Recuperación Segundo (C1-2021)

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CÁLCULO I – RECUPERACIÓN SEGUNDO PARCIAL – 24/06/2021 
 
Estudiante: 
 
 
1) Calcular la pendiente !"
!#
 de la recta tangente a la gráfica de la curva 
 (𝑥& + 𝑦&)& = 4𝑥&	𝑦 en el punto de coordenadas (1,1). (usar derivación implícita) 
 
 
2) La función 𝑓(𝑥) = 1
√&3
𝑒5#6/& se denomina de densidad de probabilidad normal. 
DEMOSTRAR que la función dada tiene dos puntos de inflexión en 𝑥 = 1 y en 𝑥 = −1. 
 
 
3) Reescribir el integrando de manera que se adapte para aplicar las reglas básicas de 
integración. Luego CALCULAR la integral indefinida. 
 
𝑎)	∫ ;#
</651
#=/6
> 𝑑𝑥 b) ∫(𝑡& + 3)& 	𝑑𝑡 
 
4) Si una fuerza de 25 kg estira un resorte 3 cm, DETERMINAR el trabajo requerido para 
alargar el resorte 2 cm más. (recuerde 0,03 m equivale a 3cm) 
 
5) Calcular el área de la región plana, limitada por las funciones: 
 𝑦 = 𝑥& − 1 e 𝑦 = 𝑥 − 1		𝑝𝑎𝑟𝑎		0 ≤ 𝑥 ≤ 2.	Hacer un esquema de la región. 
 
6) La base de un sólido está limitado por 𝑦 = 𝑥 − 1 e 𝑦 = 𝑥& − 1 (0 ≤ 𝑥 ≤ 1). 
CALCULAR el volumen del sólido si se sabe que las secciones perpendiculares al eje x 
son cuadrados. 
 
7) 
Sea 𝑦 = 𝑔(𝑥) la función dibujada con trazo oscuro. 
El área A de la región de la figura es 2 unidades 
cuadradas y la integral ∫ 𝑔(𝑥)	𝑑HI 𝑥 = 3,5. 
 
Con esta información completar: 
∫ 𝑔(𝑥)	𝑑&I 𝑥 = 
∫ 𝑔(𝑥)	𝑑H& 𝑥 = 
K [2 + 𝑔(𝑥)]	𝑑
H
I
𝑥 = 
 
 
 
 
CÁLCULO I – RECUPERACIÓN SEGUNDO PARCIAL – 24/06/2021 
 
Estudiante: 
 
8) Colocar Verdadero o Falso según corresponda para cada afirmación de la primera 
columna. 
Para los casos que haya indicado Falso, explicar porqué es falso o dar la expresión 
verdadera para la afirmación. 
 Verdadero/Falso 
I) La función 𝑓(𝑥) = 𝑥&/Nen el intervalo [−1,3] no tiene puntos 
críticos. 
 
II) Es posible encontrar ejemplos de funciones tales que sean 
continuas en un intervalo [𝑎, 𝑏] y tengan un mínimo relativo en 
un punto 𝑥 = 𝑐 perteneciente al intervalo [𝑎, 𝑏],	 pero que la 
función sea tal, que la 𝑓’(𝑐) no exista. 
 
III) Se conoce la velocidad 𝑣(𝑡)	de un objeto en movimiento y se 
desea saber el desplazamiento del objeto entre x=a y x=b, 
entonces la expresión que se debe evaluar es la siguiente: 
K 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
S
T
 
 
iv) 
K 𝑥5&
1
51
𝑑𝑥 =
−1
𝑥
U
51
1
= (−1) − 1 = 2 
 
 
v) Para calcular el volumen del sólido de revolución que se 
obtiene al hacer girar alrededor del eje x, la región limitada por 
la gráfica de𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥& el eje x con -1≤ 𝑥 ≤ 1 , se debe 
avaluar la siguiente expresión: 
𝜋K (2 − 𝑥&)
1
51
		𝑑𝑥