3𝑥
<
1
3
2𝑥−2
0 < 𝑏 =
1
3
< 1
𝑥 > −2
Aplicación 𝟑:
4𝑥 + 1 5𝑥 − 25 ≥ 0
+
5𝑥 − 25 ≥ 0
5𝑥 ≥ 52
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