PRÁCTICO SOBRE PLANOS Y RECTAS

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMECHINGONES 
 ALGEBRA Y ANALISIS GEOMÉTRICO 
 PRÁCTICO : El plano. Rectas dadas por la intersección de planos 
 Posiciones relativas entre rectas y plano en el espacio. 
Ejercicio N°1: Determina las ecuaciones de un par de planos cuya intersección sea la recta dada. 
a) r: 
𝑥 = 3 + 4𝜆
𝑦 = −7 + 2𝜆
𝑧 = 6 − 𝜆
  λ∈ 𝑅 b) r: 
𝑥 = 5𝜆
𝑦 = 3𝜆
𝑧 = 6𝜆
  λ∈ 𝑅 c) r: 
𝑥 = 3 − 2𝜆
𝑦 = −1 + 3𝜆
𝑧 = 2 + 4𝜆
  λ∈ 𝑅 
Ejercicio N°2: Obtenga una ecuación de los planos xy, xz, yz 
Ejercicio N°3: Dados los puntos A=(1,-1,0) , B=(-2,1,1) y C=(-1,0,3) .Encuentra: 
a)Un vector normal al plano π que pasa por dichos puntos. 
b)La ecuación normal de dicho plano. 
c)La ecuación de un plano que sea paralelo y otro que sea perpendicular al plano π. 
d)La ecuación de una recta perpendicular al plano π que pase por el origen. 
 
Ejercicio N°4: 
a)Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r:
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
  
b)Halla los puntos de intersección de la recta anterior con los planos coordenados. 
 
Ejercicio N°5: Halla las ecuaciones de la siguiente recta: 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0
  en forma vectorial, 
paramétricas y simétricas.( Ayuda :Ver gráfico siguiente) 
 
Ejercicio N°6:Estudia la posición relativa de los siguientes planos: 
a) π1 : 2x+3y+4z=1 y π2 : 3x+4y+5z=3 
b) π1 : x-3y+4z=11 y π2 : 4x-12y+16z=-40 
c) π1 : x+y=0 , π2 : x+z=0 y π1 : x-z=0 
 
Ejercicio N°7: Comprueba que la recta r:
𝑥 = 0
𝑦 = 𝜆
𝑧 = 𝜆
  λ∈ 𝑅, está contenida en el plano 6x+4y-4z=0 y 
es perpendicular al plano 4y+4z=1. 
 
Ejercicio N°8: Determina la posición relativa de los siguientes pares de planos 
a) 
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 4 = 0
3𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0
  b) 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 2 = 0
−2𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 − 3 = 0
  𝑐) 
3𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑧 = 0
  
 
Ejercicio N°9: Encuentra ( si existe) la intersección de la recta L con el plano 𝛼 para: 
 
a) L: 
𝑥 − 4 = 5𝑡
𝑦 − 2 = 𝑡
𝑧 − 4 = −𝑡
  t∈ 𝑅 y 𝛼: 3x-y+7z= - 8 
b) L: 
𝑥 − 2 = 𝑡
𝑦 − 3 = 2𝑡
𝑧 + 1 = 3𝑡
  t∈ 𝑅 y 𝛼: z= 3 
 
Ejercicio N°10: Determina el plano que pasa por P=(0,-4,2) y es paralelo al plano 5x-2y+z-9=0. 
 
Ejercicio N°11: : Determina el plano que pasa por el punto P=(0,-4,1) y es perpendicular al plano 
2x+3y-z=8. 
Ejercicio N°12: 
a) Comprobar que las rectas r: (x, y, z) = (3, –4, 0) + λ(2, –3, –2) y s: (x, y, z) = (–7, 1, 2) + µ(4, –1, 0) 
 se cortan en un punto. 
 b) Hallar la ecuación del plano que ellas determinan. 
 Ejercicio N°13: Se considera el plano que contiene el punto P(3, 1, 2) y la recta r de ecuación 
 
a)Estudia la posición relativa de este plano y la recta: 
 1°- s: (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ(1, 2, –3) , 
 2°- t: (x, y, z) = (0,- 1, 0) + λ(3,-2,-4) , 
 3°- l : (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ(2, 3, 0) , 
b) Halla, si es posible, el punto de intersección en cada caso. 
Ejercicio N°14: Se consideran los puntos A(3, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 1). Se pide: 
a)Hallar la ecuación general del plano π que los contiene. 
b) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a π y que pasa por el origen de coordenadas. 
c) Hallar también el punto de intersección de la recta con el plano . 
Ejercicio N°15: Calcula la ecuación de la recta que pasa por (1, 1, 1) y con respecto al plano 
π:x+y-z=0: 
a) Es perpendicular . 
b) Es paralela al plano 
c) Interseca al plano pero no perpendicularmente. 
Ejercicio N1°6: Determina el punto P del plano π: 2x-y+z=0 más próximo al punto A(1,1,1). 
 A(1,1,1) 
 
Ejercicio N°17: Para cada uno de los siguientes casos: 
i) P=(2,3,1), 𝑢= (1,2,3), �⃗� = (1,3,5) 
ii) P=(2,3,1), �⃗�= (-2,1,-5), �⃗� = (−3,1, −4) 
iii)P=(2,1,7), 𝑢= (1,0,4), �⃗� = (0, −1,3) 
a)Determina una ecuación vectorial, una paramétrica ,una implícita del plano que pasa por el punto P y 
es paralelo a los vectores �⃗� y �⃗�. 
b)Escribe tres puntos que pertenezcan a cada uno de ellos. 
c)Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular al plano correspondiente a i) que 
pasa por el punto R=(0,-1,3) 
d) Encuentra las ecuaciones paramétricas de una recta paralela al plano correspondiente a ii) que pase 
por S=(-1,1,-2). ¿Es única?.Si no lo fuera, proponga otras dos más. 
f) Encuentra las ecuaciones paramétricas de una recta que interseque al plano correspondiente a iii) 
pero no perpendicularmente ¿Es única?. Si no lo fuera, proponga otras dos más. 
 
Ejercicio N°18: Determina el ángulo que forman. 
a)Las rectas cuyas ecuaciones son: 𝑟:
𝑥 = 2 − 3𝛿
𝑦 = 3 + 5𝛿
𝑧 = 𝛿
  𝛿 ∈ 𝑅 𝑠:
𝑥 = 1 − µ
𝑦 = 2µ
𝑧 = 5
  µ ∈ 𝑅 
b)Los planos de ecuaciones:𝜋 : 2(x-3)- (y+2)-z=0 y 𝜋 : -(x+ )+4(y-1)-2(z-3)=0 
Ejercicio N°19: 
a)Teniendo en cuenta que la expresión que permite calcular la distancia de un punto Q a un plano de 
vector normal 𝑛 y P un punto perteneciente al plano, está dada por d= 
⃗. ⃗
| ⃗|
 .Se pide que calcule: 
a)La distancia del punto Q=(4,-2,3) al plano 4x-3y+2z=2 
b)La distancia entre los planos 3x-4y+z=3 y 3x-4y+z= 4. 
c)La distancia entre los planos -x+ 2(y+3)+z=-1 y -2x+ 4(y+3)+2z=2 . 
Ejercicio N°20: 
a)Teniendo en cuenta que la expresión que permite calcular la distancia de un punto Q a una recta de 
vector director 𝑑 y P un punto perteneciente aa la recta, está dada por d= 
⃗ . ⃗
| |
 .Se pide que calcule: 
La distancia del punto Q=(4,-2,3) a la recta : 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0
  
Ejercicio N°21:Analiza la posición relativa de la recta 
 
L: 
𝑥 − 4 = 4𝑡
𝑦 − 3 = 𝑡
𝑧 + 1 = 0
  t∈ 𝑅 y el plano 𝛼: 3x+2y+z=7. 
 
Ejercicio N°22: Las siguientes rectas 
 
L: 
𝑥 = −1 + 4𝑡
𝑦 − 3 = 𝑡
𝑧 − 1 = 0
  t∈ 𝑅 y S: 
𝑥 + 13 = 12𝑡
𝑦 − 1 = −6𝑡
𝑧 − 2 = 3𝑡
  t∈ 𝑅 ¿pueden determinar la 
 
posición de un plano?.Fundamenta tu respuesta. 
 
Ejercicio N°23: Hallar la cual del plano que contiene a la recta = = 
 y es paralelo a la recta .
𝑥 = 1 + 3𝑡
𝑦 − 1 = 2𝑡
𝑧 = 𝑡
  
 
Ejercicio N°24: Hallar las coordenadas del punto común al plano x + 2y − z − 2 = 0 y a la recta 
determinada por el punto (1, −3, 2) y el vector 𝑢 = (2,4,1). 
Ejercicio N°25: Dadas las rectas: r: 
 
= = y s: = = 
Determina la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.