REPASO PARA PARCIAL 2 DE ALGEBRA

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMENHINGONES 
 ALGEBRA y ANALISIS GEOMETRICO 
 Repaso para Parcial N° 2 
PARTE TEÓRICA: 
1.-Dos rectas alabeadas pueden tener sus vectores directores perpendiculares . 
2.-Dos planos que tienen sus vectores normales paralelos se intersecan en una recta. 
3.-Si �⃑� y �⃗� son dos vectores, del espacio, tal que �⃑� x �⃗� =0⃗ , entonces |�⃗�| = 0 ó 𝑏 = 0. 
4.-La condición que deben cumplir los vectores normales a dos planos paralelos es que 𝑛 . 𝑛 = 0. 
5.-La condición para que una recta de ecuación 𝑥 = (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) + 𝜆𝑑 sea perpendicular a un plano de ecuación 
ax+by+cz=d es que 𝑑. 𝑛 = 0 donde 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). 
6.-Si una recta corta perpendicularmente a un plano, los correspondientes vectores director y normal tienen, como 
resultado del producto vectorial, al vector nulo. 
7.- Si una recta está contenida en un plano, entonces un vector director de la misma ,es paralelo a cualquier vector 
normal de dicho plano. 
8.- Si dos rectas son alabeadas, el sistema de ecuaciones correspondiente puede ser un sistema homogéneo. 
9.- Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas puede tener solución única. 
10.-Para que una matriz admita inversa, es suficiente con que sea cuadrada. 
11.-El producto de dos matrices se puede realizar siempre que las ellas tengan el mismo orden. 
12.-Un sistema de ecuaciones homogéneo es siempre compatible. 
DEMUESTRA QUE : 
1.- Un plano de ecuación : ax+by+cz=0 siempre contiene al origen. 
2.- Si �⃑� y 𝑏 son dos vectores no nulos y paralelos ,en el espacio, entonces �⃑� x �⃗� =0⃗. 
3.-Que la recta r:
𝑥 = 0
𝑦 = −𝜇
𝑧 = −𝜇
  𝜇𝜖𝑅, está contenida en el plano -3x-2y+2z=0 y es perpendicular al plano 2y+2z= . 
4.- El punto P( , , ) del plano π: 2x-y+z=0 es el más próximo al punto A(1,1,1) 
 A(1,1,1) 
 
PARTE PRÁCTICA: 
Ejercicio N°1: : Dados los puntos A= (0, 2,3) B= (-2, 1, 2) C = (-3, 0,3) 
a) Halla las componentes de los vectores AB, AC, BC 
b) Encuentra el vector unitario que tiene la misma dirección que BCAB 
2
1
 
c) Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto A y contiene a las rectas que pasan, respectivamente, 
por los puntos A, B y A , C . 
Ejercicio N° 2: Determina la posición relativa de las rectas r y s, siendo 
a)r:
 







22
1
y
x
 s : 







41
22
y
x
 
b) r : 











7
22
31
z
y
x
 s : 











24
41
62
z
y
x
 
En caso de ser paralelas indicar si son coincidentes o no. En caso de ser secantes encontrar las coordenadas del punto 
intersección. 
Ejercicio N°3: Dado el plano de ecuación: π: −3𝑥 + 2y + 𝑧 + 1 = 0. 
a) El vector de componentes (6,-4,-2), ¿es normal al plano?.Justifique. 
b)¿Pertenece el origen al plano?.Justifique. 
Ejercicio N°4: Halla las ecuaciones paramétricas de la recta dada por los planos 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1
2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −2
  
Ejercicio N°5: Considera el plano que contiene el punto P(3, 1, 2) y a la recta r : 
Estudia la posición relativa de este plano y la recta: s: (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ(1, 2, –3) , 
Ejercicio N°6: Estudia la posición relativa entre los planos: π : 3x-2y+z=1 y π2:-3 x+2y-z=1. 
Ejercicio N°7: Calcula la ecuación de la recta que pasa por (1, 1, 1) y con respecto al plano π:x+y-z=0: 
a) Es perpendicular . 
b) Es paralela al plano 
c) Interseca al plano pero no perpendicularmente. 
EjercicioN°8: 
 a)Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas: 
 
2𝑥 + 3𝑦 = 6
𝑥 − 2𝑦 = 10
  −
𝑥 − 2𝑦 = −3
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 4
  
 b)Interpreta geométricamente las soluciones obtenidas, en cada caso. 
 
Ejercicio N°9:Tres personas: María, Esteban y Federico reparten hojas de propaganda. Esteban reparte siempre el 20% 
del total, Federico reparte 100 hojas más que María. Entre María y Esteban, reparten 850 hojas. Plantea un sistema de 
ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno de ellos. 
 
Ejercicio N°10:Dadas las siguientes matrices : 
A= 2 − 2 4
1 − 1 − 3
 B=
−3 2
2 − 1
−1 0
 C=
3 2 1
2 − 1 2
1 − 2 − 2
 D= −2 − 5 1
3 1 3
 
a)Indica el orden de cada matriz. 
b)Completa con el valor que corresponda a : 𝑎 =…………….., 𝑏 =……………….. 
c)Calcula C-1 
d)Halla 2 A – D 
e)Halla B.D en caso de ser posible. 
 
Ejercicio N°11: Utiliza el método de la matriz inversa para resolver el siguiente sistema: 
 
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 12
−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 12
2𝑥 + 2𝑦 = 12
  
 
Ejercicio N°12: En base a la siguiente situación gráfica 
 
¿Cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones podría corresponderle?.Justifica tu respuesta. 
𝑥 = 0
𝑦 = 0
𝑥 = 1
  
𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 − 𝑧 = 0
𝑦 − 𝑧 = 0
  
2𝑥 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑦 + 𝑧 = 3
  
Ejercicio N°13: Dada la siguiente secuencia de operaciones elementales para resolver un sistema : 
 
2 1 − 1/ 3
−2 − 1 1/ 1
 → 
1 − / 
−2 − 1 1 /4
→ 
1 − / 
0 0 0 / 4
 
Responde: 
a)¿De cuántas incógnitas y ecuaciones es el sistema correspondiente?. 
b)¿Qué significa lo obtenido en la segunda fila de la última matriz ampliada?. 
c)¿Qué puede decir acerca de la compatibilidad del sistema?.